第1章 第4节 基本不等式-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高考数学高考一轮总复习

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第四节 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 基本不等式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 基本不等式求最值 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 基本不等式的实际应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考真题/重温 赢在微点 数学 大一轮 第三部分 ——明确方向 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（四） 本部分内容讲解结束 1.了解基本不等式的证明过程；2.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：______________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立． (3)其中，________叫做正数a，b的算术平均数，________叫做正数a，b的几何平均数． a>0，b>0 a＝b　 2　 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥________(a，b∈R)． (2)＋≥________(ab>0)． (3)ab≤________(a，b∈R)． (4)≥________(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 2ab 2　 2　 S2 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值_______________________________． (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值_____________________________． 2　 [微点清]　①利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． ②利用基本不等式求最值简记：积定和最小，和定积最大． 1．设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D．<a<<b 代入a＝1，b＝2，则有0<a＝1<＝<＝1.5<b＝2.故选B. 2．(人A必一P48习题2.2 T1(1)改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3.故选C. 3．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为(　　) A． B． C． D．1 因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，故x(1－x)的最大值为.故选A. 4．已知x>0，y>0，x＋y＝1，则＋的最小值为________． 由x＋y＝1得＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝时，等号成立，即＋的最小值为4. 4 5．某地地震期间，一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地距离400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km(车长忽略不计)，那么这批物资全部到达灾区最少需要________h. 10 当最后一辆汽车出发时，第一辆汽车最少行驶了＝(h)，最后一辆车驶完全程共需要 h，所以这批物资全部到达灾区最少需要h，由基本不等式，得＋≥2＝10，当且仅当＝，即v＝80时，等号成立，故最少需要10 h. 考向❶：配凑法 【例1】　(1)当x>1时，x＋的最小值为______． 5 因为x>1，所以x－1>0，由基本不等式，得x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x＝3时，等号成立．因此，x＋的最小值为5. (2)已知0<x<，则x的最大值为________． 因为0<x<，所以1－2x2>0，x＝·x≤·＝，当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立． 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，先配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式求解． 考向❷：常值代换法 【例2】　(1)若＋＝1，则4a2＋b2的最小值为(　　) A．16 B．8 C．20 D．12 由题意得4a2＋b2＝(4a2＋b2)＝8＋＋≥2＋8＝16，当且仅当＝，即b2＝4a2＝8时等号成立，所以4a2＋b2的最小值为16，故选A. (2)(2025·邯郸模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．2 B．4 C． D．9 依题意，因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]·＝≥×(2×4＋10)＝，当且仅当a＝，b＝时，等号成立．故选C. 常值代换法求最值的基本步骤 1．根据已知条件或其变形确定定值(常数)； 2．把确定的定值(常数)变形为1； 3．把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； 4．利用基本不等式求解最值． 考向❸：换元法 【例3】　已知x>，求函数y＝的最小值． 设4x－5＝t，则x＝.因为x>，所以t>0.所以y＝＝＝t＋＋3≥2＋3＝5.当且仅当t＝1，即x＝时，上式取“＝”．所以x＝时，ymin＝5. 本例是通过换元转化为y＝Ax＋＋C的形式，凑出积为常数的形式，进而求最值． 考向❹：消元法 【例4】　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 6 由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1时取等号．所以x＋3y的最小值为6. 消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式，最后利用基本不等式求最值． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 考向 ❶ ❷ ❸ ❹ 1.若x<，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 因为x<，所以3x－2<0，f(x)＝3x－2＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－3.当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”．故选C. 2．已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A． B． C．5 D．9 ＋＝(a＋b)＝≥×(4＋5)＝，当且仅当＝时，等号成立．故选B. 3．(2025·山西太原模拟)已知x>1，则y＝的最大值为________． 设x－1＝t，则x＝t＋1，t>0，y＝＝＝≤(当且仅当t＝2，即x＝3时取等号)． 4．设a>0，b>0，且5ab＋b2＝1，则a＋b的最小值为________． 因为5ab＋b2＝1，所以a＝＝－，所以a＋b＝－＋b＝＋≥2＝，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，所以a＋b的最小值为. 【例5】　(2025·福建厦门模拟)港珠澳大桥通车后，经常往返于港、珠、澳三地的刘先生采用自驾方式出行．刘先生在某段时间内共加油两次，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　) A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升，第一种方案的均价：＝≥；第二种方案的均价：＝≤.所以无论油价如何变化，第二种都更划算．故选B. 利用基本不等式解决实际问题的策略 1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． 3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 【训练】　古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图所示的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．若以斜边BC为直径的半圆弧的长为2π，则△ABC周长的最大值为________． 　4＋4　 设BC＝a，AC＝b，AB＝c，其中a，b，c>0，因为以斜边BC为直径的半圆弧的长为2π，所以π×＝2π，得a＝4，因为△ABC为直角三角形，所以a2＝b2＋c2，所以b2＋c2＝16，所以2≤ ＝8，得b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立， 则a＋b＋c≤4＋4，即△ABC周长的最大值为4＋4. 1．(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ 因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，A正确；易知0<a<1,0<b<1 ，所以－1<a－b<1，所以2a－b>2－1＝，B正确；令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2<－2，C错误；因为(＋)2＝a＋b＋2≤1＋2·＝2，所以＋≤，D正确．故选ABD. 2．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋ 因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以A不符合题意．因为y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以B不符合题意．因为y＝2x＋22－x≥2＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以C符合题意．当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0，所以D不符合题意．故选C. 3．(多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 对于A，B：由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－3xy＝1，(x＋y)2－1＝3xy≤32，即(x＋y)2≤4，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C，D：由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不正确．故选BC. 4．(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________． 4 因为a>0，b>0，所以a＋b>0，又ab＝1，所以＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－，b＝2＋或a＝2＋，b＝2－时等号成立． $$