第二章 函数与基本初等函数-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习

第二章函数与基本初等函数 第一节　函数的概念及其表示 【课程标准】　1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如解析法、列表法、图象法)表示函数,理解函数图象的作用;3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.函数的概念 一般地,设A,B是 非空的实数集 ,如果对于集合A中的 任意 一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.  2.函数的三要素 (1)函数的三要素: 定义域 、 对应关系 、 值域 .  (2)如果两个函数的 定义域 相同,并且 对应关系 完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.  3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 .  4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 微|点|延|伸 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. 2.在函数的定义中,非空实数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集. 3.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集. 小|题|快|练 1.(人A必一P65例2改编)函数f(x)=+的定义域为(C) A.(-∞,-1]∪(1,3] B.(1,3] C.[-1,1)∪(1,2) D.[-1,1)∪(1,3] 解析　要使函数解析式有意义,需满足即得-1≤x<1或1<x<2.所以函数f(x)的定义域为[-1,1)∪(1,2).故选C. 2.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是(B) ABCD 解析　A中函数定义域不是[-2,2];C中图象不表示函数;D中函数值域不是[0,2].故选B. 3.(人A必一P66例3改编)下列各组函数中,表示同一个函数的一组是(D) A.f(x)=1,g(x)=x0 B.f(x)=,g(x)=x C.f(x)=·,g(x)= D.f(x)=与g(x)= 解析　对于A,f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),两个函数的定义域不同,故二者不是同一个函数;对于B,f(x)=与g(x)=x的对应关系不同,故二者不是同一个函数;对于C,f(x)的定义域是[1,+∞),g(x)的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞),两个函数的定义域不同,故二者不是同一个函数;对于D,g(x)==|x|=与f(x)=的定义域以及对应关系都相同,故二者是同一个函数.故选D. 4.设函数f(x)=则使得f(x)≥2的自变量x的取值范围为 (-∞,-1]∪(0,1] .  解析　因为f(x)是分段函数,所以f(x)≥2应分段求解.当x≤0时,f(x)≥2即为x2+1≥2,解得x≤-1或x≥1,所以x≤-1.当x>0时,f(x)≥2即为-x+3≥2,即x≤1,所以0<x≤1.综上所述,x∈(-∞,-1]∪(0,1]. 5.已知函数f(x)=则f(x)的值域为 (0,1)∪[2,+∞) .  解析　当x≤1时,f(x)=x2+2,所以f(x)∈[2,+∞);当x>1时,f(x)=,所以f(x)∈(0,1).综上,f(x)的值域为(0,1)∪[2,+∞). 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　函数的定义域 自练自悟 1.函数f(x)=的定义域为(C) A.(1,2] B.(1,3] C.(0,1)∪(1,3] D.(0,1)∪(1,2] 解析　f(x)=的定义域需满足解得0<x≤3且x≠1,故其定义域为(0,1)∪(1,3].故选C. 2.函数f(x)=+的定义域为 [1,4) .  解析　由题意知函数f(x)=+要有意义,需满足解得1≤x<4,故f(x)=+的定义域为[1,4). 3.已知函数f(x)=lg,则函数g(x)=f(x-1)+的定义域是(C) A.{x|x>2或x<0} B.{x|x>2} C. D. 解析　要使f(x)=lg有意义,则>0,即(1-x)(1+x)>0,解得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1).要使g(x)=f(x-1)+有意义,则解得≤x<2,所以函数g(x)的定义域为.故选C. 4.已知函数f(x+1)的定义域为[1,2],则f(2x)的定义域为  .  解析　因为函数f(x+1)的定义域为[1,2],所以2≤x+1≤3,即函数f(x)的定义域为[2,3].由2≤2x≤3,解得1≤x≤,因此f(2x)的定义域为. 　　求函数定义域的类型及解题策略 求具体函数的定义域 已知解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可 求抽象函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出; (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域 类型二　函数的解析式 【例1】　(1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; (2)已知f=x2+,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; (4)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. 解　(1)(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,因为f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x,所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2].即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. (2)(配凑法)因为f=x2+=-2,所以f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). (3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17.即ax+(5a+b)=2x+17,所以解得所以f(x)的解析式是f(x)=2x+7. (4)(解方程组法)因为2f(x)+f(-x)=3x　①,所以将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x　②,由①②解得f(x)=3x. 　　函数解析式的求法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))=f(x),可将f(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想:已知关于f(x)与f或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 【训练】　(1)已知f=lg x,则f(x)的解析式为 f(x)=lg (x>1) .  解析　令+1=t(t>1),则x=,所以f(t)=lg(t>1),所以f(x)=lg(x>1). (2)已知y=f(x)是二次函数,若方程f(x)=0有两个相等实根,且f'(x)=2x+2,则f(x)= x2+2x+1 .  解析　设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b,所以2ax+b=2x+2,则a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+c,又f(x)=0有两个相等实根,即x2+2x+c=0有两个相等实根,所以Δ=4-4c=0,则c=1.故f(x)=x2+2x+1. (3)已知f(x)满足f(x)-2f=2x,则f(x)= --(x≠0) .  解析　因为f(x)-2f=2x　①,以代替①中的x,得f-2f(x)=　②,①+②×2得-3f(x)=2x+,所以f(x)=--(x≠0). 类型三　分段函数 考向❶:分段函数求值 【例2】　设函数f(x)=则f(-2)+f(log26)=(B) A.2 B.6 C.8 D.10 解析　根据题意得f(-2)=log28=3,f(log26)==3,所以f(-2)+f(log26)=6.故选B. 　　根据分段函数解析式求函数值,首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. 考向❷:分段函数与方程 【例3】　已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)等于(A) A.- B.- C.- D.- 解析　若a≤1,则2a-1-2=-3,即2a-1=-1,无解;若a>1,则-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-.故选A. 　　求分段函数中参数值与自变量值的策略 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参. (2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值. 考向❸:分段函数与不等式 【例4】　设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是  .  解析　由题意得,当x>时,2x+>1恒成立,即x>满足题意;当0<x≤时,2x++1>1恒成立,即0<x≤满足题意;当x≤0时,由x+1++1=2x+>1,得x>-,即-<x≤0.综上,x的取值范围是. 　　与分段函数有关的不等式问题的解题策略 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❸ ❶❷❸ 1.已知函数f(x)=则f(log212)=(B) A. B. C.1 D.2 解析　由log212=2+log23,且log23∈(1,2),得f(2+log23)=f(1+log23)=f(log23)===.故选B. 2.(2024·大庆二模)已知函数f(x)=若f(2a-1)-1≤0,则实数a的取值范围是(D) A. B.∪ C. D. 解析　因为f(2a-1)-1≤0⇒f(2a-1)≤1.①当2a-1≥1时,f(2a-1)=ln(2a-1)≤1⇒1≤a≤.②当0≤2a-1<1时,f(2a-1)=0≤1⇒≤a<1.③当2a-1<0时,f(2a-1)=2a-1≤1⇒a<.综上所述,a≤.故选D. 3.(多选题)(2025·佛山模拟)已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是(BC) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞,4] C.若f(x)=2,则x的值是- D.f(x)<1的解集为(-1,1) 解析　函数f(x)=的定义域是[-2,+∞),故A错误;当-2≤x<1时,f(x)=x2,值域为[0,4],当x≥1时,f(x)=-x+2,值域为(-∞,1],故f(x)的值域为(-∞,4],故B正确;当x≥1时,令f(x)=-x+2=2,无解,当-2≤x<1时,令f(x)=x2=2,解得x=-,故C正确;当-2≤x<1时,令f(x)=x2<1,解得x∈(-1,1),当x≥1时,令f(x)=-x+2<1,解得x∈(1,+∞),故f(x)<1的解集为(-1,1)∪(1,+∞),故D错误.故选BC. 第二节　函数的基本性质 第1课时　函数的单调性与最值 【课程标准】　借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.函数的单调性 (1)增函数、减函数 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,就称它是增函数 都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,就称它是减函数 图象描述 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. [微点清]　①求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域;②一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接;③函数在某个区间上是单调函数,但在整个定义域上不一定是单调函数. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D,都有 f(x)≤M ; ∃x0∈D,使得 f(x0)=M ∀x∈D,都有 f(x)≥M ; ∃x0∈D,使得 f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 微|点|延|伸 1.∀x1,x2∈I且x1≠x2,有>0(<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). 2.在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数. 3.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. 4.复合函数的单调性:同增异减. 小|题|快|练 1.(人A必一P77“思考”改编)下列函数是增函数的为(D) A.f(x)=|x| B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析　对于A,f(x)=|x|在R上不具有单调性,不合题意,舍去.对于B,f(x)=为R上的减函数,不合题意,舍去.对于C,f(x)=x2在R上不具有单调性,不合题意,舍去.对于D,f(x)=为R上的增函数,符合题意,故选D. 2.函数y=x+的单调递减区间为(D) A.(0,1] B.[-1,1] C.[-1,0)∪(0,1] D.[-1,0),(0,1] 解析　函数y=x+为对勾函数,由对勾函数的性质知,函数y=x+的单调递减区间为[-1,0),(0,1].故选D. 3.对于任意的实数x,已知函数f(x)=则f(x)的最大值为(C) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　因为f(x)=函数图象如图所示,由函数图象可知,当x=1时,函数取得最大值f(x)max=f(1)=1.故选C. 4.已知函数f(x)=(x∈[2,6]),则f(x)的最小值为  ,最大值为 2 .  解析　由于f(x)=在[2,6]上单调递减,故f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(6)=. 5.函数y=lo(x2+2x-3)的单调递增区间是 (-∞,-3) .  解析　由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,即函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).令t=x2+2x-3,则y=lot,因为y=lot为减函数,t=x2+2x-3在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=lo(x2+2x-3)的单调递增区间为(-∞,-3). 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　确定函数的单调性 【例1】　(1)(多选题)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(ACD) A.y=x- B.y=|x2-2x| C.y=2x+2cos x D.y=lg(x+1) 解析　因为y=x与y=-在(0,+∞)上单调递增,所以y=x-在(0,+∞)上单调递增,故A正确;由y=|x2-2x|的图象(图略)知,B不正确;因为y'=2-2sin x≥0,所以y=2x+2cos x是R上的增函数,故C正确;函数y=lg(x+1)是定义域(-1,+∞)上的增函数,故D正确.故选ACD. (2)试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 解　解法一(定义法):设-1<x1<x2<1,因为f(x)=a=a,所以f(x1)-f(x2)=a-a=,由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 解法二(导数法):f'(x)===-.故当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 　　确定函数单调性的四种方法 (1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法. 根据复合函数的单调性:同增异减. 【训练1】　(1)函数g(x)=x|x-1|+1的单调递减区间为(B) A. B. C.[1,+∞) D.∪[1,+∞) 解析　g(x)=x|x-1|+1=画出函数图象,如图所示,根据图象知,函数的单调递减区间为.故选B. (2)已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1. 求证:f(x)是R上的增函数. 证明　设x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,即f(x2-x1)>1,所以f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)是R上的增函数. 类型二　函数单调性的应用 考向❶:比较大小或解不等式 【例2】　(1)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=f(1-x),当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为(D) A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 解析　因为f(x+1)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,可得f=f.由x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减.因为1<2<<e,所以f(2)>f>f(e),所以b>a>c.故选D. (2)(2024·陕西一模)已知函数f(x)在定义域R上单调递减,且f(x)+f(-x)=0.若f(1)=-1,则满足|f(x-2)|≤1的x的取值范围是(A) A.[1,3] B.[-2,1] C.[0,4] D.[-1,2] 解析　因为f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),又f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1.由|f(x-2)|≤1,得-1≤f(x-2)≤1,所以f(1)≤f(x-2)≤f(-1).因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以-1≤x-2≤1,得1≤x≤3.故选A. 　　(1)利用单调性可以比较函数值的大小,但需将各自变量的值化到同一单调区间上. (2)根据题目条件,确定函数的单调性,利用函数的单调性将“f”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域. 考向❷:求参数取值范围 【例3】　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(B) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 解析　因为函数f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1),所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上,实数a的取值范围是[-1,0].故选B. 　　利用单调性求参数的取值(范围),可以根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)),也可以先得到函数图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意分界点的取值. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❷ 1.已知函数f(x)=ex+e-x,则(D) A.f(-)<f(e)<f() B.f(e)<f(-)<f() C.f()<f(e)<f(-) D.f(-)<f()<f(e) 解析　因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x+ex=f(x),所以函数f(x)为偶函数.又当x>0时,f'(x)=ex->0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为<<e,所以f()<f()<f(e),又f(-)=f(),所以f(-)<f()<f(e).故选D. 2.函数f(x)=ln(-x2+4x)在(a,a+1)上单调递增,则a的取值范围为(D) A.(0,1) B.[0,2] C.(0,2) D.[0,1] 解析　由-x2+4x>0,得0<x<4,即函数f(x)的定义域为(0,4),令g(x)=-x2+4x,x∈(0,4),易知g(x)在(0,2]上单调递增,在(2,4)上单调递减,又y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以当函数f(x)在(a,a+1)上单调递增时,根据复合函数的单调性可知解得0≤a≤1,故选D. 3.(2025·福建福州质检)若函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调递减,则a的取值范围是(D) A.(-∞,2] B.(-∞,4] C.[2,+∞) D.[4,+∞) 解析　函数y=3x在(-∞,+∞)上单调递增,而函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调递减,所以y=|2x-a|在区间(1,2)上单调递减,所以≥2,解得a∈[4,+∞).故选D. 类型三　函数的最值 【例4】　(1)函数f(x)=x-+1在[1,4]上的值域为(C) A. B.[0,1] C. D. 解析　由y=x在[1,4]上单调递增,且y=在[1,4]上单调递减,可得f(x)=x-+1在[1,4]上单调递增,又f(1)=0,f(4)=,故值域为.故选C. (2)函数y=x-的最大值是  .  解析　因为定义域为,而y=x-在上为增函数.所以当x=时,ymax=. 　　利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出时,单调性法几乎成为首选方法. 【训练2】　函数f(x)=在区间[1,2]上的最小值为 - .  解析　f(x)=-2x-1.由于y=,y=-2x-1在[1,2]上均单调递减,故f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=-2=-. 第2课时　函数的奇偶性与周期性 【课程标准】　1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义;2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且 f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.  (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数,那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.  微|点|延|伸 1.奇(偶)函数定义的等价形式 (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数; (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数. 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0). 小|题|快|练 1.(多选题)下列函数中为偶函数的是(BC) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=ln|x| D.y=2-x 解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称,所以A为奇函数;B,C为偶函数;D既不是奇函数,也不是偶函数.故选BC. 2.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-6x,则f(-1)=(C) A.-7 B.-5 C.5 D.7 解析　因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=5.故选C. 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x2+1,则f(2 024.5)=(B) A. B. C.2 D.1 解析　由f(x+2)=f(x)可知,函数f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时,f(x)=x2+1,所以f(2 024.5)=f=f=+1=.故选B. 4.已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=,则函数f(x)的解析式为 f(x)= .  解析　因为f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=b=0,所以f(x)=,又f=,所以=,得a=1,所以函数f(x)=,经检验,符合题意.故f(x)=. 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,其在[0,+∞)上的图象如图所示.则不等式xf(x)>0的解集为 (-2,0)∪(0,2) .  解析　根据奇函数的图象关于原点对称,可得f(x)的图象如图所示.xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号,且均不为0.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2). 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　函数奇偶性的判断 自练自悟 1.(多选题)下列函数是奇函数的是(AC) A.f(x)=tan x B.f(x)=x2+x C.f(x)= D.f(x)=ln|1+x| 解析　对于A,函数的定义域为,关于原点对称,且f(-x)=tan(-x)=-tan x=-f(x),故函数为奇函数;对于B,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=x2-x≠±f(x),故函数为非奇非偶函数;对于C,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)==-f(x),故函数为奇函数;对于D,函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数.故选AC. 2.(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是(B) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析　对于A,f(-x)==≠f(x),故f(x)不是偶函数;对于B,f(-x)===f(x),故f(x)是偶函数;对于C,f(x)的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)不是偶函数;对于D,f(-x)===-=-f(x),故f(x)是奇函数.故选B. 3.已知f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,且g(x)≠0,则下列说法正确的是(D) A.f(x)+g(x)为R上的奇函数 B.f(x)-g(x)为R上的偶函数 C.为R上的偶函数 D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数 解析　因为f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).对于A,x∈R,设F(x)=f(x)+g(x),则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-f(x)-g(x)=-F(x),故错误;对于B,x∈R,设N(x)=f(x)-g(x),则N(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)≠f(x)-g(x)=N(x),故错误;对于C,x∈R,g(x)≠0,设M(x)=,M(-x)==-=-M(x)≠M(x),故错误;对于D,x∈R,设H(x)=|f(x)g(x)|,H(-x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=H(x),所以H(x)为偶函数,故正确.故选D. 4.已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2,则函数f(x)+2为 奇 函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)  解析　由题意得函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称,令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)+2,故f(0)=-2.令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)+2,故f(x)+2=-f(-x)-2=-[f(-x)+2].故f(x)+2为奇函数. 　　判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件 1.定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数. 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 类型二　函数奇偶性的应用 考向❶:利用奇偶性求解析式 【例1】　已知函数f(x)为奇函数且定义域为R,当x>0时,f(x)=x+1,则f(x)的解析式为 f(x)= .  解析　因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0.当x<0时,-x>0.f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1.所以f(x)= 考向❷:求参数值 【例2】　(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)·ln为偶函数,则a=(B) A.-1 B.0 C. D.1 解析　因为f(x)为偶函数,则f(1)=f(-1),所以(1+a)ln =(-1+a)ln 3,解得a=0.当a=0时,f(x)=xln ,由(2x-1)(2x+1)>0,解得x>或x<-,则其定义域为,关于原点对称.f(-x)=(-x)ln=(-x)ln=(-x)ln=xln=f(x),故此时f(x)为偶函数.故选B. 考向❸:解不等式 【例3】　(2025·广州质检)已知偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(1)=0,则不等式xf(x-2)>0的解集为(D) A.(1,3) B.(3,+∞) C.(-3,-1)∪(3,+∞) D.(0,1)∪(3,+∞) 解析　偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,则在(0,+∞)上单调递增.因为f(1)=0,则当x>0时,xf(x-2)>0即f(|x-2|)>0=f(1),所以x-2>1或x-2<-1,解得x>3或x<1,所以x∈(0,1)∪(3,+∞).当x<0时,xf(x-2)>0即f(x-2)<0,f(|x-2|)<0=f(1),所以-1<x-2<1,解得1<x<3,所以解集为空集.综上,不等式xf(x-2)>0的解集为(0,1)∪(3,+∞),故选D. 　　利用函数的奇偶性可以解决以下问题 1.求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值. 2.求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出. 3.求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ 1.(2025·东北联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+,若f(3)=-8,则a=(B) A.-3 B.3 C. D.- 解析　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(3)=-f(-3),又f(3)=-8,所以f(-3)=8,又当x<0时,f(x)=x2+,所以f(-3)=(-3)2+=8,解得a=3,故选B. 2.若函数f(x)=是奇函数,则实数a=(C) A.0 B.-1 C.1 D.±1 解析　解法一:因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),当x>0时,-x<0,f(-x)=-a2x-1,-f(x)=-x-a,则-a2x-1=-x-a,可得a=1,故选C. 解法二: 因为函数f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1),即-a2-1=-(1+a),解得a=0或a=1,经检验a=1符合题意,故选C. 3.若函数f(x-2)为奇函数,f(-2)=0且f(x)在区间[-2,+∞)上单调递减,则f(3-x)>0的解集为 (5,+∞) .  解析　因为f(x-2)为奇函数,所以f(x-2)的图象的对称中心为(0,0).又因为f(x)的图象可由f(x-2)的图象向左平移2个单位长度得到,所以f(x)的图象关于点(-2,0)中心对称,因为f(x)在[-2,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上也单调递减,所以f(3-x)>0=f(-2),即3-x<-2,解得x>5,所以解集为(5,+∞). 类型三　函数的周期性 【例4】　(1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=-f(x),且当1≤x≤2时,f(x)=x-1,则f的值等于(D) A. B. C. D.- 解析　因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),又因为f(2-x)=-f(x),所以f(2-x)=-f(-x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f=f=f=f=-f=-f=-.故选D. (2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)= 340 .  解析　因为f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期T=6,于是f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1,f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1,而2 024=6×337+2,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=337×1+1+2=340. 　　1.求解与函数周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. 2.利用函数的周期性,可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. 【训练】　设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是 f(x)=log2(3-x) .  解析　令x∈[-1,0],则-x∈[0,1],结合题意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1),令x∈[1,2],则x-2∈[-1,0],故f(x)=f(x-2)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x).故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x). 第3课时　函数的对称性 【课程标准】　1.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论;2.会利用对称公式解决问题. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数图象关于 原点 对称,偶函数图象关于 y轴 对称.  (2)若f(x+a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为 x=a ;若f(x+a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为 (a,0) .  (3)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x),则函数的图象关于直线x=a对称; 若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数的图象关于点 (a,0) 对称.  2.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y轴 对称;  (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴 对称;  (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原点 对称.  微|点|延|伸 1.函数y=f(x)的图象关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a+x)=f(-x)⇔f(2a-x)=f(x). 2.函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(a-x)=-f(a+x)⇔f(2a-x)=-f(x)⇔f(2a+x)=-f(-x). 3.函数y=f(x)的图象关于直线x=对称⇔f(a+x)=f(b-x). 4.函数y=f(x)的图象关于点对称⇔f(a+x)=-f(b-x). 小|题|快|练 1.函数f(x)=的图象的对称中心为(B) A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,1) 解析　因为f(x)==1+,由y=的图象向上平移一个单位长度得到y=1+的图象,又y=的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=1+的图象关于点(0,1)对称.故选B. 2.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上单调递增,且f(x+2)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,则(A) A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3) 解析　因为f(x+2)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1),由于f(x)在(-∞,2)上单调递增,所以f(-1)<f(1)=f(3),f(0)<f(1)=f(3).故选A. 3.若f(x+2)在R上是偶函数,且f(-1)=3,则f(5)= 3 .  解析　由已知得f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(5)=f(-1)=3. 4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点 (-1,2) .  解析　y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1,2). 5.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2,则f(2 027)= 1 .  解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),因为f(x+2)=f(2-x),所以f(x+4)=f(-x)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,则f(2 027)=f(4×507-1)=f(-1)=f(1)=1. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　轴对称问题 【例1】　(1)若函数f(x+1)为偶函数,则函数f(x)的图象的对称轴方程为 x=1 .  解析　因为f(x+1)为偶函数,所以函数f(x+1)的图象关于直线x=0对称.又函数f(x)的图象是由函数f(x+1)的图象向右平移一个单位长度而得到,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称. (2)已知函数f(x)=ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称?若存在,求a,b的值;若不存在,说明理由. 解　假设存在a,b, 使得曲线y=f关于直线x=b对称.令g(x)=f=(x+a)ln=(x+a)ln,因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称,所以g(x)=g(2b-x),即(x+a)ln=(2b-x+a)ln=(x-2b-a)ln,于是得当a=,b=-时,g(x)=ln,g(-1-x)=ln=ln=ln=ln=g(x),所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称,满足题意.故存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称,且a=,b=-. 　　判断函数对称轴的方法 1.利用偶函数的性质,结合图象的平移寻找对称轴. 2.利用轴对称的一般性结论:函数y=f(x)关于直线x=a对称⇔f(2a-x)=f(x). 【训练1】　(1)函数f(x)的周期为6,且f(x+2)为偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,则f(2 025)= 1 .  解析　因为f(x)的周期为6,则f(2 025)=f(3),又f(x+2)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1)=1,所以f(2 025)=1. (2)(2025·昆明一模)已知函数f(x)=ex+e2-x,则下列说法正确的是(D) A.f(x)为增函数 B.f(x)有两个零点 C.f(x)的最大值为2e D.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 解析　函数f(x)=ex+e2-x=ex+,令t=ex(t>0),g(t)=t+(t>0),类比对勾函数y=x+(k>0)的图象,作出g(t)的大致图象,如图所示,则g(t)在(0,+∞)上先减后增,又y=ex单调递增,所以函数f(x)先减后增,A选项错误.函数f(x)=ex+e2-x>0,所以f(x)没有零点,B选项错误.x→+∞时,f(x)→+∞,所以函数f(x)没有最大值,C选项错误.由于f(2-x)=e2-x+e2-(2-x)=e2-x+ex=f(x),所以f(x)关于直线x=1对称,故选D. 类型二　中心对称问题 【例2】　(1)若y=f(x-2)为奇函数,则函数y=f(x)图象的对称中心为 (-2,0) .  解析　y=f(x)的图象是由y=f(x-2)的图象向左平移2个单位得到的,而y=f(x-2)的图象的对称中心为(0,0),所以y=f(x)的图象的对称中心为(-2,0). (2)(2024·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=-2,则下列函数中为奇函数的是(D) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 解析　解法一:由f(2-x)+f(x)=-2知f(x)关于(1,-1)对称,将y=f(x)向左平移1个单位,向上平移1个单位得到y=f(x+1)+1关于原点对称,所以y=f(x+1)+1是奇函数,故选D. 解法二:函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=-2,可得f(1-x)+f(1+x)=-2,即f(1-x)+1+f(1+x)+1=0,即f(-x+1)+1=-[f(x+1)+1],所以函数y=f(x+1)+1为奇函数.故选D. 　　记住中心对称的一般性结论 y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(2a-x)+f(x)=2b,但注意结合图象平移会使题更易解决. 【训练2】　(多选题)下列说法中,正确的是(ABC) A.函数f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数,则函数f(x)关于点(-1,0)中心对称 C.若函数y=f(x)过定点(0,1),则函数y=f(x-1)+1过定点(1,2) D.函数y=的图象关于点(3,c)中心对称,则b+c=2 解析　对于A,f(x)===2-,其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,又y=-的图象关于原点对称,故f(x)=的图象关于点(-2,2)中心对称,A正确;对于B,因为f(2x-1)为奇函数,所以f(2x-1)=-f(-2x-1),所以f(x-1)=-f(-x-1),所以f(x)=-f(-x-2),所以函数f(x)关于点(-1,0)中心对称,B正确;对于C,函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象,由于y=f(x)过定点(0,1),故函数y=f(x-1)+1过定点(1,2),C正确;对于D,函数y===1+的图象关于点(3,c)中心对称,所以解得所以b+c=4,D不正确.故选ABC. 类型三　双对称问题 【例3】　(1)设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=1+x,则f(8.6)= 0.4 .  解析　由已知得f(x)的图象关于x=0和x=1对称,故f(x)的周期为2,所以f(8.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.4. (2)已知函数f(x)的图象关于原点对称,且满足f(x+1)+f(3-x)=0,当x∈(2,4)时,f(x)=-lo(x-1)+m,若=f(-1),则实数m的值是(C) A. B. C.- D.- 解析　由已知f(x)关于(0,0)与(2,0)对称,所以f(x)是周期为2|2-0|=4的函数,当x∈(2,4)时,f(x)=-lo(x-1)+m,则f(3)=m+1,则f(2 025)=f(1)=-f(-1)=-f(3)=-m-1,所以=m+1,解得m=-.故选C. 　　1.若f(x)的图象关于直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|(a≠b). 2.若f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)对称,则T=2|a-b|(a≠b). 3.若f(x)的图象关于直线x=a,点(b,0)对称,则T=4|a-b|(a≠b). 【训练3】　(2025·洛阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f为偶函数且f(1)=2,则f(2 022)+f(2 023)+f(2 024)=(D) A.-2 B.0 C.2 D.4 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)的图象关于(0,0)对称,又f为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=对称,所以f(x)是以4=6为周期的周期函数.对于f=f,令x=-,得f(2)=f(1)=2,f(2 022)=f(6×337)=f(0)=0,f(2 023)=f(6×337+1)=f(1)=2,f(2 024)=f(6×337+2)=f(2)=2,所以f(2 022)+f(2 023)+f(2 024)=4.故选D. 类型四　两个函数的对称关系 【例4】　(1)设函数y=f(x)的定义域为实数集R,则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于(D) A.直线y=0对称 B.直线x=0对称 C.直线y=1对称 D.直线x=1对称 解析　解法一:设t=x-1,则y=f(t)与y=f(-t)的图象关于直线t=0对称.即y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称.故选D. 解法二:y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象分别由y=f(x)与y=f(-x)的图象向右平移一个单位长度而得到,又y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.所以y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称.故选D. (2)与曲线f(x)=ex关于直线x=1对称的曲线对应的函数是 y=e2-x .  解析　与曲线f(x)=ex关于直线x=1对称的曲线对应的函数是f(2-x)=e2-x,即y=e2-x. 　　1.函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. 2.函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称. 【训练4】　已知f(x)=ln(1-x),函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称,则g(x)的解析式为 g(x)=-ln(x-1) .  解析　解法一:设P(x,y)为函数y=g(x)图象上任意一点,则点P(x,y)关于点(1,0)的对称点Q(2-x,-y)在函数y=f(x)的图象上,即-y=f(2-x)=ln(x-1).所以y=-ln(x-1),所以g(x)=-ln(x-1). 解法二:f(x)=ln(1-x)向左平移一个单位长度得y=ln(-x),其关于原点对称的函数为y=-ln x,再向右平移一个单位长度得y=-ln(x-1),所以g(x)=-ln(x-1). 解法三:y=f(x)关于点(1,0)对称的函数g(x)=-f(2-x)=-ln(x-1). 第4课时　函数性质的综合应用 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　函数单调性与奇偶性的应用 【例1】　若函数f(x)=a-为奇函数,则关于x的不等式f(x2)+f(2x-3)>a的解集为 (-3,1) .  解析　由f(-x)=-f(x),得a=0,即f(x)=-=当x≥0时,f(x)=-1+在[0,+∞)上单调递减,又f(x)为奇函数,故f(x)在R上是减函数.由f(x)为奇函数,则不等式f(x2)+f(2x-3)>0可化为f(x2)>f(3-2x),所以x2<3-2x,解得-3<x<1,故不等式的解集为(-3,1). 　　综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 (1)比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性,把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小. (2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性,脱去“f”变成常规不等式,转化为x1<x2(或x1>x2)求解. 【训练1】　已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(C) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 解析　由题意,知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,因为奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.又3>log2 5.1>2>20.8>0,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),所以g(3)>g(-log25.1)>g(20.8),则b<a<c.故选C. 类型二　函数奇偶性与周期性的应用 【例2】　(1)已知函数f(x)的图象关于原点对称,且周期为4,f(3)=-2,则f(2 025)=(A) A.2 B.0 C.-2 D.-4 解析　依题意,函数f(x)的图象关于原点对称,则函数f(x)是奇函数,又f(x)的周期为4,且f(3)=-2,则有f(2 025)=f(-3+507×4)=f(-3)=-f(3)=2.故选A. (2)(多选题)(2025·青岛质检)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)是偶函数,f(x-1)是奇函数,则下列结论正确的是(ABC) A.f(x)=f(x-16) B.f(11)=0 C.f(2 024)=f(0) D.f(2 023)=f(1) 解析　因为f(2x+1)是偶函数,所以f(-2x+1)=f(1+2x),即f(1-x)=f(1+x),即函数f(x)的图象关于x=1对称,则f(x)=f(2-x).因为f(x-1)是奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),则f(-x-2)=-f(x)=-f(2-x),即f(x-2)=-f(2+x),则f(x)=-f(x+4),即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期是8.则f(x)=f(x-16)成立,故A正确;令x=0,由f(-x-1)=-f(x-1),得f(-1)=-f(-1),得f(-1)=0,f(3)=0,则f(11)=f(3)=0,故B正确;f(2 024)=f(8×253+0)=f(0)成立,故C正确;f(2 023)=f(8×253-1)=f(-1)=f(3)成立,故D错误.故选ABC. 　　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 【训练2】　设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f=(D) A.- B.- C. D. 解析　因为f(x+1)是奇函数,所以f(x)关于(1,0)中心对称,所以f(1)=0,因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)关于直线x=2对称,周期为4,所以f(0)=-f(2),f(3)=f(1),即f(1)-f(2)=6,f(2)=-6,代入可得解得因此f=f=-f=-=.故选D. 类型三　函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用 【例3】　已知定义在R上的函数f(x)满足条件:①f(x)的周期为2;②f(x-2)为奇函数;③当x∈[0,1)时,>0(x1≠x2)恒成立.则f,f(4),f的大小关系为(C) A.f>f(4)>f B.f(4)>f>f C.f>f(4)>f D.f>f>f(4) 解析　因为f(x-2)为奇函数,f(x)的周期为2,所以f(x)为奇函数,因为当x∈[0,1)时,>0,所以f(x)在[0,1)上单调递增,因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(-1,0)上单调递增,所以f(x)在(-1,1)上单调递增,因为f=f=f,f(4)=f(4-2×2)=f(0),f=f=f,f>f(0)>f,即f>f(4)>f.故选C. 　　利用奇偶性及其周期性将自变量值化为同一单调区间,然后利用单调性比较大小. 【训练3】　已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)单调递增,则(B) A.f(6)<f(-7)<f B.f(6)<f<f(-7) C.f(-7)<f<f(6) D.f<f(-7)<f(6) 解析　因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数,所以f(6)=f(2)=-f(0)=f(0),f=f=-f=f,f(-7)=f(1),又当x∈[0,1]时,f(x)单调递增,所以f(0)<f<f(1),即f(6)<f<f(-7).故选B. 高考真题重温 　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)·sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为(B) A　　B C　　D 解析　(排除法)由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A,C;f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1+->0,排除D.故选B. 2.(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a=(D) A.-2 B. -1 C.1 D. 2 解析　由题意可得f(x)的定义域为{x|x≠0}且a≠0.因为f(x)=为偶函数,则f(x)-f(-x)=-==0,又因为x≠0,可得ex-e(a-1)x=0,即ex=e(a-1)x,则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.故选D. 3.(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)=(A) A.-3 B.-2 C.0 D.1 解析　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).故f(x+2)=f(x+1)-f(x)　①,f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)　②.①+②,得f(x+3)=-f(x),所以f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2,所以f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2.所以f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=3×0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3.故选A. 4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则(B) A.f=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 解析　因为f(x+2)为偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2).又因为f(2x+1)为奇函数,所以f(-2x+1)=-f(2x+1),所以f(1)=-f(1),可得f(1)=0,所以f(-1)=-f(3)=-f(1)=0.故B正确. 素养进级提能力　原函数与导函数的对称性、周期性的关系 　　　　　　　　　　　　　 　若f(x)是定义在R上的连续且可导函数,则有以下结论: 一、导函数的奇偶性与周期性 1.若f(x)关于x=a对称,则f'(x)关于点(a,0)对称. 特殊情况:偶函数的导函数为奇函数. [证明]　若f(x)关于x=a对称,则f(x)=f(2a-x),f'(x)=-f'(2a-x),即f'(x)+f'(2a-x)=0,所以f'(x)关于(a,0)对称,若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x),即f'(x)+f'(-x)=0,所以f'(x)是奇函数. 2.若f(x)关于点(a,b)对称,则f'(x)关于直线x=a对称. 特殊情况:奇函数的导函数为偶函数(证明略). 3.若f(x)是周期为T的函数,则f'(x)也是周期为T的函数. [证明]　若f(x)是关于T的周期函数,则f(x)=f(x+T),所以f'(x)=f'(x+T),所以f'(x)是周期为T的函数. 二、原函数的奇偶性与周期性 1.若f'(x)关于直线x=a对称,则f(x)关于点(a,f(a))对称. 特殊情况:f'(x)为偶函数,且f(x)过原点,则f(x)为奇函数. [证明]　若f'(x)关于直线x=a对称,则f'(x)=f'(2a-x),则f(x)+f(2a-x)=c(c为常数),令x=a,则c=2f(a),即f(x)+f(2a-x)=2f(a),所以f(x)关于点(a,f(a))对称.若f'(x)是偶函数,则f'(x)=f'(-x),得f(x)+f(-x)=c(c为常数),令x=0,得c=2f(0)=0,所以f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数. 2.若f'(x)关于点(a,b)对称: 若b=0,则f(x)关于直线x=a对称; 若b≠0,则f(x)不关于直线x=a对称. 特殊情况:奇函数的原函数为偶函数(证明略). 3.若f'(x)是周期函数,f(x)不一定是周期函数(证明略). 【典例】　(多选题)(2022·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则(BC) A.f(0)=0 B.g=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) 解　设函数h(x)=f,则h(x)为偶函数,从而h(-x)=h(x),于是f=f,即f=f,函数f(x)的图象关于直线x=对称,因此f(-1)=f(4),故C正确.由函数f(x)的图象关于直线x=对称,得g(x)的图象关于点对称,则g=0,由g(2+x)是偶函数,得g(x)的图象关于x=2对称,所以g(x)的周期T=4×=2,所以g=g=0,故B正确.由g(x)的周期T=2,且关于点对称,所以g(-1)=g(1),g(1)=-g(2),所以g(-1)=-g(2),故D错误.取特殊函数f(x)=1(x∈R)满足已知条件,所以A不正确.故选BC. 【应用体验】　 1.(多选题)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,f(x+2)=f(-x)且f(1)=2,f'(x)是f(x)的导函数,则(BC) A.f(2 027)=2 B.f'(x)的周期是4 C.f'(x)是偶函数 D.f'(1)=1 解析　因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f'(-x)=f'(x),则函数f'(x)是偶函数,C正确.又f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),所以f'(x+4)=f'(x),所以函数f'(x)是以4为周期的周期函数,B正确.f(2 027)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,A错误.由f(x+2)=f(-x)可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f'(1)=0,D错误.故选BC. 2.(多选题)已知奇函数f(x)在R上单调递增,f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),若f(2x)=2f(x)g(x),则(ABD) A.g(x)的图象关于直线x=0对称 B.g(2x)=g2(x)+f2(x) C.g(0)=0或g(0)=1 D.g2(x)-f2(x)=1 解析　对于A,由f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,f(x)+f(-x)=0,则f'(x)-f'(-x)=0,所以g(x)-g(-x)=0,即g(x)为偶函数,因此关于直线x=0对称,故A正确;对于B,由f(2x)=2f(x)g(x),则两边同时求导得2f'(2x)=2f'(x)g(x)+2f(x)g'(x),即g(2x)=g2(x)+f2(x),故B正确;由g(x)f(x)-f(x)g(x)=0,则2g(x)g'(x)-2f(x)f'(x)=0,即[g2(x)]'-[f2(x)]'=0,即[g2(x)-f2(x)]'=0,则g2(x)-f2(x)=C(C为常数),设h(x)=g2(x)-f2(x)=C(C为常数),对于C,由g(2x)=g2(x)+f2(x),则g(0)=g2(0)+f2(0),即g(0)[g(0)-1]=0,解得g(0)=0或g(0)=1,当g(0)=0,则h(0)=g2(0)-f2(0)=0,则h(x)=g2(x)-f2(x)=0,即f(x)=±g(x),又g(x)为偶函数,则f(x)即是奇函数也是偶函数,与f(x)在R上单调递增矛盾,因此g(0)=0不符合题意,则g(0)=1,故C错误;对于D,当g(0)=1时,则h(0)=g2(0)-f2(0)=1,则h(x)=g2(x)-f2(x)=1,即g2(x)-f2(x)=1,故D正确.故选ABD. 微专题强化二　抽 象 函 数 　　　　　　　　　　　　　 专|题|梳|理 1.我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,解决抽象函数问题的两种常用方法有:函数性质法和特殊值法. 2.常见的抽象函数模型 (1)f(x+y)=f(x)+f(y)可看做f(x)=kx的抽象表达式; (2)f(x+y)=f(x)f(y)可看做f(x)=ax的抽象表达式(a>0,且a≠1); (3)f(xy)=f(x)+f(y)可看做f(x)=logax的抽象表达式(a>0,且a≠1); (4)f(xy)=f(x)f(y)可看做f(x)=xa的抽象表达式. 典|型|例|题 类型一　抽象函数求值 【例1】　(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-2)= 2 .  解析　因为f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,所以令x=y=1,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6,再令x=2,y=-1,得f(2-1)=f(2)+f(-1)-4=2,所以f(-1)=0,所以f(-2)=f(-1)+f(-1)+2=2. (2)f(x)满足对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)f(b),且f(1)=2,则+++…+=(B) A.2 024 B.2 026 C.1 012 D.1 013 解析　由f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,令b=1可得f(a+1)=f(a)f(1)=2f(a),所以+++…+=+++…+=2×1 013=2 026.故选B. 　　抽象函数求值问题常用赋值法,赋值主要从以下方面考虑:令x=…,-2,-1,0,1,2,…等特殊值求抽象函数的函数值. 【训练1】　设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),若f(8)=3,则f()=  .  解析　因为f(8)=3,所以f(2×4)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2×2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=3,所以f(2)=1.所以f(2)=f(×)=f()+f()=2f()=1,所以f()=. 类型二　抽象函数的单调性与奇偶性 【例2】　(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(2)=3,则(ABD) A.f(1)=1 B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增 C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的一个解析式为f(x)=2x-1 解析　A中,因为f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,f(2)=3,令x=y=1,则f(2)=[f(1)]2+2f(1)=3,解得f(1)=1,A正确;B中,任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)f(x2-x1)+f(x1)+f(x2-x1),因为当x>0时,f(x)>0,所以f(x2-x1)>0,f(x1)>0,所以f(x1)f(x2-x1)+f(x1)+f(x2-x1)>f(x1),即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,B正确;C中,令x=y=0,则f(0)=[f(0)]2+2f(0),解得f(0)=0或f(0)=-1,当f(0)=0,且x>0时,令y=-x,则0=f(x)f(-x)+f(x)+f(-x),若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),即0=-f2(x)+f(x)-f(x),解得f(x)=0,与题意矛盾;当f(0)=-1时,f(x)不为奇函数.综上所述,函数f(x)不是奇函数,C错误;D中,当f(x)=2x-1,则f(x+y)=2x+y-1,f(x)f(y)+f(x)+f(y)=(2x-1)(2y-1)+(2x-1)+(2y-1)=2x+y-2x-2y+1+2x-1+2y-1=2x+y-1,所以f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),易得f(x)=2x-1在R上单调递增,所以x>0时,f(x)=2x-1>20-1=0,f(2)=22-1=3,故函数f(x)的一个解析式为f(x)=2x-1,D正确.故选ABD. 【例3】　(2025·绍兴质检)已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,且f=f(x)-f(y),f(2)=1,如果x满足f(x)-f≤2,则x的取值范围为 (3,4] .  解析　因为f=f(x)-f(y),所以f(y)+f=f(x).在上述等式中取x=4,y=2,则有f(2)+f(2)=f(4).又因为f(2)=1,所以f(4)=2,所以f(x)-f≤2可变形为f(x(x-3))≤f(4).又因为f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,所以解得3<x≤4.故x的取值范围是(3,4]. 　　1.抽象函数的单调性的证明,关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x2的大小关系构造出一个大于(或小于)0的数. 2.抽象函数中求特殊的函数值,讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值法”进行求值和化简. 【训练2】　(2025·重庆调研)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0.则关于x的不等式f(x2)+f(2x)≥0的解集为(A) A.[-2,0] B.(-∞,-2]∪[0,+∞) C.[0,2] D.(-∞,0]∪[2,+∞) 解析　解法一:因为f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),所以f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2),不妨令x1>x2,则x1-x2>0,因为当x>0时,f(x)<0,所以f(x1-x2)<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在R上单调递减.在f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)中,令x1=x2=0,则f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.由题意知,f(x2)+f(2x)=f(x2+2x),又f(0)=0,所以f(x2)+f(2x)≥0即f(x2+2x)≥f(0),又f(x)在R上单调递减,所以x2+2x≤0,解得-2≤x≤0,即x∈[-2,0].故选A. 解法二:因为f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),所以可令f(x)=kx,又当x>0时,f(x)<0,所以k<0,所以f(x2)+f(2x)≥0可转化为kx2+2kx≥0,即x2+2x≤0,解得-2≤x≤0,即x∈[-2,0].故选A. 类型三　抽象函数的对称性与周期性 【例4】　(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),f(1)=1,f(2x+1)为偶函数,则(AC) A.f(0)=0 　　B.f(x)为偶函数 C.f(2+x)=-f(2-x) 　　D.f(k)=0 解析　令x=y=0,得f2(0)=f2(0)-f2(0)=0,所以f(0)=0,所以A正确.令x=0,得f(y)f(-y)=f2(0)-f2(y),因为f(0)=0,所以f(y)f(-y)=-f2(y),即f(y)[f(y)+f(-y)]=0,因为f(y)不恒为0,所以f(y)+f(-y)=0,即f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是奇函数,所以B错误.因为函数f(x)是奇函数,所以函数f(x)的图象关于原点对称.因为函数f(2x+1)是偶函数,所以f(2x+1)=f(-2x+1),所以f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,即f(2+x)=-f(2-x)成立,所以C正确,且函数f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(0)=0,f(1)=1,并且函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=0,又因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(3)=-f(1)=-1,因为函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(4)=f(0)=0,即f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+0+(-1)+0=0,再由周期性得,f(k)=0+1=1,所以D错误.综上,选AC. 　　若函数y=f(ax+b)为偶函数,则函数图象关于直线x=b对称;若函数y=f(ax+b)为奇函数,则函数图象关于点(b,0)对称. 【训练3】　已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(3-x)=f(x+1)成立,又函数f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,且f(1)=3,则f(61)=(A) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析　因为对任意x∈R,都有f(3-x)=f(x+1),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称.又函数f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,则函数f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数f(x)为奇函数,所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以8是函数f(x)的一个周期,f(61)=f(8×8-3)=f(-3)=-f(3)=-f(1)=-3.故选A. 第三节　幂函数与指、对数式的运算 【课程标准】　1.通过具体实例,了解幂函数及其图象的变化规律;2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;3.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在化简运算中的作用. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y=xα 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.  (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点 (1,1) 和 (0,0) ,且在(0,+∞)上单调递增;  ③当α<0时,幂函数的图象都过点 (1,1) ,且在(0,+∞)上单调递减;  ④当α为奇数时,y=xα为 奇函数 ;当α为偶数时,y=xα为 偶函数 .  2.指数式的运算 (1)根式 ①一般地,如果xn=a,那么 x 叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.  ②式子叫做 根式 ,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.  ③()n= a .  当n为奇数时,= a ,  当n为偶数时,=|a|= (2)分数指数幂 正数的正分数指数幂:=  (a>0,m,n∈N*,n>1).  正数的负分数指数幂:=  =(a>0,m,n∈N*,n>1).  规定:0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂没有意义.  (3)指数幂的运算性质 aras= ar+s ;(ar)s= ars ;(ab)r= arbr .(a>0,b>0,r,s∈R)  3.对数式的运算 (1)对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x 叫做以a为底N的对数,记作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.  以10为底的对数叫做常用对数,记作 lg N .以e为底的对数叫做自然对数,记作 ln N .  (2)对数的性质与运算性质 ①对数的性质:loga1= 0 ,logaa= 1 ,= N (a>0,且a≠1,N>0).  ②对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (ⅰ)loga(MN)= logaM+logaN ;  (ⅱ)loga= logaM-logaN ;  (ⅲ)logaMn= nlogaM (n∈R).  ③对数换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). 微|点|延|伸 1.logab·logba=1. 2.logab·logbc=logac. 3.lobn=logab. 4.lobn=logab. 小|题|快|练 1.下列四个图象中,函数y=的图象是(B) A B C D 解析　因为y==,所以x3≥0,解得x≥0,即函数的定义域为[0,+∞),故排除A,D,又函数在定义域上单调递增,故B正确.故选B. 2.化简2lg 5+lg 4-的结果为(A) A.0 B.2 C.4 D.6 解析　因为2lg 5+lg 4=2lg 5+2lg 2=2(lg 5+lg 2)=2.又=2,所以2lg 5+lg 4-=2-2=0.故选A. 3.(人A必一P127T5改编)已知a=lg 2,b=lg 3,则log1210=(A) A. B. C.2a+b D.2b+a 解析　log1210===.故选A. 4.计算:π0+2-2×+log23-log26=  .  解析　原式=1+×+log23-log22-log23=1+×-1=. 5.已知幂函数f(x)的部分对应值如下表: x 1 f(x) 1 则不等式f(|x|)≤2的解集是 [-4,4] .  解析　设幂函数为f(x)=xα,则=,所以α=,所以f(x)=,不等式f(|x|)≤2等价于|x≤2,所以|x|≤4,所以-4≤x≤4,所以不等式f(|x|)≤2的解集是[-4,4]. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　幂函数的图象与性质 自练自悟 1.若幂函数的图象经过点,则它的单调递增区间是(D) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,0) 解析　设f(x)=xα,则2α=,α=-2,即f(x)=x-2,它是偶函数,单调递增区间是(-∞,0).故选D. 2.若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为(D) A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<m< C.-1<m<0<n< D.-1<n<0<m<1 解析　幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,且0<α<1时,图象上凸,所以0<m<1.当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减.不妨令x=2,由题图得2-1<2n<1,则-1<n<0.综上可知,-1<n<0<m<1.故选D. 3.已知a=,b=,c=2,则(A) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　由题意得b=<==a,a==<4<5=2=c,所以b<a<c.故选A. 4.若(a+1<(3-2a,则实数a的取值范围是 (-∞,-1)∪ .  解析　不等式(a+1<(3-2a等价于a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得a<-1或<a<. 　　1.对于幂函数y=xα(α∈R)图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由其奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 类型二　指数幂式的运算 【例1】　(1)计算:+0.00-10(-2)-1+(-)0= - .  解析　原式=(-1×+-+1=+50-10(+2)+1=+10-10-20+1=-. (2)(多选题)下列运算(化简)中正确的有(ABD) A.·(a-2= B.(y)a·(4y-a)=4x C.[(1-)2-(1+)-1+(1+)0=3-2 D.2a3·(-5)÷(4)=- 解析　对于A,·(a-2==,故正确;对于B,(y)a·(4y-a)=4·ya-a=4xy0=4x,故正确;对于C,[(1-)2-(1+)-1+(1+)0=(-1-+1=-1-(-1)+1=1,故错误;对于D,2a3·÷(4)=[2×(-5)÷4]=-,故正确.故选ABD. 　　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: (1)必须同底数幂相乘,指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】　(1)计算:2××= 6 .  解析　原式=2×××1=2×××××=×=2×3=6. (2)(2025·沧州七校联考)若a>0,b>0,则·=  .  解析　原式==. (3)若+=3(x>0),则x2+x-2-2= 45 .  解析　由+=3,两边平方,得x+x-1=7,再平方得x2+x-2=47,所以x2+x-2-2=45. 类型三　对数式的运算 【例2】　(1)计算:log535+2lo-log5-log514= 2 .  解析　原式=log535-log5-log514+lo()2=log5+lo2=log5125-1=log553-1=3-1=2. (2)(log32+log92)×(log43+log83)=  .  解析　原式=×=log32×log23=×=. (3)若log147=a,14b=5,则用a,b表示log3528=  .  解析　因为14b=5,所以log145=b.又log147=a,所以log3528===. 　　解决对数运算问题的常用方法 1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. 2.将同底对数的和、差、倍合并. 3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 【训练2】　(1)计算:lg 25+lg 50+lg 2×lg 500+(lg 2)2= 4 .  解析　原式=2lg 5+(lg 5+1)+lg 2(2+lg 5)+(lg 2)2=1+3lg 5+2lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)=1+3lg 5+3lg 2=1+3(lg 5+lg 2)=4. (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a= 64 .  解析　根据题意有-=-,即3loga2-=-,设t=loga2(a>1),则t>0,故3t-=-,得t=(t=-1舍去),所以loga2=,所以=2,所以a=64. 类型四　实际应用 【例3】　(2024·东北四市联考)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量大于或者等于20 mg,小于80 mg认定为饮酒驾车,80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了0.6 mg/mL.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过几个小时才能驾驶?(结果取整数,参考数据:lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)(D) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　设至少经过n(n∈N*)个小时才能驾驶,则有60×(1-30%)n<20,即0.7n<,两边同时取对数得lg 0.7n<lg,即nlg 0.7<lg,因为lg 0.7<0,所以n>==≈=3.2所以n≥4,即至少经过4个小时才能驾驶,故选D. 　　解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 1.理解题意,弄清楚条件和所求之间的关系; 2.运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算,把题目条件转化为所求. 【训练3】　生物学家测量了一些动物的体重和脉搏率,并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系式:ln f=ln k-,其中f是脉搏率(心跳次数/min),体重为W(g),k为正常数.则体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率的比值为(C) A. B. C.3 D.27 解析　当W=300时,ln f1=,即ln =ln k3-ln 300,则=,当W=8 100时,ln f2=,即ln =ln k3-ln 8 100,则=.所以==27,即=3,所以体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率的比值为3.故选C. 第四节　指数函数 【课程标准】　1.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点;2.会利用指数函数模型解决实际问题. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是底数. 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点 (0,1) ,即x=0时,y=1 当x>0时, y>1 ; 当x<0时, 0<y<1 当x<0时, y>1 ; 当x>0时, 0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 微|点|延|伸 　　1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),. 2.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>1>a3>a4>0),不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高. 3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. 小|题|快|练 1.(多选题)下列函数中,值域为(0,+∞)的是(CD) A.y=x2 B.y= C.y=2x D.y=3x-1 解析　y=x2的值域为[0,+∞);y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞);y=2x的值域为(0,+∞);y=3x-1的值域为(0,+∞).故选CD. 2.函数y=e-|x|(e是自然对数的底数)的大致图象是(C) A　B　C　D 解析　因为y=e-|x|=所以函数图象关于y轴对称,且过点(0,1),y=e-|x|>0,函数在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,故C符合.故选C. 3.已知关于x的不等式≥3-2x,则该不等式的解集为(A) A.[-4,+∞) B.(-4,+∞) C.(-∞,-4) D.(-4,1] 解析　不等式≥3-2x,即34-x≥3-2x,由于y=3x是增函数,所以4-x≥-2x,解得x≥-4,所以原不等式的解集为[-4,+∞).故选A. 4.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是 (-3,1) .  解析　当a<0时,不等式f(a)<1可化为-7<1,即<8,即<,因为0<<1,所以a>-3,此时-3<a<0;当a≥0时,不等式f(a)<1可化为<1,此时0≤a<1.故a的取值范围是(-3,1). 5.(1)函数f(x)=ax-1+2 024(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 (1,2 025) .  解析　由x-1=0得x=1,此时f(x)=a0+2 024=1+2 024=2 025,所以f(x)=ax-1+2 024的图象恒过定点(1,2 025). (2)当x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是 ∪(1,) .  解析　若a>1,则y=ax是增函数,则由a2<2,可得1<a<;若0<a<1,则y=ax是减函数,则由a-2<2,可得<a<1.综上所述,实数a的取值范围是∪(1,). 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　指数函数的图象 【例1】　(1)函数y=3-x与函数y=-3x的图象(C) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 解析　 在同一直角坐标系中,作出函数y=3-x与函数y=-3x的图象,如图所示,由图象可知,函数y=3-x与函数y=-3x的图象关于原点对称,故选C. (2)若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则实数b的取值范围为 (0,1) .  解析　作出函数y=|2x-1|的图象与直线y=b,如图所示.由图象可得实数b的取值范围是(0,1). (3)(多选题)已知非零实数a,b满足等式=,则下列结论不可能成立的是(CD) A.0<b<a B.a<b<0 C.0<a<b D.b<a<0 解析　在同一直角坐标系中作出函数y=与y=的图象如图所示,设==M,当M>1时,结合图象可得,a<b<0;当M=1时,结合图象可得,a=b=0;当0<M<1时,结合图象可得,a>b>0.综上,选CD. 　　1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 【训练】　(1)函数f(x)=的部分图象大致为(B) A B C D 解析　由题意得,f(x)的定义域为R,排除C,D;当x≥-2时,f(x)=,因为0<<1,所以f(x)在[-2,+∞)上单调递减,排除A.故选B. (2)(多选题)(2025·青岛质检)点M(x1,y1)在函数y=ex的图象上,当x1∈[0,1)时,的值可能等于(BC) A.-1 B.-2 C.-3 D.0 解析　表示过点M(x1,y1)与点A(1,-1)的直线的斜率k.M(x1,y1)是y=ex在x∈[0,1)图象上的动点,如图,B(1,e),则k∈(-∞,-2],只有B,C满足. 类型二　指数函数的性质 考向❶:比较大小 【例2】　(1)已知<<,则(A) A.aa>ab>bb B.aa>bb>ab C.bb>aa>ab D.ab>bb>aa 解析　因为函数y=在R上单调递减,<<,所以a>b>1.因为函数y=ax(a>1)在R上为增函数,所以aa>ab.又y=xb(b>1)在(0,+∞)上单调递增,所以ab>bb,综上,aa>ab>bb.故选A. (2)若ea+πb≥e-b+π-a,下列结论一定成立的是(D) A.a+b≤0 B.a-b≥0 C.a-b≤0 D.a+b≥0 解析　因为ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb①,令f(x)=ex-π-x,则f(x)是R上的增函数,①即为f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.故选D. 　　比较指数式大小的常用方法 单调 性法 不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底 取中间 值法 不同底、不同指数的指数式比较大小时,先与中间值(特别是0,1)比较大小,然后得出大小关系 考向❷:解不等式 【例3】　(2024·吉林长春一模)已知函数f(x)=|3x-3-x|,则不等式f(2x-1)-f(x)>0的解集为(A) A.∪(1,+∞) 　　B. C. 　　D.(1,+∞) 解析　f(x)=|3x-3-x|的定义域为R,f(-x)=|3-x-3x|=|3x-3-x|=f(x),故y=f(x)为偶函数.当x>0时,y=3x,y=-3-x均为增函数,故g(x)=3x-3-x为(0,+∞)上的增函数,又g(0)=0,故当x>0时,g(x)>0,则y=f(x)=g(x)为(0,+∞)上的增函数,故x<0时,y=f(x)为减函数,f(2x-1)-f(x)>0,即f(2x-1)>f(x),则|2x-1|>|x|,即(2x-1)2>x2,3x2-4x+1>0,解得x∈∪(1,+∞).故选A. 　　解不等式问题应确定函数的奇偶性与单调性. 考向❸:指数复合型函数的单调性 【例4】　(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(D) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解析　函数y=2x在R上单调递增,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则有函数y=x(x-a)=-在区间(0,1)上单调递减,因此≥1,解得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞).故选D. 　　对于指数型复合函数的问题,关键是判断其单调性.对于形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:若a>1,则函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y=af(x)的单调递增(减)区间;若0<a<1,则函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y=af(x)的单调递减(增)区间. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ 1.(2024·天津高考)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(B) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 解析　由函数y=4.2x单调递增可知,0<a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c,故选B. 2.已知函数f(x)=2 02(a≠0)的图象关于直线x=2对称,且函数f(x)的最小值为1,则不等式f(x)≥2 024的解集为(D) A.{x|0<x≤4} B.{x|x≥4或x<0} C.{x|0≤x≤4} D.{x|x≥4或x≤0} 解析　因为函数f(x)=2 02(a≠0)的图象关于直线x=2对称,所以y=ax2+bx+1关于直线x=2对称,即-=2,即b=-4a,所以f(x)=2 02-4ax+1=2 02.又因为函数f(x)有最小值为1,所以a>0且f(2)=1,即2 0241-4a=1,所以1-4a=0,即a=,所以f(x)=2 02.所以不等式f(x)≥2 024,即2 02≥2 024,即(x-2)2≥1,解得x≥4或x≤0.故选D. 3.(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(AD) A.f(x)的图象关于坐标原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的最大值为1 D.f(x)在定义域上单调递减 解析　因为f(-x)===-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于坐标原点对称,故A正确;因为f(1)==-,f(-1)==,f(1)≠f(-1),所以f(x)不是偶函数,图象不关于y轴对称,故B不正确;因为f(x)=-=-1+,又3x>0,所以3x+1>1,所以0<<2,所以f(x)∈(-1,1),故C不正确;因为f(x)=-=-1+,且y=3x为增函数,所以f(x)在定义域(-∞,+∞)上单调递减,故D正确.故选AD. 素养进级提能力　共零点型恒成立问题 　　　　　　　　　　　　　 　　基本原理:对于h(x)=f(x)g(x)≥0,x∈D恒成立问题,可将其拆解为三种情况: (1) (2) (3)f(x)与g(x)在x∈D上每一个横坐标处同正、同负、同为零.特别当f(x)与g(x)单调性相同时更为直观. 【典例】　(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(C) A. B. C. D.1 解析　由f(x)≥0及y=x+a,y=ln(x+b)单调递增,可得x+a与ln(x+b)同正、同负或同为零,所以当ln(x+b)=0时,x+a=0,即所以b=a+1,则a2+b2=a2+(a+1)2=2+≥,故选C. 【应用体验】　 1.已知当x∈R时,均有不等式(aex-2)(aex+x)≥0(a>0)成立,则实数a的值为 2e2 .  解析　设f(x)=aex-2,g(x)=aex+x,则a>0时,f(x)、g(x)均为增函数,令f(x)=0得x=ln,则g=a·+ln=0,即ln+2=0,所以a=2e2. 2.已知函数f(x)=(ex-a),若f(x)≥0(x∈R)恒成立,则满足条件的实数a的个数为(A) A.3 B.2 C.1 D.0 解析　①当a=0时,f(x)≥0(x∈R),满足题意,②当a<0时,ex-a>0,当x>-时,ax+<0,故f(x)≥0(x∈R)不恒成立,③当a>0时,设g(x)=ex-a,h(x)=ax+,则g(x)=ex-a,h(x)=ax+都是递增函数,要使f(x)≥0(x∈R)恒成立,则(e2-a),恒同号,所以g(x)=ex-a,h(x)=ax+与x轴交点重合,令g(x)=ex-a=0,得x=ln a,h(x)=ax+=0,得x=-,方程ln a=-的解的个数,即y=aln a,y=-交点个数,设φ(a)=aln a,则φ'(a)=1+ln a由导数的应用可得φ(a)=aln a在为减函数,在为增函数,则φ(a)min=-<-,即ln a=-有2个解,所以存在2个a,使得f(x)≥0(x∈R)成立,综合①②③得,满足条件的a的个数是3个,故选A. 第五节　对数函数 【课程标准】　1.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点;2.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1);3.会利用对数函数模型解决实际问题. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.对数函数概念及其性质 (1)概念:函数 y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是 (0,+∞) .  (2)对数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 性质 过定点 (1,0) ,即当x=1时,y=0 在区间(0,+∞)上是增函数 在区间(0,+∞)上是减函数 2.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且a≠1) 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.  微|点|延|伸 1.如图,给出4个对数函数的图象. 由图知b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),. 小|题|快|练 1.(人A必一P140习题4.4 T1改编)在b=log3a-1(4-a2)中,实数a的取值范围是(B) A. B.∪ C. D. 解析　要使式子b=log3a-1(4-a2)有意义,需解得<a<或<a<2.故选B. 2.(人B必二P28练习B T4改编)已知函数f(x)=lg(x2+1),x∈[-1,3],则f(x)的值域为(D) A.[0,+∞) B.[0,1) C.[lg 2,1] D.[0,1] 解析　因为x∈[-1,3],所以x2+1∈[1,10],所以f(x)=lg(x2+1)∈[0,1],故选D. 3.函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为(A) A　B C　D 解析　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y轴对称.设g(x)=loga|x|,先画出当x>0时g(x)的图象,然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象,最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位长度即得f(x)的图象,结合图象知选A. 4.(多选题)已知函数f(x)=ln,下列说法正确的是(AB) A.f(x)的定义域为(-1,1) B.f(x)为奇函数 C.f(x)在定义域上是增函数 D.f(x)的值域为(0,+∞) 解析　对于选项A,由>0,解得-1<x<1,即f(x)的定义域为(-1,1),所以A正确;对于选项B,f(-x)=ln=-ln=-f(x),即f(x)为奇函数,所以B正确;对于选项C,f(x)=ln=ln=ln,在(-1,1)上,y=-1+单调递减,根据复合函数的单调性可知,f(x)在定义域上是减函数,所以C不正确;对于选项D,因为f(x)的定义域为(-1,1),所以-1+∈(0,+∞),所以ln∈(-∞,+∞),所以D不正确.故选AB. 5.函数y=的定义域是  .  解析　由lo(2x-1)≥0,得0<2x-1≤1.所以<x≤1.所以函数y=的定义域是. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　对数函数的图象 【例1】　(1)函数y=|lg(x+1)|的图象大致是(A) A　　　B C　　　D 解析　由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lg x的图象向左平移一个单位长度得到,函数y=lg x的图象与x轴的交点是(1,0),故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0),所以函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的交点是(0,0).故选A. (2) (多选题)已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0,且a≠1,a,b为常数)的图象如图,则下列结论正确的是(BD) A.a>0 　　B.0<a<1 C.b<-1 　　D.-1<b<0 解析　因为函数f(x)=loga(x-b)为减函数,所以0<a<1,B项正确.因为函数f(x)的图象与x轴的交点在正半轴,所以x=1+b>0,即b>-1,又因为函数f(x)的图象与y轴有交点,所以b<0,所以-1<b<0,D项正确.故选BD. 　　1.在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等). 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 【训练】　(2024·广东深圳二模)已知a>0,且a≠1,则函数y=loga的图象一定经过(D) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 解析　当x=0时,y=loga=-1.当0<a<1时,函数图象经过第二、三、四象限;当a>1时,函数图象经过第一、三、四象限.所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限.故选D. 类型二　对数函数的性质 考向❶:比较大小 【例2】　(1)(2025·河北模拟)下列不等式成立的是(B) A.0.60.6>0.60.5 B.log60.6>log50.5 C.0.60.5>log0.60.5 D.log60.5>log60.7 解析　A.y=0.6x单调递减,所以0.60.6<0.60.5,故A错误;B.y=log6x单调递增,所以log60.6>log60.5,又log60.5>log50.5,所以log60.6>log50.5,故B正确;C.0.60.5∈(0,1),log0.60.5>log0.60.6=1,所以0.60.5<log0.60.5,故C错误:D.y=log6x单调递增,所以log60.5<log60.7,故D错误.故选B. (2)设a,b,c均为正数,且2a=loa,=lob,=log2c,则(A) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 解析　 因为a,b,c均为正数,将a,b,c分别看成是函数图象的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系内分别画出y=2x,y=,y=log2x,y=lox的图象如图.由图可知a<b<c.故选A. 　　比较对数式大小的三种方法 1.单调性法:在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,则先化为同底. 2.中间量过渡法:寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”. 3.图象法:根据图象观察得出大小关系. 考向❷:解不等式 【例3】　已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为(B) A.(2,+∞) B.∪(2,+∞) C.∪(,+∞) D.(,+∞) 解析　因为偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=2,所以不等式f(log2x)>2=f(1),即|log2x|>1,解得0<x<或x>2.故选B. 　　解不等式时需注意以下两个方面 1.注意方程或不等式要有意义,即真数大于0. 2.根据底数与1的大小关系得出对数函数的单调性,进而解不等式. 考向❸:对数复合型函数的性质 【例4】　设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(D) A.是偶函数,且在上单调递增 B.是奇函数,且在上单调递减 C.是偶函数,且在上单调递增 D.是奇函数,且在上单调递减 解析　由f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,得f(x)的定义域为,关于坐标原点对称,又f(-x)=ln|1-2x|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以f(x)为定义域上的奇函数,故排除A,C;当x∈时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),因为y=ln(2x+1)在上单调递增,y=ln(1-2x)在上单调递减,所以f(x)在上单调递增,故排除B;当x∈时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln=ln,因为u=1+在上单调递减,f(u)=ln u在(0,+∞)上单调递增,根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减,故D正确. 　　求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个问题:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 考向 ❶ ❷ ❸ ❸ 1.(2023·九江三模)已知a=20.2,b=log0.20.5,c=log20.2,则(C) A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b 解析　因为a=20.2>20=1,0=log0.21<b=log0.20.5<log0.20.2=1,c=log20.2<log21=0,所以a>b>c.故选C. 2.已知对数函数y=logax(a>0,且a≠1),且loga<loga,则关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为 (2,+∞) .  解析　因为loga<loga,当0<a<1时,则有>,无解;当a>1时,则有<,解得a>1.综上a>1,则对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上单调递增,又关于x的不等式loga(2x-3)>0,所以2x-3>1,解得x>2.所以关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为(2,+∞). 3.已知函数f(x)=loga(2-a2x)在区间[3,7]上单调递增,则a的取值范围为  .  解析　令u(x)=2-a2x(a>0),则u(x)=2-a2x(a>0)在[3,7]上单调递减,所以由复合函数的单调性可知y=logau在[3,7]上单调递减,则解得0<a<,即a的取值范围为. 4.(多选题)(2025·邯郸一模)已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x),则(AB) A.f(x)的定义域是(-6,4) B.f(x)有最大值 C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞) D.f(x)在[0,4]上单调递增 解析　由题意可得解得-6<x<4,即f(x)的定义域是(-6,4),则A正确;f(x)=log2(-x2-2x+24),因为y=-x2-2x+24在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=2log25,则B正确;因为f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,且f(-4)=f(2)=4,所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),则C错误;因为f(x)在(-1,4)上单调递减,所以D错误.故选AB. 高考真题重温 　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·北京高考)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(D) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= 解析　由题意,得=2.1,=3.15,若S不变,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2所以=,故选D. 2.(2022·天津高考)设a=20.7,b=,c=log2,则a,b,c的大小关系为(D) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 解析　a=20.7>20=1,b=<=1且b>0,c=log2<log21=0,故a>b>c,故选D. 3.(2021·新高考Ⅱ卷)若a=log52,b=log83,c=,则(C) A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c 解析　因为a=log52<log5==c,b=log83>log8==c,所以a<c<b.故选C. 4.(2020·全国Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,则(B) A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 解析　2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),令f(x)=2x+log2x,则f(a)<f(2b),又易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a<2b,故选B. 5.(2020·全国Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y,则(A) A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0 解析　因为2x-2y<3-x-3-y,所以2x-3-x<2y-3-y.设f(x)=2x-3-x,则f'(x)=2xln 2-3-x×ln 3×(-1)=2xln 2+3-xln 3,易知f'(x)>0,所以f(x)在R上为增函数.由2x-3-x<2y-3-y得x<y,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,故选A. 微专题强化三　幂、指、对的大小比较 　　　　　　　　　　　　　 类型一　作差(商)法比较大小 【例1】　已知20a=22,22b=23,ac=b,则a,b,c的大小关系为(D) A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 解析　解法一:分别对20a=22,22b=23,ac=b两边取对数,得a=log2022,b=log2223,c=logab.a-b=log2022-log2223=-=.由基本不等式,得lg 20·lg 23<=<==(lg 22)2,所以(lg 22)2-lg 20·lg 23>0,即a-b>0,所以a>b>1.又c=logab<logaa=1,所以a>b>c.故选D. 解法二:=·=,又lg 20·lg 23<=<=(lg 22)2,所以>1,a>b>1,又c=logab<logaa=1,所以a>b>c.故选D. 　　1.一般情况下,作差(商),可处理底数不一样的对数比较大小. 2.作差(商)的难点在于后续变形处理,注意恒等变形的方向和变形的技巧,变形的目的是为了判断正负,所以可以因式分解,或计算化简,或放缩为具体值,准确计算找对变形方向. 类型二　找中间值比较大小 【例2】　(1)已知a=0.,b=20.2,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为(C) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 解析　因为y=0.3x在R上为减函数,且>0.2>0,所以0.<0.30.2<0.30,即0.<0.30.2<1.因为y=2x在R上为增函数,且0.2>0,所以20.2>20=1,所以0.<0.30.2<1<20.2,所以b>c>a.故选C. (2)设a=,b=ln-ln 3,c=,则a,b,c的大小关系是(B) A.a>c>b B.c>a>b C.c>b>a D.a>b>c 解析　因为b=ln-ln 3=-==<=0,而a=>0,c=>0,所以b最小.又ln a=ln =<,ln c=ln =ln π>,所以ln c>ln a,即c>a,因此c>a>b.故选B. 　　因为幂、指、对函数的特殊性,往往比较大小,可以借助于临界值0与1(或者-1)比较大小. 类型三　利用函数性质比较大小 【例3】　(1)设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(C) A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a 解析　因为函数y=为增函数,所以<,即a<b,又因为函数y=为增函数,所以<,即b<c,故c>b>a.故选C. (2)(多选题)若0<a<1,则下列关系成立的是(ABD) A.loga(1-a)>loga(1+a) B.loga(1+a)<0 C.(1-a<(1-a D.a1-a<1 解析　因为0<a<1,所以0<1-a<1+a,因此loga(1-a)>loga(1+a),故A正确;因为0<a<1,所以1<1+a<2,因此loga(1+a)<loga1=0,故B正确;因为0<a<1,所以0<1-a<1,因此(1-a>(1-a,故C不正确;因为0<a<1,所以0<1-a<1,因此a1-a<a0=1,故D正确.故选ABD. 　　利用函数性质比较大小,往往通过函数的单调性、奇偶性等性质进行. 类型四　构造函数比较大小 考向❶:构造同一函数 【例4】　(多选题)若4m-4n<5-m-5-n,则下列关系正确的是(ACD) A.m<n B.n-3>m-3 C.< D.3-n<3-m 解析　由4m-4n<5-m-5-n得4m-5-m<4n-5-n,令f(x)=4x-5-x,则f(m)<f(n).因为函数y=4x,y=-5-x在R上都是增函数,所以f(x)在R上是增函数,所以m<n,故A正确.当m=1,n=2时,=n-3<m-3=1,故B错误.因为函数y=在R上单调递增,所以由m<n得<,故C正确.因为函数y=3-x在R上单调递减,所以由m<n得3-n<3-m,故D正确.故选ACD. 考向❷:构造不同函数 【例5】　设a=2ln 1.01,b=ln 1.02,c=-1,则(B) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 解析　因为a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1.020 1,所以a>b,排除选项A与选项D.下面比较a与c的大小.令f(x)=2ln(1+x)-+1,x∈[0,1),则f'(x)=-=,因为(1+4x)-(1+x)2=1+4x-1-2x-x2=2x-x2=x(2-x)≥0(x∈[0,1)),所以f'(x)≥0,所以f(x)在[0,1)上为增函数,所以f(0.01)>f(0)=0,得a>c.排除C,故选B. 　　构造函数分为两种方向 1.构造同一函数,取不同自变量比较大小. 2.构造不同函数,取相同自变量比较大小. 第六节　函数的图象 【课程标准】　1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;2.会画简单的函数图象;3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.利用描点法作函数的图象 步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y=f(x)的图象y= -f(x) 的图象;  y=f(x)的图象y= f(-x) 的图象;  y=f(x)的图象y= -f(-x) 的图象;  y=ax(a>0,且a≠1)的图象y= logax (a>0,且a≠1)的图象.  (3)伸缩变换 y=f(x)的图象y= f(ax) 的图象;  y=f(x)的图象y= Af(x) 的图象.  (4)翻折变换 y=f(x)的图象y= |f(x)| 的图象;  y=f(x)的图象y= f(|x|) 的图象.  微|点|延|伸 1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换. 2.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行. 小|题|快|练 1.下列图象是函数y=的图象的是(C) A B C D 解析　其图象是由y=x2图象中x<0的部分和y=x-1图象中x≥0的部分组成.故选C. 2.函数f(x)=ln(x+1)的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为(C) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　由于函数f(x)=ln(x+1)的图象是由函数y=ln x的图象向左平移1个单位长度得到的,函数g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,故函数g(x)图象的对称轴为x=2,顶点坐标为(2,0),开口向上,所以作出f(x),g(x)的图象如图所示,故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点.故选C. 3.把函数f(x)=ln x图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象的函数解析式是 y=ln .  解析　根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln. 4.将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数 y=f(-x+1) 的图象.  解析　y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度,是将f(-x)中的x变成x-1,故所得函数为y=f(-x+1). 5.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示,若不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1,2),则实数t的值为 1 .  解析　由图象可知不等式-2<f(x+t)<4即为f(3)<f(x+t)<f(0),故x+t∈(0,3),即不等式的解集为(-t,3-t),依题意可得t=1. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　作函数的图象 自练自悟 作出下列函数的图象. 1.y=. 解　先作出y=的图象,保留图象中x≥0的部分,再作出y=的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=的图象,如图①实线部分. ① 2.y=|log2(x+1)|. 解　将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②. ② 3.y=x2-2|x|-1. 解　因为y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,如图③. ③ 4.y=. 解　原函数解析式可化为y=2+,故函数图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图④所示. ④ 　　函数图象的画法 直接法 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象 转化法 含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象 图象 变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响 类型二　函数图象的识别 考向❶:给出解析式识别图象 【例1】　函数f(x)=ln|x|的图象大致为(C) A　　　B C　　　D 解析　由函数f(x)=ln|x|可知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且定义域关于原点对称.因为f(-x)=ln|-x|=ln|x|=-f(x),所以函数f(x)=ln|x|为奇函数,故排除选项B;因为f(1)=ln|1|=0,故排除选项A;因为f=ln=ln2>0,故排除选项D.故选C. 　　从函数的基本性质如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性以及某些特殊点等方面识别. 考向❷:给出函数图象判定函数解析式 【例2】　(2025·河北模拟)如图是下列四个函数中某个函数的部分图象,则该函数为(D) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析　对于A,要使函数f(x)有意义,则即所以x<-3或-3<x<-2或-2<x<-1或x>-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞),A不正确;对于B,f(0)=≠0,而题图中函数f(x)的图象过原点,B不正确;对于C,对于函数f(x)=,则f'(x)=,当x>0时,f'(x)>0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题图,C不正确;对于D,函数f(x)=,定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0,f'(x)=,当x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)=在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,符合题图,D正确.故选D. 　　利用函数所反映出的性质如定义域、单调性识别解析式,可从定性、定量两个角度分析,如本例从定义域看可否定A选项,从f(0)≠0定量否定B选项,从函数单调性角度否定C选项,确定D选项. 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.函数f(x)=的图象大致是(D) A　B C　D 解析　由函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又由f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于原点对称,可排除A、B选项;当x∈(0,1)时,f(x)<0;当x=1时,f(x)=0;当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,根据指数函数与对数函数的增长趋势,可得x→+∞时,f(x)→0,可排除C选项.故选D. 2.如图所对应的函数的解析式可能是(A) A.f(x)=(x-1)ln|x| B.f(x)=xln|x| C.f(x)=(x-1)ln x D.f(x)=(x-1)ex(x≠0) 解析　由题图可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),而C选项中函数的定义域为(0,+∞),故排除C;对于B,由f(x)=xln|x|,f(-x)=-xln|x|,所以f(-x)=-f(x),即函数为奇函数,排除B;对于D,当0<x<1时,x-1<0,ex>0,所以f(x)=(x-1)ex<0,排除D.故选A. 类型三　函数图象的应用 【例3】　(多选题)符号[x]表示不超过x的最大整数,如[-3.5]=-4,[2.1]=2,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论正确的是(AC) A.f<f B.函数f(x)是增函数 C.方程f(x)-=0有无数个实数根 D.f(x)的最大值为1,最小值为0 解析　作出f(x)=x-[x]=的图象如图所示. 由图可知f=f<f,所以A正确;函数f(x)每隔一个单位重复一次,是以1为周期的函数,函数f(x)在定义域R上是周期函数,不是增函数,所以B错误;函数f(x)是以1为周期的函数,所以方程f(x)-=0有无数个实数根,所以C正确;由图可知f(x)=x-[x]∈[0,1),所以函数f(x)无最大值,最小值为0,所以D错误.故选AC. 　　由函数图象研究其性质的关键点 对于已知解析式或易画出在给定区间上的图象的函数,常借助图象研究其性质: (1)从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值. (2)从图象的对称性分析函数的奇偶性. (3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性. 【训练】　(2024·广东湛江二模)已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则(D) A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点 B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点 C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点 D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点 解析　作出y=|2x-1|,y=x2-4|x|+2的大致图象,如图所示.由图可知,当g(x)有2个零点时,f(x)无零点或只有1个零点;当g(x)有3个零点时,f(x)只有1个零点;当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点.故选D. 第七节　函数的零点与方程的解 【课程标准】　1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程解的联系,了解函数零点存在定理,会判断一元二次方程根的存在性及根的个数;2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.  (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有 零点 ⇔函数y=f(x)的图象与 x轴 有公共点.  (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 f(a)f(b)<0 ,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0 ,这个c也就是方程f(x)=0的解.  (4)有关函数零点的重要结论 ①若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至多有一个零点. ②连续不断的函数的相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. [微点清]　函数的零点是实数,而不是点,是方程f(x)=0的实数解.函数零点存在定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件. 2.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的 零点 所在区间 一分为二 ,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.  微|点|延|伸 1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断,且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点. 2.f(a)f(b)<0是连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点. 小|题|快|练 1.(苏教必一P230练习T2改编)已知函数f(x)=则函数y=f(x)-3的零点为(B) A.-9和4 B.-8和2 C.-8和4 D.2 解析　令y=f(x)-3=0,得f(x)=3.当x≤0时,令=3,得x=-8;当x>0时,易知f(x)=x+log2x单调递增,且f(2)=3.故函数y=f(x)-3的零点为-8和2.故选B. 2.(人A必一P146例2改编)若函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,如表所示. x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 f(x) -1 0.875 -0.296 9 0.224 6 -0.051 51 那么方程x3-x-1=0的一个近似根(精确度为0.1)可以为(B) A.1.3 B.1.32 C.1.437 5 D.1.25 解析　因为f(1.375)>0,f(1.312 5)<0,且1.375-1.312 5<0.1,所以该方程的一个近似根(精确度为0.1)在区间(1.312 5,1.375)内,结合选项知,选B. 3.(人A必一P144练习T2改编)用二分法求方程ln(x+1)=的近似解时,可以取的一个区间是(A) A.(1,2) B.(2,e) C.(3,4) D.(0,1) 解析　设f(x)=ln(x+1)-,易知f(x)为增函数,而f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,所以函数f(x)在区间(1,2)内有零点,即用二分法求方程ln(x+1)=的近似解时,可以取的一个区间是(1,2).故选A. 4.若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(C) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) 解析　由题意知函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,又函数的一个零点在区间(1,2)内,所以即解得0<a<3.故选C. 5.函数f(x)=ex+3x的零点有 1 个.  解析　由题易得f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　函数零点所在区间判定 【例1】　(1)函数f(x)=- 的零点所在区间是(B) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析　因为函数y=和y=-在[0,+∞)上都单调递减,所以f(x)=-在[0,+∞)上单调递减,又f(0)=4>0,f(1)=1>0,f(2)=1-<0,f(3)=-<0,f(4)=-<0,故f(1)f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在区间是(1,2).故选B. (2)(多选题)函数f(x)=2x2-4ln x-3,则(AC) A.f(x)在内有零点 B.f(x)在内有零点 C.f(x)在(1,)内有零点 D.f(x)在(e,e2)内有零点 解析　 作出函数y=2x2-3和y=4ln x的图象,如图所示,由图象可知,f(x)最多有两个零点,因为f=+4-3>0,f()=2e-2-3>0,f(1)=2-3<0,f(e)=2e2-4-3>0,f(e2)=2e4-8-3>0,所以ff(1)<0,f(1)f()<0,由函数零点存在定理可知f(x)在内有零点,在(1,)内有零点.故选AC. 　　函数零点所在区间的判断方法及适用情形 1.定理法:利用函数零点存在定理进行判断.适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形. 2.图象法:画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.适用于容易画出函数的图象的情形. 【训练1】　(1)(多选题)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间内必有零点(AD) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 解析　f(-2)=>0,f(-1)=-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,因为f(-2)f(-1)<0,f(1)f(2)<0,所以f(x)在(-2,-1)和(1,2)内存在零点.故选AD. (2)已知函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(m,m+1)(m∈Z)上,则m= -2 .  解析　函数f(x)=e-x-2x-5是减函数,f(-2)=e2-1>0,f(-1)=e-3<0,所以f(-2)f(-1)<0,所以函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(-2,-1)上,所以m=-2. 类型二　函数零点个数的判定 【例2】　(1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(B) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　解法一:因为f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.故选B. 解法二:设y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.故选B. (2)(2025·杭州调研)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x),且在区间[0,7]上只有x=1和x=3两个零点,则f(x)=0在区间[0,2 024]上根的个数为(C) A.404 B.405 C.406 D.203 解析　因为f(2+x)=f(2-x),f(x)关于直线x=2对称,且f(5+x)=f(-x-1);因为f(7+x)=f(7-x),故可得f(5+x)=f(-x+9);故可得f(-x-1)=f(-x+9),则f(x)=f(x+10),故f(x)是以10为周期的函数.又f(x)在区间[0,7]上只有x=1和x=3两个零点,根据函数对称性可知,f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点,又区间[0,2 024]内包含202个周期,故f(x)在[0,2 020]上的零点个数为202×2=404,又f(x)在(2 020,2 024]上的零点个数与在(0,4]上的零点个数相同,有2个.故f(x)在[0,2 024]上有406个零点,即f(x)=0在区间[0,2 024]上有406个根.故选C. 　　函数零点个数的判定有下列几种方法 1.直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点. 2.零点存在定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. 3.画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 【训练2】　(1)函数f(x)=ex+x-3在区间(0,1)上的零点个数是(B) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　由题知函数f(x)是增函数.根据函数零点存在定理及f(0)=-2<0,f(1)=e-2>0,f(0)f(1)<0,可知函数f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点.故选B. (2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数为(D) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.在同一直角坐标系内,分别作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如图所示,观察图象可知它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.故选D. 类型三　函数零点的应用 【例3】　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点,则a=(D) A.-1 B. C.1 D.2 解析　令h(x)=f(x)-g(x)=ax2-cos x+a-1,f(x)和g(x)恰有一个交点,即h(x)恰有一个零点.由于x∈(-1,1),关于x=0对称,h(x)显然为一个偶函数,偶函数只有一个零点,只可能在x=0处取得,因此:h(0)=0-1+a-1=0,所以a=2. (2)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是(D) A. B. C. D. 解析　当a=0时,f(x)=3,不符合题意,当a>0时,由于函数y=2alog2x,y=a·4x+3在上均单调递增,此时函数f(x)在上单调递增;当a<0时,由于函数y=2alog2x,y=a·4x+3在上均单调递减,此时函数f(x)在上单调递减.因为函数f(x)在区间上有零点,所以ff(1)<0,即3(4a+3)<0,解得a<-.故选D. 　　根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 1.直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组)确定参数(范围). 2.分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围. 3.数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解. 【训练3】　已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(B) A. B. C.(-∞,0) D. 解析　由f(x)=3x-=0,可得a=3x-,令g(x)=3x-,其中x∈(-∞,-1),由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域.由于函数y=3x,y=-在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增.当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3x-<g(-1)=3-1+1=,又当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3x->0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为.因此实数a的取值范围是.故选B. 高考真题重温 　　　　　　　　　　　　　 1.(2023·天津高考)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(D) A.f(x)= 　B.f(x)= C.f(x)= 　D.f(x)= 解析　由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数.对于A,f(x)=,定义域为R,f(-x)==-f(x),所以函数f(x)=是奇函数,所以排除A;对于B,f(x)=,定义域为R,f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)=是奇函数,所以排除B;对于C,f(x)=,定义域为R,f(-x)==f(x),所以函数f(x)=是偶函数,又x2+2>0,ex+e-x>0,所以f(x)>0恒成立,不符合题意,所以排除C;分析知,选项D符合题意,故选D. 2.(2022·全国甲卷)函数y=(3x-3-x)cos x在区间的图象大致为(A) A　　B C　　D 解析　设函数f(x)=(3x-3-x)cos x,则对任意x∈,都有f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cos x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因此排除B,D选项.又f(1)=(3-3-1)cos 1=cos 1>0,所以排除C选项.故选A. 3.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是(A) A.y= B.y= C.y= D.y= 解析　对于B选项,当x=1时,y=0,与图象不符,故B不符合题意.对于C选项,当x=1时,y==cos 1≈cos 60°=<1,与图象不符,故C不符合题意.对于D选项,当x=3时,y=>0,与图象不符,故D不符合题意.综上,用排除法选A. 4.(2021·北京高考)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论: ①若k=0,则f(x)恰有2个零点; ②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点; ③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点; ④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是 ①②④ .  解析　由题意知f(x)的零点个数即为y=|lg x|和y=kx+2的图象的交点个数,在同一个平面直角坐标系内画出y=|lg x|与y=kx+2的图象(如图).由图可知当k=0时,两函数图象有2个不同的交点,故①正确;存在负数k,使直线y=kx+2与y=|lg x|的图象相切,故②正确;当k<0时,直线y=kx+2与y=|lg x|的图象至多有2个交点,故③不正确;由图易知当k>0时,直线y=kx+2与y=|lg x|的图象可以有3个不同的交点,故④正确. 5.(2022·天津高考)设a∈R,对任意实数x,用f(x)表示|x|-2,x2-ax+3a-5中的较小者.若函数f(x)至少有3个零点,则a的取值范围为 [10,+∞) .  解析　设g(x)=|x|-2,h(x)=x2-ax+3a-5,因为g(x)有2个零点,f(x)至少有3个零点,所以h(x)必有零点.对于h(x)=x2-ax+3a-5.(1)当Δ=0时,a=2或10.①当a=2时,h(x)=x2-2x+1,如图①.此时,f(x)=|x|-2,有2个零点,不符合题意.②当a=10时,h(x)=x2-10x+25,如图②.此时,f(x)有3个零点,符合题意. ①　② (2)当Δ>0时,a<2或a>10.设h(x)的两个零点为x1,x2,且x1<x2.①当a<2时,要使f(x)至少有3个零点,h(x)的两个零点x1,x2需满足x1<x2≤-2,如图③,所以不等式组无解.②当a>10时,要使f(x)至少有3个零点,需h(x)的两个零点x1,x2满足2≤x1<x2,如图④,所以解得a>4,所以a>10.综上,a的取值范围为[10,+∞). ③　④ 第八节　函数模型的应用 【课程标准】　1.了解一元一次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征及差异,理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等术语的现实含义;2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x值增大,图象与 y 轴接近平行 随x值增大,图象与 x 轴接近平行 随n值变化而不同 [微点清]　“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢. 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 与指数函数 相关模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与对数函数 相关模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与幂函数 相关模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 微|点|延|伸 1.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 2.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性. 小|题|快|练 1.用长度为24 m的材料围成一中间带有两道隔墙的矩形场地,要使矩形的面积最大(忽略隔墙所占面积),则隔墙的长度为(B) A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 解析　设隔墙的长度为x m(0<x<6),矩形面积为y m2,则y=x×=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y最大.故选B. 2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).1万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品的数量为(B) A.36万件 B.18万件 C.22万件 D.9万件 解析　利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.故选B. 3.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是(B) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 解析　由图象知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).故选B. 4.一个容器装有细砂a cm3,细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细砂量为y=ae-btcm3,经过8 min后发现容器内还有一半的细砂,则再经过 16 min,容器中的细砂只有开始时的八分之一.  解析　当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a,所以e-8b=,若容器中的细砂只有开始时的八分之一,则y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,即t=24,所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　用函数图象的变化刻画变化过程 【例1】　(多选题)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示. 给出下列四个结论,其中正确的结论是(ABC) A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强 B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强 C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标 D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强 解析　由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业,而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同,故在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故A正确;由题图知在t2时刻,甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的,故B正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量,故都已达标,C正确;甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力明显低于[t1,t2]时的,故D错误. 　　以图表为工具记录数据,是生活中形象化处理数据的常用手段,这类问题一般不难,看清楚图中横、纵轴的意义,明白图象走势代表的变化关系,即可轻松得解. 【训练1】　(多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(CD) A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗8 L汽油 D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 解析　对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1 L汽油,行驶里程都超过5 km,故A错误.对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,B错误.对于C选项:甲车以80 km/h的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1 h,消耗了汽油80×1÷10=8(L),故C对.对于D选项:速度在80 km/h以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故D对.故选CD. 类型二　已知函数模型的实际问题 【例2】　(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(ACD) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 解析　因为Lp=20×lg随着p增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],所以≥,所以p1≥p2,故A正确;由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以->20,不可能成立,故B不正确;因为==1≥1,所以p1≤100p2,故D正确.故选ACD. 　　求解已给函数模型的实际问题的关注点 1.认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. 2.根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. 3.利用该模型求解实际问题. 【训练2】　(2025·江苏南京一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表,通过本人的观测和分析后,于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系:T=·,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的(B) A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 解析　设火星的公转周期为T1,椭圆轨道的长半轴长为a1,水星的公转周期为T2,椭圆轨道的长半轴长为a2,则T1=8T2,且得==8,所以=4,即a1=4a2.故选B. 类型三　构建函数模型的实际问题 【例3】　一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有疗效,而低于500 mg病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2 500 mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了保持疗效,那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为(附:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,精确到0.1 h)(B) A.4.2 h B.2.3 h C.8.8 h D.7.2 h 解析　设应在病人注射这种药经过x h后再次向病人注射这种药,则血液中的含药量y(单位:mg)与注射后的时间x的关系式为y=2 500(1-20%)x,由题意可得2 500(1-20%)x>1 500,整理可得>,所以lo<lo,即x<lo.由lo=lo===≈≈2.3,所以x<2.3,故从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为2.3 h,才能保持疗效.故选B. 　　解函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,然后根据题意列出函数关系式(注意定义域),并进行相关求解,最后结合实际意义作答.以上过程可简洁表述为: 【训练3】　(2024·广东一模)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同,之后甲通过学习,“日能力值”都在前一天的基础上进步2%,而乙疏于学习,“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么,大约需要经过　　　　天,甲的“日能力值”是乙的20倍.(参考数据:lg 102≈2.008 6,lg 99≈1.995 6,lg 2≈0.301 0)(B)  A.23 B.100 C.150 D 232 解析　设甲和乙刚开始的“日能力值”为1,且n天后,甲的“日能力值”是乙的20倍,则n天后甲、乙的“日能力值”分别为(1+2%)n,(1-1%)n,依题意,得=20,即=20,两边取常用对数得nlg=lg 20,因此n=≈≈100,所以大约需要经过100天,甲的“日能力值”是乙的20倍.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$