第2章 第8节 函数模型的应用-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第二章 函数与基本初等函数 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第八节 第二章 函数与基本初等函数 函数模型的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 用函数图象的变化刻画变化过程 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 已知函数模型的实际问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 构建函数模型的实际问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（二十） 本部分内容讲解结束 1.了解一元一次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征及差异，理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等术语的现实含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用. 快 慢 y　 x 1．三种函数模型性质比较 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的单调性 单调______ 单调______ 单调______ 增长速度 越来越____ 越来越____ 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与____轴接近平行 随x值增大，图象与____轴接近平行 随n值变化而不同 递增 递增 递增 [微点清]　“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数 相关模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0，且a≠1，b≠0) 与对数函数 相关模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0，且a≠1，b≠0) 与幂函数 相关模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 1．充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键． 2．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 1．用长度为24 m的材料围成一中间带有两道隔墙的矩形场地，要使矩形的面积最大(忽略隔墙所占面积)，则隔墙的长度为(　　) A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m 设隔墙的长度为x m(0<x<6)，矩形面积为y m2，则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y最大．故选B. 2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).1万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为(　　) A．36万件 B．18万件 C．22万件 D．9万件 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．故选B. 3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为 g(x)>f(x)>h(x)．故选B. 4．一个容器装有细砂a cm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细砂量为y＝ae－btcm3，经过8 min后发现容器内还有一半的细砂，则再经过________min，容器中的细砂只有开始时的八分之一. 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝，若容器中的细砂只有开始时的八分之一，则y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，即t＝24，所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一． 16 【例1】　(多选题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强 由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；在 t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污 水达标排放量，故都已达标， C正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3] 这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故D错误． 以图表为工具记录数据，是生活中形象化处理数据的常用手段，这类问题一般不难，看清楚图中横、纵轴的意义，明白图象走势代表的变化关系，即可轻松得解． 【训练1】　(多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　) A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中， 甲车消耗汽油最多 C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗 8 L汽油 D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于 40 km/h时，乙车每消耗1 L汽油，行驶里程都 超过5 km，故A错误．对于B选项：由题意可 知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高， 耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，B错误． 对于C选项：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1 h，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，故C对．对于D选项：速度在80 km/h以下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故D对．故选CD. 【例2】　(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 因为Lp＝20×lg随着p增大而增大，且Lp1∈[60,90]，Lp2∈[50,60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg，得p＝p010，因为Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；假设p2>10p3， 则p010>10p010，所以10－>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝10－＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 求解已给函数模型的实际问题的关注点 1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． 2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． 3．利用该模型求解实际问题． 【训练2】　(2025·江苏南京一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T＝·a，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的(　　) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 设火星的公转周期为T1，椭圆轨道的长半轴长为a1，水星的公转周期为T2，椭圆轨道的长半轴长为a2，则T1＝8T2，且得＝＝8，所以＝4，即a1＝4a2.故选B. 【例3】　一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有疗效，而低于500 mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到0.1 h)(　　) A．4.2 h B．2.3 h C．8.8 h D．7.2 h 设应在病人注射这种药经过x h后再次向病人注射这种药，则血液中的含药量y(单位：mg)与注射后的时间x的关系式为y＝2 500(1－20%)x，由题意可得2 500(1－20%)x>1 500，整理可得x>，所以logx<log，即x<log.由log＝log＝＝＝≈≈2.3，所以x<2.3，故从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为2.3 h，才能保持疗效．故选B. 解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．以上过程可简洁表述为： ―→―→―→ 【训练3】　(2024·广东一模)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过________天，甲的“日能力值”是乙的20倍．(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)(　　) A．23 B．100 C．150 D．232 设甲和乙刚开始的“日能力值”为1，且n天后，甲的“日能力值”是乙的20倍，则n天后甲、乙的“日能力值”分别为(1＋2%)n，(1－1%)n，依题意，得＝20，即n＝20，两边取常用对数得nlg＝lg 20，因此n＝≈≈100，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍．故选B. $$