第2章 微专题强化2-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

抽 象 函 数 微专题强化二 专|题|梳|理 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 典|型|例|题 类型一 抽象函数求值 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 抽象函数的单调性与奇偶性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 抽象函数的对称性与周期性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十三） 本部分内容讲解结束 1．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法有：函数性质法和特殊值法． 2．常见的抽象函数模型 (1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝kx的抽象表达式； (2)f(x＋y)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝ax的抽象表达式(a>0，且a≠1)； (3)f(xy)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝logax的抽象表达式(a>0，且a≠1)； (4)f(xy)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝xa的抽象表达式． 【例1】　(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)＝________. 2 因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，所以令x＝y＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2＝6，再令x＝2，y＝－1，得f(2－1)＝f(2)＋f(－1)－4＝2，所以f(－1)＝0，所以f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2＝2. (2)f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝(　　) A．2 024 B．2 026 C．1 012 D．1 013 由f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，令b＝1可得f(a＋1)＝f(a)f(1)＝2f(a)，所以＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝2×1 013＝2 026.故选B. 抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令x＝…，－2，－1,0,1,2，…等特殊值求抽象函数的函数值． 【训练1】　设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)， 若f(8)＝3，则f()＝________. 因为f(8)＝3，所以f(2×4)＝f(2)＋f(4)＝f(2)＋f(2×2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)＝3，所以f(2)＝1.所以f(2)＝f(×)＝f()＋f()＝2f()＝1，所以f()＝. 【例2】　(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且f(2)＝3，则(　　) A．f(1)＝1 B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增 C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1 A中，因为f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，f(2)＝3，令x＝y＝1，则f(2)＝[f(1)]2＋2f(1)＝3，解得f(1)＝1，A正确；B中，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x2>x1，则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)，因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x2－x1)>0，f(x1)>0，所以f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，B正确；C中，令x＝y＝0，则f(0)＝[f(0)]2＋2f(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝－1，当f(0)＝0，且x>0时，令y＝－x，则0＝f(x)f(－x)＋f(x)＋f(－x)，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即0＝－f2(x)＋f(x)－f(x)，解 得f(x)＝0，与题意矛盾；当f(0)＝－1时，f(x)不为奇函数．综上所述，函 数f(x)不是奇函数，C错误；D中，当f(x)＝2x－1，则f(x＋y)＝2x＋y－1，f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)＝(2x－1)(2y－1)＋(2x－1)＋(2y－1)＝2x＋y－2x－2y＋1＋2x－1＋2y－1＝2x＋y－1，所以f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，易得f(x)＝2x－1在R上单调递增，所以x>0时，f(x)＝2x－1>20－1＝0，f(2)＝22－1＝3，故函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1，D正确．故选ABD. 【例3】　(2025·绍兴质检)已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，如果x满足f(x)－f≤2，则x的取值范围为________． (3,4] 因为f＝f(x)－f(y)，所以f(y)＋f＝f(x)．在上述等式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4)．又因为f(2)＝1，所以f(4)＝2，所以f(x)－f≤2可变形为f(x(x－3))≤f(4)．又因为f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，所以解得3＜x≤4.故x的取值范围是(3,4]． 1．抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x2的大小关系构造出一个大于(或小于)0的数． 2．抽象函数中求特殊的函数值，讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值法”进行求值和化简． 【训练2】　(2025·重庆调研)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>0时，f(x)<0.则关于x的不等式f(x2)＋f(2x)≥0的解集为(　　) A．[－2,0] B．(－∞，－2]∪[0，＋∞) C．[0,2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞) 解法一：因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，不妨令x1>x2，则x1－x2>0，因为当x>0时，f(x)<0，所以f(x1－x2)<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减．在f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)中，令x1＝x2＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.由题意知，f(x2)＋f(2x)＝f(x2＋2x)，又f(0)＝0，所以f(x2)＋f(2x)≥0即f(x2＋2x)≥f(0)，又f(x)在R上单调递减，所以x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，即x∈[－2,0]．故选A. 解法二：因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以可令f(x)＝kx，又当x>0时，f(x)<0，所以k<0，所以f(x2)＋f(2x)≥0可转化为kx2＋2kx≥0，即x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，即x∈[－2,0]．故选A. 【例4】　(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，f(1)＝1，f(2x＋1)为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 　 B．f(x)为偶函数 C．f(2＋x)＝－f(2－x) 　　 D．(k)＝0 令x＝y＝0，得f2(0)＝f2(0)－f2(0)＝0，所以f(0)＝0，所以A正确．令x＝0，得f(y)f(－y)＝f2(0)－f2(y)，因为f(0)＝0，所以f(y)f(－y)＝－f2(y)，即f(y)[f(y)＋f(－y)]＝0，因为f(y)不恒为0，所以f(y)＋f(－y)＝0，即f(x)＋f(－x)＝0，所以函数f(x)是奇函数，所以B错误．因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称．因为函数f(2x＋1)是偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)成立，所以C 正确，且函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(0)＝0，f(1)＝1，并且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝0，又因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(3)＝－f(1)＝－1，因为函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)＝0，即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋0＋(－1)＋0＝0，再由周期性得，(k)＝0＋1＝1，所以D错误．综上，选AC. 若函数y＝f(ax＋b)为偶函数，则函数图象关于直线x＝b对称；若函数y＝f(ax＋b)为奇函数，则函数图象关于点(b,0)对称． 【训练3】　已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(3－x)＝f(x＋1)成立，又函数f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，且f(1)＝3，则f(61)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 因为对任意x∈R，都有f(3－x)＝f(x＋1)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．又函数f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，则函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数f(x)为奇函数，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以8是函数f(x)的一个周期，f(61)＝f(8×8－3)＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1)＝－3.故选A. $$