第1章 第5节 第2课时 一元二次不等式的解法-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第五节 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 二次函数与一元二次方程、不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第2课时 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 一元二次不等式的解法 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 一元二次不等式的解法 自练自悟 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 三个“二次”的关系 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 一元二次不等式恒成立问题 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（六） 本部分内容讲解结束 1.会判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.会求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；3.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1， 或x＞x2} x R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ {x|b<x<a} 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式解集 a<b a＝b a>b (x－a)(x－b)>0 {x|x<a，或x>b} __________ _______________ (x－a)(x－b)<0 {x|a<x<b} __________ __________ {x|x≠a} {x|x<b，或x>a}　 　∅　 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形． 2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 1．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为(　　) A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2} C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2} 因为(x－1)(2－x)≥0，所以(x－2)(x－1)≤0，所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.故选A. 2．(人B必一P85复习题B组T8改编)设x∈R，则“>0”是“|x－1|<4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由>0，得(x－5)(2－x)>0，得(x－5)(x－2)<0，解得2<x<5；由|x－1|<4，得－4<x－1<4，得－3<x<5.因为(2,5)(－3,5)，所以“>0”是“|x－1|<4”的充分不必要条件，故选A. 3．若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为 x，则a＋b＝________. 依题意知解得故a＋b＝－14. －14 4．一元二次不等式ax2＋ax－1＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． 依题意知即解得－4＜a＜0. (－4,0) 5．(人A必一P55练习T2改编)如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形土地上进行绿化，计划四周种植花卉，花卉带的宽度相同，均为x米，中间种植草坪．为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围为________． (0,1) 由题意，花卉带的宽度为x(0<x<3)米，则中间草坪的长为(8－2x)米，宽为(6－2x)米，所以(8－2x)×(6－2x)>×8×6，整理得x2－7x＋6>0，即(x－6)(x－1)>0，又0<x<3，故0<x<1，故x的取值 范围为(0,1)． 1.不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　　) A． B．(－∞，－1)∪ C． D．∪(1，＋∞) －2x2＋x＋3<0可化为(2x－3)(x＋1)>0，解得x<－1或x>.故选B. 2．不等式<1的解集为___________． {x|－7<x<2} <1，即－1<0，即<0，解得－7<x<2，因此不等式的解集为{x|－7<x<2}． 3．不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集为__________________________． {x|－3≤x<－2，或0<x≤1} 原不等式等价于即由①，得x<－2或x>0；由②，得－3≤x≤1.画出数轴，如图， 可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2，或0<x≤1}． 4．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以(x－1)<0.当a>1时，0<<1，解得<x<1；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，>1，解得1<x<.综上，当0<a<1时，原不等式的解集为{x|1<x<}；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为{x|<x<1}. 解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标准形式(a>0)；②确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ<0，则对应的一元二次方程无根；③结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边能因式分解，则可直接写出不等式的解集. 【例1】　(1)不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a>0的解集为(　　) A． x B． x C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2，或x>1} 不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，所以－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个实数根，且a<0，则解得故不等式2x2＋bx＋a>0，即2x2＋x－1>0，解得x<－1或x>，所以不等式2x2＋bx＋a>0的解集为{x |x<－1或x>}.故选A. (2)若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________． 解法一：由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a＞0，解得a＝. 解法二：由x2－2ax－8a2<0(a>0)得，(x－4a)(x＋2a)<0，即－2a<x<4a.又因为此不等式解集为{x|x1<x<x2}，所以x1＝－2a，x2＝4a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，a＝. 1．一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． 2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 【训练1】　(1)若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为(－1,2)，则不等式>0的解集为(　　) A．(－4,2)∪(3，＋∞) B．(－3,2)∪(4，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2,4) D．(－∞，－4)∪(2,3) 关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为(－1,2)，则方程x2＋px＋q＝0的两根为－1和2，则即则>0可化为>0，整理得>0，可得－3<x<2或x>4，故选B. (2)(多选题)(2025·长治质检)已知函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　) A．a2－b2≤4 B．a2＋≥4 C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0 D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 根据题意，函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b(b>0)．对于A，a2－b2－4＝4b－b2－4＝－(b2－4b＋4)＝－(b－2)2≤0，即有a2－b2≤4，故A正确；对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝，即b＝时等号成立，故B正确；对于C，由x1，x2为方程x2＋ax－b＝0的两根，可得x1x2＝－b<0，故C错误；对于D，由x1，x2为方程x2＋ax＋b－c＝0的两根，可得x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c，则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝a2－4b＋4c＝4c＝16，解得c＝4，故D正确．故选ABD. 【例2】　(1)已知mx2＋2mx＋1>0恒成立，求m的取值范围． (1)①当m＝0时，1>0显然恒成立；②当m≠0时，由题意知⇒⇒0<m<1.由①②知，m的取值范围为[0,1)． (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． (2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，因为该不等式对任意实数x恒成立，所以Δ≤0，即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，所以实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}． (3)若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围． (3)设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则即解得<x<，故x的取值范围为. 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)； (2)转化为函数值域问题，即f(x)≥0(x∈[a，b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a，b])，f(x)≤0(x∈[a，b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a，b])． 【训练2】　(1)已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,2) B．[1，＋∞) C．(－∞，－1) D．[－1,2) 当a＝－1时，3>0恒成立，符合题意；当a≠－1时，需满足解得－1<a<2.综上所述，－1≤a<2.故选D. (2)当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C． D． 解法一：当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，所以当1≤x≤2时，a≥恒成立，则a≥max，由于＝x＋，而y＝x＋在[1,2]上单调递增，故当x＝2时，x＋取得最大值，故a≥.故选D. 解法二：令f(x)＝x2－ax＋1，x∈[1,2]，因为当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，所以f(x)max≤0，所以即解得a≥.故选D. $$