第2章 第2节 第1课时 函数的单调性与最值-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第二章 函数与基本初等函数 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第二节 第二章 函数与基本初等函数 函数的基本性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第1课时 第二章 函数与基本初等函数 函数的单调性与最值 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 确定函数的单调性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 证明 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 函数单调性的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 函数的最值 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（九） 本部分内容讲解结束 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义. 1．函数的单调性 (1)增函数、减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数 都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数 图象 描述 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． [微点清]　①求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域；②一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；③函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数． f(x0)＝M 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D，都有_________； ∃x0∈D，使得_________ ∀x∈D，都有_________； ∃x0∈D，使得_________ 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 f(x)≤M　 　f(x0)＝M f(x)≥M 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 1．(人A必一P77“思考”改编)下列函数是增函数的为(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 对于A，f(x)＝|x|在R上不具有单调性，不合题意，舍去．对于B，f(x)＝x为R上的减函数，不合题意，舍去．对于C，f(x)＝x2在R上不具有单调性，不合题意，舍去．对于D，f(x)＝为R上的增函数，符合题意，故选D. 2．函数y＝x＋的单调递减区间为(　　) A．(0,1] B．[－1,1] C．[－1,0)∪(0,1] D．[－1,0)，(0,1] 函数y＝x＋为对勾函数，由对勾函数的性质知，函数y＝x＋的单调递减区间为[－1,0)，(0,1]．故选D. 3．对于任意的实数x，已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 因为f(x)＝函数图象如图所示， 由函数图象可知，当x＝1时，函数取得最大值 f(x)max＝f(1)＝1.故选C. 4．已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则f(x)的最小值为________，最大值为________． 　 2　 由于f(x)＝在[2,6]上单调递减，故f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(6)＝. 5．函数y＝log(x2＋2x－3)的单调递增区间是_____________． 由x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1，即函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令t＝x2＋2x－3，则y＝logt，因为y＝logt为减函数，t＝x2＋2x－3在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数y＝log(x2＋2x－3)的单调递增区间为(－∞，－3)． (－∞，－3) 【例1】　(1)(多选题)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－ B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg(x＋1) 因为y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；因为y′＝2－2sin x≥0，所以y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确；函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．故选ACD. (2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 解法一(定义法)：设－1<x1<x2<1，因为f(x)＝a＝a，所以f(x1)－f(x2)＝a－a＝，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 解法二(导数法)：f′(x)＝＝＝－.故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时， f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法．(2)导数法．(3)图象法．(4)性质法． 根据复合函数的单调性：同增异减． 【训练1】　(1)函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A． B． C．[1，＋∞) D．∪[1，＋∞) g(x)＝x|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示，根据图象知，函数的单调递减区间为.故选B. (2)已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：f(x)是R上的增函数． 设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1，所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． 考向❶：比较大小或解不等式 【例2】　(1)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝f(1－x)，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 因为f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<<e，所以f(2)>f>f(e)，所以b>a>c.故选D. (2)(2024·陕西一模)已知函数f(x)在定义域R上单调递减，且f(x)＋f(－x)＝0.若f(1)＝－1，则满足|f(x－2)|≤1的x的取值范围是(　　) A．[1,3] B．[－2,1] C．[0,4] D．[－1,2] 因为f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，又f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1.由|f(x－2)|≤1，得－1≤f(x－2)≤1，所以f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以－1≤x－2≤1，得1≤x≤3.故选A. (1)利用单调性可以比较函数值的大小，但需将各自变量的值化到同一单调区间上． (2)根据题目条件，确定函数的单调性，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域． 考向❷：求参数取值范围 【例3】　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1,0] C．[－1,1] D．[0，＋∞) 因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1,0]．故选B. 利用单调性求参数的取值(范围)，可以根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))，也可以先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意分界点的取值． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❷ 1.已知函数f(x)＝ex＋e－x，则(　　) A．f(－)<f(e)<f() B．f(e)<f(－)<f() C．f()<f(e)<f(－) D．f(－)<f()<f(e) 因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．又当x>0时，f′(x)＝ex－>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为<<e，所以f()<f()<f(e)，又f(－)＝f()，所以f(－)<f()<f(e)．故选D. 2．函数f(x)＝ln(－x2＋4x)在(a，a＋1)上单调递增，则a的取值范围为(　　) A．(0,1) B．[0,2] C．(0,2) D．[0,1] 由－x2＋4x>0，得0<x<4，即函数f(x)的定义域为(0,4)，令g(x)＝－x2＋4x，x∈(0,4)，易知g(x)在(0,2]上单调递增，在(2,4)上单调递减，又y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以当函数f(x)在(a，a＋1)上单调递增时，根据复合函数的单调性可知解得0≤a≤1，故选D. 3．(2025·福建福州质检)若函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1,2)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，4] C．[2，＋∞) D．[4，＋∞) 函数y＝3x在(－∞，＋∞)上单调递增，而函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1,2)上单调递减，所以y＝|2x－a|在区间(1,2)上单调递减，所以≥2，解得a∈[4，＋∞)．故选D. 【例4】　(1)函数f(x)＝x－＋1在[1,4]上的值域为(　　) A． B．[0,1] C． D． 由y＝x在[1,4]上单调递增，且y＝在[1,4]上单调递减，可得f(x)＝x－＋1在[1,4]上单调递增，又f(1)＝0，f(4)＝，故值域为.故选C. (2)函数y＝x－的最大值是________． 因为定义域为，而y＝x－在上为增函数．所以当x＝时，ymax＝. 利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法． 【训练2】　函数f(x)＝在区间[1,2]上的最小值为________． － f(x)＝－2x－1.由于y＝，y＝－2x－1在[1,2]上均单调递减，故f(x)在[1,2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝－2＝－. $$