核心微练3-4-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习

微练(三)　等式性质与不等式性质 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.已知a>0,b>0,M=,N=+,则M与N的大小关系为(B) A.M>N B.M<N C.M≤N D.M,N大小关系不确定 解析　M2-N2=(a+b)-(a+b+2)=-2<0,所以M<N.故选B. 2.若a<b<0,c>d>0,则一定有(D) A.> B.< C.> D.< 解析　由题知a<b<0,c>d>0,则可取a=-2,b=-1,c=2,d=1,则==-1,==-1,故A错误,B错误;由于a<b<0,c>d>0,得-a>-b>0,c>d>0,则两式相乘得-ac>-bd,则不等式左右两边同时除以cd得>,再同时除以-1得<,故C错误,D正确. 3.已知-3<a<-2,3<b<4,则的取值范围为(A) A.(1,3) B. C. D. 解析　因为-3<a<-2,所以4<a2<9,而3<b<4,即<<,故的取值范围为(1,3).故选A. 4.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[-2.5]=-3.若[x-2]=-1,则x的取值范围为(D) A.(0,1] B.[0,1) C.(1,2] D.[1,2) 解析　由题意得解得1≤x<2.故选D. 5.“0<a<b”是“a-<b-”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数,所以当0<a<b时,a-<b-,充分性成立;当a-<b-时,(a-b)<0,不一定可以推出0<a<b,如a=-5,b=-2,(a-b)<0,但a<b<0,必要性不成立,所以“0<a<b”是“a-<b-”的充分不必要条件.故选A. 6.若c>b>a>0,则(A) A.abbc>acbb B.2ln b<ln a+ln c C.a->b- D.logac>logbc 解析　由于=ab-cbc-b=>1,所以abbc>acbb成立,故A正确;2ln b=ln b2,ln a+ln c=ln ac,b2与ac大小不能确定,故B错误;由于a--=(a-b)<0,故C错误;令c=1,则logac=logbc=0,故D错误.故选A. 二、多项选择题 7.已知a>b>c,则下列不等式一定成立的是(AD) A.a+b>2c B.a-b>b-c C.ac>bc D.< 解析　根据a>b>c,取a=1,b=0,c=-1,则可排除BC.因为a+b-2c=a-c+b-c>0,所以a+b>2c;因为-=<0,所以<.故选AD. 8.若0<a<1,b>c>1,则(AD) A.>1 B.> C.ca-1<ba-1 D.logca<logba 解析　对于A,因为b>c>1,所以>1,又0<a<1,则>=1,A正确;对于B,若>,则bc-ab>bc-ac,即a(c-b)>0,这与0<a<1,b>c>1矛盾,B错误;对于C,因为0<a<1,所以a-1<0,又因为b>c>1,所以ca-1>ba-1,C错误;对于D,因为0<a<1,b>c>1,所以logca<logba,D正确.故选AD. 三、填空题 9.已知M=x2+y2+z2,N=2x+2y+2z-π,则M > N(填“>”“<”或“=”).  解析　M-N=x2+y2+z2-2x-2y-2z+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≥π-3>0,故M>N. 10.若a,b同时满足下列两个条件: ①a+b>ab;②>. 请写出一组a,b的值 a=-1,b=2(答案不唯一) .  解析　容易发现,若将①式转化为②式,需使(a+b)ab<0,即a+b与ab异号,显然应使a+b>0,ab<0,当a<0,b>0时,要使a+b>0,则|a|<|b|,可取a=-1,b=2;当a>0,b<0时,要使a+b>0,则|a|>|b|,可取a=2,b=-1.综上,取任意两个异号的实数,且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 11.若1<α<3,-4<β<2,则2α+|β|的取值范围是 (2,10) .  解析　因为-4<β<2,所以0≤|β|<4,又1<α<3,所以2<2α<6,所以2<2α+|β|<10. 四、解答题 12.已知a+b>0,试比较+与+的大小. 解　+-=+=(a-b)·=.因为a+b>0,(a-b)2≥0,所以≥0.所以+≥+. 13.(1)若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤; (2)已知c>a>b>0,求证:>. 证明　(1)因为bc≥ad,>0,所以≥,所以+1≥+1,所以≤. (2)因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0.因为a>b>0,所以<.又因为c>0,所以<,所以<,又c-a>0,c-b>0,所以>. 素养提升 14.(多选题)(2025·济南联考)已知非零实数a,b满足a>|b|+1,则下列不等关系一定成立的是 (ABC) A.a2>b2+1 B.2a>2b+1 C.a2>4b D.>b+1 解析　对于A,因为b≠0,所以a>|b|+1>0+1=1,所以a2>(|b|+1)2=|b|2+2|b|+1>b2+1,故A正确;对于B,因为a>|b|+1≥b+1,所以2a>2b+1,故B正确;对于C,由A可得a2>b2+2|b|+1,则a2-4b>b2+2|b|+1-4b≥b2+2|b|+1-4|b|=(|b|-1)2≥0,所以a2>4b,故C正确;对于D,令a=4,b=2,满足a>|b|+1,但<b+1,故D错误.故选ABC. 15.若关于x的不等式a-2<2a-x<只有一个整数解2,则实数a的取值范围为  .  解析　由a-2<2a-x<可得2a-<x<a+2,因为原不等式只有一个整数解2,所以解得≤a≤1. 16.已知M=,N=,则M,N的大小关系为 M>N .  解析　解法一:M-N=-===>0.所以M>N. 解法二:令f(x)===+,显然f(x)是R上的减函数,所以f(2 023)>f(2 024),即M>N. 微练(四)　基本不等式 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.已知a,b∈(0,1)且a≠b,下列各式中最大的是(D) A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b 解析　易知只需比较a2+b2与a+b.由于a,b∈(0,1),所以a2<a,b2<b,所以a2+b2<a+b.故选D. 2.当x>1时,函数f(x)=的最大值为(A) A. B. C.1 D.2 解析　因为x>1,故f(x)==≤=,当且仅当x=,即x=2时,取等号,故f(x)=的最大值为.故选A. 3.已知a>0,b>0,若2a+b=4,则的最小值为(C) A. B.4 C. D.2 解析　因为4=2a+b≥2,所以0<ab≤2,≥,当且仅当a=1,b=2时取等号.故选C. 4.若正实数a,b满足a+4b=ab,则ab的最小值为(A) A.16 B.8 C.4 D.2 解析　因为正实数a,b满足a+4b=ab,所以ab=a+4b≥2=4,所以ab≥16,当且仅当a=4b,即a=8,b=2时等号成立.故选A. 5.若x<0,则函数y=x2+-x-的最小值是(D) A.- B.0 C.2 D.4 解析　y=x2+-x-≥2+2=4,当且仅当x=-1时取等号.故选D. 6.已知a,b为正实数,且a+2b=1,则+的最小值为(D) A.1+2 B.2+2 C.3+2 D.4+2 解析　正实数a,b满足a+2b=1,则+=(a+2b)+=1+(a+2b)=4++≥4+2=4+2,当且仅当=,即a=b=-1时取等号,所以当a=-1,b=1-时,+取得最小值4+2.故选D. 7.(2025·南宁模拟)某单位为提升服务质量,花费3万元购进了一套先进设备,该设备每年管理费用为0.1万元,已知使用x年的维修总费用为万元,则该设备年平均费用最少时的年限为(C) A.7 B.8 C.9 D.10 解析　设该设备年平均费用为y,由题意可得,y==++(x∈N*),因为x>0,则y=++≥2+=,当且仅当=,即x=9时,等号成立,所以该设备年平均费用最少时的年限为9.故选C. 8.(2025·西安模拟)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为(B) A.9 B.12 C.18 D.24 解析　由+≥,得m≤(a+3b)·=++6.又++6≥2+6=12,所以m≤12,所以m的最大值为12,故选B. 二、多项选择题 9.下列不等式一定成立的有(CD) A.≥2 B.2x(1-x)≤ C.x2+≥2-1 D.+≥2 解析　对于A,当x<0时,<0,故A不一定成立;对于B,2x(1-x)=-2x2+2x=-2+≤,故B不一定成立;对于C,x2+=x2+1+-1≥2-1=2-1,当且仅当x2+1=,即x2=-1时取等号,故C一定成立;对于D,+≥2=2,当且仅当=,即x=1时取等号,故D一定成立.故选CD. 10.若正实数a,b满足a+b=1,则下列结论正确的是(AC) A.+有最小值4 B.ab有最小值 C.+有最大值 D.a2+b2有最小值 解析　因为正实数a,b满足a+b=1,所以+=+=2++≥2+2=4(当且仅当a=b时取等号),故+有最小值4,故A正确;由基本不等式可得a+b=1≥2(当且仅当a=b时取等号),所以ab≤,故ab有最大值,故B不正确;因为(+)2=a+b+2=1+2≤2(当且仅当a=b时取等号),所以+≤,故+有最大值,故C正确;因为a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-=(当且仅当a=b时取等号),故a2+b2有最小值,故D不正确.故选AC. 三、填空题 11.若log2m+log2n=1,那么m+n的最小值是 2 .  解析　因为log2m+log2n=1,即log2(mn)=1,所以mn=2,由基本不等式可得m+n≥2=2,当且仅当m=n=时等号成立,故m+n的最小值是2. 12.若0<x<2,则x的最大值为 2 .  解析　因为0<x<2,所以x=≤=2,当且仅当x2=4-x2,即x=时,取等号. 13.(2025·湖南联考)若a>0,b>0,a+b=9,则+的最小值为 8 .  解析　由a>0,b>0,a+b=9,得+=+=4++≥4+2=8,当且仅当=,即a=6,b=3时等号成立,故+的最小值为8. 素养提升 14.(多选题)(2025·重庆调研)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则下列结论正确的是(BC) A.xy的取值范围是(0,9] B.x+y的取值范围是[2,3) C.x+2y的最小值是4-3 D.x+4y的最小值是3 解析　对于A,因为x>0,y>0,x+y+xy-3=0,所以3-xy=x+y≥2,所以0<≤1,即0<xy≤1,当且仅当x=y时取等号,故A不正确.对于B,由x+y+xy-3=0,得3-(x+y)=xy≤,当且仅当x=y时取等号,即(x+y)2+4(x+y)-12≥0,结合x>0,y>0,得x+y≥2.又3-(x+y)=xy>0,所以x+y<3,即2≤x+y<3,故B正确.对于C,由x+y+xy-3=0,得x==-1+,所以x+2y=-1++2y=+2(y+1)-3≥2-3=4-3,当且仅当=2(y+1),即y=-1时等号成立,故C正确.对于D,由C选项知x=-1+,则x+4y=-1++4y=+4(y+1)-5≥2-5=3,当且仅当=4(y+1),即y=0或y=-2时等号成立,而y>0,故不能取等号,所以x+4y>3,故D不正确.综上所述,选BC. 15.已知a>0,b>0,c>1,a+2b=2,则c+的最小值为(D) A. B.2 C.6 D. 解析　+=(a+2b)=≥×(5+4)=,当且仅当a=b=时等号成立,故c+≥(c-1)++≥2+=,当且仅当=,即c=且a=b=时,等号成立,故最小值为.故选D. 16.某公司生产的某批产品的销售量p万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足p=(其中0≤x≤a,a>0).已知生产该批产品还需投入成本6万元(不含促销费用),产品的销售价格定为元/件. (1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数; (2)设a>2,当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大? 解　(1)由题意可知,y=p-x-6,将p=代入化简得y=19--x(0≤x≤a). (2)因为19--x=22-≤22-3=10,当且仅当=x+2,即x=2时,取等号.故当a>2,促销费用投入2万元时,公司利润最大. 学科网（北京）股份有限公司 $$