第2章 第1节 函数的概念及其表示-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第二章 函数与基本初等函数 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第一节 第二章 函数与基本初等函数 函数的概念及其表示 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 函数的定义域 自练自悟 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 函数的解析式 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 分段函数 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八） 本部分内容讲解结束 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如解析法、列表法、图象法)表示函数，理解函数图象的作用；3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 定义域　 对应关系 值域 定义域　 对应关系 1．函数的概念 一般地，设A，B是______________，如果对于集合A中的________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：________、__________、________. (2)如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 非空的实数集　 任意 　唯一确定 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有__________、图象法和__________． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 解析法　 列表法 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 1．(人A必一P65例2改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．(－∞，－1]∪(1,3] B．(1,3] C．[－1,1)∪(1,2) D．[－1,1)∪(1,3] 要使函数解析式有意义，需满足 即得－1≤x<1或1<x<2.所以函数f(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2)．故选C. 2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) A中函数定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0,2]．故选B. 3．(人A必一P66例3改编)下列各组函数中，表示同一个函数的一组是(　　) A．f(x)＝1，g(x)＝x0 B．f(x)＝，g(x)＝x C．f(x)＝·，g(x)＝ D．f(x)＝与g(x)＝ 对于A，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不同，故二者不是同一个函数；对于B，f(x)＝与g(x)＝x的对应关系不同，故二者不是同一个函数；对于C，f(x)的定义域是[1，＋∞)，g(x)的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，两个函数的定义域不同，故二者不是同一个函数；对于D，g(x)＝＝|x|＝与f(x)＝的定义域以及对应关系都相同，故二者是同一个函数．故选D. 4．设函数f(x)＝则使得f(x)≥2的自变量x的取值范围为_____________________． 因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥2应分段求解．当x≤0时，f(x)≥2即为x2＋1≥2，解得x≤－1或x≥1，所以x≤－1.当x>0时，f(x)≥2即为－x＋3≥2，即x≤1，所以0<x≤1.综上所述，x∈(－∞，－1]∪(0,1]． (－∞，－1]∪(0,1]　 5．已知函数f(x)＝则f(x)的值域为_______________． 当x≤1时，f(x)＝x2＋2，所以f(x)∈[2，＋∞)；当x>1时，f(x)＝，所以f(x)∈(0,1)．综上，f(x)的值域为(0,1)∪[2，＋∞)． (0,1)∪[2，＋∞) 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(1,2] B．(1,3] C．(0,1)∪(1,3] D．(0,1)∪(1,2] f(x)＝的定义域需满足解得0<x≤3且x≠1，故其定义域为(0,1)∪(1,3]．故选C. 2．函数f(x)＝＋的定义域为__________. [1,4)　 由题意知函数f(x)＝＋要有意义，需满足解得1≤x<4，故f(x)＝＋的定义域为[1,4)． 3．已知函数f(x)＝lg，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　　) A．{x|x>2或x<0} B．{x|x>2} C．{x|≤x<2} D．{x|≥2} 要使f(x)＝lg有意义，则>0，即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，则解得≤x<2，所以函数g(x)的定义域为{x|≤x<2}.故选C. 4．已知函数f(x＋1)的定义域为[1,2]，则f(2x)的定义域为________． 因为函数f(x＋1)的定义域为[1,2]，所以2≤x＋1≤3，即函数f(x)的定义域为[2,3]．由2≤2x≤3，解得1≤x≤，因此f(2x)的定义域为. 求函数定义域的类型及解题策略 求具体函数 的定义域 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可 求抽象函数 的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域 【例1】　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，则sin x＝1－t，因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]． (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (2)(配凑法)因为f＝x2＋＝2－2，所以f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，所以解得所以f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． (4)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x　①，所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x　②，由①②解得f(x)＝3x. 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 【训练】　(1)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为 ____________________． f(x)＝lg (x＞1)　 令＋1＝t(t＞1)，则x＝，所以f(t)＝lg(t＞1)，所以f(x)＝lg(x＞1)． (2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝______________. x2＋2x＋1 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，所以2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋c，又f(x)＝0有两个相等实根，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1. (3)已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝______________. －－(x≠0) 因为f(x)－2f＝2x　①，以代替①中的x，得f－2f(x)＝　②，①＋②×2得－3f(x)＝2x＋，所以f(x)＝－－(x≠0)． 考向❶：分段函数求值 【例2】　设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log26)＝(　　) A．2 B．6 C．8 D．10 根据题意得f(－2)＝log28＝3，f(log26)＝2log26－1＝3，所以f(－2)＋f(log26)＝6.故选B. 根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． 考向❷：分段函数与方程 【例3】　已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 若a≤1，则2a－1－2＝－3，即2a－1＝－1，无解；若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，即a＋1＝23，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.故选A. 求分段函数中参数值与自变量值的策略 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． 考向❸：分段函数与不等式 【例4】　设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是______________． 由题意得，当x>时，2x＋2x－>1恒成立，即x>满足题意；当0<x≤时，2x＋＋1>1恒成立，即0<x≤满足题意；当x≤0时，由x＋1＋＋1＝2x＋>1，得x>－，即－<x≤0.综上，x的取值范围是. 与分段函数有关的不等式问题的解题策略 涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式．当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❸ ❶❷❸ 1.已知函数f(x)＝则f(log212)＝(　　) A． B． C．1 D．2 由log212＝2＋log23，且log23∈(1,2)，得f(2＋log23)＝f(1＋log23)＝f(log23)＝log23＝2－log23＝.故选B. 2．(2024·大庆二模)已知函数f(x)＝若f(2a－1)－1≤0，则实数a的取值范围是(　　) A． B．∪ C． D． 因为f(2a－1)－1≤0⇒f(2a－1)≤1.①当2a－1≥1时，f(2a－1)＝ln(2a－1)≤1⇒1≤a≤.②当0≤2a－1<1时，f(2a－1)＝0≤1⇒≤a<1.③当2a－1<0时，f(2a－1)＝2a－1≤1⇒a<.综上所述，a≤.故选D. 3．(多选题)(2025·佛山模拟)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是－ D．f(x)<1的解集为(－1,1) 函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确；当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1,1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC. $$