第2章 第2节 第4课时 函数性质的综合应用-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第二章 函数与基本初等函数 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第二节 第二章 函数与基本初等函数 函数的基本性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第4课时 第二章 函数与基本初等函数 函数性质的综合应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 函数单调性与奇偶性的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 函数奇偶性与周期性的应用 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考真题/重温 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——明确方向 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 32 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十二） 本部分内容讲解结束 【例1】　若函数f(x)＝a－为奇函数，则关于x的不等式f(x2) ＋f(2x－3)>a的解集为________． (－3,1) 由f(－x)＝－f(x)，得a＝0，即f(x)＝－＝当x≥0时，f(x)＝－1＋在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，故f(x)在R上是减函数．由f(x)为奇函数，则不等式f(x2)＋f(2x－3)>0可化为 f(x2)>f(3－2x)，所以x2<3－2x，解得－3<x<1，故不等式的解集为(－3,1)． 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 (1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． (2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解． 【训练1】　已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a 由题意，知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，因为奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>log2 5.1>2>20.8>0，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(－log25.1)>g(20.8)，则b<a<c.故选C. 【例2】　(1)已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 025)＝(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2 025)＝f(－3＋507×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2.故选A. (2)(多选题)(2025·青岛质检)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)＝f(x－16) B．f(11)＝0 C．f(2 024)＝f(0) D．f(2 023)＝f(1) 因为f(2x＋1)是偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(1＋2x)，即f(1－x)＝f(1＋x)，即函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)．因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，则f(－x－2)＝－f(x)＝－f(2－x)，即f(x－2)＝－f(2＋x)，则f(x)＝－f(x＋4)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是8.则f(x)＝f(x－16)成立，故A正确；令x＝0，由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－1)＝－f(－1)，得f(－1)＝0，f(3)＝0，则f(11)＝f(3)＝0，故B正确；f(2 024)＝f(8×253＋0)＝f(0)成立，故C正确；f(2 023)＝f(8×253－1)＝f(－1)＝f(3)成立，故D错误．故选ABC. 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 【训练2】　设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 因为f(x＋1)是奇函数，所以f(x)关于(1,0)中心对称，所以f(1)＝0，因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x)关于直线x＝2对称，周期为4，所以f(0)＝－f(2)，f(3)＝f(1)，即f(1)－f(2)＝6，f(2)＝－6，代入可得解得因此f＝f＝－f＝－＝.故选D. 【例3】　已知定义在R上的函数f(x)满足条件：①f(x)的周期为2；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0,1)时，>0(x1≠x2)恒成立．则f， f(4)，f的大小关系为(　　) A．f>f(4)>f B．f(4)>f>f C．f>f(4)>f D．f>f>f(4) 因为f(x－2)为奇函数，f(x)的周期为2，所以f(x)为奇函数，因为当x∈[0,1)时，>0，所以f(x)在[0,1)上单调递增，因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，所以f(x)在(－1,1)上单调递增，因为f＝ f＝f，f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，f＝f＝f，f>f(0)>f，即f>f(4)>f.故选C. 利用奇偶性及其周期性将自变量值化为同一单调区间，然后利用单调性比较大小． 【训练3】　已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，则(　　) A．f(6)<f(－7)<f B．f(6)<f<f(－7) C．f(－7)<f<f(6) D．f<f(－7)<f(6) 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，f＝f＝－f＝f，f(－7)＝f(1)，又当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，所以f(0)<f<f(1)，即f(6)<f<f(－7)．故选B. 1．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)·sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(　　) (排除法)由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin＝－1＋－>0，排除D.故选B. 2．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B． －1 C．1 D． 2 由题意可得f(x)的定义域为{x|x≠0}且a≠0.因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0，又因为x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 3．(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)　①，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)　②.①＋②，得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)的周期为6.令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，所以f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2.所以(k)＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝3×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3.故选A. 4．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　) A．f＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)．又因为f(2x＋1)为奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，所以f(1)＝－f(1)，可得f(1)＝0，所以 f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0.故B正确． 若f(x)是定义在R上的连续且可导函数，则有以下结论： 一、导函数的奇偶性与周期性 1．若f(x)关于x＝a对称，则f′(x)关于点(a,0)对称． 特殊情况：偶函数的导函数为奇函数． [证明]　若f(x)关于x＝a对称，则f(x)＝f(2a－x)，f′(x)＝－f′(2a－x)，即f′(x)＋f′(2a－x)＝0，所以f′(x)关于(a,0)对称，若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)，即f′(x)＋f′(－x)＝0，所以f′(x)是奇函数． 2．若f(x)关于点(a，b)对称，则f′(x)关于直线x＝a对称． 特殊情况：奇函数的导函数为偶函数(证明略)． 3．若f(x)是周期为T的函数，则f′(x)也是周期为T的函数． [证明]　若f(x)是关于T的周期函数，则f(x)＝f(x＋T)，所以f′(x)＝f′(x＋T)，所以f′(x)是周期为T的函数． 二、原函数的奇偶性与周期性 1．若f′(x)关于直线x＝a对称，则f(x)关于点(a，f(a))对称． 特殊情况：f′(x)为偶函数，且f(x)过原点，则f(x)为奇函数． [证明]　若f′(x)关于直线x＝a对称，则f′(x)＝f′(2a－x)，则f(x)＋f(2a－x)＝c(c为常数)，令x＝a，则c＝2f(a)，即f(x)＋f(2a－x)＝2f(a)，所以f(x)关于点(a，f(a))对称．若f′(x)是偶函数，则f′(x)＝f′(－x)，得f(x)＋f(－x)＝c(c为常数)，令x＝0，得c＝2f(0)＝0，所以f(x)＋f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数． 2．若f′(x)关于点(a，b)对称： 若b＝0，则f(x)关于直线x＝a对称； 若b≠0，则f(x)不关于直线x＝a对称． 特殊情况：奇函数的原函数为偶函数(证明略)． 3．若f′(x)是周期函数，f(x)不一定是周期函数(证明略)． 【典例】　(多选题)(2022·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) 设函数h(x)＝f，则h(x)为偶函数，从而h(－x)＝h(x)，于是f＝f，即f＝f，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，因此f(－1)＝f(4)，故C正确．由函数f(x)的图象关于直线x＝对称，得g(x)的图象关于点对称，则g＝0，由g(2＋x)是偶函数，得g(x)的图象关于x＝2对称，所以g(x)的周期T＝4×＝2，所以g＝g＝0，故B 正确．由g(x)的周期T＝2，且关于点对称，所以g(－1)＝g(1)，g(1)＝－g(2)，所以g(－1)＝－g(2)，故D错误．取特殊函数f(x)＝1(x∈R)满足已知条件，所以A不正确．故选BC. 【应用体验】　 1．(多选题)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则(　　) A．f(2 027)＝2 B．f′(x)的周期是4 C．f′(x)是偶函数 D．f′(1)＝1 因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，则函数f′(x)是偶函数，C正确．又f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f′(x＋4)＝f′(x)，所以函数f′(x)是以4为周期的周期函数，B正确．f(2 027)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，A错误．由f(x＋2)＝f(－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f′(1)＝0，D错误．故选BC. 2．(多选题)已知奇函数f(x)在R上单调递增，f′(x)＝g(x)，g′(x)＝f(x)，若f(2x)＝2f(x)g(x)，则(　　) A．g(x)的图象关于直线x＝0对称 B．g(2x)＝g2(x)＋f2(x) C．g(0)＝0或g(0)＝1 D．g2(x)－f2(x)＝1 对于A，由f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，f(x)＋f(－x)＝0，则f′(x)－f′(－x)＝0，所以g(x)－g(－x)＝0，即g(x)为偶函数，因此关于直线x＝0对称，故A正确；对于B，由f(2x)＝2f(x)g(x)，则两边同时求导得2f′(2x)＝2f′(x)g(x)＋2f(x)g′(x)，即g(2x)＝g2(x)＋f2(x)，故B正确；由g(x)f(x)－f(x)g(x)＝0，则2g(x)g′(x)－2f(x)f′(x)＝0，即[g2(x)]′－[f2(x)]′＝0，即[g2(x)－f2(x)]′＝0，则g2(x)－f2(x)＝C(C为常数)，设h(x)＝g2(x)－f2(x)＝C(C为常数)，对于C，由g(2x)＝g2(x)＋f2(x)，则g(0)＝g2(0)＋f2(0)，即g(0)[g(0)－1]＝0，解得g(0)＝0或g(0)＝1，当g(0)＝0，则h(0)＝g2(0)－f2(0)＝0， 则h(x)＝g2(x)－f2(x)＝0，即f(x)＝±g(x)，又g(x)为偶函数，则f(x)即是奇函数也是偶函数，与f(x)在R上单调递增矛盾，因此g(0)＝0不符合题意，则g(0)＝1，故C错误；对于D，当g(0)＝1时，则h(0)＝g2(0)－f2(0)＝1，则h(x)＝g2(x)－f2(x)＝1，即g2(x)－f2(x)＝1，故D正确．故选ABD. $$