核心微练15-16-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦指数函数与对数函数核心考点，严格对接高考评价体系，系统梳理单调性、值域、比较大小等高频考点，通过近三年高考真题分析明确考点权重，归纳出函数性质应用、复合函数单调性判断等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题演练+素养提升”双轨模式，如以2023天津高考比较大小题、2024北京高考函数性质题为例，深入讲解利用函数单调性比较大小、复合函数“同增异减”法则等突破方法，培养学生的数学思维和运算能力。特设易错陷阱警示和答题模板，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准指导复习，助力高考冲刺。

微练(十五)　指数函数 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.下列函数中值域为正实数集的是(B) A.y=-5x B.y= C.y= D.y=3|x| 解析　A项中y<0,B项中y>0,C项中y≥0,D项中y≥1,只有B项正确.故选B. 2.(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(D) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 解析　解法一:因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5>0,所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1;因为函数g(x)=0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1.综上,b>a>c.故选D. 解法二:因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a;因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,b>a>c.故选D. 3.不论a为何值,函数y=(a-1)2x-恒过定点,则这个定点的坐标为(C) A. B. C. D. 解析　将y=(a-1)2x-变为a-(2x+y)=0,依题意,对a∈R,a-(2x+y)=0恒成立,则2x-=0且2x+y=0,所以x=-1且y=-,即这个定点的坐标为.故选C. 4.(2024·北京高考)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则(B) A.log2< B.log2> C.log2<x1+x2 D.log2>x1+x2 解析　解法一:画出y=2x的图象,设x1<x2,由图象知>,所以log2>.故选B. 解法二:因为(x1,y1),(x2,y2)为函数y=2x的图象上两个不同的点,所以y1=,y2=,且x1≠x2,则≠,所以y1+y2=+>2=2,所以>>0,所以log2>log2=,故选B. 5.若函数f(x)=在区间(1,4)内单调递减,则a的取值范围是(A) A.(-∞,4] B.[4,16] C.(16,+∞) D.[16,+∞) 解析　设f(u)=3u,u=-2x2+ax,则f(u)=3u在(-∞ ,+∞)上单调递增.因为f(x)=在区间(1,4)内单调递减,所以函数u=-2x2+ax在区间(1,4)内单调递减,结合二次函数的图象和性质,可得≤1,解得a≤4.故选A. 6.(2024·江西九校联考)函数f(x)=的大致图象为(A) A　　　B C　　　D 解析　因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,排除C,D.当x>0时,2x-2-x>0,所以f(x)>0,排除B.故选A. 7.已知函数f(x)=|3x-1|,a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中一定成立的是(D) A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0 C.3-a<3c D.3a+3c<2 解析　作出f(x)的图象,如图所示.因为a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),所以a<b<0,且一定存在b'>0,使f(b)=f(b'),则b<c<b',故排除A,B;取a=-1,c=0,可排除C;当c>0时,f(a)=1-3a>f(c)=3c-1,所以3a+3c<2,当c≤0时,3a<1,3c≤1,则3a+3c<2,故D一定成立.故选D. 二、多项选择题 8.对任意实数a>1,函数y=(a-1)x-1+1的图象过定点A(m,n),f(x)=的定义域为[0,2],g(x)=f(2x)+f(x),则下列结论正确的是 (ABC) A.m=1,n=2 B.g(x)的定义域为[0,1] C.g(x)的值域为[2,6] D.g(x)的值域为[2,20] 解析　令x-1=0,得x=1,此时y=(a-1)0+1=2,所以函数y=(a-1)x-1+1的图象过定点A(1,2),即m=1,n=2,故A正确;所以f(x)==2x,x∈[0,2],所以g(x)=f(2x)+f(x)=22x+2x,由得0≤x≤1,所以g(x)的定义域为[0,1],故B正确;易知g(x)在[0,1]上单调递增,所以当x=0时,g(x)取得最小值,为2,当x=1时,g(x)取得最大值,为6,所以g(x)的值域为[2,6],故选项C正确,选项D错误.故选ABC. 9.(2025·山东临沂一模)已知函数f(x)=+a(a∈R),则 (ACD) A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) B.f(x)的值域为R C.当a=1时,f(x)为奇函数 D.当a=2时,f(-x)+f(x)=2 解析　对于函数f(x)=+a(a∈R),令2x-1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故A正确;当x>0时,2x>1,2x-1>0,>0,所以+a>a,当x<0时,0<2x<1,-1<2x-1<0,<-2,所以+a<-2+a,综上可得,f(x)的值域为(-∞,-2+a)∪(a,+∞),故B错误;当a=1时,f(x)=+1=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=+1为奇函数,故C正确;当a=2时,f(x)=+2=+1,则f(x)+f(-x)=+1++1=2,故D正确.故选ACD. 三、填空题 10.函数f(x)=的单调递减区间为 (-∞,1] .  解析　设u=-x2+2x+1,因为y=在R上为减函数,所以函数f(x)=的单调递减区间即为函数u=-x2+2x+1的单调递增区间.又u=-x2+2x+1的单调递增区间为(-∞,1],所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1]. 11.已知函数f(x)满足f(x-y)=,且f(1)<f(3),请写出一个符合上述条件的函数f(x)= 2x(答案不唯一) .  解析　令f(x)=2x,显然f(x)=2x在定义域上单调递增,满足f(1)<f(3),且f(x-y)=2x-y=,即满足f(x-y)=,所以f(x)=2x符合题意. 12.当x∈(-∞,-1]时,不等式1+2x+4xa≥0恒成立,则a的取值范围是 [-6,+∞) .  解析　当x∈(-∞,-1]时,不等式1+2x+4xa≥0恒成立可转化为-a≤=+恒成立.易知函数y=+是R上的减函数,因此当x∈(-∞,-1]时,ymin=+=6,所以-a≤6,即a≥-6. 四、解答题 13.已知函数f(x)=. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最大值等于,求实数a的值. 解　(1)不论a取何值,y=|x|-a在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,又y=是减函数,因此f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞). (2)由于f(x)的最大值是,且=,所以g(x)=|x|-a应该有最小值-2,即g(0)=-2,从而a=2. 14.已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值; (2)判断函数y=f(x)的单调性并简要说明理由; (3)求函数f(x)的值域. 解　(1)因为函数f(x)=是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得a=1.当a=1时,f(x)=,f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数,故a=1. (2)f(x)==1-,设x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为x1>x2,所以->0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在R上单调递增. (3)f(x)=1-(x∈R),因为22x∈(0,+∞),所以0<<2,所以函数f(x)的值域为(-1,1). 素养提升 15.(多选题)(2025·南京调研)已知函数f(x)=a+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是 (ABD) A.a+b=0 B.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0 C.若x<y<0,则f(x)<f(y) D.f(x)的值域为[0,2) 解析　因为函数f(x)=a+b的图象过原点,所以a+b=0,即b=-a,f(x)=a-a,且f(x)的图象无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,所以b=2,a=-2,f(x)=-2·+2,故A正确;由于f(x)为偶函数,故若f(x)=f(y),且x≠y,则x=-y,即x+y=0,故B正确;由于在(-∞,0)上,f(x)=2-2·2x单调递减,故若x<y<0,则f(x)>f(y),故C错误;因为∈(0,1],所以f(x)=-2·+2∈[0,2),故D正确.故选ABD. 16.已知函数f(x)=4x+(k∈R)为定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的最小值为1,则a= 2 .  解析　由题意知f(-x)=f(x),得4-x+k·4x=4x+k·4-x,整理得(k-1)(4x-4-x)=0,所以k=1,所以f(x)=4x+,g(x)=4x+-a=-a+2.令u=2x-(x≥0),则h(u)=u2-au+2.易知u=2x-在[0,+∞)上单调递增,所以u≥0.因为g(x)在x∈[0,+∞)上的最小值是1,所以h(u)在u∈[0,+∞)上的最小值是1.当a≥0时,h(u)min=h=-+2=1,解得a=2或a=-2(舍去).当a<0时,h(u)min=h(0)=2≠1,不符合题意,舍去.综上,a=2. 微练(十六)　对数函数 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.函数y=的定义域为(A) A.(1,2] B.(-∞,2] C.(1,+∞) D.[2,+∞) 解析　因为y=,所以解得1<x≤2.故选A. 2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=(A) A.log2x B. C.lox D.2x-2 解析　由题意,得f(x)=logax(a>0,且a≠1),因为f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2,所以f(x)=log2x.故选A. 3.已知a=sin 4,b=ln 2,c=20.3,则(C) A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 解析　因为π<4<,所以a=sin 4<0.因为ln 1<ln 2<ln e,所以0<b<1.又c=20.3>20=1,所以a<b<c.故选C. 4.如果lox<loy<0,那么(D) A.y<x<1 B.x<y<1 C.1<x<y D.1<y<x 解析　因为lox<loy<lo1,所以x>y>1.故选D. 5.设a=log23,b=log4x,c=log865,若a,b,c中b既不是最小的也不是最大的,则x的取值范围是(A) A.(9,6) B.(3,6) C.[9,6] D.[3,6] 解析　因为a=log23 =log827<log865=c,所以a<b<c,所以log23<log4x<log865,所以log23<log2<log26,所以3<<6,得9<x<6,即x的取值范围是(9,6),故选A. 6.若函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是(D) A.[-2,2] B.(-∞,2] C.[0,1] D.[0,+∞) 解析　当-1<x≤1时,f(x)=log2(x+1)∈(-∞,1],又函数f(x)的值域为R,①当a≤1时,x2-2ax>1-2a,所以1-2a≤1,解得a≥0,所以0≤a≤1;②当a>1时,(x2-2ax)min=-a2,所以只需-a2≤1,显然成立,所以a>1.综上,a的取值范围是[0,+∞).故选D. 二、多项选择题 7.关于函数f(x)=lg,下列说法正确的有 (ACD) A.f(x)的定义域为(-1,1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0,1)上单调递增 解析　因为f(x)=lg=lg,所以>0,解得-1<x<1,所以f(x)的定义域为(-1,1),故A正确;因为f(-x)=lg=-f(x),所以f(x)的图象关于原点对称,故B错误,C正确;对于D,因为y=-1在(0,1)上单调递增,y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以y=lg在(0,1)上单调递增,故D正确.故选ACD. 8.(2025·湖南联考)已知函数f(x)=lg,则 (ACD) A.f(x)的最小值为1 B.∃x∈R,f(1)+f(x)=2 C.f(log92)>f D.f>f 解析　f(x)=lg≥lg 10=1,当且仅当x=时,f(x)取得最小值1,A正确.因为当且仅当x=时,f(x)取得最小值,且最小值为1,所以f(1)>1,所以∀x∈R,f(1)+f(x)>2,B错误.易知f(x)的图象关于直线x=对称,因为0<log92=<=,所以>,又=,且f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(log92)>f,C正确.因为90.1=30.2>30.18>1,所以90.1->30.18->,所以D正确,故选ACD. 三、填空题 9.已知函数y=loga(x-1)+4的图象恒过定点P,则点P的坐标是 (2,4) .  解析　对于函数y=loga(x-1)+4,令x-1=1,解得x=2,则y=4,所以函数y=loga(x-1)+4的图象恒过定点(2,4),即点P的坐标是(2,4). 10.若loga(a+1)<loga(2)<0,则实数a的取值范围是  .  解析　依题意loga(a+1)<loga(2)<loga1,所以或解得<a<1. 11.(2025·云南曲靖质检)如图,在第一象限内,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=lox,y=,y=的图象上,且矩形的边分别与两坐标轴平行,若A点的纵坐标是2,则D点的坐标是  .  解析　由题意,知A点在函数y=lox的图象上,所以2=lox,解得x=,故A点坐标为,因为点B在函数y=的图象上,AB∥x轴,所以2=,x=8,因为点C在函数y=的图象上,BC∥y轴,所以y==,则C点坐标为,所以D点的坐标是. 四、解答题 12.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,且a≠1),且f(1)=2. (1)求a的值及f(x)的定义域; (2)求f(x)在区间上的最大值. 解　(1)因为f(1)=2,所以loga4=2(a>0,且a≠1),所以a=2.由得-1<x<3,所以函数f(x)的定义域为(-1,3). (2)因为f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],所以当x∈(-1,1]时,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,f(x)单调递减,故函数f(x)在上的最大值是f(1)=2. 13.已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数. (1)求a的值与函数f(x)的定义域; (2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围. 解　(1)因为函数f(x)=log2是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以log2=-log2,即log2=log2,所以a=1,f(x)=log2,令>0,解得x<-1或x>1,所以函数的定义域为{x|x<-1,或x>1}. (2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),当x>1时,x+1>2,所以log2(1+x)>log22=1.因为x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,所以m≤1,所以m的取值范围是(-∞,1]. 素养提升 14.(多选题)已知实数x,y,z满足z·ln x=z·ey=1,则下列关系式可能成立的是 (ABC) A.x>y>z B.x>z>y C.z>x>y D.z>y>x 解析　由题知实数x,y,z 满足ln x=ey=,在同一直角坐标系中分别作出函数y=ln x,y=ex,y=的大致图象如图所示,再分别作出与x轴平行且与三个函数图象均相交的直线,依次记为y=m1,y=m2,y=m3,如图所示.由直线y=m1与三个函数图象的交点情况可得z>x>y,由直线y=m2与三个函数图象的交点情况可得x>z>y,由直线y=m3与三个函数图象的交点情况可得x>y>z.故选ABC. 15.(2025·贵阳适应性考试)设方程3x·|log3x|=1的两根为x1,x2(x1<x2),则(C) A.0<x1<1,x2>3 B.x1> C.0<x1x2<1 D.x1+x2>4 解析　由题意可得x2>x1>0,由3x·|log3x|=1得,|log3x|-=0,设f(x)=|log3x|-,则f(1)=-<0,f(3)=1->0,f=1->0,所以f(1)f<0,f(1)f(3)<0,所以x1∈,x2∈(1,3),故A错误.|log3x1|-=|log3x2|-=0,得|log3x2|-|log3x1|=-,因为x1∈,x2∈(1,3),所以log3x2+log3x1=-<0,所以log3(x2x1)<0,即0<x1x2<1,所以x1<,故B错误,C正确.由x1∈,x2∈(1,3),得x1+x2<4,故D错误.故选C. 16.(2024·山东淄博一模)设方程ex+x+e=0,ln x+x+e=0的根分别为p,q,函数f(x)=ex+(p+q)x,令a=f(0),b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为 a>c>b .  解析　由ex+x+e=0得ex=-x-e,由ln x+x+e=0得ln x=-x-e,则直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象交点的横坐标分别为p,q.函数y=ex,y=ln x互为反函数,则它们的图象关于直线y=x对称,又直线y=-x-e垂直于直线y=x,因此直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象的交点关于直线y=x对称,即点(p,q)在直线y=-x-e上,则p+q=-e,f(x)=ex-ex,于是f(0)=1,f=-e<1,f=-e=e<3×=1,而f-f=-e-=(e--1)>0,所以f(0)>f>f,即a>c>b. 学科网（北京）股份有限公司 $$