第2章 第3节 幂函数与指、对数式的运算-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第二章 函数与基本初等函数 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第三节 第二章 函数与基本初等函数 幂函数与指、对数式的运算 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 幂函数的图象与性质 自练自悟 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 指数幂式的运算 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 对数式的运算 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型四 实际应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十四） 本部分内容讲解结束 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律；2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在化简运算中的作用. 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． y＝xα (2)常见的五种幂函数的图象 偶函数 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点________和________，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为________；当α为偶数时，y＝xα为________． (1,1)　 (0,0) (1,1)　 奇函数 a 2．指数式的运算 (1)根式 ①一般地，如果xn＝a，那么______叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. ②式子叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ③()n＝______. 当n为奇数时，＝______， 当n为偶数时，＝|a|＝ x　 根式 a ar＋s ars　 arbr (2)分数指数幂 正数的正分数指数幂：a＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂：a＝________＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 规定：0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂没有意义． (3)指数幂的运算性质 aras＝__________；(ar)s＝__________；(ab)r＝________.(a>0，b>0，r，s∈R) 0 lg N　 ln N 3．对数式的运算 (1)对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作______________，其中______叫做对数的底数，______叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作________．以e为底的对数叫做自然对数，记作________． x＝logaN a　 N　 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM (2)对数的性质与运算性质 ①对数的性质：loga1＝______，logaa＝______，alogaN＝______(a>0，且a≠1，N>0)． ②对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (ⅰ)loga(MN)＝____________； (ⅱ)loga＝____________； (ⅲ)logaMn＝____________(n∈R)． ③对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 0　 1　 N 1．logab·logba＝1. 2．logab·logbc＝logac. 3．loganbn＝logab. 4．logambn＝logab. 1．下列四个图象中，函数y＝x的图象是(　　) 因为y＝x＝，所以x3≥0，解得x≥0，即函数的定义域为[0，＋∞)，故排除A，D，又函数在定义域上单调递增，故B正确．故选B. 2．化简2lg 5＋lg 4－5log52的结果为(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 因为2lg 5＋lg 4＝2lg 5＋2lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2.又5log52＝2，所以2lg 5＋lg 4－5log52＝2－2＝0.故选A. 3．(人A必一P127T5改编)已知a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A． B． C．2a＋b D．2b＋a log1210＝＝＝.故选A. 4．计算：π0＋2－2×＋log23－log26＝________. 原式＝1＋×＋log23－log22－log23＝1＋×－1＝. 5．已知幂函数f(x)的部分对应值如下表： x 1 f(x) 1 则不等式f(|x|)≤2的解集是________． [－4,4] 设幂函数为f(x)＝xα，则α＝，所以α＝，所以f(x)＝x，不等式f(|x|)≤2等价于|x|≤2，所以|x|≤4，所以－4≤x≤4，所以不等式f(|x|)≤2的解集是[－4,4]． 1.若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D. 2．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由题图得2－1<2n<1，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0<m<1.故选D. 3．已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 由题意得b＝3<4＝2＝a，a＝2＝4<4<5＝25＝c，所以b<a<c.故选A. 4．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是___________________． (－∞，－1)∪ 不等式(a＋1) <(3－2a) 等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 1．对于幂函数y＝xα(α∈R)图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由其奇偶性决定． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【例1】　(1)计算：＋0.002－10(－2)－1＋(－)0＝________. － 原式＝(－1) ×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－. (2)(多选题)下列运算(化简)中正确的有(　　) A．－1·(a－2) ＝a B．(xa－1y)a·(4y－a)＝4x C．[(1－)2]－(1＋)－1＋(1＋)0＝3－2 D．2a3b·(－5ab)÷(4)＝－ab 对于A，－1·(a－2) ＝a＋＝a，故正确；对于B，(xa－1y)a·(4y－a)＝4x×a·ya－a＝4xy0＝4x，故正确；对于C，[(1－)2] －(1＋)－1＋(1＋)0＝(－1)2×－＋1＝－1－(－1)＋1＝1，故错误；对于D,2a3b·÷(4)＝[2×(－5)÷4]a3＋b＋＝－ab，故正确．故选ABD. 1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加． (2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【训练1】　(1)计算：2××＝________. 6 原式＝2×3××12＝2×3×3×2×3×2＝21＋×3＋＋＝2×3＝6. (2)(2025·沧州七校联考)若a>0，b>0，则·＝________. 原式＝＝. (3)若x＋x＝3(x>0)，则x2＋x－2－2＝________. 45 由x＋x＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，所以x2＋x－2－2＝45. 【例2】　(1)计算：log535＋2log－log5－log514＝________. 2 原式＝log535－log5－log514＋log()2＝log5＋log2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. (2)(log32＋log92)×(log43＋log83)＝________. 原式＝×＝log32×log23＝×＝. (3)若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝________. 因为14b＝5，所以log145＝b.又log147＝a，所以log3528＝＝＝. 解决对数运算问题的常用方法 1．将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． 2．将同底对数的和、差、倍合并． 3．利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 【训练2】　(1)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2×lg 500＋(lg 2)2＝__________. 4 原式＝2lg 5＋(lg 5＋1)＋lg 2(2＋lg 5)＋(lg 2)2＝1＋3lg 5＋2lg 2＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝1＋3lg 5＋3lg 2＝1＋3(lg 5＋lg 2)＝4. (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________. 64 根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. 【例3】　(2024·东北四市联考)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量大于或者等于20 mg，小于80 mg认定为饮酒驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6 mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(结果取整数，参考数据：lg 3≈0.48，lg 7≈0.85)(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 设至少经过n(n∈N*)个小时才能驾驶，则有60×(1－30%)n<20，即0.7n<，两边同时取对数得lg 0.7n<lg，即nlg 0.7<lg，因为lg 0.7<0，所以n>＝＝≈＝3.2所以n≥4，即至少经过4个小时才能驾驶，故选D. 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 1．理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系； 2．运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求． 【训练3】　生物学家测量了一些动物的体重和脉搏率，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系式：ln f＝ln k－，其中f是脉搏率(心跳次数/min)，体重为W(g)，k为正常数．则体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率的比值为(　　) A． B． C．3 D．27 当W＝300时，ln f1＝，即ln f＝ln k3－ln 300，则f＝，当W＝8 100时，ln f2＝，即ln f＝ln k3－ln 8 100，则f＝.所以3＝＝27，即＝3，所以体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率的比值为3.故选C. $$