第2章 第5节 对数函数-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第二章 函数与基本初等函数 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第五节 第二章 函数与基本初等函数 对数函数 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 对数函数的图象 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 对数函数的性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考真题/重温 赢在微点 数学 大一轮 第三部分 ——明确方向 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十六） 本部分内容讲解结束 1.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点；2.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)；3.会利用对数函数模型解决实际问题. 1．对数函数概念及其性质 (1)概念：函数______________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是__________． y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞) (2)对数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 增　 减 定义域 ____________ 值域 _______ 性质 过定点________，即当x＝1时，y＝0 在区间(0，＋∞)上是______函数 在区间(0，＋∞)上是______函数 (0，＋∞) R (1,0) 2.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________________________互为反函数，它们的图象关于直线________对称． y＝logax(a>0，且a≠1) y＝x 1．如图，给出4个对数函数的图象． 由图知b>a>1>d>c>0，即在第一象限， 不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 1．(人A必一P140习题4.4 T1改编)在b＝log3a－1(4－a2)中，实数a的取值范围是(　　) A． B．∪ C． D． 要使式子b＝log3a－1(4－a2)有意义，需解得<a<或<a<2.故选B. 2．(人B必二P28练习B T4改编)已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，x∈[－1,3]，则f(x)的值域为(　　) A．[0，＋∞) B．[0,1) C．[lg 2,1] D．[0,1] 因为x∈[－1,3]，所以x2＋1∈[1,10]，所以f(x)＝lg(x2＋1)∈[0,1]，故选D. 3．函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　) 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出当x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A. 4．(多选题)已知函数f(x)＝ln，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为(－1,1) B．f(x)为奇函数 C．f(x)在定义域上是增函数 D．f(x)的值域为(0，＋∞) 对于选项A，由>0，解得－1<x<1，即f(x)的定义域为(－1,1)，所以A正确；对于选项B，f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，即f(x)为奇函数，所以B正确；对于选项C，f(x)＝ln＝ln＝ln，在(－1,1)上，y＝－1＋单调递减，根据复合函数的单调性可知，f(x)在定义域上是减函数，所以C不正确；对于选项D，因为f(x)的定义域为(－1,1)，所以－1＋∈(0，＋∞)，所以ln∈(－∞，＋∞)，所以D不正确．故选AB. 5．函数y＝的定义域是________． 由log (2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.所以<x≤1.所以函数y＝的定义域是. 【例1】　(1)函数y＝|lg(x＋1)|的图象大致是(　　) 由于函数y＝lg(x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1,0)，故函数y＝lg(x＋1)的图象与x轴的交点是(0,0)，所以函数y＝|lg(x＋1)|的图象与x轴的交点是(0,0)．故选A. (2) (多选题)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．0<a<1 C．b<－1 D．－1<b<0 因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0<a<1，B项正确．因为函数f(x)的图象与x轴的交点在正半轴，所以x＝1＋b>0，即b>－1，又因为函数f(x)的图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1<b<0，D项正确．故选BD. 1．在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域，善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)． 2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【训练】　(2024·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 当x＝0时，y＝loga＝－1.当0<a<1时，函数图象经过第二、三、四象限；当a>1时，函数图象经过第一、三、四象限．所以函数y＝loga的图象一定经过第三、四象限．故选D. 考向❶：比较大小 【例2】　(1)(2025·河北模拟)下列不等式成立的是(　　) A．0.60.6>0.60.5 B．log60.6>log50.5 C．0.60.5>log0.60.5 D．log60.5>log60.7 A．y＝0.6x单调递减，所以0.60.6<0.60.5，故A错误；B.y＝log6x单调递增，所以log60.6>log60.5，又log60.5>log50.5，所以log60.6>log50.5，故B正确；C.0.60.5∈(0,1)，log0.60.5>log0.60.6＝1，所以0.60.5<log0.60.5，故C错误：D.y＝log6x单调递增，所以log60.5<log60.7，故D错误．故选B. (2)设a，b，c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 因为a，b，c均为正数，将a，b，c分别 看成是函数图象的交点的横坐标．在同一平面 直角坐标系内分别画出y＝2x，y＝x，y＝log2x， y＝logx的图象如图．由图可知a<b<c.故选A. 比较对数式大小的三种方法 1．单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，则先化为同底． 2．中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”． 3．图象法：根据图象观察得出大小关系． 考向❷：解不等式 【例3】　已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．∪(2，＋∞) C．∪(，＋∞) D．(，＋∞) 因为偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)，即|log2x|>1，解得0<x<或x>2.故选B. 解不等式时需注意以下两个方面 1．注意方程或不等式要有意义，即真数大于0. 2．根据底数与1的大小关系得出对数函数的单调性，进而解不等式． 考向❸：对数复合型函数的性质 【例4】　设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，得f(x)的定义域为{x，关于坐标原点对称，又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C；当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，因为y＝ln(2x＋1)在上单调递增，y＝ln(1－2x)在上单调递减，所以f(x)在上单调递增，故排除B；当x∈ 时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln，因为u＝1＋在上单调递减，f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确． 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 考向 ❶ ❷ ❸ ❸ 1.(2023·九江三模)已知a＝20.2，b＝log0.20.5，c＝log20.2，则(　　) A．b>a>c B．b>c>a C．a>b>c D．a>c>b 因为a＝20.2>20＝1,0＝log0.21<b＝log0.20.5<log0.20.2＝1，c＝log20.2<log21＝0，所以a>b>c.故选C. 2．已知对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，且loga<loga，则关于x的不等式loga(2x－3)>0的解集为___________． (2，＋∞) 因为loga<loga，当0<a<1时，则有>，无解；当a>1时，则有<，解得a>1.综上a>1，则对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上单调递增，又关于x的不等式loga(2x－3)>0，所以2x－3>1，解得x>2.所以关于x的不等式loga(2x－3)>0的解集为(2，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝loga(2－a2x)在区间[3,7]上单调递增，则a的取值范围为_____________． 令u(x)＝2－a2x(a>0)，则u(x)＝2－a2x(a>0)在[3,7]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知y＝logau在[3,7]上单调递减，则解得0<a<，即a的取值范围为. 4．(多选题)(2025·邯郸一模)已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则(　　) A．f(x)的定义域是(－6,4) B．f(x)有最大值 C．不等式f(x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．f(x)在[0,4]上单调递增 由题意可得解得－6<x<4，即f(x)的定义域是(－6,4)，则A正确；f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)<4的解集是(－6，－4)∪(2,4)，则C错误；因为f(x)在(－1,4)上单调递减，所以D错误．故选AB. 1．(2024·北京高考)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N 由题意，得＝2.1，＝3.15，若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2所以N＝N，故选D. 2．(2022·天津高考)设a＝20.7，b＝0.7，c＝log2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a a＝20.7>20＝1，b＝0.7<0＝1且b>0，c＝log2<log21＝0，故a>b>c，故选D. 3．(2021·新高考Ⅱ卷)若a＝log52，b＝log83，c＝，则(　　) A．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 因为a＝log52<log55＝＝c，b＝log83>log88＝＝c，所以a<c<b.故选C. 4．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 2a＋log2a＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，令f(x)＝2x＋log2x，则f(a)<f(2b)，又易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a<2b，故选B. 5．(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　) A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0 C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0 因为2x－2y<3－x－3－y，所以2x－3－x<2y－3－y.设f(x)＝2x－3－x，则f′(x)＝2xln 2－3－x×ln 3×(－1)＝2xln 2＋3－xln 3，易知f′(x)>0，所以f(x)在R上为增函数．由2x－3－x<2y－3－y得x<y，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0，故选A. $$