第2章 第2节 第3课时 函数的对称性-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第二章 函数与基本初等函数 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第二节 第二章 函数与基本初等函数 函数的基本性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第3课时 第二章 函数与基本初等函数 函数的对称性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 轴对称问题 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 中心对称问题 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 双对称问题 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型四 两个函数的对称关系 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十一） 本部分内容讲解结束 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论；2.会利用对称公式解决问题. (a,0)　 (a,0) 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数图象关于________对称，偶函数图象关于________对称． (2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为________；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为________． (3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点________对称． 原点 y轴 x＝a 2．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于________对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于________对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于________对称． y轴 x轴 原点 1．函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)⇔f(2a－x)＝f(x)． 2．函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(a－x)＝－f(a＋x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)． 3．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)． 4．函数y＝f(x)的图象关于点对称⇔f(a＋x)＝－f(b－x)． 1．函数f(x)＝的图象的对称中心为(　　) A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1) 因为f(x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0,0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于点(0,1)对称．故选B. 2．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则(　　) A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3) C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3) 因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3)．故选A. 3．若f(x＋2)在R上是偶函数，且f(－1)＝3，则f(5)＝________. 由已知得f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(5)＝f(－1)＝3. 3 4．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点________． y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2)． (－1,2) 5．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2，则f(2 027)＝________. 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，则f(2 027)＝f(4×507－1)＝f(－1)＝f(1)＝1. 1 【例1】　(1)若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象的对称轴方程为________． x＝1 因为f(x＋1)为偶函数，所以函数f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称．又函数f(x)的图象是由函数f(x＋1)的图象向右平移一个单位长度而得到，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称． (2)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． 假设存在a，b, 使得曲线y＝f关于直线x＝b对称．令g(x)＝f＝(x＋a)ln＝(x＋a)ln，因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)，即(x＋a)ln＝(2b－x＋a)ln＝(x－2b－a) ln，于是得当a＝，b＝－时，g(x)＝ln，g(－1－x)＝ln＝ln＝ln＝ln＝g(x)，所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意．故存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－. 判断函数对称轴的方法 1．利用偶函数的性质，结合图象的平移寻找对称轴． 2．利用轴对称的一般性结论：函数y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(2a－x)＝f(x)． 【训练1】　(1)函数f(x)的周期为6，且f(x＋2)为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则f(2 025)＝________. 1 因为f(x)的周期为6，则f(2 025)＝f(3)，又f(x＋2)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)＝1，所以f(2 025)＝1. (2)(2025·昆明一模)已知函数f(x)＝ex＋e2－x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为增函数 B．f(x)有两个零点 C．f(x)的最大值为2e D．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 函数f(x)＝ex＋e2－x＝ex＋，令t＝ex(t>0)，g(t)＝t＋(t>0)，类比对勾函数y＝x＋(k>0)的图象，作出g(t)的大致图象， 如图所示，则g(t)在(0，＋∞)上先减后增，又y＝ ex单调递增，所以函数f(x)先减后增，A选项错误． 函数f(x)＝ex＋e2－x>0，所以f(x)没有零点，B选项 错误．x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以函数f(x)没有最大值，C选项错误．由于f(2－x)＝e2－x＋e2－(2－x)＝e2－x＋ex＝f(x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，故选D. 【例2】　(1)若y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)图象的对称中心为________． (－2,0) y＝f(x)的图象是由y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位得到的，而y＝f(x－2)的图象的对称中心为(0,0)，所以y＝f(x)的图象的对称中心为(－2,0)． (2)(2024·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解法一：由f(2－x)＋f(x)＝－2知f(x)关于(1，－1)对称，将y＝f(x)向左平移1个单位，向上平移1个单位得到y＝f(x＋1)＋1关于原点对称，所以y＝f(x＋1)＋1是奇函数，故选D. 解法二：函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，可得f(1－x)＋f(1＋x)＝－2，即f(1－x)＋1＋f(1＋x)＋1＝0，即f(－x＋1)＋1＝－[f(x＋1)＋1]，所以函数y＝f(x＋1)＋1为奇函数．故选D. 记住中心对称的一般性结论 y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(2a－x)＋f(x)＝2b，但注意结合图象平移会使题更易解决． 【训练2】　(多选题)下列说法中，正确的是(　　) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称 B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1,0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 对于A，f(x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，又y＝－的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称，A正确；对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向 上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)，C正确；对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称，所以解得所以b＋c＝4，D不正确．故选ABC. 【例3】　(1)设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝1＋x，则f(8.6)＝________. 0.4 由已知得f(x)的图象关于x＝0和x＝1对称，故f(x)的周期为2，所以f(8.6)＝f(0.6)＝f(－0.6)＝0.4. (2)已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，当x∈(2,4)时，f(x)＝－log(x－1)＋m，若＝f(－1)，则实数m的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 由已知f(x)关于(0,0)与(2,0)对称，所以f(x)是周期为2|2－0|＝4的函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝－log(x－1)＋m，则f(3)＝m＋1，则f(2 025)＝f(1)＝－f(－1)＝－f(3)＝－m－1，所以＝m＋1，解得m＝－.故选C. 1．若f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b对称，则T＝2|a－b|(a≠b)． 2．若f(x)的图象关于点(a,0)，(b,0)对称，则T＝2|a－b|(a≠b)． 3．若f(x)的图象关于直线x＝a，点(b,0)对称，则T＝4|a－b|(a≠b)． 【训练3】　(2025·洛阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f为偶函数且f(1)＝2，则f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)的图象关于(0,0)对称，又f为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)是以4＝6为周期的周期函数．对于f＝f，令x＝－，得f(2)＝f(1)＝2，f(2 022)＝f(6×337)＝f(0)＝0，f(2 023)＝f(6×337＋1)＝f(1)＝2，f(2 024)＝f(6×337＋2)＝f(2)＝2，所以f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝4.故选D. 【例4】　(1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于(　　) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称 解法一：设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)的图象关于直线t＝0对称．即y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选D. 解法二：y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图象向右平移一个单位长度而得到，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选D. (2)与曲线f(x)＝ex关于直线x＝1对称的曲线对应的函数是________． y＝e2－x　 与曲线f(x)＝ex关于直线x＝1对称的曲线对应的函数是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x. 1．函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 2．函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点对称． 【训练4】　已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为____________________. g(x)＝－ln(x－1)　 解法一：设P(x，y)为函数y＝g(x)图象上任意一点，则点P(x，y)关于点(1,0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)的图象上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)．所以y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)． 解法二：f(x)＝ln(1－x)向左平移一个单位长度得y＝ln(－x)，其关于原点对称的函数为y＝－ln x，再向右平移一个单位长度得y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)． 解法三：y＝f(x)关于点(1,0)对称的函数g(x)＝－f(2－x)＝－ln(x－1)． $$