核心微练21-22-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习

微练(二十一)　导数的概念及运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.记函数f(x)的导函数为f'(x).若f(x)=exsin 2x,则f'(0)=(A) A.2 B.1 C.0 D.-1 解析　因为f(x)=exsin 2x,则f'(x)=ex(sin 2x+2cos 2x),所以f'(0)=e0(sin 0+2cos 0)=2.故选A. 2.(2025·山东德州调研)已知某容器的高度为20 cm,现在向容器内注入液体,且容器内液体的高度h(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式为h=t3+t2,当t=t0时,液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s,则当t=t0+1时,液体上升高度的瞬时变化率为(C) A.5 cm/s B.6 cm/s C.8 cm/s D.10 cm/s 解析　由h=t3+t2,求导得h'=t2+2t. 当t=t0时,h'=+2t0=3,解得t0=1(t0=-3舍去).故当t=t0+1=2时,液体上升高度的瞬时变化率为22+2×2=8(cm/s).故选C. 3.若函数f(x)满足f(x+1)=(ex-e-x)sin x,则f'(1)=(A) A.0 B.1 C.2 D.-1 解析　解法一:f(x+1)=(ex-e-x)sin x,令x+1=t,则x=t-1,所以f(t)=(et-1-e1-t)sin(t-1),即f(x)=(ex-1-e1-x)sin(x-1),所以f'(x)=(ex-1+e1-x)sin(x-1)+(ex-1-e1-x)cos(x-1),则f'(1)=0+0=0,故选A. 解法二:f(x+1)=(ex-e-x)sin x,两边同时求导,得f'(x+1)·(x+1)'=(ex+e-x)sin x+(ex-e-x)cos x,即f'(x+1)=(ex+e-x)sin x+(ex-e-x)cos x,令x=0,得f'(1)=0+0=0,故选A. 4.(2025·济南质量检测)已知曲线y=ln x与曲线y=a在交点(1,0)处有相同的切线,则a=(B) A.1 B. C.- D.-1 解析　因为(ln x)'=,'=a,曲线y=ln x与曲线y=a在交点(1,0)处有相同的切线,所以2a=1,a=.故选B. 5.直线l与曲线y=ex+1和y=ex+1均相切,则l的斜率为(B) A. B.1 C.2 D.e 解析　由y=ex+1,可得y'=ex;由y=ex+1,可得y'=ex+1,设两个切点分别为(x1,+1)和(x2,),直线l的斜率k==,故x1=x2+1,即x1≠x2,所以k===1,即直线l的斜率为1.故选B. 6.(2025·西安模拟)函数f(x)=x-aln x在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直的切线,则a的取值范围是(C) A.(1,6) B.(1,3) C.(3,4) D.(4,6) 解析　设切点横坐标为x0,所作切线斜率为k,则k=f'(x0)=1-,当a≤0时,k=1->0,故不存在k1k2=-1;当a>0时,满足所以3<a<4.故选C. 二、多项选择题 7.(2025·广东质检)已知函数f(x)=x3-3x2+1的图象在点(m,f(m))处的切线为lm,则 (BCD) A.lm的斜率的最小值为-2 B.lm的斜率的最小值为-3 C.l0的方程为y=1 D.l-1的方程为y=9x+6 解析　因为f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值为-3.因为f'(0)=0,f(0)=1,所以l0的方程为y=1.因为f'(-1)=9,f(-1)=-3,所以l-1的方程为y+3=9(x+1),即y=9x+6.故选BCD. 8.对于函数f(x)=ln x-1,则下列判断正确的是 (ACD) A.直线y=是f(x)过原点的一条切线 B.f(x)关于y=x对称的函数是y=ex-1 C.若过点(a,b)有2条直线与f(x)相切,则ln a<b+1 D.f(x)≤x-2 解析　对于A,设切点为(m,ln m-1),则k=f'(m)==,所以ln m-1=·m,所以ln m=2,所以m=e2,k=.所以过原点的切线方程为y=,故A正确;对于B,由反函数的概念可得y+1=ln x⇒ey+1=x,故与f(x)关于y=x对称的函数为 y=ex+1,故B错误;对于C,若过点(a,b)有2条直线与f(x)相切,则点(a,b)在f(x)上方,如图所示,即b>f(a),即b>ln a-1,故C正确;对于D,由于∀x>0,设g(x)=x-ln x-1,则g'(x)=,令g'(x)>0,得x>1,令g'(x)<0,得0<x<1,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,所以g(x)≥g(1)=0,即ln x≤x-1,即f(x)≤x-2,故D正确.故选ACD. 三、填空题 9.函数f(x)=x3-aln x的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0平行,则实数a= 5 .  解析　f'(x)=3x2-,因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0平行,所以f'(1)=3-a=-2,即a=5,经检验符合题意. 10.若抛物线y=x2-x+c上的一点P的横坐标是-2,抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为 4 .  解析　因为y'=2x-1,所以y'|x=-2=-5.又P(-2,6+c),所以=-5,所以c=4. 11.已知函数f(x)=ln x+x的零点为x0,过原点作曲线y=f(x)的切线l,切点为P(m,n),则mx0= e .  解析　易知f'(x)=+1,切点为P(m,ln m+m),则切线方程为y=(x-m)+ln m+m,因为过原点,所以0=(-m)+ln m+m,解得m=e,则P(e,e+1),由ln x0+x0=0,可得x0=-ln x0,故mx0=ex0·=ex0·=e. 四、解答题 12.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 解　(1)因为f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1,又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0. (2)设切点坐标为(x0,-4+5x0-4),因为f'(x0)=3-8x0+5,所以切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)·(x-2),又切线过点(x0,-4+5x0-4),所以-4+5x0-2=(3-8x0+5)·(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,所以经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0. 13.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 解　(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=,又因为f'(x)=a+,所以解得所以f(x)=x-. (2)设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由y'=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-=(x-x0).令x=0,得y=-,所以切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,所以切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形的面积S=·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形面积为定值,且此定值为6. 素养提升 14.已知函数f0(x)=xex,记函数fn(x)为fn-1(x)的导函数(n∈N*),函数y=fn(x)的图象在点(1,fn(1))处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则xixi+1=(B) A. B. C. D. 解析　f1(x)=(x+1)ex,其图象对应的切点为(1,2e),f2(x)=(x+2)ex,令x=1,得f2(1)=3e,故函数y=f1(x)的图象在点(1,2e)处的切线方程为y-2e=3e(x-1),令y=0,得x=,即x1=.易知fn(x)=(x+n)ex,其图象对应的切点为(1,(1+n)e),fn+1(x)=(x+n+1)ex,函数y=fn(x)的图象在点(1,(1+n)e)处的切线斜率k=(n+2)e,切线方程为y-(1+n)e=(n+2)e(x-1),令y=0,得xn=,所以xnxn+1==-,xixi+1=-+-+…+-=-=.故选B. 15.(2022·全国甲卷)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线. (1)若x1=-1,求a; (2)求a的取值范围. 解　解法一:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)= -x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为 y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2.因为曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以有且仅有一组解,即方程x2-(3-1)x+2+a=0有两个相等的实数根,从而Δ=(3-1)2-4(2+a)=0⇔4a=9-8-6+1. (1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3. (2)4a=9-8-6+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-<x<0或 x>1,令h'(x)<0,得x<-或0<x<1,所以h(x)在和(1,+∞)上单调递增,在和(0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h=,所以h(x)≥-4,所以a≥-1. 解法二:由题意可知f'(x)= 3x2-1,f(x1)=-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2①,设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,+a),又g'(x2)= 2x2,则切线可表示为y-(+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-+a②,因为①②表示同一直线方程,所以则(3-1)2-8=4a,所以4a=9-8-6+1.下面同解法一. 微练(二十二)　导数与函数的单调性 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递减区间是(A) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 解析　由已知得,f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,当x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,所以f(x)的单调递减区间是(-∞,2),单调递增区间是(2,+∞).故选A. 2.已知f'(x)是函数y=f(x)的导函数,且y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(D) A　　　　　B　　　　 C　　　　　D　　　　 解析　根据导函数的图象可得,当x<0时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减;当0<x<2时,f'(x)>0,f(x)在(0,2)上单调递增;当x>2时,f'(x)<0,f(x)在(2,+∞)上单调递减,所以只有D选项符合. 3.已知函数f(x)=sin x+cos x-2x,a=f(-π),b=f(2e),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系是(A) A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.c>b>a 解析　函数f(x)的定义域为R,f'(x)=cos x-sin x-2=cos-2≤-2<0,因此函数f(x)在R上单调递减,而-π<0<ln 2<1<2e,则f(-π)>f(ln 2)>f(2e),即a>c>b.故选A. 4.若函数f(x)=x3-x2+ax+4的单调递减区间为[-1,4],则实数a的值为(D) A.-2 B.-1 C.3 D.-4 解析　因为f'(x)=x2-3x+a,且f(x)的单调递减区间为[-1,4],所以f'(x)=x2-3x+a≤0的解集为[-1,4],所以-1,4是方程f'(x)=0的两根,则a=(-1)×4=-4.故选D. 5.(2025·福建适应性考试)函数f(x)=x2+cos x在[-π,π]上的图象大致为(A) A　　B C　　D 解析　由题意知,f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x),所以f(x)为偶函数,排除C,D.下面只需讨论x∈[0,π]时的情况,因为f'(x)=x-sin x,令g(x)=f'(x),则g'(x)=1-cos x≥0,所以f'(x)在[0,π]上单调递增,又f'(0)=0,所以f'(x)≥0在[0,π]上恒成立,因此f(x)在[0,π]上单调递增,排除B,故选A. 6.(2025·沈阳教学监测)已知m=,n=,p=,则(D) A.n>m>p B.m>p>n C.p>n>m D.m>n>p 解析　令f(x)=ex·cos x,则f'(x)=ex(cos x-sin x)=ex=excos,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f>f,即>,即>,故m>p.f>f,即>,即>,故m>n.因为p=<e0=,n=>e1>,所以n>p.综上可知m>n>p.故选D. 二、多项选择题 7.已知a>b>1,e为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是 (ACD) A.aea>beb B.aln b>bln a C.aln a>bln b D.bea>aeb 解析　设f(x)=xex,x>1,则f'(x)=(x+1)ex>0在(1,+∞)上恒成立,故函数f(x)单调递增,故f(a)>f(b),即aea>beb,故A正确.设g(x)=,x>1,则g'(x)=,易知函数g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,故当1<b<a<e时,g(a)>g(b),即>,故aln b<bln a,故B错误.设h(x)=xln x,x>1,则h'(x)=ln x+1>0在(1,+∞)上恒成立,故函数h(x)单调递增,故h(a)>h(b),即aln a>bln b,故C正确.设k(x)=,x>1,则k'(x)=>0在(1,+∞)上恒成立,故函数k(x)单调递增,故k(a)>k(b),即>,故bea>aeb,故D正确.故选ACD. 8.已知函数f(x)=ax3-(a+1)x2+x,则下列结论正确的是 (BCD) A.当a=-1时,f(x)的图象关于y轴对称 B.当a=1时,f(x)的图象关于点对称 C.∃a>0,使得f(x)为R上的增函数 D.当a>0时,若g(x)=f(x)-x在(-∞,x1),(x2,+∞ )(x1<x2)上单调递增,则x2-x1的最小值为 解析　对于A,当a=-1时,f(x)=-x3+x,x∈R,则f(-x)=-(-x)3-x=x3-x=-f(x),所以f(x)是奇函数,f(x)的图象关于原点对称,A错误;对于B,当a=1时,f(x)=x3-x2+x,则f(1-x)+f(1+x)=(1-x)3-(1-x)2+1-x+(1+x)3-(1+x)2+1+x=,所以f(x)的图象关于点对称,B正确;对于C,f'(x)=ax2-(a+1)x+1,当a=1时,f'(x)=(x-1)2≥0恒成立,f(x)为R上的增函数,C正确;对于D,g(x)=ax3-(a+1)x2+x,g'(x)=ax2-(a+1)x+,令g'(x)=0,即ax2-(a+1)x+=0,当a>0时,Δ=(a+1)2-3a=a2-a+1>0,所以此时g'(x)=0有两个不相等的实根x1,x2,x1<x2,则x1+x2=,x1x2=,且当x<x1或x>x2时,g'(x)>0,当x1<x<x2时,g'(x)<0,即g(x)在(-∞ ,x1),(x2,+∞)上单调递增,所以(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=-==-+1=+≥,所以当a=2 时,(x2-x1)2取得最小值.即x2-x1取得最小值,D正确.故选BCD. 三、填空题 9.函数f(x)=e-xcos x(x∈(0,π))的单调递增区间为  .  解析　f'(x)=-e-xcos x-e-xsin x=-e-x(cos x+sin x)=-e-xsin,当x∈时,e-x>0,sin>0,则f'(x)<0;当x∈时,e-x>0,sin<0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,π)上的单调递增区间为. 10.若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围为 (-3,0)∪(0,+∞) .  解析　依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故解得a>-3且a≠0. 11.(2025·河南许昌质检)若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)上不是单调函数,则实数k的取值范围是 [2,4) .  解析　由题意得f'(x)=x-(x>0),易知f'(x)在(0,+∞)上单调递增,且f'(2)=2-=0,所以若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)上不是单调函数,则0≤k-2<2<k+2,解得2≤k<4. 四、解答题 12.(2025·江西吉安质检)已知函数f(x)=3aln x-x2-(a-3)x,a∈R. (1)当a=1时,求曲线g(x)=f(x)-3ln x+x2-sin x在x=处的切线方程; (2)试讨论f(x)的单调性. 解　(1)当a=1时,g(x)=f(x)-3ln x+x2-sin x=2x-sin x,则g=π-1,g'(x)=2-cos x,所以g'=2,所以曲线g(x)在x=处的切线方程为y-(π-1)=2,即2x-y-1 =0. (2)由题意,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-x-(a-3)=-=-, ①若a≥0,则当0<x<3时,f'(x)>0,当x>3时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减; ②若-3<a<0,由f'(x)<0,得0<x<-a或x>3,由f'(x)>0,得-a<x<3,所以f(x)在(0,-a),(3,+∞)上单调递减,在(-a,3)上单调递增; ③若a=-3,则f'(x)≤0 恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减; ④若a<-3,由f'(x)<0,得0<x<3或x>-a,由f'(x)>0得3<x<-a,所以f(x)在(0,3),(-a,+∞)上单调递减,在(3,-a)上单调递增. 13.已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0). (1)若f(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围; (2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 解　(1)因为f(x)在[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,f'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立.设G(x)=-,x∈[1,4],所以a≥G(x)max,而G(x)=-1,因为x∈[1,4],所以∈,所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-,又因为a≠0,所以实数a的取值范围是∪(0,+∞). (2)因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,则f'(x)<0在[1,4]上有解,所以当x∈[1,4]时,a>-有解,又当x∈[1,4]时,=-1(此时x=1),所以a>-1,又因为a≠0,所以实数a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). 素养提升 14.(多选题)函数f(x)=x3-(m∈R)的图象可能是 (ABD) A　　　　B C　　　　D 解析　因为f(x)=x3-,所以定义域为{x|x≠0},又因为f(-x)=(-x)3-=-x3+=-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.当m=0时,f(x)=x3,且定义域为{x|x≠0},所以其图象为选项D的形式,所以选项D正确.当m>0时,不妨取m=1,则f(x)=x3-,当x>0时,f'(x)=3x2+>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,且当x→0时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,又函数f(x)是奇函数,所以其图象为选项B的形式,所以选项B正确.当m<0时,不妨取m=-1,则f(x)=x3+,当x>0时,f'(x)=3x2-=,当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,又函数f(x)是奇函数,所以其图象为选项A的形式,所以选项A正确,综上,选ABD. 15.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且y=f'(x)+ex也是偶函数,若f(a)>f(2a-1),则实数a的取值范围是(D) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C. D.∪(1,+∞) 解析　f(x)为R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),对等式两边求导有f'(x)=-f'(-x)①.因为y=f'(x)+ex是偶函数,所以f'(x)+ex=f'(-x)+e-x②.由①②得f'(x)=(e-x-ex)=.当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.又f(a)>f(2a-1),所以|a|<|2a-1|,得a>1 或a<,故选D. 16.(2025·湖北十一校联考)若对于任意正数x,y,不等式x(1+ln x)≥xln y-ay恒成立,则实数a的取值范围是  .  解析　由题知ay≥xln y-x-xln x,即a≥ln y--ln x=ln -,令t=,t∈(0,+∞),则a≥-=,设g(x)=,则g'(x)==,令g'(x)<0,则x>e2,令g'(x)>0,则0<x<e2,所以g(x)在(e2,+∞)上单调递减,在(0,e2)上单调递增,当x=e2时,g(x)有最大值,所以a≥,故a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$