4.3.2 第一课时 等比数列的前n项和课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式及性质，通过自主学习任务单（课前预习填空、基础小试）导入，衔接等比数列通项公式，搭建预习支架帮助学生梳理知识脉络。 其特色是分层次设计（自主预习-师生共研-素养强化），结合逻辑推理（分类讨论q=1与q≠1）、数学运算（公式应用与性质推导）及实际应用（热气球上升、细菌杀病毒问题），题型多样且注重思想方法渗透，助力学生发展运算能力与推理意识，教师可高效开展教学提升学生应用能力。

4.3.2　等比数列的前n项和公式 明确目标 发展素养 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2.掌握等比数列前n项和的性质． 3.掌握分组转化法、裂项相消法、错位相减法等求和. 1.通过等比数列前n项和的应用，培养数学运算素养． 2.通过求和方法的掌握，培养逻辑推理的素养. 第一课时　等比数列的前n项和 知识点一　等比数列的前n项和公式 (一)教材梳理填空 2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为 (　　) A．4　　 B．－4　　　C．2　　　D．－2 知识点二　等比数列前n项和的性质 (一)教材梳理填空 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn， ，…仍构成等比数列． (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋ (n，m∈N*)． S3n－S2n qnSm 2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于 (　　) A．31 B．33 C．35 D．37 3．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2·3n＋r，则r＝________. 解析：Sn＝2·3n＋r，由等比数列前n项和的性质得r＝－2. 答案：－2　　 [方法技巧] 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．　　 【对点练清】 1．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则前n项和Sn＝ (　　) A．2n＋1－2 B．2n－2 C．2n＋1－1 D．2n＋1＋2 3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________. 题型二　等比数列前n项和的性质 【学透用活】 [典例2]　(1)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝ (　　) A．7 B．8 C．9 D．10 (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________. 【对点练清】 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列， ∴a9＋a10＋a11＋a12＝4. 答案：C　 2．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________. 题型三　等比数列前n项和的实际应用 【学透用活】 [典例3]　一个热气球在第1 min上升了25 m的高度，在以后的每1 min里，它上升的高度都是它在前1 min上升高度的80%.这个热气球上升的高度能达到125 m吗？ [方法技巧]　 解数列应用题的思路和方法 【对点练清】 如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接 正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，前n个内切 圆的面积和为________． 【对点练清】 1．设数列{an}的前n项和为Sn，若2，Sn,3an成等差数列，则S5的值是 (　　) A．－243 B．－242 C．－162 D．243 2．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20. 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．下面是“在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{an·an＋1}是公比为q(q>0)的等比数列． (1)求使anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3成立的q的取值范围； (2)求数列{an}的前2n项的和S2n”的解题过程． 试分析以上解题过程是否正确，若不正确，错在何处．并给出正确的解题过程． 二、应用性——强调学以致用 2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，则细菌将病毒全部杀死，至少需要 (　　) A．4秒　　　　　　 B．5秒 C．6秒 D．7秒 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则排成如下数表． a1　a2　a3 a4　a5　a6　a7 a8　a9　a10　a11　a12 … 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： 请解答以下问题： (1)求数列{bn}的通项公式； (2)求上表中第k(k∈N*)行所有项的和S(k)． 已知量 首项a1、项数n与公比q 首项a1、末项an与公比q 公式 (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)来求． ( ) (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.( ) × √ 答案：D　 解析：由S5＝eq \f(a1[1－－25],1－－2)＝44，得a1＝4. 答案：A　 3．在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于 (　　) A．－25 B．25 C．－31 D．31 解析：因为an＋1＝2an，且a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{an}的前5项的和为eq \f(25－1,2－1)＝31. (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，eq \f(S偶,S奇)＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)，eq \f(S奇－a1,S偶)＝q. (4)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇒数列{an}为_________． 等比数列 (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)等比数列前n项和Sn不可能为0. ( ) (2)1－2＋4－8＋16－…＋(－2)n－1＝eq \f(1×1－2n,1－－2). ( ) (3)若等比数列{an}共100项，且公比q≠±1，则该数列的偶数项之和S＝eq \f(a21－q50,1－q). ( ) × × × 解析：根据等比数列性质得＝q5， ∴＝25，∴S10＝33. 答案：B　 题型一　等比数列的前n项和公式的基本运算 【学透用活】 (1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此，当公比未知时，要对公比进行分类讨论． (2)q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn－1可以实现它们之间的相互转化． 当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便； 当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便． (3)对于等比数列的a1，an，n，q，Sn五个相关量，知道其中任意三个量，都可以利用方程求出其余两个量． [典例1]　在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. (1)若a1＝8，an＝，Sn＝，求n； (2)若S3＝，S6＝，求an及Sn. [解]　(1)显然q≠1，由Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)， 即eq \f(8－\f(1,4)q,1－q)＝eq \f(63,4)， ∴q＝eq \f(1,2).又an＝a1qn－1， 即8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq \f(1,4)，∴n＝6. (2)由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3， ∴1＋q3＝eq \f(S6,S3)＝9，∴q3＝8，即q＝2. 代入①得a1＝eq \f(1,2)， ∴an＝a1qn－1＝eq \f(1,2)×2n－1＝2n－2， Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝2n－1－eq \f(1,2). 解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40， ∴a3＋a5＝40＝q(a2＋a4)＝20q，解得q＝2， ∴20＝a2＋a4＝a1(2＋23)，解得a1＝2. 则数列{an}的前n项和Sn＝＝2n＋1－2. 答案：A　 2．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S20＝(210＋1)·S10，则数列{an}的公比为 (　　) A．4 B．2 C．1 D. 解析：设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，且S20＝(210＋1)S10，可得q≠1，则有＝(210＋1)·，可得1－q20＝(1＋210)(1－q10)，即为1＋q10＝1＋210，解得q＝2. 答案：B　 解析：因为在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．因为Sn＝126，所以＝126，即2n＋1＝128，解得n＝6. 答案：6 [解析]　(1)等比数列{an}的前n项和有如下的性质：S2，S4－S2，S6－S4，…成等比数列，且公比q′＝eq \f(S4－S2,S2)＝eq \f(1,2)，则S6－S4＝(S4－S2)·q′＝(6－4)×eq \f(1,2)＝1，所以S6＝S2＋(S4－S2)＋(S6－S4)＝4＋2＋1＝7.故选A. (2)由题意知S奇＋S偶＝－240， S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80， S偶＝－160，∴q＝eq \f(S偶,S奇)＝2. [答案]　(1)A　(2)2 [方法技巧] 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．　　 解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶， 由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶． 因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝. 又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a·q3＝64，即a1＝12， 故所求通项公式为an＝12×n－1，n∈N*. 答案：12×n－1，n∈N* [解]　用an表示热气球在第n min上升的高度． 由题意，得an＋1＝80%an＝an. 因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列. 热气球在n min里上升的总高度为 Sn＝＝＝125×＜125. 所以这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 解：设第n个正三角形的内切圆的半径为an， ∵从第2个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的eq \f(1,2)，每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的eq \f(1,2)， ∴a1＝eq \f(1,2)atan 30°＝eq \f(\r(3),6)a，a2＝eq \f(1,2)a1，…，an＝eq \f(1,2)an－1， ∴数列{an}是以eq \f(\r(3),6)a为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列， ∴an＝eq \f(\r(3),6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1a. 设前n个内切圆的面积和为Sn，则 ＝eq \f(4,3)×eq \f(a2,12) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n)))π＝eq \f(a2,9) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n)))π ＝eq \f(a2,9) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,22n)))π. 答案：π 题型四　等差数列、等比数列的综合 【学透用活】 [典例4]　(1)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________. (2)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．求数列{an}的通项公式． [解析]　(1)由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，即公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1. [答案]　3n－1 (2)设等比数列{an}的公比为q，依题意，得2(S5＋a5)＝S3＋a3＋S4＋a4，即4a5＝a3，则q2＝eq \f(a5,a3)＝eq \f(1,4).又{an}不是递减数列且a1＝eq \f(3,2)，所以q＝－eq \f(1,2)，an＝eq \f(3,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝(－1)n－1·eq \f(3,2n). [方法技巧] 求解数列综合问题的步骤 (1)分析题设条件． (2)分清是an与an＋1的关系，还是an与Sn的关系． (3)转化为等差数列或等比数列，特别注意an＝Sn－Sn－1(n≥2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用． (4)整理求解．　　 解析：∵2，Sn,3an成等差数列，∴2Sn＝2＋3an. 当n＝1时，2S1＝2a1＝2＋3a1，∴a1＝－2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1＋an－1－an－1＝an－an－1， ∴an＝3an－1(n≥2)，∴数列{an}是首项a1＝－2，公比q＝3的等比数列， ∴S5＝＝＝－242.故选B. 答案：B　 解：(1)由题设知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1，Sn＝＝(3n－1)． (2)因为b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d， 所以公差d＝5， 故T20＝20×3＋×5＝1 010. 解：(1)由题意知，数列{an·an＋1}是公比为q的等比数列，所以an＋1an＋2＝anan＋1q，an＋2an＋3＝anan＋1q2，由anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3， 得anan＋1＋anan＋1q>anan＋1q2⇒1＋q>q2， 即q2－q－1<0(q>0)，解得0<q<. (2)由数列{an·an＋1}是公比为q的等比数列，得＝q⇒＝q， 这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又a1＝1，a2＝2，则S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝＋＝. 提示：第(2)问计算S2n时忽略了q＝1的情况． 正解如下： (2)由数列{an·an＋1}是公比为q的等比数列，得＝q⇒＝q， 这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又a1＝1，a2＝2，所以当q>0且q≠1时， S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝＋＝； 当q＝1时， S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝(1＋1＋1＋…＋1)＋(2＋2＋2＋…＋2)＝3n. 综上，S2n＝ 解析：1秒时，新被杀死的病毒为1个，细菌自身增长到3个；2秒时，新被杀死的病毒为3个，细菌自身增长到32个；3秒时，新被杀死的病毒为32个，细菌自身增长到33个；…；n秒时，新被杀死的病毒为3n－1个，细菌自身增长到3n个．设n秒时，累计杀死病毒数为Sn，则Sn＝1＋3＋32＋33＋…＋3n－1＝eq \f(1－3n,1－3)＝eq \f(1,2)(3n－1)．由Sn≥110，得eq \f(1,2)(3n－1)≥110，所以3n≥221，解得正整数n≥5.故选B. 答案：B　 ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有(n＋1)·bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q>0)的等比数列； ③a66＝eq \f(2,5). 解：(1)由(n＋1)bn＋1－nbn＝0， 得数列{nbn}为常数列，故nbn＝1·b1＝1，∴bn＝eq \f(1,n). (2)∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项，a66在表中第十行第三列． 故a66＝b10·q2，又a66＝eq \f(2,5)，而b10＝eq \f(1,10)，q>0，∴q＝2， 故S(k)＝eq \f(bk1－qk＋2,1－q)＝eq \f(1,k)(2k＋2－1)． $$