核心微练13-14-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习

微练(十三)　抽象函数 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知函数f(2x+1)的定义域为[-1,2],则函数y=的定义域为(B) A.{x|-1<x≤2} B.{x|-1<x≤5} C.{x|-1<x≤} D.{x|-1≤x≤5} 解析　f(2x+1)的定义域为[-1,2],由x∈[-1,2],得2x+1∈[-1,5],因此f(x)的定义域为[-1,5],所以函数y=的自变量x满足-1≤x≤5,x+1≠0,得-1<x≤5,故选B. 2.若f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数是奇函数的是(C) A.y=f(2x+2-x) B.y=f(2x-x) C.y=f(2x-2-x) D.y=f(2x+x) 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)=-f(x).对于A,函数y=f(2x+2-x),f(2-x+2x)=f(2x+2-x),所以函数y=f(2x+2-x)不是奇函数;对于B,函数y=f(2x-x),f(2-x+x)≠-f(2x-x),所以函数y=f(2x-x)不是奇函数;对于C,函数y=f(2x-2-x),f(2-x-2x)=-f(2x-2-x),所以函数y=f(2x-2-x)是奇函数;对于D,函数y=f(2x+x),f(2-x-x)≠-f(2x+x),所以函数y=f(2x+x)不是奇函数.故选C. 3.函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R上的奇函数,若f(1)=2,则f(2 025)=(D) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析　因为y=f(x-2)为奇函数,所以y=f(x)的图象关于点(-2,0)对称,即f(-x)+f(x-4)=0,又y=f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),则f(x)=f(x-4),即f(x+4)=f(x),所以y=f(x)的周期为4,故f(2 025)=f(1+2 024)=f(1)=2.故选D. 4.(2025·常州质检)函数f(x)的定义域为R,且f(1+x)=-f(1-x),f(2+x)=f(2-x),则f(x)是(A) A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数 解析　解法一:因为f(1+x)=-f(1-x),所以f(x)的图象关于(1,0)中心对称;因为f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)是以4为周期的周期函数,则f(x+2)=f(x-2).又f(2+x)=f(2-x),所以f(x-2)=f(2-x),所以f(x)的图象关于y轴对称,f(x)是偶函数. 解法二:因为f(1+x)=-f(1-x),所以f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x).因为f(2+x)=f(2-x),所以f(2-x)=-f(-x),即f(2+x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,则f(x+2)=f(x-2).因为f(2+x)=f(2-x),所以f(x-2)=f(2-x),所以f(x)=f(-x),f(x)是偶函数.故选A. 5.已知函数f(x+2)是R上的偶函数,且f(x)在[2,+∞)上恒有<0(x1≠x2),则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(C) A.(-∞,e)∪(e3,+∞) B.(1,e2) C.(e,e3) D.(e,+∞) 解析　因为函数f(x+2)是R上的偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,在[2,+∞)上恒有<0(x1≠x2),当x1<x2时,f(x1)>f(x2),所以f(x)在[2,+∞)上单调递减,f(x)在(-∞,2)上单调递增,不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x-2|<|1-2|⇒1<ln x<3,解得e<x<e3.故选C. 二、多项选择题 6.已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 (ACD) A.f(0)= B. f(x)为奇函数 C. f(x)为周期函数 D. f(2)=- 解析　取x=1,y=0代入4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),得4f(1)f(0)=f(1)+f(1)=2f(1),解得f(0)=,故A正确,B错误;令y=1,则4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1),即f(x)=f(x+1)+f(x-1),故f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)=-f(x+3)=f(x+1)-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,故C正确;又f(0)=,f(1)=,所以f(2)=-,故D正确.故选ACD. 三、填空题 7.写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)= 2sinx(答案不唯一) .  ①f(x)是定义域为R的奇函数; ②f(1+x)=f(1-x); ③f(1)=2. 解析　由①②③可知函数f(x)是对称轴为x=1,定义域为R的奇函数,且f(1)=2,可写出满足条件的函数f(x)=2sinx. 8.已知函数f(x)对∀x∈R满足f(x+2)·f(x)=2f(1),且f(x)>0.若y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(0)=1,则f(2 025)= 2 .  解析　因为y=f(x-1)的图象关于x=1对称,所以y=f(x)的图象关于x=0对称,即y=f(x)是偶函数.对于f(x+2)·f(x)=2f(1),令x=-1,可得f(1)f(-1)=2f(1),又f(x)>0,所以f(-1)=2,则f(1)=f(-1)=2,所以函数f(x)对∀x∈R满足f(x+2)f(x)=4,所以f(x+4)f(x+2)=4,所以f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数,所以f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=2. 四、解答题 9.已知f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=3f(x)f(y),f(1)=. (1)证明:f(x)是偶函数; (2)求f(k). 解　(1)证明:f(x)的定义域为R,令x=1,y=0,得f(1+0)+f(1-0)=3f(1)f(0),所以f(0)=,令x=0,得f(0+y)+f(0-y)=3f(0)f(y),所以f(-y)=f(y),即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数. (2)令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=3f(x)f(1)=f(x)　①,所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)　②,由①,②知,f(x+2)+f(x-1)=0,所以f(x+3)+f(x)=0,即f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期是6.由②得,f(2)+f(0)=f(1),所以f(2)=-,同理f(3)+f(1)=f(2),所以f(3)=-,又由f(x)是偶函数且周期为6可得,f(4)=f(-2)=f(2)=-,f(5)=f(-1)=f(1)=,f(6)=f(0)=,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,所以f(k)=337f(k)+f(1)+f(2)+f(3)=-. 10.已知定义域为I=(-∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x)满足对任意x1,x2∈I都有f(x1x2)=x1f(x2)+x2f(x1). (1)求证:f(x)是奇函数; (2)设g(x)=,且当x>1时,g(x)<0,求不等式g(x-2)>g(x)的解集. 解　(1)证明:令x1=x2=1,得f(1)=0,令x1=x2=-1,得f(-1)=-f(1)=0,令x1=x,x2=-1,得f(-x)=xf(-1)-f(x)=-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)因为f(x1x2)=x1f(x2)+x2f(x1),所以=+,所以g(x1x2)=g(x1)+g(x2),设x1>x2>0,则>1,所以g<0.因为g(x1)=g=g(x2)+g<g(x2),所以g(x)在(0,+∞)上是减函数.因为g(-x)===g(x),所以g(x)是偶函数,所以g(|x-2|)>g(|x|),所以解得x>1且x≠2,所以不等式g(x-2)>g(x)的解集为{x|1<x<2或x>2}. 微练(十四)　幂函数与指、对数式的运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.幂函数y=xα中的α的取值集合C是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为(C) A. B. C. D. 解析　y=x-1的定义域和值域都为(-∞,0)∪(0,+∞);y=的定义域和值域都为[0,+∞);y=x的定义域和值域都为R;y=x3的定义域和值域都为R;y=x0的定义域为{x|x≠0},值域为{1};y=x2的定义域为R,值域为[0,+∞).故选C. 2.已知点在幂函数f(x)=xn的图象上,设a=f,b=f(ln π),c=f,则a,b,c的大小关系为(C) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b 解析　因为点在函数f(x)的图象上,所以=2n,解得n=-3,所以f(x)=x-3,易知当x>0时,f(x)单调递减.因为<<1,ln π>ln e=1,所以f>f>f(ln π),即a>c>b.故选C. 3.若代数式+有意义,则+2=(B) A.2 B.3 C.2x-1 　D.x-2 解析　由+有意义,得解得≤x≤2.所以x-2≤0,2x-1≥0,所以+2=+2|x-2|=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.故选B. 4.下列运算正确的是(D) A.2lo10+lo0.25=2 B.log427×log258×log95= C.2lg 2-lg =1 D.lo(2-)-(log2)2=- 解析　对于A,2lo10+lo0.25=lo(102×0.25)=lo25=-2,故A错误;对于B,log427×log258×log95=××=×·=,故B错误;对于C,2lg 2-lg =lg 4+lg 25=lg 100=lg 102=2,故C错误;对于D,lo(2-)-(log2)2=lo-=-1-=-,故D正确.故选D. 5.某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a,b).”某学生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错,误按“log(b,a)”,所得结果为正确值的4倍,则下列结论正确的是(C) A.a=2b B.b=2a C.a=b2 D.b=a2 解析　由题意,得logba=4·logab,所以=,即(ln a)2=(2ln b)2.因为a>1且b>1,所以ln a=2ln b,即a=b2,故选C. 6.点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”,为机械声源中最基本的辐射体,点声源在空间中传播时,衰减量ΔL与传播距离r(单位:米)的关系视为ΔL=10lg(单位:dB),取lg 5≈0.7,则r从5米变化到80米时,衰减量的增加值约为(C) A.18 dB B.20 dB C.24 dB D.27 dB 解析　当r=5时,ΔL1=10lg,当r=80时,ΔL2=10lg 1 600π,则衰减量的增加值约为ΔL2-ΔL1=10lg 1 600π-10lg=80lg 2=80(lg 10-lg 5)≈80×(1-0.7)=24.故选C. 二、多项选择题 7.已知a,b∈R,4a=b2=9,则2a+b的值可能为(BD) A. B. C. D.24 解析　由4a=9,解得a=log49=lo32=log23,当b2=9时,解得b=3=log28或b=-3=log2,当b=log28时,a+b=log23+log28=log2(3×8)=log224,所以2a+b=24,当b=log2时,a+b=log23+log2=log2=log2,所以2a+b=.故选BD. 8.(2024·重庆调研)已知3a=5b=15,则下列结论正确的是 (ABD) A.lg a>lg b B.a+b=ab C.> D.a+b>4 解析　因为3a=5b=15,所以a=log315,b=log515.对于A,根据对数函数的性质可知,若真数相同且真数大于1,则当底数大于1时,底数越大,函数值越小,所以a>b,所以lg a>lg b,(另解:a=log315=log3(3×5)=1+log35,b=log515=log5(5×3)=1+log53,因为log35>1>log53,所以a>b,所以lg a>lg b),故A正确;对于B,易知a>0,b>0,所以=log153,=log155,(logab=(a,b均大于0且均不等于1))所以+=log153+log155=log15(3×5)=1,所以=1,即a+b=ab,故B正确;对于C,根据y=是减函数,a>b,得<,故C错误;对于D,由题意知,a>0,b>0且a≠b,所以结合基本不等式知,a+b>2,又a+b=ab,所以ab>2,解得ab>4,即a+b>4,故D正确.故选ABD. 三、填空题 9.计算log3+lg 25+lg 4++=  .  解析　原式=log3+lg 52+lg 22+2+=+2lg 5+2lg 2+2+2=+2(lg 5+lg 2)+2+2=+2+2+2=. 10.若ex=2 024,e-y=1 012,则x+y= ln 2 .  解析　ex=2 024,e-y=1 012,则==2,即ex+y=2,则x+y=ln 2. 11.(2025·洛阳模拟)已知3a=5b=m,且+=1,则实数m的值为 45 .  解析　由3a=5b=m,可知m>0,显然m≠1.则a=log3m=,b=log5m=,所以=,=,由+=1,可得==logm45=1,所以m=45. 四、解答题 12.计算下列各式: (1)(lg 2)2+lg 5·lg 20; (2)lo4-log23·lo8; (3)++(1.5)-4·-[(-2)4. 解　(1)原式=(lg 2)2+lg 5·lg(4×5)=(lg 2)2+2lg 5·lg 2+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=1. (2)原式=4log22+3log23·log32=4+3=7. (3)原式=2+1+·-4=3+-4=-. 13.某工厂产生的废气,过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物,请解决下列问题: (1)10 h后还剩百分之几的污染物? (2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)?(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) 解　(1)由P=P0e-kt可知,当t=0时,P=P0;当t=5时,P=(1-10%)P0,于是有(1-10%)P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.9,那么P=P00.,所以当t=10时,P=0.81P0,即10 h后还剩下81%的污染物. (2)当P=50%P0时,0.5P0=P00.,解得t=5log0.90.5=-5log0.92=-5×=-5×≈33,即污染物减少50%大约需要花33 h. 素养提升 14.(2025·陕西商洛模拟)若a>0且a≠1,log3a=b,log4a=c,且b=cd,则dlog23=(A) A.2 B. C.3 D. 解析　由题意得d====log34,所以dlog23=log34×log23===2.故选A. 15.(多选题)溶液酸碱度是通过pH来计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升,则纯净水的pH是7.当pH<7时,溶液呈酸性,当pH>7时,溶液呈碱性,当pH=7(例如:纯净水)时,溶液呈中性,我国规定饮用水的pH值在6.5~8.5之间,则下列选项正确的是(参考数据:lg 2≈0.3) (ABC) A.若苏打水的pH是8,则苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升 B.若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升,则胃酸的pH约为1.6 C.若海水中的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍,则海水的pH是8.6 D.若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升,则该种水适合饮用 解析　对于A,若苏打水的pH是8,则8=-lg[H+],所以[H+]=10-8摩尔/升,所以A正确;对于B,若胃酸中[H+]=2.5×10-2摩尔/升,则pH=-lg[H+]=-lg(2.5×10-2)=-=-(lg 5-lg 2-2)=-(1-2lg 2-2)=1+2lg 2≈1+2×0.3=1.6,所以B正确;对于C,若海水中的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍,则海水中的氢离子浓度[H+]=10-7×10-1.6=10-8.6摩尔/升,所以海水的pH=-lg[H+]=-lg(10-8.6)=8.6,所以C正确;对于D,若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升,即[H+]=4×10-7摩尔/升,则其pH=-lg[H+]=-lg(4×10-7)=-(2lg 2-7)≈7-2×0.3=6.4<6.5,所以该种水不适合饮用,所以D错误.综上,选ABC. 16.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a+2b= 8 .  解析　由logab+logba=,且logab·logba=1,所以logab,logba是方程x2-x+1=0的两根,解得logba=2或logba=,又a>b>1,所以logba=2,即a=b2,又ab=ba,从而=ba,则a=2b,且a=b2,则b=2,a=4,所以a+2b=8. 学科网（北京）股份有限公司 $$