第2章 第2节 第2课时 函数的奇偶性与周期性-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第二章 函数与基本初等函数 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第二节 第二章 函数与基本初等函数 函数的基本性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第2课时 第二章 函数与基本初等函数 函数的奇偶性与周期性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 函数奇偶性的判断 自练自悟 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 函数奇偶性的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 函数的周期性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（十） 本部分内容讲解结束 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义；2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 原点 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于______对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于______对称 f(－x)＝f(x)　 y轴 f(－x)＝－f(x)　 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期． f(x＋T)＝f(x)　 最小 最小正数 1．奇(偶)函数定义的等价形式 (1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数； (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数． 2．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 3．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 1．(多选题)下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝ln|x| D．y＝2－x 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，所以A为奇函数；B，C为偶函数；D既不是奇函数，也不是偶函数．故选BC. 2．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)＝(　　) A．－7 B．－5 C．5 D．7 因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝5.故选C. 3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 024.5)＝(　　) A． B． C．2 D．1 由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，所以f(2 024.5)＝f＝f＝＋1＝.故选B. 4．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，则函 数f(x)的解析式为____________． 因为f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f(0)＝b＝0，所以f(x)＝，又f＝，所以＝，得a＝1，所以函数f(x)＝，经检验，符合题意．故f(x)＝. f(x)＝ 5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示．则不等式xf(x)>0的解集为______________． (－2,0)∪(0,2) 根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示．xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)． 1.(多选题)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln|1＋x| 对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数；对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数．故选AC. 2．(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 对于A，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选B. 3．已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＋g(x)为R上的奇函数 B．f(x)－g(x)为R上的偶函数 C．为R上的偶函数 D．|f(x)g(x)|为R上的偶函数 因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故错误；对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)，则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故错误；对于C，x∈R，g(x)≠0，设M(x)＝，M(－x)＝＝－＝－M(x)≠M(x)，故错误；对于D，x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|，H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)为偶函数，故正确．故选D. 4．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 奇 由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2]．故f(x)＋2为奇函数． 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 1．定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． 2．判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 考向❶：利用奇偶性求解析式 【例1】　已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1， 则f(x)的解析式为___________________． f(x)＝ 因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝0.当x<0时，－x>0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.所以f(x)＝ 考向❷：求参数值 【例2】　(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln ，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为x，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝(－x)ln－1＝xln＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 考向❸：解不等式 【例3】　(2025·广州质检)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为(　　) A．(1,3) B．(3，＋∞) C．(－3，－1)∪(3，＋∞) D．(0,1)∪(3，＋∞) 偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则在(0，＋∞)上单调递增．因为f(1)＝0，则当x>0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)，所以x－2>1或x－2<－1，解得x>3或x<1，所以x∈(0,1)∪(3，＋∞)．当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)，所以－1<x－2<1，解得1<x<3，所以解集为空集．综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0,1)∪(3，＋∞)，故选D. 利用函数的奇偶性可以解决以下问题 1．求函数值：将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值． 2．求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出． 3．求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ 1.(2025·东北联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋，若f(3)＝－8，则a＝(　　) A．－3 B．3 C． D．－ 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(3)＝－f(－3)，又f(3)＝－8，所以f(－3)＝8，又当x<0时，f(x)＝x2＋，所以f(－3)＝(－3)2＋＝8，解得a＝3，故选B. 2．若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．±1 解法一：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－a2x－1，－f(x)＝－x－a，则－a2x－1＝－x－a，可得a＝1，故选C. 解法二： 因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即－a2－1＝－(1＋a)，解得a＝0或a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C. 3．若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0且f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则f(3－x)>0的解集为____________. (5，＋∞) 因为f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)的图象的对称中心为(0,0)．又因为f(x)的图象可由f(x－2)的图象向左平移2个单位长度得到，所以f(x)的图象关于点(－2,0)中心对称，因为f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上也单调递减，所以f(3－x)>0＝f(－2)，即3－x<－2，解得x>5，所以解集为(5，＋∞)． 【例4】　(1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f的值等于(　　) A． B． C． D．－ 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又因为f(2－x)＝－f(x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝f＝f＝－f＝－f＝－.故选D. (2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝________. 340 因为f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝337×1＋1＋2＝340. 1．求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． 2．利用函数的周期性，可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 【训练】　设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1,2]上的解析式是_________________． f(x)＝log2(3－x)　 令x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，令x∈[1,2]，则x－2∈[－1,0]，故f(x)＝f(x－2)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)． $$