第2章 第4节 指数函数-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第二章 函数与基本初等函数 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第四节 第二章 函数与基本初等函数 指数函数 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 指数函数的图象 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 指数函数的性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十五） 本部分内容讲解结束 1.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；2.会利用指数函数模型解决实际问题. 1．指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． 2．指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 　y>1 0<y<1 增函数 减函数 定义域 R 值域 ____________________ 性质 当x>0时，__________； 当x<0时，________ 当x<0时，________； 当x>0时，________ 在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________ (0，＋∞)　(0,1)　 y>1 　0<y<1 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1) 的函数值的影响如图(a1>a2>1>a3>a4>0)， 不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内 底数越大，函数图象越高． 3．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象 和性质跟a的取值有关，要特别注意应分 a>1与0<a<1来研究． 1．(多选题)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝x2 B．y＝ C．y＝2x D．y＝3x－1 y＝x2的值域为[0，＋∞)；y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；y＝2x的值域为(0，＋∞)；y＝3x－1的值域为(0，＋∞)．故选CD. 2．函数y＝e－|x|(e是自然对数的底数)的大致图象是(　　) 因为y＝e－|x|＝所以函数图象关于y轴对称，且过点(0,1)，y＝e－|x|>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C符合．故选C. 3．已知关于x的不等式x－4≥3－2x，则该不等式的解集为(　　) A．[－4，＋∞) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－4,1] 不等式x－4≥3－2x，即34－x≥3－2x，由于y＝3x是增函数，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．故选A. 4．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________． 当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，因为0<<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，此时0≤a<1.故a的取值范围是(－3,1)． (－3,1) 5．(1)函数f(x)＝ax－1＋2 024(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________． 由x－1＝0得x＝1，此时f(x)＝a0＋2 024＝1＋2 024＝2 025，所以f(x)＝ax－1＋2 024的图象恒过定点(1,2 025)． (1,2 025)　 (2)当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是 _____________________． 若a>1，则y＝ax是增函数，则由a2<2，可得1<a<；若0<a<1，则y＝ax是减函数，则由a－2<2，可得<a<1.综上所述，实数a的取值范围是∪(1，)． ∪(1，) 【例1】　(1)函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 在同一直角坐标系中，作出函数y＝3－x与函数y＝－3 x的图象，如图所示，由图象可知，函数y＝3－x与函数y＝ －3x的图象关于原点对称，故选C. (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则实数b的取值范围为________． (0,1) 作出函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b， 如图所示．由图象可得实数b的取值范围是(0,1)． (3)(多选题)已知非零实数a，b满足等式a＝b，则下列结论不可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．b<a<0 在同一直角坐标系中作出函数y＝x与y＝x的图象如图所示，设a＝b＝M，当M>1时，结合图象可得，a<b<0； 当M＝1时，结合图象可得，a＝b＝0；当0<M<1 时，结合图象可得，a>b>0.综上，选CD. 1．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． 【训练】　(1)函数f(x)＝|x＋2|的部分图象大致为(　　) 由题意得，f(x)的定义域为R，排除C，D；当x≥－2时，f(x)＝x＋2，因为0<<1，所以f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，排除A.故选B. (2)(多选题)(2025·青岛质检)点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当x1∈[0,1)时，的值可能等于(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．0 表示过点M(x1，y1)与点A(1，－1)的直线 的斜率k.M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0,1)图象上的动点， 如图，B(1，e)，则k∈(－∞，－2]，只有B，C满足． 考向❶：比较大小 【例2】　(1)已知a<b<，则(　　) A．aa>ab>bb B．aa>bb>ab C．bb>aa>ab D．ab>bb>aa 因为函数y＝x在R上单调递减，a<b<，所以a>b>1.因为函数y＝ax(a>1)在R上为增函数，所以aa>ab.又y＝xb(b>1)在(0，＋∞)上单调递增，所以ab>bb，综上，aa>ab>bb.故选A. (2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是(　　) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb①，令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①即为f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D. 比较指数式大小的常用方法 单调 性法 不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底 取中间 值法 不同底、不同指数的指数式比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系 考向❷：解不等式 【例3】　(2024·吉林长春一模)已知函数f(x)＝|3x－3－x|，则不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为(　　) A．∪(1，＋∞) 　　 B． C． 　　 D．(1，＋∞) f(x)＝|3x－3－x|的定义域为R，f(－x)＝|3－x－3x|＝|3x－3－x|＝f(x)，故y＝f(x)为偶函数．当x>0时，y＝3x，y＝－3－x均为增函数，故g(x)＝3x－3－x为(0，＋∞)上的增函数，又g(0)＝0，故当x>0时，g(x)>0，则y＝f(x)＝g(x)为(0，＋∞)上的增函数，故x<0时，y＝f(x)为减函数，f(2x－1)－f(x)>0，即f(2x－1)>f(x)，则|2x－1|>|x|，即(2x－1)2>x2,3x2－4x＋1>0，解得x∈∪(1，＋∞)．故选A. 解不等式问题应确定函数的奇偶性与单调性． 考向❸：指数复合型函数的单调性 【例4】　(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. 对于指数型复合函数的问题，关键是判断其单调性．对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，则函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y＝af(x)的单调递增(减)区间；若0<a<1，则函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y＝af(x)的单调递减(增)区间． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ 1.(2024·天津高考)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 由函数y＝4.2x单调递增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故b>a>c，故选B. 2．已知函数f(x)＝ (a≠0)的图象关于直线x＝2对称，且函数f(x)的最小值为1，则不等式f(x)≥2 024的解集为(　　) A．{x|0<x≤4} B．{x|x≥4或x<0} C．{x|0≤x≤4} D．{x|x≥4或x≤0} 因为函数f(x)＝ (a≠0)的图象关于直线x＝2对称，所以y＝ax2＋bx＋1关于直线x＝2对称，即－＝2，即b＝－4a，所以f(x)＝ ＝2 024a(x－2)2＋1－4a.又因为函数f(x)有最小值为1，所以 a>0且f(2)＝1，即2 0241－4a＝1，所以1－4a＝0，即a＝，所以f(x)＝ 2 024(x－2)2.所以不等式f(x)≥2 024，即2 024(x－2)2≥2 024，即(x－2)2≥1，解得x≥4或x≤0.故选D. 3．(多选题)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于坐标原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的最大值为1 D．f(x)在定义域上单调递减 因为f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；因为f(1)＝＝－，f(－1)＝＝，f(1)≠f(－1)，所以f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B不正确；因为f(x)＝－＝－1＋，又3x>0，所以3x＋1>1，所以0<<2，所以f(x)∈(－1,1)，故C不正确；因为f(x)＝－＝－1＋，且y＝3x为增函数，所以f(x)在定义域(－∞，＋∞)上单调递减，故D正确．故选AD. 基本原理：对于h(x)＝f(x)g(x)≥0，x∈D恒成立问题，可将其拆解为三种情况： (1) (2) (3)f(x)与g(x)在x∈D上每一个横坐标处同正、同负、同为零．特别当f(x)与g(x)单调性相同时更为直观． 【典例】　(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)．若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A． B． C． D．1 由f(x)≥0及y＝x＋a，y＝ln(x＋b)单调递增，可得x＋a与ln(x＋b)同正、同负或同为零，所以当ln(x＋b)＝0时，x＋a＝0，即所以b＝a＋1，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝22＋≥，故选C. 【应用体验】　 1．已知当x∈R时，均有不等式(aex－2)(aex＋x)≥0(a>0)成立，则实数a的值为________． 2e2 设f(x)＝aex－2，g(x)＝aex＋x，则a>0时，f(x)、g(x)均为增函数，令f(x)＝0得x＝ln，则g＝a·＋ln＝0，即ln＋2＝0，所以a＝2e2. 2．已知函数f(x)＝(ex－a)，若f(x)≥0(x∈R)恒成立，则满足条件的实数a的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 ①当a＝0时，f(x)≥0(x∈R)，满足题意，②当a<0时，ex－a>0，当x>－时，ax＋<0，故f(x)≥0(x∈R)不恒成立，③当a>0时，设g(x)＝ex－a，h(x)＝ax＋，则g(x)＝ex－a，h(x)＝ax＋都是递增函数，要使f(x)≥0(x∈ R)恒成立，则(e2－a)，恒同号，所以g(x)＝ex－a，h(x)＝ax＋与x轴交点重合，令g(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a，h(x)＝ax＋＝0，得x＝－，方程ln a＝－的解的个数，即y＝aln a，y＝－交点个数，设φ(a)＝aln a，则φ′(a)＝1＋ln a由导数的应用可得φ(a)＝aln a在为减函数，在为增函数，则φ(a)min＝－<－，即ln a＝－有2个解，所以存在2个a，使得f(x)≥0(x∈R)成立，综合①②③得，满足条件的a的个数是3个，故选A. $$