第四章 三角函数与解三角形-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件全面覆盖三角函数与解三角形全章核心考点，依据高考评价体系梳理了任意角、弧度制、三角函数定义、同角关系、诱导公式、恒等变换、图象性质及正余弦定理等内容，通过近五年真题分析明确“三角求值”“图象性质应用”“解三角形”等高频考点权重，归纳12类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+分层突破+素养提升”，如以2024新课标Ⅱ卷三角恒等变换题为例，详解“角的拆分与组合”技巧，培养数学思维，设置“微专题强化”攻克ω取值范围等难点，总结“五点法作图”“边角互化”等解题模板，助力学生掌握得分关键，教师可依托“题组对点练”精准教学，实现高效冲刺。

第四章三角函数与解三角形 第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念 【课程标准】　1.了解任意角的概念;2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)分类:按旋转方向,角可以分成三类: 正角 、负角和 零角 .  (3)终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β= α+k·360°,k∈Z },即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.  [微点清]　终边相同的角不一定相等,但相等的角其终边一定相同. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:长度等于 半径长 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示,读作弧度.  (2)公式 角α的弧度数公式 |α|=(l表示弧长) 角度与弧度的换算 1°=rad; 1 rad= ° 弧长公式 l= |α|r 扇形面积公式 S=lr= |α|r2 [微点清]　角度与弧度换算的关键是π rad=180°,在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用. 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α= y ,cos α= x ,tan α=  (x≠0).  (2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦,如图. 微|点|延|伸 1.任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).(r=>0) 2.象限角与轴线角 3.一个结论 若α∈,则tan α>α>sin α. 小|题|快|练 1.(人A必一P184T2改编)已知角α的终边上有一点P(1,-2),则tan α的值为(B) A.2 B.-2 C. D.- 2.(人B必三P12练习AT4改编)教室里的钟表慢了30分钟,在同学们将它校正的过程中,时针所需要旋转的弧度数为(A) A.- B. C.- D. 解析　解法一:30分钟=小时,则时针所需要旋转的弧度数为-×=-.故选A. 解法二:在将钟表校正的过程中,易知时针顺时针旋转了15°,旋转角的大小为-15°,故时针所需要旋转的弧度数为-15×=-.故选A. 3.(多选题)(苏教必一P176习题7.1T2,3,5改编)下列说法正确的是(ACD) A.与1 920°终边相同的角中,最小正角是120° B.三角形的内角必是第一或第二象限角 C.22°30'化成弧度是 D.终边落在直线y=x上的角α的集合为{α|α=60°+k·180°,k∈Z} 解析　A.与1 920°终边相同的角为β=k·360°+1 920°=(k+5)·360°+120°,k∈Z,当k=-5 时,β=120°,所以与1 920°终边相同的角中,最小正角是120°,故A正确.B.因为三角形的内角的范围是(0,π),所以三角形的内角必是第一象限角或第二象限角或等于,故B错误.C.22°30'化成弧度是22.5×=,故C正确.D.易得直线y=x的倾斜角为60°,当角的终边在第一象限时,α=60°+k1·360°,k1∈Z;当角的终边在第三象限时,α=240°+k2·360°,k2∈Z.所以角α的集合为{α|α=k·180° +60°,k∈Z},故D正确.故选ACD. 4.(人A必一P175T6改编)半径为2的圆中,有一条弧长是,则此弧所对的圆心角是(C) A.15° B.20° C.30° D.40° 5.(苏教必一P181T6改编)已知α∈(0,2π),sin α<0,cos α>0,则角α的取值范围是(D) A. B. C. D. 解析　因为sin α<0,cos α>0,所以α为第四象限角,结合α∈(0,2π),得α∈,故选D. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　角的表示 自练自悟 1.(多选题)下列四个命题中正确的是(BCD) A.-是第二象限角 B.是第三象限角 C.-400°是第四象限角 D.-315°是第一象限角 解析　-是第三象限角,故A错误;=π+,所以是第三象限角,故B正确;-400°=-360°-40°,所以-400°是第四象限角,故C正确;-315°=-360°+45°,所以-315°是第一象限角,故D正确,故选BCD. 2.若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是(C) A.90°-α B.90°+α C.360°-α D.180°+α 解析　若α是第一象限角,则90°-α的终边在第一象限,90°+α的终边在第二象限,360°-α的终边在第四象限,180°+α的终边在第三象限,故选C. 3.若α是第一象限角,则-是(D) A.第一象限角 B.第一或第四象限角 C.第二象限角 D.第二或第四象限角 解析　由题意知,k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,则k·180°<<k·180°+45°,k∈Z,所以-k·180°-45°<-<-k·180°,k∈Z.当k为偶数时,-为第四象限角;当k为奇数时,-为第二象限角.所以-是第二或第四象限角.故选D. 4.如图所示,终边落在阴影部分的角α的取值集合为 {α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z} .  解析　终边落在射线OA上的角的集合是{β|β=k·360°+30°,k∈Z},终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ=k·360°+105°,k∈Z},所以终边落在阴影部分(含射线OA,不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}. 　　1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法:先写出kα或的范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置. 类型二　弧制度及应用 【例1】　已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l. (1)若α=,R=10 cm,求扇形的弧长l; (2)若扇形的周长是20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? (3)若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积. 解　(1)因为α=,R=10 cm,所以l=|α|R=×10=(cm). (2)由已知,得l+2R=20,所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25.所以当R=5 cm时,S取得最大值,此时l=10 cm,α=2. (3)设弓形面积为S弓形,由题意知l= cm,所以S弓形=××2-×22×sin=cm2. 　　应用弧度制解决问题时的注意点 1.利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. 2.求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题. 3.在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练】　(多选题)已知扇形的周长是6,面积是2,则下列选项可能正确的有(ABC) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2 解析　设扇形半径为r,圆心角弧度数为α,则由题意得解得或可得当圆的半径为1时,圆心角的弧度数为4;当圆的半径为2时,圆心角的弧度数为1.故选ABC. 类型三　三角函数的定义及应用 考向❶:三角函数的定义 【例2】　(2025·哈尔滨模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P,则sin α·tan α=(C) A.- B.± C.- D.± 解析　设O为坐标原点,则|OP|2=+y2=1,得y2=,即y=±.当y=时,sin α=,tan α=-,此时sin α·tan α=-;当y=-时,sin α=-,tan α=,此时sin α·tan α=-.所以sin α·tan α=-.故选C. 　　定义法求三角函数值的2种情况 1.已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值.先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解. 2.已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,再根据定义中的两个量,列方程求参数值. 考向❷:三角函数值的符号 【例3】　(1)若cos α·tan α<0,则角α的终边在(C) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 解析　因为cos α·tan α<0,所以cos α,tan α的值一正一负,所以角α的终边在第三、四象限.故选C. (2)设θ为第二象限角,则下列结论一定成立的是(C) A.sin>0 B.cos>0 C.tan>0 D.sincos<0 解析　因为θ为第二象限角,所以+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z.则+kπ<<+kπ,k∈Z,所以为第一或第三象限角,则tan>0.故选C. 　　判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,注意角的终边在坐标轴上的情况. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❷ 1.已知角α(0°<α<360°)的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边上A点坐标为(sin 310°,cos 310°),则α=(B) A.130° B.140° C.220° D.230° 解析　因为sin 310°<0,cos 310°>0,所以角α的终边在第二象限,又因为tan α======tan 140°,且0°<α<360°,所以α=140°.故选B. 2.(2025·河南联考)以坐标原点为顶点,x轴非负半轴为始边的角α,其终边落在直线y=x上,则有(C) A.sin α=- B.cos α= C.sin α+cos α=± D.tan α=±1 解析　因为角α的终边落在直线y=x上,所以α=+2kπ或α=+2kπ,k∈Z.对于A,当α=+2kπ,k∈Z时,sin α=,故A项错误.对于B,当α=+2kπ,k∈Z时,cos α=-,故B项错误.对于C,当α=+2kπ,k∈Z时,sin α+cos α=,当α=+2kπ,k∈Z时,sin α+cos α=-,故C项正确.对于D,当α=+2kπ,k∈Z时,tan α=1;当α=+2kπ,k∈Z时,tan α=1,故D项错误.故选C. 3.(多选题)若角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴且sin α·sin>0,则α的终边可能在(AC) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　因为sin=cos α,所以由sin α·sin>0,得sin α·cos α>0.若sin α>0,cos α>0,则α的终边在第一象限;若sin α<0,cos α<0,则α的终边在第三象限.故选AC. 第二节　同角三角函数基本关系式与诱导公式 【课程标准】　1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x; 2.能利用单位圆中的对称性推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2α+cos2α=1 .  (2)商数关系:=tan α. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口诀 奇变偶不变,符号看象限 微|点|延|伸 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α; sin α=tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 小|题|快|练 1.(多选题)(人A必一P194练习T2改编)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(CD) A.sin(-x)=sin x B.sin=cos x C.cos=-sin x D.cos(x-π)=-cos x 解析　sin(-x)=-sin x,故A不成立;sin=-cos x,故B不成立;cos=-sin x,故C成立;cos(x-π)=-cos x,故D成立.故选CD. 2.(人A必一P185T6改编)若sin α=,<α<π,则tan α=(D) A.-2 B.2 C. D.- 解析　因为<α<π,所以cos α=-=-,所以tan α==-.故选D. 3.已知sin=,那么cos α=(B) A.- B.- C. D. 解析　因为sin=-cos α=,所以cos α=-.故选B. 4.已知cos α=,-<α<0,则的值为  .  解析　因为-<α<0,所以sin α=-=-,所以tan α=-2.则==-==. 5.已知sin α·cos α=,且<α<,则cos α-sin α= - .  解析　因为<α<,所以sin α>cos α,而(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,所以cos α-sin α=-. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　同角三角函数的基本关系 考向❶:公式的直接运用 【例1】　(1)已知cos α=,且α是第四象限角,求sin α和tan α. 解　因为cos α=,且α是第四象限角,所以sin α=-=-=-.所以tan α===-. (2)已知sin α=,求tan α. 解　因为sin α=,所以α是第一或第二象限角.当α是第一象限角时,cos α===.所以tan α==;当α是第二象限角时,易知tan α=-. 　　利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化. 考向❷:弦切互化 【例2】　(2024·全国甲卷)已知=,则tan=(B) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 解析　根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-,所以tan===2-1,故选B. 　　形如,asin2α+bsin αcos α+ccos2α等类型可进行弦化切. 考向❸:“sin α±cos α”与“sin αcos α”的转换 【例3】　(多选题)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是(ABD) A.sin θ= B.cos θ=- C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= 解析　由题意知sin θ+cos θ=,所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,所以2sin θcos θ=-<0,又因为θ∈(0,π),所以<θ<π,所以sin θ-cos θ>0,所以sin θ-cos θ====,所以sin θ=,cos θ=-.所以tan θ=-,所以A,B,D正确. 　　正弦、余弦“sin α±cos α,sin αcos α”的应用 sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起,即(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,sin αcos α=,sin αcos α=. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ 1.(2023·全国乙卷)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ= - .  解析　因为tan θ=,所以9sin2θ=cos2θ,即10sin2θ=1.又因为θ∈,所以sin θ=,cos θ=,所以sin θ-cos θ=-. 2.已知tan α=2,则=(A) A. B. C.2 D.4 解析　因为tan α=2,所以====.故选A. 3.若sin α+cos α=,则tan α+= 4 .  解析　因为sin α+cos α=,等式两边同时平方得(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=,所以tan α+=+===4. 类型二　诱导公式的应用 【例4】　(1)已知sin α=,则=(D) A.- B. C.- D. 解析　原式==sin α=.故选D. (2)已知sin=,则cos=(B) A. B. C.- D.- 解析　因为sin=,所以cos=sin=sin=.故选B. (3)若f(x)=sin+1,且f(2 024)=2,则f(2 025)= 1 .  解析　因为f(2 024)=sin+1=sin(1 012π+α)+1=sin α+1=2,所以sin α=1,cos α=0,所以f(2 025)=sin+1=sin+1=cos α+1=1. 　　1.诱导公式的两个应用方向与原则:(1)求值,化角的原则与方向:负化正,大化小,化到锐角为终了.(2)化简,化简的原则与方向:统一角,统一名,同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用:由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α. 【训练】　(1)=(B) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　原式===-·=-1.故选B. (2)(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若α∈,则cos β的最大值为 - .  解析　因为α与β的终边关于原点对称,所以β=2kπ+π+α(k∈Z),所以cos β=cos(2kπ+π+α)=-cos α.因为α∈,所以cos α∈,所以cos β∈,所以cos β的最大值为-. 第三节　三角恒等变换 【课程标准】　1.能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.两角和与差的三角公式 (1)基本公式 ①sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β .  ②cos(α±β)= cos αcos β∓sin αsin β .  ③tan(α±β)=  .  (2)公式变形 ①asin α+bcos α=sin(α+φ),(辅助角公式) 其中cos φ=  ,sin φ=  .  或asin x+bcos x=cos(x-θ), 其中cos θ=  ,sin θ=  .  ②sin α±cos α=sin. ③tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). ④=tan. ⑤=tan. 2.二倍角公式 (1)基本公式 ①sin 2α= 2sin αcos α .  ②cos 2α= cos2α-sin2α = 2cos2α -1=1- 2sin2α .  ③tan 2α=  . (2)公式变形 ①降幂公式:cos2α=  ;sin2α=  ;tan2α=.  升幂公式:cos 2α= 2cos2α-1 = 1-2sin2α .  ②半角公式:sin=±;cos=±;tan=±==. 小|题|快|练 1.sin 15°sin 45°-cos 15°cos 45°=(C) A. B. C.- D.- 解析　sin 15°sin 45°-cos 15°cos 45°=-(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)=-cos(15°+45°)=-cos 60°=-.故选C. 2.已知α∈,sin α=,则tan=(A) A. B.7 C.- D.-7 解析　因为α∈,所以cos α<0.因为sin α=,所以cos α=-,所以tan α==-,所以tan===.故选A. 3.sin-cos的值为(B) A.0 B.- C.2 D. 解析　sin-cos=2=2sin=2sin=-.故选B. 4.cos 15°+sin 15°=  .  解析　解法一:原式=(cos 45°cos 15°+sin 45°sin 15°)=cos(45°-15°)=×=. 解法二:因为(cos 15°+sin 15°)2=1+sin 30°=,且cos 15°+sin 15°>0,所以cos 15°+sin 15°=. 5.tan 21°+tan 39°+tan 21°·tan 39°=  .  解析　原式=tan(21°+39°)(1-tan 21°tan 39°)+tan 21°tan 39°=tan 60°(1-tan 21°tan 39°)+tan 21°tan 39°=(1-tan 21°tan 39°)+tan 21°tan 39°=-tan 21°tan 39°+tan 21°tan 39°=. 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　公式的基本应用 【例1】　已知sin α=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为(A) A.- B. C. D.- 解析　因为sin α=,α∈,所以cos α=-=-,所以tan α==-.因为tan(π-β)==-tan β,所以tan β=-,则tan(α-β)==-.故选A. 　　利用三角函数公式时应注意的问题 1.首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号反”. 2.应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用. 3.应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. 【训练1】　(1)已知tan=9,则tan α=(A) A. B.- C. D.- 解析　解法一:由tan==9,解得tan α=.故选A. 解法二:tan α=tan==.故选A. (2)若sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,则sin 2αcos β=(B) A. B. C. D. 解析　由sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,可得sin 2αcos β-cos 2αsin β=①,sin 2αcos β+cos 2αsin β=②,由①+②得,2sin 2αcos β=,所以sin 2αcos β=.故选B. 类型二　公式的逆用 【例2】　(1)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,则tan Atan B的值为(B) A. B. C. D. 解析　在△ABC中,因为C=120°,所以tan C=-.因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=-tan C=.所以tan A+tan B=(1-tan Atan B).又因为tan A+tan B=,所以tan Atan B=.故选B. (2)-= 4 .  解析　原式=====4. 　　三角函数公式的活用技巧 1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,角之间的关系,创造条件逆用公式. 2.注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”以便构造适合公式的形式. 3.tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用. 【训练2】　(1)求值: cos 15°-4sin215°cos 15°=(D) A. B. C.1 D. 解析　原式=cos 15°-2sin 15°·2sin 15°cos 15°=cos 15°-2sin 15°·sin 30°=cos 15°-sin 15°=2cos(15°+30°)=2cos 45°=.故选D. (2)满足等式(1+tan α)(1+tan β)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组 (答案不唯一) .  解析　由(1+tan α)(1+tan β)=2,得1+tan β+tan α+tan αtan β=2,所以tan β+tan α=1-tan αtan β,所以=1,所以tan(α+β)=1,所以α+β=kπ+,k∈Z,所以可令α=0,β=(答案不唯一). 类型三　角的变换 【例3】　(1)已知cos=-,α∈,则sin=  .  解析　因为cos=-,α∈,所以α∈,sin=,所以sin=sin=sincos-cossin=×-×=. (2)(2025·临沂模拟)已知<α<,0<β<,cos=-,sin=,则sin(α+β)=  .  解析　因为<α<,所以<+α<π,所以sin==.又因为0<β<,所以<+β<π,所以cos=-=-,所以sin(α+β)=-sin(π+α+β)=-sin=-=-=. 　　1.当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. 2.当“已知角”有一个时,“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式,或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.常见的角的变换:2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=-,α=(α+β)-β=(α-β)+β,+=等. 【训练3】　已知0<β<α<,且cos(α-β)=,cos 2β=,则cos(α+β)=(A) A. B. C. D. 解析　由0<β<α<,得0<α-β<,又cos(α-β)=,则sin(α-β)==,而0<2β<π,cos 2β=,则sin 2β==,所以cos(α+β)=cos[(α-β)+2β]=cos(α-β)cos 2β-sin(α-β)sin 2β=×-×=.故选A. 第2课时　简单的三角恒等变换 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　三角函数式求值 考向❶:给值求值 【例1】　(1)若cos=,α∈(0,π),则sin α的值为(A) A. B. C. D. 解析　因为α∈(0,π),所以α+∈,又cos=,所以sin==,所以sin α=sin=sincos -cossin=×-×=.故选A. (2)若tan(α+2β)=3,tan(α-β)=2,则tan(α+5β)=(B) A. B. C. D. 解析　因为tan(α+2β)=3,所以tan 2(α+2β)===-,所以tan(α+5β)=tan[2(α+2β)-(α-β)]===.故选B. 　　给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来. 考向❷:给值求角 【例2】　(1)已知cos α=,sin(β-α)=-,α,β均为锐角,则β=(C) A. B. C. D. 解析　因为cos α=,sin(β-α)=-<0,α,β均为锐角,所以sin α==,β-α∈,可得cos(β-α)==,sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α=-×+×=,所以β=.故选C. (2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为 - .  解析　因为tan α=tan[(α-β)+β]===>0,所以0<α<.又tan 2α===>0,所以0<2α<,所以tan(2α-β)===1.因为tan β=-<0,所以<β<π,所以-π<2α-β<0,所以2α-β=-. 　　给值求角问题一般先求角的某一三角函数值,再求角的范围,最后确定角.遵照以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可; (2)若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❶ 1.已知cos=,则sin=(D) A.- B. C.- D. 解析　sin=sin=-cos 2=1-2cos2=1-2×=.故选D. 2.已知sin α=,sin β=,且α和β均为钝角,则α+β的值为(D) A. B. C.和 D. 解析　因为α和β均为钝角,cos α=-=-,cos β=-=-.cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-×-×=.由α和β均为钝角,得π<α+β<2π,所以α+β=.故选D. 3.已知sin(2α+β)=2sin β,且tan =1-tan2,则tan(α+β)= 6 .  解析　因为tan =1-tan2,所以tan α==2.又sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α],所以sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=2sin(α+β)cos α-2cos(α+β)sin α,即sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α,等号两边同时除以cos αcos(α+β),得tan(α+β)=3tan α=6. 类型二　三角恒等变换的综合应用 【例3】　设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R). (1)求函数y=的最小正周期; (2)求函数y=f(x)f在上的最大值. 解　(1)因为f(x)=sin x+cos x,所以f=sin+cos=cos x-sin x,所以y==(cos x-sin x)2=1-sin 2x.所以函数y=的最小正周期T==π. (2)f=sin+cos=sin x,所以y=f(x)f=sin x(sin x+cos x)=(sin xcos x+sin2x)==sin+.当x∈时,2x-∈,所以当2x-=,即x=时,函数y=f(x)f在上取得最大值,且ymax=1+. 　　三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质.解题时注意观察角、函数名、结构等特征,注意使用整体思想解决相关问题. 【训练】　(2025·哈尔滨模拟)已知<θ<,若a=,b=-cos 2θ,c=-cos θ,则a,b,c的大小关系是(C) A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 解析　a===sin θcos θ,b=(1-cos 2θ)=sin2θ,c=-cos θ==sin θtan θ,又<θ<,则sin θ∈,且tan θ>1>sin θ>>cos θ>,所以c=sin θtan θ>b=sin2θ>a=sin θcos θ.故选C. 高考真题重温 　　　　　　　　　　　　　 1.(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(A) A. B. C. D. 解析　由3cos 2α-8cos α=5,得3cos2α-4cos α-4=0,所以cos α=-或cos α=2(舍去),因为α∈(0,π),所以sin α=,故选A. 2.(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ=-2,则=(C) A.- B.- C. D. 解析　===sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ====.故选C. 3.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin=(D) A. B. C. D. 解析　因为cos α=1-2sin2=,所以sin2===,因为α为锐角,所以也为锐角,所以sin=.故选D. 4.(2021·全国甲卷)若α∈,tan 2α=,则tan α=(A) A. B. C. D. 解析　因为tan 2α=,且α∈,所以=,所以2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α.又cos α≠0,所以4sin α=1,所以sin α=,所以cos α=,所以tan α=.故选A. 5.(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+.当OA=2,∠AOB=60°时,s=(B) A. B. C. D. 解析　由题意知,△OAB是等边三角形,所以AB=OA=2.连接OC,因为C是AB的中点,所以OC⊥AB,OC==,又CD⊥AB,所以O,C,D三点共线,所以CD=OD-OC=2-,所以s=AB+=2+=.故选B. 教考衔接3　三角函数的求值问题 　　　 　　　　　　　　　　　　　 一、教材题组·加固练■ 人教A版必修第一册 1 2 3 4 5 P256·24题(1) P255·15题(1) P255·15题(2) P255·17题 P222·例6 【选题说明】看似简单平常的习题,实质上却隐含着丰富的内容,很多三角函数求值的高考试题就是以这组题为源头,通过挖掘其所蕴含的知识链、方法链,逐步变换演绎而成. 【题1】　(一题多解)已知sin β+cos β=,β∈(0,π), 求tan β的值. 解　解法一(直接法):由可得25sin2β-5sinβ-12=0,又因为β∈(0,π),可得sin β=,cos β=-sin β=-,于是tan β=-. 解法二(1的代换):sin β+cos β=两边平方得sin2β+2sin βcos β+cos2β=,又sin2β+cos2β=1,代入得12sin2β+25sin βcos β+12cos2β=0,显然cos β≠0,两边同除以cos2β,得12tan2β+25tan β+12=0,解得tan β=-或tan β=-,又sin β+cos β=,β∈(0,π),从而|sin β|>|cos β|,所以|tan β|>1,所以tan β=-. 解法三(引入辅助角):由sin β+cos β=及辅助角公式可得sin=,又β∈(0,π),所以β+∈,而0<sin=<,结合正弦函数图象可得β+∈,所以cos=-,从而tan=-,所以tan β=tan=-. 解法四(利用三角函数定义):设P(x,y)是角β的终边与单位圆的交点,由三角函数的定义及已知条件得y+x=(y>0),又x2+y2=1,从而得x=-,y=,所以tan β==-. 【题2】　已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,求tan αtan β的值. 解　由题意得 所以cos αcos β=,sin αsin β=. 所以tan αtan β==. 【题3】　已知cos α+cos β=,sin α+sin β=,求cos(α-β)的值. 解　因为cos α+cos β=,sin α+sin β=, 所以两式平方相加可得, cos2α+cos2β+2cos αcos β+sin2α+sin2β+2sin αsin β=+,化简可得2+2(cos αcos β+sin αsin β)=, 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-. 【题4】　(一题多解)已知sin α-cos α=,0≤α≤π,求sin的值. 解　解法一:由及0≤α≤π, 可得sin α=,cos α=sin α-=,所以sin 2α=,cos 2α=-,所以sin=sin 2αcos-cos 2αsin=. 解法二:由sin α-cos α=,得(sin α-cos α)2=,sin 2α=,所以cos22α=.又由sin α-cos α=,得sin=,因为α∈[0,π],所以α-∈,而0<sin=<,所以α-∈,即α∈,所以2α∈,cos 2α=-,所以sin=. 【题5】　(一题多解)在△ABC中,cos A=,tan B=2,求tan(2A+2B)的值. 解　解法一:在△ABC中,由cos A=,0<A<π,得sin A===,所以tan A==×=,tan 2A===. 又tan B=2,所以tan 2B===-.于是tan(2A+2B)===. 解法二:在△ABC中,由cos A=,0<A<π,得sin A===,所以tan A==×=.又tan B=2,所以tan(A+B)===-,所以tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]===. 二、创新变式·提升练■ 【变式1】　已知sin(α+β)=3m,tan β=2tan α,则sin(α-β)=(A) A.-m B.m C.0 D.2m 解析　由tan β=2tan α,可得sin βcos α=2sin αcos β.由sin(α+β)=3m,可得sin αcos β+cos αsin β=3m,则sin αcos β+2sin αcos β=3m,所以sin αcos β=m.所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-sin αcos β=-m.故选A. 【变式2】　已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,若tan α=mtan β,则m的值为(C) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 解析　由sin(α+β)=,sin(α-β)=,所以sin αcos β=,cos αsin β=,所以tan α=5tan β,所以m=5.故选C. 【变式3】　若sin α+sin β=,cos α-cos β=,则(B) A.cos(α+β)=- B.cos(α+β)= C.cos(α-β)=- D.cos(α-β)= 解析　由sin α+sin β=,cos α-cos β=,得(sin α+sin β)2=sin2α+sin2β+2sin αsin β=　①,(cos α-cos β)2=cos2α+cos2β-2cos αcos β=　②.①②相加得sin2α+sin2β+2sin αsin β+cos2α+cos2β-2cos αcos β=,2-2(cos αcos β-sin αsin β)=2-2cos(α+β)=,解得cos(α+β)=.故选B. 【变式4】　在△ABC中,sin(A+B)=,sin A cos B=,则cos(2A-2B)=  .  解析　因为sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,sin Acos B=,所以cos Asin B=,所以sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=-=-,所以cos(2A-2B)=cos2(A-B)=1-2sin2(A-B)=1-2×=. 三、链接高考·体验练■ 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(A) A.-3m B.- C. D.3m 解析　由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m　①.由tan αtan β=2得=2　②,由①②得所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A. 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos α·sin β=,则cos(2α+2β)=(B) A.　　　B.　　　C.-　　　D.- 解析　因为sin(α-β)=,所以sin αcos β-cos αsin β=,所以sin αcos β=+cos αsin β=+=,sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=,cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=.故选B. 3.(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则(C) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 解析　由题意得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)sin β,整理,得sin αcos β-sin βcos α+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin (α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.故选C. 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)= - .  解析　由题知tan(α+β)===-2,即sin(α+β)=-2cos(α+β),又sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,可得sin(α+β)=±.由2kπ<α<2kπ+,k∈Z,2mπ+π<β<2mπ+,m∈Z,得2(k+m)π+π<α+β<2(k+m)π+2π,k+m∈Z.又tan(α+β)<0,所以α+β是第四象限角,故sin(α+β)=-. 第四节　三角函数的图象与性质 【课程标准】　1.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性;2.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性、奇偶性与对称性. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),,(π,0),  ,(2π,0).  (2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),, (π,-1) ,,(2π,1).  2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 T=2π T=2π T=π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增 区间 [2kπ-π,2kπ] 递减 区间 [2kπ,2kπ+π] 无 对称 中心 (kπ,0) 对称轴 方程 x=+kπ x=kπ 无 3.关于周期性 y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T=. y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=. 微|点|延|伸 1.对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. 2.与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ+(k∈Z);若为奇函数,则φ=kπ(k∈Z). (2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z);若为奇函数,则φ=kπ+(k∈Z). (3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数,则φ=(k∈Z). 小|题|快|练 1.(苏教必一P204T2改编)函数y=tan 2x的定义域是(D) A. B. C. D. 2.(苏教必一P224T7)下列各组函数中,在区间上都单调递增的函数为(B) A.y=sin x,y=cos x B.y=sin x,y=tan x C.y=cos x,y=tan x D.y=-sin x,y=-cos x 3.(人A必一P199例1改编)函数y=1+cos x(x∈[0,2π])的简图是(D) A　B C　D 4.函数y=3sin的最小正周期是π,则a= ±2 .  解析　因为=π,所以|a|=2,所以a=±2. 5.(人A必一P214T10改编)函数y=cos,x∈的值域是  .  解析　由x∈得x+∈,所以y=cos∈. 第1课时　三角函数的定义域、值域与单调性 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　三角函数的定义域 自练自悟 1.函数y=tan的定义域是(D) A. B. C. D. 解析　函数y=tan=-tan,令x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+kπ,k∈Z,所以函数y的定义域是.故选D. 2.函数y=的定义域为(C) A. B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.R 解析　由cos x-≥0,得cos x≥,所以2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).故选C. 3.函数y=lg(2sin x+1)的定义域为(D) A. B. C. D. 解析　由2sin x+1>0,得sin x>-,所以2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,所以函数y=lg(2sin x+1)的定义域为.故选D. 4.函数y=的定义域为  .  解析　解法一:要使函数有意义,则sin x-cos x≥0.在同一坐标系中画出y=sin x和y=cos x在[0,2π]上的图象,如图所示,在[0,2π]内,当x=,时,满足sin x=cos x,再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π,可知原函数的定义域为. 解法二:要使函数有意义,则sin x-cos x=sin≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z),解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以原函数的定义域为. 　　三角函数的定义域的求法 1.求三角函数的定义域一般可归结为解三角不等式(或等式); 2.求三角函数的定义域经常借助两个工具:三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴; 3.对于较为复杂的求三角函数的定义域问题,应先列出不等式(组)分别求解,然后利用数轴或三角函数线求交集. 注意　解三角不等式时要注意周期,且k∈Z不可以忽略. 类型二　三角函数的单调性及应用 考向❶:划分单调区间 【例1】　函数y=sin的单调递减区间是(A) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析　y=sin=-sin,要求函数y=sin的单调递减区间,即求函数y=sin的单调递增区间.令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数y=sin的单调递减区间是(k∈Z).故选A. 　　求三角函数单调区间的方法 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错. 考向❷:比较大小 【例2】　(多选题)(2025·石家庄调研)下列不等式成立的是(BD) A.sin<sin B.cos 400°>cos(-50°) C.sin<sin D.sin 3<sin 2 解析　因为-<-<-<0,且函数y=sin x在上单调递增,所以sin<sin,故A错误;因为cos 400°=cos 40°,cos(-50°)=cos 50°,且当0°≤x≤90°时,函数y=cos x单调递减,所以cos 40°>cos 50°,即cos 400°>cos(-50°),故B正确;因为<<<,且函数y=sin x在区间上单调递减,所以sin>sin,故C错误;因为<2<3<,且函数y=sin x在区间上单调递减,所以sin 3<sin 2,故D正确.故选BD. 　　三角函数值比较大小要把三角函数化为同名函数,而且自变量值化为同一单调区间内的值,有时也可以采用插值法,比如插入0,等特殊值. 考向❸:求参数的取值范围 【例3】　已知f(x)=sin(2x-φ)在上单调递增,且f(x)在上有最小值,那么φ的取值范围是(B) A. B. C. D. 解析　由x∈,可得2x-φ∈,又由0<φ<,且f(x)在上单调递增,可得-φ≤,所以≤φ<.当x∈时,2x-φ∈,由f(x)在上有最小值,可得-φ>,所以φ<.综上,≤φ<.故选B. 　　根据三角函数的单调性求参数的方法 1.子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解. 2.反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解. 3.周期性:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ 1.设函数f(x)=cos,则f(x)在上的单调递减区间是(D) A. B. C. D. 解析　由已知f(x)=cos,得2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,则kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,又x∈,所以f(x)在上的单调递减区间为.故选D. 2.(2025·济南模拟)若a=sin 1,b=lg(tan 1),c=,则(C) A.c<b<a B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b 解析　因为y=sin x在上单调递增,所以a=sin 1>sin ==c,因为y=tan x在上单调递增,所以tan 1<tan =<,而y=lg x在(0,+∞)上单调递增,则b=lg(tan 1)<lg=lg <lg ==c,所以b<c<a,故选C. 3.若函数y=sin(ω>0)在区间上单调递减,则ω的取值范围是  .  解析　令+2kπ≤ωx+≤+2kπ(k∈Z),则+≤x≤+,k∈Z,因为函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递减,所以解得+6k≤ω≤+4k,k∈Z,又+6k≤+4k,且4k+>0,k∈Z,所以-<k≤,即k=0,所以≤ω≤. 类型三　三角函数的值域(最值) 【例4】　(1)(2024·天津高考)已知函数f(x)=sin 3的最小正周期为π,则f(x)在的最小值为(A) A.-　　B.-　　C.0　　D. 解析　由f(x)的最小正周期为π,可得π=,所以ω=,所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.当x∈时,2x∈,sin 2x∈,所以f(x)min=-,故选A. (2)函数y=-2tan2x+3tan x-1,x∈的值域为  .  解析　因为x∈,所以tan x∈[-1,1],又y=-2tan2x+3tan x-1=-2+,则当tan x=时,f(x)max=,当tan x=-1时,f(x)min=-6,所以所求函数的值域为. 　　求三角函数的值域(最值)的方法 1.形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,可化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值). 2.形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值). 【训练】　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是 2 .  解析　由题意知f(x)=sin x-cos x=2sin,当x∈[0,π]时,x-∈,所以sin∈,于是f(x)∈[-,2],故f(x)在[0,π]上的最大值为2. (2)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为 5 .  解析　因为f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x=-2+,又sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取得最大值5. 第2课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　三角函数的周期性 【例1】　求下列函数的最小正周期. (1)y=2sin; (2)y=3cos; (3)y=|tan x|; (4)y=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1. 解　(1)因为y=2sin,所以T==3π,即y=2sin的最小正周期为3π. (2)y=3cos的最小正周期是y=3cos的最小正周期的一半,即T=×=. (3)画出y=|tan x|的大致图象如图所示: 由图象易知T=π. (4)因为y=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1=-sin 2xcos-cos 2xsin+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2sin,所以最小正周期T==π. 　　求三角函数最小正周期的基本方法 1.通常将所给函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再用周期公式求出; 2.利用图象的根本特征,作出图象,观察得出. 【训练1】　(1)下列函数中,是周期函数的为(B) A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=tan|x| D.y=(x-1)0 解析　因为cos|x|=cos x,所以y=cos|x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.故选B. (2)若f(x)=sin ωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点,则ω的取值范围是  .  解析　由f(x)=sin ωx(ω>0)的图象知,一个周期内有一个最小值点,若在[0,1]上至少存在50个最小值点,则1≥49T+==·,解得ω≥.所以ω的取值范围是. 类型二　三角函数的奇偶性 【例2】　(1)函数f(x)=2sin2-1是(D) A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为π的奇函数 解析　f(x)=2sin2-1=-=-cos=sin 2x,可得f(x)的最小正周期为=π.因为f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以f(x)是最小正周期为π的奇函数.故选D. (2)已知函数f(x)=2sin是偶函数,则θ的值为  .  解析　因为函数f(x)为偶函数,所以θ+=+kπ,k∈Z,解得θ=+kπ,k∈Z.又θ∈,所以θ=,经检验,符合题意. 　　三角函数奇偶性的判断及应用 三角函数奇偶性的判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质:y=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z),若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=+kπ(k∈Z). 【训练2】　(1)已知函数f(x)=cos是奇函数,且φ∈,则φ的值为  .  解析　由已知,得+φ=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ+(k∈Z),又因为φ∈,所以当k=0时,φ=符合题意. (2)(2024·湖北四调)设函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)对任意的x(x∈R)均满足f(-x)=f(x),则tan φ= 1 .  解析　f(x)=sin,因为f(-x)=f(x),x∈R,所以f(x)是偶函数,所以φ+=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),故tan φ=tan=1. 类型三　三角函数的对称性 【例3】　已知函数f(x)=3sin,则下列说法正确的是(C) A.图象关于点对称 B.图象关于点对称 C.图象关于直线x=对称 D.图象关于直线x=对称 解析　由题可得,设2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).设2x+=kπ+,k∈Z,解得x=+,k∈Z,所以函数f(x)的对称轴为x=+(k∈Z).通过对比选项可知C正确. 　　三角函数对称性应用技巧 1.求函数图象的对称轴方程或对称中心坐标时,可利用整体换元法进行求解,注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式. 2.判断某一直线、某一点是否为函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的对称轴、对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断. 【训练3】　(1)函数y=tan的图象的对称中心是 (k∈Z) .  解析　由+=(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),即其对称中心为(k∈Z). (2)(2025·合肥质量检测)已知函数f(x)=2sin(3x+φ)(-π<φ<0)图象的一条对称轴为直线x=,当x∈[0,t]时,f(x)的最小值为-,则t的最大值为  .  解析　因为函数f(x)=2sin(3x+φ)图象的对称轴为x=,所以3×+φ=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z),因为-π<φ<0,所以k=0,φ=-,所以函数f(x)=2sin,当x∈[0,t]时,3x-∈,因为函数f(x)的最小值为-,所以-<3t-≤,解得0<t≤,所以t的最大值为. 高考真题重温 　　　　　　　　　　　　　 1.(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(A) A. B. C. D. 解析　令2kπ-<x-<2kπ+(k∈Z),解得2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),令k=0,可得函数f(x)的一个单调递增区间为,因为⊆,所以选A. 2.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(BC) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析　令f(x)=0,得sin 2x=0,所以2x=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z).令g(x)=0,得sin=0,所以2x-=k1π(k1∈Z),解得x=+(k1∈Z).因此f(x)与g(x)没有相同的零点,选项A错误.f(x)与g(x)的最大值都是1,选项B正确.f(x)与g(x)的最小正周期都是T==π,选项C正确.由2x=k2π+(k2∈Z)得x=+(k2∈Z),所以f(x)图象的对称轴方程为x=+(k2∈Z).由2x-=k3π+(k3∈Z)得x=+(k3∈Z),所以g(x)图象的对称轴方程为x=+(k3∈Z).因此,选项D错误,故选BC. 3.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f=(D) A.- B.- C. D. 解析　因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,且直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,所以f(x)在x=和x=处分别取得最小值和最大值,所以=-=,T=π,得|ω|=2,不妨取ω=2,由f=sin=1,得+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=-+2kπ,k∈Z.取k=0,得φ=-,从而f=sin=sin=,故选D. 4.(多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则(AD) A.f(x)在区间单调递减 B.f(x)在区间有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线 解析　因为f(x)的图象关于点对称,所以sin =0,即+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-,k∈Z.结合0<φ<π,得φ=,所以f(x)=sin.对于A,令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.显然⫋,k∈Z,故A正确.对于B,f'(x)=2cos,令f'(x)=0,得2x+=kπ+,k∈Z,即x=-,k∈Z.又因为x∈,所以x=,故f(x)在区间只有一个极值点,故B错误.对于C,令2x+=+kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,故C错误.对于D,结合B,令2cos=-1,得2x+=+2kπ,k∈Z或2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,故其中一个切点为,则曲线y=f(x)在该点处的切线方程为y-=-x,即y=-x,故D正确.故选AD. 5.(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f=(A) A.1 B. C. D.3 解析　因为<T<π,ω>0,所以<<π,所以2<ω<3　①.又y=f(x)的图象关于点中心对称,所以从而ω=k-(k∈Z)　②,由①②知ω=(取k=4),所以f(x)=sin+2,所以f=sinπ+2=1.故选A. 6.(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 [2,3) .  解析　函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点等价于方程cos ωx=1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个不等的实根,因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2πω,所以4π≤2πω<6π,即2≤ω<3,所以ω的取值范围为[2,3). 微专题强化六　三角函数中与ω有关的问题 　　　　　　　　　　　　　 专|题|梳|理 　　根据三角函数的相关性质求解参数的值或取值范围是三角函数中比较典型的一类问题,能有效考查学生对三角函数基本性质的掌握程度,难度可控,备受高考命题者的青睐,因此频频出现在高考试题中.这类问题一般涉及值域、单调性及周期性等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大、最小值有关问题上起着特殊作用.如果试题本身对自变量的取值范围问题有限制,则更应该充分注意. 典|型|例|题 类型一　与单调性有关的问题 【例1】　(2025·贵阳一模)将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度,再把所得函数图象上的每个点的纵坐标保持不变,横坐标都变为原来的(ω>0),得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在上单调递增,则ω的取值范围是(B) A. B. C. D.(0,1] 解析　将f(x)=sin x的图象向右平移个单位长度,得到h(x)=sin的图象,将h(x)图象上的每个点的纵坐标保持不变,横坐标都变为原来的得到g(x)的图象.所以g(x)=sin.x∈时,ωx-∈.g(x)在上单调递增,所以-≤--<-,得0<ω≤,故选B. 　　确定函数的单调区间,根据区间之间的包含关系建立不等式,即可求ω的取值范围. 类型二　与值域(最值)有关的问题 【例2】　(2025·郑州质量检测)已知函数f(x)=2sin(ω>0)在上的值域为[-1,2],则ω的取值范围为(B) A. B. C. D. 解析　设t=ωx-,因为x∈,且ω>0,所以t∈.函数f(x)=2sin在上的值域为[-1,2],即y=2sin t在上的值域为[-1,2],所以≤ω·-≤,解得≤ω≤,故选B. 　　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系,可以列出关于ω的不等式(组),进而求出ω的值或取值范围. 类型三　与对称性有关的问题 【例3】　(1)已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是(A) A. B. C. D. 解析　令t=ωx-,则当x∈(0,2π)时,t∈,所以2πω-≤3π,则0<ω≤.故选A. (2)已知函数f(x)=cos(ω>0)的一条对称轴为直线x=,一个对称中心为点,则ω有(A) A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 解析　因为函数图象的对称中心到对称轴的最短距离是,两条对称轴间的最短距离是,所以其图象的对称中心到对称轴x=间的距离用周期可表示为-≥,又因为T=,所以≤,所以ω≥2,所以ω有最小值2.故选A. 　　三角函数图象两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,这就说明,我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性,解决问题的关键在于运用整体代换的思想,建立关于ω的不等式组,进而可以研究“ω”的取值范围. 类型四　与零点有关的问题 【例4】　若函数g(x)=cos在区间[0,π)内有5个零点,则ω的取值范围是(D) A. B. C. D. 解析　g(x)=cos,当x∈[0,π)时,2ωx-∈,y=cos x在y轴右方的零点为x=,,,,,,…,因为函数g(x)的图象在区间[0,π)内有5个零点,所以<2ωπ-≤,解得<ω≤.故选D. 　　三角函数两个零点之间的“水平间隔”为,根据三角函数的零点个数,可以研究“ω”取值. 第五节　函数y=Asin(ωx+φ)及应用 【课程标准】　1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响;2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图 用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示. x - -+ - ωx+φ 0 π 2π y=Asin(ωx +φ) 0 A 0 -A 0 2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤 　　　　方法一　　　　　　　方法二 　[微点清]　两种变换的区别:①先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;②先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω>0)个单位长度. 3.简谐振动y=Asin(ωx+φ)中的有关物理量 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T= f= = ωx+φ φ 微|点|延|伸 1.“五点法”作图中,相邻两点的横向距离均为. 2.变换的注意点:无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量x”发生多大变化,而不是看角“ωx+φ”的变化. 3.若函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的最大值为M,最小值为m,则A=,k=. 小|题|快|练 1.(人A必一P254T10改编)函数y=5sin的振幅、频率和初相分别为(C) A.5,, B.5,, C.5,,- D.5,,- 2.(人A必一P239T2(2)改编)为了得到函数y=3sin的图象,只需把函数y=3sin的图象上所有的点(B) A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变 3.若将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后得到的函数图象的解析式为 y=sin .  解析　将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得到的函数图象对应的解析式为y=sin=sin. 4.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω=　2　.  解析　设f(x)的最小正周期为T,根据题图可知,=-=,所以T=π,故ω=2. 5.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),则这段曲线的函数解析式为 y=10sin+20,x∈[6,14] .  解析　从题图中可以看出,从6~14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期,所以A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20,×=14-6=8,所以|ω|=,又ω>0,所以ω=.又×10+φ=2kπ,k∈Z,0<φ<π,所以φ=,所以y=10sin+20,x∈[6,14]. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　函数y=Asin(ωx+φ)的作图及图象变换 【例1】　(1)已知函数f(x)=2sin. ①作出f(x)在[0,π]上的图象; ②函数y=f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到? 解　①因为x∈[0,π],所以2x+∈.列表如下: 2x+ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 -2 0 1 描点、连线得f(x)在[0,π]上的图象如图所示. ②将y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,再将y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin的图象,再将y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数f(x)=2sin的图象. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(C) A.3 B.4 C.6 D.8 解析　因为函数y=2sin的最小正周期T=,所以函数y=2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,所以作出函数y=2sin与y=sin x在[0,2π]上的图象如图所示,由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C. 　　作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用的两种方法 1.五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. 2.图象的变换法,由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 【训练1】　(1)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,为了得到曲线C2,则对曲线C1的变换正确的是(C) A.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向右平移个单位长度 B.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的曲线向左平移个单位长度 C.先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再把得到的曲线向右平移个单位长度 D.先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再把得到的曲线向左平移个单位长度 解析　C2:y=sin=cos=cos=cos=cos 2.故把y=cos x的图象横坐标缩短到原来的,得到y=cos 2x的图象,再把y=cos 2x的图象向右平移个单位长度即得到C2的图象.故选C. (2)用“五点法”作出y=2sin在内的图象. 解　2×+=-,2×+=,令2x+=0,解得x=-.令2x+=,解得x=.令2x+=π,解得x=.令2x+=,解得x=.列表如下: 2x+ - 0 π x - - y - 0 2 0 -2 - 描点作图如图: 类型二　由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式 【例2】　已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为(D) A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin 请你用三种不同的方法进行解答. 解析　由图象可得,函数f(x)的最大值为2,最小值为-2,故A=2.f(x)图象的两个相邻的对称中心分别为(-2,0),(6,0),所以函数f(x)的最小正周期T=2×[6-(-2)]=16,所以ω===.所以f(x)=2sin. 解法一(由对称中心定φ):由点(-2,0)在函数图象上可得f(-2)=2sin=2sin=0,又点(-2,0)在函数图象的下降段上,所以φ-=π+2kπ(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z).因为|φ|<π,所以k=-1,φ=-.所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.故选D. 解法二(由最值点定φ):由函数图象可知,相邻两个对称中心分别为(-2,0),(6,0),所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2,-2).代入函数解析式可得f(2)=2sin=-2,即sin=-1,所以+φ=2kπ-(k∈Z),解得φ=2kπ-(k∈Z).因为|φ|<π,所以k=0,φ=-.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin. 解法三(平移法):由图象间关系可知y=f(x)可以看作y=2sinx向右平移6个单位长度得到,即f(x)=2sin=2sin.故选D. 　　根据三角函数的图象求解析式,重在对A,ω,φ的理解,主要从以下三个方面考虑: 1.根据最大值或最小值求出A的值. 2.根据最小正周期求出ω的值. 3.求φ的常用方法:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入.②五点法,确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.③平移法,由y=Asin ωx平移得到y=Asin(ωx+φ). 【训练2】　 (1)(2025·云南曲靖质监)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ),将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的部分图象,如图所示,则g=(B) A. B. C.- D.- 解析　由题意可知,g(x)=Acos,由题图知,A=1,T=-=(T为g(x)的最小正周期),解得T=π,所以ω==2.因为函数g(x)的图象过点,所以cos=0,又点在函数图象的上升段上,所以++φ=-+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=-,所以g(x)=cos,所以g=,故选B. (2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且f(x)的图象关于点中心对称,则f(φ)=(A) A.4 B.3 C.2 D.0 解析　由题知A=B=2,因为f(0)=2sin φ+2=3,所以sin φ=.因为0<φ<π,且点(0,3)的横坐标x=0在f(x)的一个递减区间内,所以φ=.根据五点作图法可知,×ω+=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin+2,f(φ)=f=2sin+2=2sin+2=4,故选A. 类型三　三角函数图象与性质的综合应用 【例3】　(多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示,则(ABC) A.f(x)在区间上单调递增 B.f(x)图象的一条对称轴方程为x= C.f(x)图象的一个对称中心为点 D.f(x)在区间上的值域为[1,] 解析　由图可知A=2,k∈Z,解得ω=2,φ=2kπ+,k∈Z,所以f(x)=2sin.当x∈时,2x+∈,所以f(x)在区间上单调递增,故A正确;f=2sin=2sin=-2为其最小值,所以x=为f(x)图象的一条对称轴,故B正确;f=2sin=2sin 2π=0,所以点为f(x)图象的一个对称中心,故C正确;当x∈时,2x+∈,当2x+=即x=0时,f(x)min=1,当2x+=即x=时,f(x)max=2,即f(x)在区间上的值域为[1,2],故D错误.故选ABC. 　　(1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合进行解题. (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 【训练3】　(多选题)将函数f(x)=sin(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若是g(x)的一个单调递增区间,则(ACD) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在上单调递增 C.函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为 D.方程f(x)=-在上有5个实数根 解析　函数f(x)=sin(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)=sin=sin的图象,所以g(x)的最小正周期为T=,区间的长度恰好等于半个最小正周期.又是g(x)的一个单调递增区间,所以g(0)=-1,即--=2kπ-,k∈Z,解得ω=-12k+2,k∈Z.因为0<ω<6,所以ω=2,故f(x)=sin,f(x)的最小正周期T==π,故A正确;令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,即f(x)的单调递增区间为,k∈Z,所以f(x)在上单调递增,故B错误;g(x)=sin=sin=-cos 2x,所以F(x)=sin-cos 2x=sin 2xcos-cos 2xsin-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin,所以函数F(x)的最大值为,故C正确;当x∈[0,2π]时,2x-∈,令f(x)=sin=-,则2x-=-,2x-=,2x-=,2x-=,2x-=,即方程f(x)=-在上有5个实数根,故D正确.故选ACD. 类型四　三角函数的实际应用 【例4】　 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用.如图,一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t(单位:s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K.则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为(D) A. s B. s C.10 s D. s 解析　因为筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,所以T==40,则ω==,振幅A为筒车的半径,即A=4,K=2,由题意,t=0时,d=0,所以0=4sin φ+2,即sin φ=-,因为-<φ<,所以φ=-.则d=4sin+2,由d=6,得6=4sin+2,所以sin=1,所以t-=+2kπ,k∈Z,得t=+40k,k∈Z.所以当k=0时,t取最小值为.故选D. 　　三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题. 【训练4】　如图,某港口某天从6 h到18 h的水深y(单位:m)与时间x(单位:h)之间的关系可用函数y=Asin(ωx+φ)+5近似刻画,据此可估计当天12 h的水深为(A) A. m B.4 m C. m D. m 解析　由题图可得,=18-6=12,则ω=,当sin(ωx+φ)=-1时,y取得最小值,为-A+5=2,得A=3,因为函数y=Asin(ωx+φ)+5的图象过点,所以sin=,又|φ|<,所以φ=-,所以y=3sin+5.当x=12时,y=3sin+5=-+5=.故选A. 第六节　正弦定理和余弦定理 【课程标准】　1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题;2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.余弦定理 (1)定理:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2accos B,c2= a2+b2-2abcos C .  (2)运用方法 适用情形:三边a,b,c,任一内角A(知三求一). 列方程:a2=b2+c2-2bccos A或cos A=  .  (3)变形:cos A=,b2+c2-a2=2bccos A等. 2.正弦定理 (1)定理:在△ABC中,===2R,其中R为△ABC的外接圆半径. (2)运用方法 适用情形:两角A,B及其对边a,b(知三求一). 列方程:=. (3)变形:a= 2Rsin A ,sin A=  ,a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C 等.  3.三角形面积公式 (1)正弦定理推论 S△ABC=absin C=bcsin A= acsin B .  (2)其他常用公式方法 S=底×高;S=×C×r(C为周长,r为内切圆半径)等. 微|点|延|伸 1.三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. 2.三角形中,大边对大角,大角的正弦值也较大,即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B. 3.在△ABC中,A+B+C=π,sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,sin=cos ,cos=sin . 4.三角形中判断内角范围的方法:①若b2+c2>a2,则角A为锐角;②若b2+c2=a2,则角A为直角;③若b2+c2<a2,则角A为钝角. 5.在锐角三角形ABC中,必有sin A>cos B,sin B>cos C,sin C>cos A. 小|题|快|练 1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=(C) A. B. C. D. 解析　在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理,得cos∠BAC===-,因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=.故选C. 2.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,B=,a=1,则b=(D) A.2 B.1 C. D. 解析　由=,得b===×2=.故选D. 3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(C) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 解析　由正弦定理得=,所以sin B===>1.所以角B不存在,即此三角形无解.故选C. 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=5,c=7,则△ABC的面积为  .  解析　因为a=3,b=5,c=7,所以cos C===-,因此sin C=,所以△ABC的面积S=×3×5×=. 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=,B=60°,则C= 75° .  解析　由正弦定理得sin A===.因为a<b,所以A<B,所以A=45°,所以C=180°-A-B=75°. 第1课时　正弦定理、余弦定理 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　正弦定理、余弦定理解三角形 【例1】　(1)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,c=,A=45°,则C=(D) A.30° B.60° C.120° D.60°或120° 解析　因为a=1,c=,A=45°,所以由正弦定理可得sin C===,又因为0°<C<180°,c>a,A=45°,所以C=60°或120°.故选D. (2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(C) A.　　B.　　C.　　D. 解析　由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C=sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,所以sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=,又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=.故选C. 　　解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. 【训练1】　(1)(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列说法正确的有(ACD) A.a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.若sin 2A=sin 2B,则a=b C.若sin A>sin B,则A>B D.= 解析　对于A,由正弦定理===2R,得a∶b∶c=2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C=sin A∶sin B∶sin C,故A正确;对于B,由sin 2A=sin 2B,可得A=B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以a=b或a2+b2=c2,故B错误;对于C,在△ABC中,由正弦定理可得sin A>sin B⇔a>b⇔A>B,因此A>B是sin A>sin B的充要条件,故C正确;对于D,由正弦定理===2R,可得右边===2R=左边,故D正确.故选ACD. (2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,则b= 3 .  解析　由余弦定理,得a2=c2+b2-2bccos A=4+b2-2×2b×=5,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去),故b=3. 类型二　判断三角形的形状 【例2】　在△ABC中,=sin2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为 直角三角形 .  解析　由cos B=1-2sin2,得sin2=,所以=,即cos B=. 解法一:由余弦定理得=,即a2+c2-b2=2a2,所以a2+b2=c2.所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等. 解法二:由正弦定理得cos B=,又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以cos Bsin C=sin Bcos C+cos Bsin C,即sin Bcos C=0,又sin B≠0,所以cos C=0,所以C=,所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等. 　　判断三角形形状的两种思路 1.化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. 2.化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论. 【训练2】　已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-b=ccos B-ccos A,则△ABC的形状一定是(D) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 解析　因为a-b=ccos B-ccos A,所以由正弦定理得sin A-sin B=sin Ccos B-sin Ccos A,因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整理得sin Bcos C-sin Acos C=0,所以(sin B-sin A)cos C=0,所以sin B=sin A或cos C=0,因为A,B,C∈(0,π),所以A=B或C=,即△ABC的形状一定是等腰或直角三角形.故选D. 类型三　三角形面积问题 【例3】　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 【规范解答】　(1)由余弦定理,得cos C==,又0<C<π,所以C=.  思维点1:由余弦定理得C=,从而可求B. 所以cos B=sin C=,所以cos B=, 又0<B<π,所以B=. (2)由(1),得A=π-B-C=, 由正弦定理=,得=,所以a=c. 思维点2:由正弦定理得到a与c的关系. 所以△ABC的面积S=acsin B=c2×=3+,得c=2.  思维点3:由面积公式可列关于c的方程,从而求c. 　　本题源自人教A版必修第二册P54习题6.4第22题.主要考查正、余弦定理在解三角形问题中的应用.第(1)问直接采用余弦定理求出C.第(2)问利用正弦定理求出a,c之间的关系.考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养. 【训练3】　(2023·全国乙卷)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1. (1)求sin∠ABC; (2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积. 解　(1)由余弦定理,可得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A=1+4-2×1×2×cos 120°=7,则BC=,cos B===,sin B===. (2)解法一:由sin∠ABC=,得tan∠ABC=,又tan∠ABC==,所以DA=,故△ADC的面积为DA·AC·sin(120°-90°)=××1×=. 解法二:由三角形面积公式可得==4,则S△ACD=S△ABC=×=. 第2课时　正弦定理与余弦定理的应用 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　多边形中的解三角形问题 【例1】　(2025·九江一模)在△ABC中,AC=,D为∠ABC的平分线上一点,且与点B分别位于边AC的两侧,若∠ADC=150°,AD=2. (1)求△DAC的面积; (2)若∠ABC=120°,求BD的长. 解　(1)在△DAC中,AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC,即13=4+CD2+2CD,解得CD=(舍负),所以S△DAC=AD·CD·sin∠ADC=×2××=. (2)因为∠ABC=120°,BD平分∠ABC,所以∠DBA=∠DBC=60°.又∠ADC=150°,所以∠DAB+∠DCB=360°-120°-150°=90°.在△ABD中,由正弦定理,得=　①,在△DBC中,由正弦定理,得=　②,①÷②,得==,所以=.又sin2∠DCB+cos2∠DCB=1,且∠DCB∈,所以sin∠DCB=.将sin∠DCB=代入②,得=,所以BD=. 　　多边形背景解三角形问题的求解思路 1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解; 2.寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.解题时,有时要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质,要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题. 【训练1】　在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=BD=1. (1)若AB=,求BC; (2)若AB=2BC,求cos∠BDC. 解　(1)在△ABD中,由余弦定理可得cos∠ABD==,因为CD∥AB,所以∠BDC=∠ABD,在△BCD中,由余弦定理可得BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC=,所以BC=. (2)设BC=x,则AB=2x,在△ABD中,cos∠ABD===x,在△BCD中,cos∠BDC==,因为CD∥AB,所以∠BDC=∠ABD,所以cos∠BDC=cos∠ABD,即=x,整理可得x2+2x-2=0,因为x>0,解得x=-1,因此,cos∠BDC=cos∠ABD=x=-1. 类型二　解三角形中的最值(范围)问题 考向❶:利用基本不等式求解 【例2】　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan A+tan B=. (1)求角B的大小; (2)若a+c=4,求b的取值范围. 解　(1)因为tan A+tan B=,所以+=,所以=,所以==,又sin C≠0,所以cos B=.又B∈(0,π)且B≠,所以B=. (2)因为a+c=4,B=,所以由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=16-3ac,则ac=.因为a+c≥2(当且仅当a=c时取等号),所以4≥2,所以0<ac≤4,即0<≤4,所以4≤b2<16,故2≤b<4,即b的取值范围是[2,4). 　　利用正、余弦定理转化为边的关系,结合基本不等式求解. 【训练2】　在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=2,则4a+c的最小值为(B) A.16 B.18 C.20 D.14 解析　由题意得acsin 120°=a×2×sin 60°+c×2×sin 60°,即ac=2a+2c,即+=1,所以4a+c=(4a+c)=++10≥2+10=8+10=18,当且仅当=,即c=2a=6时取等号.故选B. 考向❷:转化为三角函数求解 【例3】　已知△ABC为锐角三角形,且cos A+sin B=(sin A+cos B). (1)若C=,求A; (2)已知点D在边AC上,且AD=BD=2,求CD的取值范围. 解　(1)因为cos A+sin B=(sin A+cos B),所以cos A-sin A=cos B-sin B,即cos=cos,又A∈,B∈,所以<A+<,<B+<,所以A+=B+,即B=A+,又A+B+C=π,C=,所以A+A++=π,即A=. (2)因为AD=BD=2,所以∠DBA=∠A,又∠ABC=A+,可得∠DBC=,在△DBC中,=,所以CD==,在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin,因为△ABC为锐角三角形,所以解得<A<,所以<2A+<,<sin<1,所以∈(1,2),即CD的取值范围为(1,2). 　　三角形中最值(范围)问题,如果三角形为锐角三角形,或有其他的限制,一般采用正弦定理边化角,利用三角函数的范围求出最值或范围. 【训练3】　(2025·嘉兴统考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,a=3. (1)若BC边上的高等于1,求cos A; (2)若△ABC为锐角三角形,求△ABC面积的取值范围. 解　(1)由正弦定理,==,所以sin B=cos B,则tan B=1,又0<B<π,所以B=,因为S△ABC=ah=acsin B,所以×3×1=×3×c×,解得c=,又由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=32+()2-2×3××=5,解得b=,所以cos A===-. (2)由正弦定理有==,且由(1)可知B=,所以c===,又因为△ABC为锐角三角形,所以解得<A<,所以0<<1,所以<c<3,所以S△ABC=acsin B=×3×c×=c∈,所以△ABC面积的取值范围是. 素养进级提能力　三角形中的3大定理 　　　　　　　　　　　　　 定理(一)　射影定理 设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C+ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A. 【应用体验】　 1.(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B=(C) A. B. C. D. 解析　解法一:(射影定理法)因为acos B-bcos A=c,c=acos B+bcos A,所以2bcos A=0,故cos A=0,A=,则B=π-A-C=π--=.故选C. 解法二:由题意结合正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,整理可得sin Bcos A=0,由于B∈(0,π),故sin B>0,据此可得cos A=0,A=,则B=π-A-C=π--=.故选C. 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若ccos B+bcos C=asin A,S=(b2+a2-c2),则B=(B) A.90° B.60° C.45° D.30° 解析　在△ABC中,由射影定理a=ccos B+bcos C及ccos B+bcos C=asin A,得asin A=a,解得sin A=1,而0°<A<180°,则A=90°.由余弦定理cos C=及S=(b2+a2-c2)得cos C=,而S=absin C,因此,cos C=sin C,即tan C=.又0°<C<180°,则C=30°.所以B=180°-A-C=60°.故选B. 定理(二)　角平分线定理 在△ABC中,若AD是∠BAC的平分线,D在BC上,则有=. 【应用体验】　 3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC的平分线交BC于点D,且满足=,∠BAC=60°,a=7,则c=  .  解析　根据角平分线定理有===,所以b=c,又∠BAC=60°,a=7,在△ABC中,由余弦定理的推论得cos∠BAC==,将b=c代入上式,进而得到c2-49=0,因此c=(负值已舍去). 4.在△ABC中,A=2B,AC=9,BC=12,CD平分∠ACB交AB于点D,则BD的长度为 4 .  解析　因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD.由正弦定理可知=⇒=,=⇒=.因为∠ADC+∠BDC=π,所以sin∠ADC=sin∠BDC,所以有=,即BD=AB.(由CD平分∠ACB交AB于点D,可得===,所以BD=AB,选填题中可直接使用角平分线定理实现速解,但在解答题中使用该定理需进行简单的证明)由正弦定理可知,=⇒=⇒=⇒cos B=.由余弦定理可知AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos B,即81=AB2+144-2×AB×12×,解得AB=7或AB=9.当AB=7时,BD=4.当AB=9时,因为AC=9,所以AC=AB,因此B=∠ACB,A+B+∠ACB=π⇒2B+B+B=π⇒B=,cos B=≠,所以AB=9不成立.故BD=4. 定理(三)　中线定理 在△ABC中,AD是BC边上的中线,则AD2=(AB2+AC2)-BC2. 【应用体验】　 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=3,BD为AC边上的中线,BD=2,且acos C-2bcos B+ccos A=0,则△ABC的面积为(C) A.2 B. C. D. 解析　由射影定理知acos C+ccos A=2bcos∠ABC=b,所以cos∠ABC=.因为∠ABC是三角形内角,所以∠ABC=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos∠ABC⇒9=a2+c2-ac.由中线定理知a2+c2=2(BD2+AD2),即a2+c2=2×=,所以ac=,所以S△ABC=acsin∠ABC=××=,故选C. 第七节　解三角形应用举例 【课程标准】　能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线 下方 叫俯角(如图①).  ①　② 2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图②). 3.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30°,北偏西45°等. 4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. 小|题|快|练 1.(人A必二P51T3改编)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向,灯塔B在观察站南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B(D) A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向 C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向 解析　由题可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.故选D. 2.(人A必二P50例10改编)如图所示,为测量某树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为(A) A.(30+30) m B.(15+30) m C.(30+15) m D.(15+15) m 解析　在△ABP中,∠APB=45°-30°=15°,所以sin∠APB=sin 15°=×-×=,由正弦定理得PB===30(+),所以该树的高度为30(+)sin 45°=(30+30)(m).故选A. 3.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的距离为  km.  解析　在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理=,得AB==2×1×=(km). 4. 如图,在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°,在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°,A,B间的距离是84 m,则塔高CD= 12 m.  解析　设塔高CD=x m,则AD=x m,DB=x m.由题意得∠ADB=90°+60°=150°,在△ABD中,利用余弦定理得842=x2+(x)2-2·x2cos 150°,解得x=12(负值舍去),故塔高为12 m. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　距离问题 【例1】　如图,某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上,距离为12海里,灯塔C在A的北偏西30°方向上,距离为8海里,游轮由A处向正北方向航行到D处时,再看灯塔B,B在南偏东60°方向上,则C到D的距离为(B) A.20海里 B.8海里 C.23海里 D.24海里 解析　在△ABD中,B=180°-75°-60°=45°,由正弦定理=,可得AD===24(海里).在△ACD中,AD=24海里,AC=8海里,∠CAD=30°,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°=242+(8)2-2×24×8×=192.所以CD=8海里.故选B. 　　距离问题的解题思路 这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.注意:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当. 【训练1】　一条河流从某城市中穿过,其中一河段的两岸基本上是平行的,根据城建工程计划,需要测量出该河段的宽度,现在一侧岸边选取两点A,B并测得AB=a,选取对岸一目标点C并测得∠ABC=α,∠BAC=β,则该段河流的宽度为(A) A. B. C. D. 解析　在△ABC中,由正弦定理得BC==,所以河流的宽度d=BCsin∠ABC=.故选A. 类型二　高度问题 【例2】　小华想测出操场上旗杆OA的高度,在操场上选取了一条基线BC,请从测得的数据①BC=10 m;②B处的仰角60°;③C处的仰角45°;④cos∠BAC=;⑤∠BOC=30°中选取合适的,计算出旗杆的高度为(D) A.9 m B.10 m C.10 m D.10 m 解析　选①②③⑤.设旗杆的高度OA=h,则OC=h,OB=.如图,在△BOC中,由余弦定理得BC2=OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC,即102=+h2-2·h··,解得h=10(m).故选D. 　　求解高度问题的3个注意事项 1.在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. 2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. 3.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. 【训练2】　(2025·西安模拟)中国古代四大名楼之一鹳雀楼,位于山西省运城市永济市蒲州镇,因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而闻名遐迩.如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37 m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度MN约为(B) A.64 m B.74 m C.52 m D.91 m 解析　在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=37,∠ACB=30°,所以AC=2AB=74,在Rt△MNC中,NC⊥MN,∠MCN=45°,所以MN=MC·sin 45°=MC.由题意,∠MAC=15°+30°=45°,∠MCA=180°-45°-30°=105°,故∠AMC=180°-105°-45°=30°.在△ACM中,由正弦定理=,得=,故MC==74,所以MN=×74=74,故选B. 类型三　角度问题 【例3】　已知在岛A南偏西38°方向,距岛A3海里的B处有一艘救援艇.岛A处的一艘故障船正以10海里/时的速度向岛A北偏西22°方向行驶,问救援艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时追赶上该故障船? 解　如图,设救援艇在C处追赶上故障船,D为岛A正南方向上一点,救援艇的速度为x海里/时,结合题意知BC=0.5x,AC=5,∠BAC=180°-38°-22°=120°.由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=9+25-2×3×5×=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC===,所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC∥AD,故救援艇以14海里/时的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时追赶上该故障船. 　　角度问题的解题方法 首先应明确方向角的含义,在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 【训练3】　如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ=(C) A. B.-2 C.-1 D.-1 解析　在△ABC中,∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-15°-135°=30°,由正弦定理知=,故BC===50(-),在△BDC中,=,故=,所以sin∠BDC=-1,即sin(θ+90°)=-1,即cos θ=-1.故选C. 高考真题重温 　　　　　　　　　　　　　 1.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=(A) A. B. C. D. 解析　由cos C=得=,所以AB=3,所以cos B===,故选A. 2.(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(D) A.1 B. C. D.3 解析　解法一:设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,在△ABC中,由题意知b=,c=2,由余弦定理b2=c2+a2-2cacos B,得19=4+a2-2·2a·cos 120°,整理得a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5(舍),所以BC=3.故选D. 解法二:在△ABC中,由正弦定理得=,即=,所以sin C==,又0°<C<60°,所以cos C==,所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=,所以BC===3.故选D. 3.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= 2 .  解析　由S△ABC=acsin B=ac=得ac=4.由b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac,结合a2+c2=3ac得到b2=2ac=8,所以b=2. 4.(2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD= 2 .  解析　在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,即()2=22+AC2-2×2×AC×cos 60°,即AC2-2AC-2=0,解得AC=1+或AC=1-(舍),由于AD平分∠BAC,且∠BAC=60°,所以∠BAD=∠CAD=30°.S△ABC=S△ABD+S△ACD,即×2×(+1)×=×2×AD×+×(+1)×AD×,即×(+1)=AD+AD,解得AD=2. 5.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 解　(1)由已知得sin A+cos A=sin=1,因为0<A<π,所以<A+<,所以A+=,即A=. (2)由bsin C=2csin Bcos B及正弦定理==,得sin Bsin C=2sin Csin Bcos B,又sin B≠0,且sin C≠0,所以cos B=,则sin B=,则b=·sin B=×=2,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=,所以c=·sin C=×=+,所以a+b+c=2+3+,即△ABC的周长为2+3+. 新定义1.以三角函数为载体的新定义问题 　　　　　　　　　　　　　 类型一　定义新性质 【例1】　(多选题)(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=,则(ACD) A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数 C.双曲正切函数是增函数 D.tanh(x+y)= 解析　对于选项A,由于y=ex和y=-e-x均为增函数,故A正确;对于选项B,由于对任意x∈R,cosh(-x)=cosh x,故双曲余弦函数为偶函数,由偶函数的性质可知,B项错误;对于选项C,有tanh x==1-,故C正确;对于选项D,=====tanh(x+y),选项正确.综上所述,正确的选项是ACD. 　　对新定义的题型要注意以下几点: (1)读懂定义所给的主要信息,筛选出重要的关键点. (2)利用好定义所给的表达式以及相关的条件. (3)含有参数时要注意分类讨论. 类型二　定义新概念 【例2】　(2024·黑龙江大庆三模)法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”,即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点,托里拆利确定费马点的方法如下: ①当△ABC的三个内角均小于120°时,满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O为费马点; ②当△ABC有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题: 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点M为△ABC的费马点,且cos 2A+cos 2B-cos 2C=1. (1)求C; (2)若c=4,求|MA|·|MB|+|MB|·|MC|+|MC|·|MA|的最大值; (3)若|MA|+|MB|=t|MC|,求实数t的最小值. 解　(1)因为cos 2A+cos 2B-cos 2C=1,所以1-2sin2A+1-2sin2B-1+2sin2C=1,即sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理得a2+b2=c2.所以C=90°. (2)由(1)知C=90°,所以△ABC的三个角都小于120°,如图,因为点M为△ABC的费马点,所以∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°.由S△ABC=S△AMB+S△BMC+S△CMA得:ab=|MA|·|MB|sin 120°+|MB|·|MC|sin 120°+|MC|·|MA|sin 120°,整理得|MA|·|MB|+|MB|·|MC|+|MC|·|MA|=ab.又因为c2=a2+b2=16≥2ab,所以ab≤8,当且仅当a=b时等号成立.所以|MA|·|MB|+|MB|·|MC|+|MC|·|MA|=ab≤,所以|MA|·|MB|+|MB|·|MC|+|MC|·|MA|的最大值为. (3)由(2)知∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°.设|MC|=x,|MA|=mx,|MB|=nx(x>0,m>0,n>0),由|MA|+|MB|=t|MC|得m+n=t.由余弦定理得:在△ACM中,|AC|2=x2+m2x2-2mx2cos 120°=(m2+m+1)x2,在△BCM中,|BC|2=x2+n2x2-2nx2cos 120°=(n2+n+1)x2,在△ABM中,|AB|2=m2x2+n2x2-2mnx2cos 120°=(m2+n2+mn)x2,因为|AC|2+|BC|2=|AB|2,所以(m2+m+1)x2+(n2+n+1)x2=(m2+n2+mn)x2,整理得m+n+2=mn.因为m+n+2=mn≤,当且仅当m=n时等号成立,所以t+2≤,整理得t2-4t-8≥0,解得t≥2+2或者t≤2-2(舍去),所以实数t的最小值为2+2. 　　新定义问题的解法 　　根据题干所给定义,转化成所学知识,从而解决问题.在本题中,给出了当△ABC的三个内角均小于120°时,确定费马点的方法,即“满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O为费马点”,由(1)知△ABC为直角三角形,再结合点M是Rt△ABC的费马点知∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°,从而解决(2)(3)两个小题. 类型三　定义新运算 【例3】　(2024·安徽二模)已知集合M是满足下列运算的函数f(x)的全体:存在实数T,对任意的x∈R,有f(x+T)+f(x-T)=Tf(x). (1)试问函数f(x)=x2是否属于集合M?并说明理由; (2)若函数f(x)=x-sin ωx∈M,求正数ω的取值集合; (3)若函数f(x)=ekx∈M,证明:|k-k|≤1. 解　(1)函数f(x)=x2不属于集合M.理由如下:由题意得f(x+T)+f(x-T)=(x+T)2+(x-T)2=2x2+2T2,Tf(x)=Tx2,由f(x+T)+f(x-T)=Tf(x)得2x2+2T2=Tx2,结合x的任意性,得显然T无解,所以不存在实数T,对任意的x∈R,有f(x+T)+f(x-T)=Tf(x).即函数f(x)=x2不属于集合M. (2)由题意得,f(x+T)+f(x-T)=(x+T)+(x-T)-sin(ωx+ωT)-sin(ωx-ωT)=2x-2sin ωxcos ωT,又Tf(x)=Tx-Tsin ωx,由f(x+T)+f(x-T)=Tf(x)得2x-2sin ωxcos ωT=Tx-Tsin ωx,结合x的任意性,得所以cos 2ω=1,所以2ω=2kπ,又ω>0,即ω=kπ,k∈N*,所以正数ω的取值集合为{ω|ω=kπ,k∈N*}. (3)由函数f(x)=ekx∈M得ekx+kT+ekx-kT=Tekx,即ekT+e-kT=T,由题意可得,存在非零常数T,使得ekT+e-kT=T,即方程ekx+e-kx=x有解,令g(x)=ekx+e-kx-x,即函数g(x)有零点,g'(x)=k(ekx-e-kx)-1,下面证明ex≥x+1,令q(x)=ex-x-1,则q'(x)=ex-1,当x>0时,q'(x)>0,当x<0时,q'(x)<0,故q(x)=ex-x-1在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故q(x)=ex-x-1在x=0处取得极小值,也是最小值,故q(x)≥q(0)=0,故ex≥x+1>x. (ⅰ)当k>0时,g'(x)在R上单调递增,又g'(0)=-1,当x→+∞时,g'(x)→+∞,不妨取n=>0,则g'(n)=k(ekn-e-kn)-1>k(ekn-e0)-1>k·kn-1=0,所以g'(x)=0有根记为x=x0(x0>0),且-=　①,当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,x0)上单调递减,(x0,+∞)上单调递增,考虑到当x→-∞时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→+∞.任意给定正实数a,当x<-a时,g(x)=ekx+e-kx-x>-x>a,当x>max时,由于ex≥x+1>x⇒>⇒ex>,x>0⇒ekx>,x>0,故g(x)>ekx-x>(kx)2-x=(k2x-4)>(k2·-4)=x·a≥a,g(x0)≤0时,即可保证函数g(x)有零点,即+≤x0　②,由②2-①2得4≤-,由x0>0得kx0≥　③,将③代入①有≥-,化简得k-k≤1,由k>0得0≤k-k≤1　④. (ⅱ)当k<0时,则-k>0,用-k替换(ⅰ)中的k,得0<-k+k≤1,即-1≤k-k<0　⑤,由④⑤得-1≤k-k≤1,即|k-k|≤1,k≠0. (ⅲ)当k=0时,f(x)=1,取T=2,则f(x+2)+f(x-2)=2f(x),满足f(x+T)+f(x-T)=Tf(x),则f(x)∈M,综上,|k-k|≤1. 　　导函数处理零点个数问题,由于涉及多类问题特征(包括单调性、特殊位置的函数值符号、隐零点的探索、参数的分类讨论等),需要学生对多种基本方法、基本思想、基本能力进行整合,注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势,从而判断零点个数,较为复杂和综合的函数零点个数问题,分类讨论是必不可少的步骤,在哪种情况下进行分类讨论,分类的标准,及分类是否全面,都是需要思考的. 学科网（北京）股份有限公司 $$