第1章 第5节 第1课时 二次函数-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第五节 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 二次函数与一元二次方程、不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第1课时 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 二次函数 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 二次函数的解析式 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 二次函数的图象 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 二次函数的性质 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（五） 本部分内容讲解结束 1.掌握二次函数的图象与性质；2.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题. 1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝________________. (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． ax2＋bx＋c(a≠0)　 (m，n) 2．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0) y＝ax2＋bx ＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 ______ 值域 R 增 增 减　 对称轴 x＝________ 顶点坐标 __________________ 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是____函数；在上是____函数 在上是____函数；在上是____函数 － 减　 1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况 (1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝f. (2)若－∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}． 2．当二次函数的图象开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数的图象开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小． 1．已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为(　　) A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3 C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3 设所求函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝－1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.故选D. 2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是(　　) 因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x＝－<0.只有选项C符合，故选C. 3．函数f(x)＝x2－2x＋4，x∈[0,3]，则函数f(x)的最大值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 f(x)的对称轴为直线x＝1，所以f(x)max＝f(3)＝7.故选D. 4．已知二次函数y＝f(x)满足f(0)＝f(2)，若x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝________. 因为f(0)＝f(2)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．所以x1＋x2＝2×1＝2. 2 5．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上单调，则实数k的取值范围为____________________________． 依题意知，≥20或≤5，解得k≥160或k≤40. (－∞，40]∪[160，＋∞)　 【例1】　已知二次函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且f(0)＝0，顶点的纵坐标为1，求f(x)的解析式． 解法一(一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意，f(0)＝0，f(x)图象的对称轴为直线x＝1，f(1)＝1，故有⇒所以f(x)＝－x2＋2x. 解法二(零点式)：由已知易得f(2)＝f(0)＝0，所以f(x)＝0的两根分别为0,2.所以可设其解析式为f(x)＝ax(x－2)．又因为f(1)＝1，可得a＝－1，所以f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x. 解法三(顶点式)：由已知，可得顶点为(1,1)，所以可设其解析式为f(x)＝a(x－1)2＋1.又由f(0)＝0，可得a＝－1，所以f(x)＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x. 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【训练1】　已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为_______________. f(x)＝x2－4x＋3　 依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，所以16－＝10，解得a＝1，所以f(x)＝x2－4x＋3. 【例2】　(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即 b2＞4ac，A正确．对称轴为直线x＝－1，即－＝－1, 2a－b＝0，B错误．结合图象，当x＝－1时，y＞0，即 a－b＋c＞0，C错误．由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a. 根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．故选AD. 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 【训练2】　(1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的图象可能是(　　) 由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C；又f(0)＝c<0，排除B.故选D. (2)(多选题)已知函数f(x)＝4ax2＋2bx＋c(a≠0)满足f＝0，且f(0)>0，f(1)>0，则下列不等式一定正确的是(　　) A．a>0 B．b>0 C．c>0 D．f(－1)>0 解法一：由题可知，f(0)＝c>0，故C正确；f(1)＝4a＋2b＋c>0　①，f＝a＋b＋c＝0，所以b＝－a－c，代入①，得4a＋2(－a－c)＋c>0，即2a－c>0，所以2a>c>0，所以a>0，故A正确；因为a＋b＋c＝0，a>0，c>0，所以b<0，故B错误；f(－1)＝4a－2b＋c＝4a－2(－a－c)＋c＝6a＋3c>0，故D正确．故选ACD. 解法二：根据题意，可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，数形结合，易知选ACD. 【例3】　已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围； (1)当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需同时满足≥2，a>0，解得0<a≤.当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0，所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0.综上，a的取值范围是(－∞，0)∪. (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． (2)①当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.②当1≤≤2，即≤a≤时，f(x)在区间上单调递减，在 区间上单调递增，此时g(a)＝f＝2a－－1.③当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.综上所述，g(a)＝ 二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 【训练3】　已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域； (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2,3]，所以f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，所以f(x)的值域为. (2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值． (2)函数图象的对称轴为直线x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－或－1. $$