第2章 第7节 函数的零点与方程的解-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第二章 函数与基本初等函数 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第七节 第二章 函数与基本初等函数 函数的零点与方程的解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 函数零点所在区间判定 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 函数零点个数的判定 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 函数零点的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考真题/重温 赢在微点 数学 大一轮 第三部分 ——明确方向 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十九） 本部分内容讲解结束 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程解的联系，了解函数零点存在定理，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有________⇔函数y＝f(x)的图象与________有公共点． f(x)＝0　 零点　 x轴 (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． (4)有关函数零点的重要结论 ①若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． ②连续不断的函数的相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． [微点清]　函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实数解．函数零点存在定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件． f(a)f(b)<0 (a，b) f(c)＝0 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的________所在区间__________，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 零点 一分为二 1．若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点． 2．f(a)f(b)<0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点． 1．(苏教必一P230练习T2改编)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点为(　　) A．－9和4 B．－8和2 C．－8和4 D．2 令y＝f(x)－3＝0，得f(x)＝3.当x≤0时，令＝3，得x＝－8；当x>0时，易知f(x)＝x＋log2x单调递增，且f(2)＝3.故函数y＝f(x)－3的零点为－8和2.故选B. 2．(人A必一P146例2改编)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算，如表所示. x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 f(x) －1 0.875 －0.296 9 0.224 6 －0.051 51 那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0.1)可以为(　　) A．1.3 B．1.32 C．1.437 5 D．1.25 因为f(1.375)>0，f(1.312 5)<0，且1.375－1.312 5<0.1，所以该方程的一个近似根(精确度为0.1)在区间(1.312 5，1.375)内，结合选项知，选B. 3．(人A必一P144练习T2改编)用二分法求方程ln(x＋1)＝的近似解时，可以取的一个区间是(　　) A．(1,2) B．(2，e) C．(3,4) D．(0,1) 设f(x)＝ln(x＋1)－，易知f(x)为增函数，而f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以函数f(x)在区间(1,2)内有零点，即用二分法求方程ln(x＋1)＝的近似解时，可以取的一个区间是(1,2)．故选A. 4．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 由题意知函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以即解得0<a<3.故选C. 5．函数f(x)＝ex＋3x的零点有________个． 由题易得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点． 1 【例1】　(1)函数f(x)＝x－2－ 的零点所在区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 因为函数y＝x－2和y＝－在[0，＋∞)上都单调递减，所以f(x)＝x－2－在[0，＋∞)上单调递减，又f(0)＝4>0，f(1)＝1>0，f(2)＝1－<0，f(3)＝－<0，f(4)＝－<0，故f(1)f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在区间是(1,2)．故选B. (2)(多选题)函数f(x)＝2x2－4ln x－3，则(　　) A．f(x)在内有零点 B．f(x)在内有零点 C．f(x)在(1，)内有零点 D．f(x)在(e，e2)内有零点 作出函数y＝2x2－3和y＝4ln x的图象，如图所示，由图象可知，f(x)最多有两个零点，因为f＝＋4－3>0，f()＝ 2e－2－3>0，f(1)＝2－3<0，f(e)＝2e2－4－3>0， f(e2)＝2e4－8－3>0，所以ff(1)<0，f(1)f()<0， 由函数零点存在定理可知f(x)在内有零点，在(1，)内有零点．故选AC. 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 1．定理法：利用函数零点存在定理进行判断．适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形． 2．图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．适用于容易画出函数的图象的情形． 【训练1】　(1)(多选题)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)f(－1)<0，f(1)f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．故选AD. (2)已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝________. －2 函数f(x)＝e－x－2x－5是减函数，f(－2)＝e2－1>0，f(－1)＝e－3<0，所以f(－2)f(－1)<0，所以函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)上，所以m＝－2. 【例2】　(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解法一：因为f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．故选B. 解法二：设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．故选B. (2)(2025·杭州调研)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2 024]上根的个数为(　　) A．404 B．405 C．406 D．203 因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称，且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，又区间[0,2 024]内包含202个周期，故f(x)在[0,2 020]上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2 020,2 024]上的零点个数与在(0,4]上的零点个数相同，有2个．故f(x)在[0,2 024]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0,2 024]上有406个根．故选C. 函数零点个数的判定有下列几种方法 1．直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点． 2．零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． 3．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【训练2】　(1)函数f(x)＝ex＋x－3在区间(0,1)上的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 由题知函数f(x)是增函数．根据函数零点存在定理及f(0)＝－2<0，f(1)＝e－2>0，f(0)f(1)<0，可知函数f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点．故选B. (2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在 同一直角坐标系内，分别作出函数y＝f(x)及 y＝log3|x|的图象，如图所示，观察图象可知它 们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选D. 【例3】　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax(a为常数)，当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)和y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2－cos x＋a－1，f(x)和g(x)恰有一个交点，即h(x)恰有一个零点．由于x∈(－1,1)，关于x＝0对称，h(x)显然为一个偶函数，偶函数只有一个零点，只可能在x＝0处取得，因此：h(0)＝0－1＋a－1＝0，所以a＝2. (2)函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 当a＝0时，f(x)＝3，不符合题意，当a>0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递增，此时函数f(x)在上单调递增；当a<0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递减，此时函数f(x)在上单调递减．因为函数f(x)在区间上有零点，所以ff(1)<0，即3(4a＋3)<0，解得a<－.故选D. 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数(范围)． 2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． 3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解． 【训练3】　已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(－∞，0) D． 由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－<g(－1)＝3－1＋1＝，又当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.因此实数a的取值范围是.故选B. 1．(2023·天津高考)已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ 　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ 　 D．f(x)＝ 由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除A；对于B， f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝ －＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数， 所以排除B；对于C，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数，又x2＋2> 0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意， 所以排除C；分析知，选项D符合题意，故选 D. 2．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间的图象大致为(　　) 设函数f(x)＝(3x－3－x)cos x，则对任意x∈，都有f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因此排除B，D选项．又f(1)＝(3－3－1)cos 1＝cos 1>0，所以排除C选项．故选A. 3．(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 对于B选项，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故B不符合题意．对于C选项，当x＝1时，y＝＝cos 1≈cos 60°＝<1，与图象不符，故C不符合题意．对于D选项，当x＝3时，y＝>0，与图象不符，故D不符合题意．综上，用排除法选A. 4．(2021·北京高考)已知函数f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f(x)恰有2个零点； ②存在负数k，使得f(x)恰有1个零点； ③存在负数k，使得f(x)恰有3个零点； ④存在正数k，使得f(x)恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是________． ①②④ 由题意知f(x)的零点个数即为y＝|lg x|和y＝kx＋2的图象的交点个数，在同一个平面直角坐标系内画出y＝|lg x|与y＝kx＋2的图象(如图)．由图可知当k＝0时，两函数图象有2个不同的交点，故①正确；存在负数k，使直线y＝kx＋2与y＝|lg x|的图象相切， 故②正确；当k<0时，直线y＝kx＋2 与y＝|lg x|的图象至多有2个交点，故 ③不正确；由图易知当k>0时，直线y＝kx＋2与y＝|lg x|的图象可以有3个不同的交点，故④正确． 5．(2022·天津高考)设a∈R，对任意实数x，用f(x)表示|x|－2，x2－ax＋3a－5中的较小者．若函数f(x)至少有3个零点，则a的取值范围为_____________． [10，＋∞) 设g(x)＝|x|－2，h(x)＝x2－ax＋3a－5，因为g(x)有2个零点，f(x)至少有3个零点，所以h(x)必有零点．对于h(x)＝x2－ax＋3a－5.(1)当Δ＝0时，a＝2或10.①当a＝2时，h(x)＝x2－2x＋1，如图①.此时，f(x)＝|x|－2，有2个零点，不符合题意．②当a＝10时，h(x)＝x2－10x＋25，如图②.此时，f(x)有3个零点，符合题意． (2)当Δ>0时，a<2或a>10.设h(x)的两个零点为x1，x2，且x1<x2.①当a<2时，要使f(x)至少有3个零点，h(x)的两个零点x1，x2需满足x1<x2≤－2，如图③，所以不等式组无解．②当a>10时，要使f(x)至少有3个零点，需h(x)的两个零点x1， x2满足2≤x1<x2，如图④，所以 解得a>4，所以a>10.综上，a的取值范围为[10，＋∞)． $$