核心微练11-12-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数对称性与性质综合应用，依据高考评价体系梳理了奇偶性、周期性、单调性等核心考点。通过真题分析明确“奇偶性与周期性结合”“对称性应用”等高频考点分布，归纳出单调性判断、解析式求解等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题实例解析+性质综合应用+思维建模”，如第2题结合奇函数与对称性推导单调性，培养学生逻辑推理素养。通过“性质转化法”突破考点，帮助学生掌握区间转化、周期简化等答题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

微练(十一)　函数的对称性 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.函数f(x)=的图象(B) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于坐标原点对称 D.关于直线y=x对称 解析　因为f(x)==3x+3-x,易知f(x)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称.故选B. 2.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),在区间(0,1)上,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则下列说法正确的是(C) A.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 B.函数f(x)的图象关于直线x=2轴对称 C.在区间(2,3)上,f(x)单调递减 D.f>f 解析　f(4-x)=f(2-(x-2))=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x),即f(4-x)+f(x)=0,故f(x)的图象关于点(2,0)中心对称;因为f(2-x)=f(x),则f(x)的图象关于直线x=1轴对称,故A,B错误;根据题意可得,f(x)在(0,1)上单调递增,因为f(x)的图象关于直线x=1轴对称,关于点(2,0)中心对称,则f(x)在(2,3)上单调递减,故C正确;又因为f(x)=f(2-x)=-f(x-2),则f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期为4,则f=f<f,故D错误. 3.已知函数f(x)=-x2+bx+c,且f(x+1)是偶函数,则f(-1),f(1),f(2)的大小关系是(D) A.f(-1)<f(1)<f(2) B.f(1)<f(2)<f(-1) C.f(2)<f(-1)<f(1) D.f(-1)<f(2)<f(1) 解析　已知函数f(x)=-x2+bx+c,且f(x+1)是偶函数,则令g(x)=f(x+1)=-(x+1)2+b(x+1)+c=-x2+(b-2)x+c+b-1是偶函数,g(-x)=g(x),所以b=2,所以f(x)=-x2+2x+c,其对称轴为x=1,函数图象为抛物线开口朝下,函数f(x)=-x2+2x+c,在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则f(-1),f(1),f(2)的大小关系是:f(-1)<f(2)<f(1),故选D. 4.已知函数f(2x+1)是奇函数,则函数y=f(2x)的图象的一个对称中心是(C) A.(1,0) B.(-1,0) C. D. 解析　f(2x+1)是奇函数,所以其图象关于原点成中心对称,而f(2x)的图象是由f(2x+1)的图象向右平移个单位长度得到的,故其图象关于点成中心对称.故选C. 5.定义在R上的非常数函数f(x)满足:f(x+10)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定(A) A.是偶函数,也是周期函数 B.是偶函数,但不是周期函数 C.是奇函数,也是周期函数 D.是奇函数,但不是周期函数 解析　易知直线x=5和x=10是f(x)的图象的两条对称轴,所以10是f(x)的一个周期,则直线x=0也是f(x)的图象的对称轴,所以f(x)是偶函数.故选A. 6.已知f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=-3x2+2,则f=(B) A.- B. C.- D. 解析　因为f(x+1)为奇函数,所以f(x+1)的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(2-x)=-f(x).因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)的图象关于y轴对称,则f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)是以4(2-1)=4为周期的周期函数.又当x∈[1,2]时,f(x)=-3x2+2,所以f=f=f=-f=-f=.故选B. 7.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称,则b=(C) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析　解法一:因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,f(x)+f(2-x)=0,即x3+ax2+x+b+(2-x)3+a(2-x)2+(2-x)+b=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0,所以解得故选C. 解法二:由题意可得,所以故选C. 8.已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)的图象与y=f(4-x)的图象(A) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 解析　设P(x0,y0)为y=f(x+2)图象上任意一点,则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)),所以点Q(2-x0,y0)在函数y=f(4-x)的图象上,而P(x0,y0)与Q(2-x0,y0)关于直线x=1对称,所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称.故选A. 二、多项选择题 9.设函数f(x)=2x-1+21-x,则下列说法错误的是 (ABD) A.f(x)在(0,+∞)上单调递增 B.f(x)为奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 解析　因为f(x)=2x-1+21-x,所以f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x),即f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C 正确,A、D错误;因为f(-1)≠-f(1),所以f(x)不是奇函数,故B错误.故选ABD. 10.(2025·长沙四校联考)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,则下列说法正确的是 (ABC) A.f(x)=f(-x) B.f(2+x)+f(2-x)=0 C.f(-x)=-f(x+4) D.f(x+2)=f(x-2) 解析　因为f(x)为偶函数,则 f(x)=f(-x),故A正确;因为f(x)的图象关于点(2,0)对称,则f(x)的图象上的点(x,y)关于(2,0)的对称点(4-x,-y)也在函数图象上,即f(4-x)=-y=-f(x),用2+x替换x得f(4-(2+x))=-f(2+x),即f(2+x)+f(2-x)=0,故B正确;由f(2+x)+f(2-x)=0,令x+2替换x,可得f(x+4)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x+4),故C正确;由B知,f(2+x)=-f(2-x)=-f(x-2),故D错误.故选ABC. 11.关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题,其中正确的是 (BCD) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的图象关于直线x=对称 D.f(x)的图象关于点(π,0)对称 解析　因为f(x)=sin x+的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故A错误,B正确.因为f=cos x+,f=cos x+,所以f=f,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故C正确.又f(x+2π)=sin(x+2π)+=sin x+,f(-x)=-sin x-,所以f(x+2π)=-f(-x),所以f(x)的图象关于点(π,0)对称,故D正确.故选BCD. 三、填空题 12.已知函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,则a= 2 .  解析　因为函数y=2|x|的图象关于y轴对称,将函数y=2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y=2|x-2|的图象,所以函数y=2|x-2|的图象关于直线x=2对称,故a=2. 13.(2025·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x+3)是偶函数,当x≥3时,f(x)=log2x,则不等式f(2x+2)>f(x-1)的解集为  .  解析　因为y=f(x+3)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=3对称.因为当x≥3时,f(x)=log2x,所以f(x)在[3,+∞)上单调递增,所以|2x+2-3|>|x-1-3|,即|2x-1|>|x-4|,所以(2x-1)2>(x-4)2,即3x2+4x-15>0,解得x<-3或x>. 14.写出一个同时满足条件:①f(x+2)=f(x),②f(1-x)=f(1+x)的非常数函数,f(x)= cos πx(形如acos πx+b或a+b或a+b等) .  解析　因为f(x+2)=f(x),f(1-x)=f(1+x),所以函数的周期T=2,函数的对称轴为直线x=1,故可取函数f(x)=cos πx. 素养提升 15.已知函数y=f(x)-1是奇函数,若曲线y=1+与曲线y=f(x)共有6个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则(xi+yi)= 6 .  解析　因为y=f(x)-1为奇函数,所以y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.又y=1+的图象关于点(0,1)对称,所以x1+x2+…+x6=0,y1+y2+…+y6=3×2=6,所以(xi+yi)=(x1+x2+…+x6)+(y1+y2+…+y6)=6. 16.已知函数f(x)=log2|x-2|+x2-4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性; (2)求f(x)的单调区间. 解　(1)f(x)的图象关于直线x=2对称. 证明:由|x-2|>0,得x≠2,所以f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).因为f(2-x)=log2|x|+(2-x)2-4(2-x)=log2|x|+x2-4,f(2+x)=log2|x|+(2+x)2-4(2+x)=log2|x|+x2-4,所以f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称. (2)设y1=log2|x-2|,y2=x2-4x,当x>2时,y1=log2|x-2|=log2(x-2)单调递增,y2=x2-4x也单调递增,故f(x)=log2|x-2|+x2-4x在(2,+∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x=2对称,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(-∞,2). 微练(十二)　函数性质的综合应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.已知偶函数f(x)满足f(x)=x2+2-x(x≤0),则f(x)在(0,+∞)上(A) A.单调递增 B.单调递减 C.先递增后递减 D.先递减后递增 解析　f(x)=x2+,由y=x2与y=在(-∞,0]上单调递减,得f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.故选A. 2.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(A) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 解析　因为f(x)是偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).故选A. 3.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(1+x)=f(1-x),当0≤x≤1时,f(x)=ex-1,则当2≤x≤3时,f(x)的解析式为(A) A.f(x)=1-ex-2 B.f(x)=ex-2-1 C.f(x)=1-ex-1 D.f(x)=ex-1-1 解析　解法一:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(1+x)=f(1-x),所以f(1+(x+1))=f(1-(x+1)),即f(x+2)=f(-x),则f(x+2)=-f(x),即f(x)=-f(x-2).因为当0≤x≤1时,f(x)=ex-1,所以当2≤x≤3时,0≤x-2≤1,f(x)=-f(x-2)=-(ex-2-1)=1-ex-2.故选A. 解法二:因为函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),所以f(x)图象的对称轴为直线x=1,又f(x)是奇函数,所以f(2)=f(0)=0,故排除C、D;f(3)=f(-1)=-f(1)=-(e-1)=1-e,故排除B.故选A. 4.已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)-f(x)=f(1),且f(0)=8,则f(99)+f(100)=(C) A.0 B.6 C.8 D.16 解析　因为f(x)为偶函数,f(x+2)-f(x)=f(1),所以f(-1+2)-f(-1)=f(1),解得f(1)=0,所以f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为2,所以f(100)=f(0)=8,f(99)=f(1)=0,故f(99)+f(100)=8.故选C. 5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x<0时,f(x)=log2(-6x+2),则f的值为(B) A.-1 B.-2 C.2 D.1 解析　因为f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称,所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,又当-1≤x<0时,f(x)=log2(-6x+2),所以f=f=f=-f=-log2[-6×+2]=-log2 4=-2,故选B. 6.(2025·广西八市联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意实数x满足f(x)=f(2-x),且f(x)在[-2 023,-2 022]上单调递增,设a=f(-log32),b=f[ln(2e2)],c=f(2 021),则a,b,c的大小关系是(A) A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c 解析　根据题意可知f(x)=f(2-x)=f(x-2),则f(x)=f(x+2),所以函数f(x)是以2为周期的偶函数,又f(x)在[-2 023,-2 022]上单调递增,所以可得f(x)在[-1,0]上单调递增,根据偶函数的性质可知f(x)在[0,1]上单调递减.a=f(-log3 2)=f(log3 2)=f,b=f[ln(2e2)]=f(ln 2+ln e2)=f(ln 2+2)=f(ln 2),c=f(2 021)=f(1),显然ln 3>1,所以可得0<<ln 2<1,即f>f(ln 2)>f(1),即c<b<a.故选A. 7.(2025·安徽联考)已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x+2)=f(-x),f(x+1)=f(x)f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,则f(2 023)+f(2 024)=(A) A.6 B. C. D.4 解析　由f(x+1)=f(x)f(x+2),得f(x+2)=f(x+1)f(x+3),则f(x+2)=f(x)f(x+2)f(x+3),又f(x)>0,所以f(x)f(x+3) =1,即f(x+3)=,所以f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,所以f(2 023)=f(1+337×6)=f(1),f(2 024)=f(2+337×6)=f(2),则f(2 023)+f(2 024)=f(1)+f(2).对于f(x+1)=f(x)f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0,可得f(1)=f(0)f(2)=4,且f(0)=f(2),因为f(x)>0,所以f(0)=f(2)=2,则f(2 023)+f(2 024)=4+2=6,故选A. 二、多项选择题 8.设f(x)为定义在R上的函数,且f(x)-f(-x)=0,f(x+1)-f(x+3)=0,f(x)在[0,1]上单调递减,下列说法正确的是 (ABC) A.函数f(x)的图象关于y轴对称 B.函数f(x)的最小正周期为2 C.f(3)<f(4) D.函数f(x)在[2 025,2 026]上单调递减 解析　由f(x)-f(-x)=0可得f(x)=f(-x),故函数f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,所以A正确;由f(x+1)-f(x+3)=0可得f(x+1)=f(x+3),所以f(x)=f(x+2),所以函数f(x)的最小正周期为2,所以B正确;因为函数f(x)是偶函数,且在[0,1]上单调递减,最小正周期为2,故函数f(x)在[1,2]上单调递增,在[3,4]上单调递增,f(3)<f(4),故C正确;因为函数f(x)的最小正周期为2,所以函数f(x)在[2 025,2 026]上与在[1,2]上单调性一致,故函数f(x)在[2 025,2 026]上单调递增,所以D错误.故选ABC. 9.(2025·河南联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(-∞,0]上单调递减,则(BD) A.f[f(1)]<f[f(2)] B.f[g(1)]<f[g(2)] C.g[f(1)]<g[f(2)] D.g[g(1)]<g[g(2)] 解析　因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数,且两函数在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,g(x)在[0,+∞)上单调递减,即g(x)在R上单调递减,所以f(1)<f(2),g(2)<g(1)<g(0)=0,所以f[g(1)]<f[g(2)],g[f(1)]>g[f(2)],g[g(1)]<g[g(2)],故B,D正确,C不正确.若f(1)<f(2)<0,则f[f(1)]>f[f(2)],故A不正确.综上所述,选BD. 三、填空题 10.“函数f(x)=ax2-sin x是奇函数”的充要条件是实数a= 0 .  解析　若f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=0,所以a(-x)2-sin(-x)+ax2-sin x=0,2ax2=0,所以a=0. 11.已知函数f(x)为定义在R上的函数,对任意的x∈R,均有f(x+2)=f(2-x)成立,且f(x)在[2,+∞)上单调递减,若f(-1)=0,则不等式f(x-1)≥0的解集为 [0,6] .  解析　由题意,因为函数f(x)对任意的x∈R均有f(x+2)=f(2-x),所以可得函数f(x)的图象关于x=2对称,又由f(x)在[2,+∞)上单调递减,则f(x)在(-∞,2)上单调递增,因为f(-1)=0,可得f(5)=f(-1)=0,则不等式f(x-1)≥0,可得-1≤x-1≤5,解得0≤x≤6,所以不等式f(x-1)≥0的解集为[0,6]. 12.设g(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且满足g(x+1)为偶函数,g(x+2)为奇函数,则g(k)= 0 .  解析　由g(x+1)为偶函数,则函数g(x)关于直线x=1对称,则有g(-x)=g(2+x).由函数g(x+2)为奇函数,则函数g(x)关于点(2,0)对称,则-g(-x)=g(4+x),所以g(4+x)=-g(x+2).设t=x+2,则g(t+2)=-g(t),从而函数g(x)是周期为4的函数.又由函数g(x)关于(2,0)对称,可得g(1)+g(3)=0且g(2)=0,由g(2)=-g(0)=0可得g(0)=0,所以g(4)=0.因为g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0,所以g(k)=g(1)+g(2)+…+g(2 023)=505×[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)+g(2)+g(3)=505×0+0=0. 素养提升 13.(2025·东北师大附中模拟)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x)+f(10-x)=4,g(1)=2且g(x)+g(x+2)=2,则[f(i)+g(i)]=(C) A.24 B.26 C.28 D.30 解析　因为f(x)+f(10-x)=4,所以f(i)=[f(1)+f(9)]+[f(2)+f(8)]+[f(3) +f(7)]+[f(4)+f(6)]+[f(5)+f(5)]=4×4+2=18.因为g(x)+g(x+2)=2,所以g(x+2)+g(x+4)=2,两式相减得g(x+4)=g(x),所以g(x)是周期为4的周期函数.所以g(5)+g(6)+g(7)+g(8)=g(1)+g(2)+g(3)+g(4),g(9)=g(1).由g(x)+g(x+2)=2,可得g(1)+g(3)=2,g(2)+g(4)=2,则g(i)=2[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)=2×4+2=10.则[f(i)+g(i)]=18+10=28.故选C. 14.(多选题)(2025·湖北七市调研)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=,则下列结论正确的有 (BCD) A.函数f(x)的值域为(0,2] B.函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称 C.函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于直线x=1对称 D.若函数g(x)满足y=g(x+1)-1为奇函数,且其图象与函数f(x)的图象有2 024个交点,记为Ai(xi,yi)(i=1,2,…,2 024),则(xi+yi)=4 048 解析　对于A,因为2x+2>2,所以0<<2,所以函数f(x)的值域为(0,2),故A不正确;对于B,由题意,f(x)=,令F(x)=f(x+1)-1=-1,显然函数F(x)的定义域为R,关于原点对称,且F(x)+F(-x)=-1+-1=+-2=0,所以函数F(x)=-1是奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,故B正确;对于C,由f(x)关于(1,1)对称,可知f(x)+f(2-x)=2,两边求导:f'(x)-f'(2-x)=0,即f'(x)=f'(2-x),所以f'(x)关于x=1对称,故C正确;对于D,因为函数g(x)满足y=g(x+1)-1为奇函数,所以函数g(x)的图象关于点(1,1)中心对称,又函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,所以这2 024个交点关于点(1,1)对称,所以(xi+yi)=(x1+x2+…+x2 024)+(y1+y2+…+y2 024)=2 024+2 024=4 048,故D正确,选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $$