第一章 集合、常用逻辑用语与不等式-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦集合、常用逻辑用语与不等式三大高考核心模块，依据新课标要求和高考评价体系，系统梳理元素特性、集合运算、充要条件、基本不等式等考点，通过真题统计明确集合交并补、充要条件判定等高频题型，构建针对性备考体系。 课件亮点在于“真题演练+分层突破”模式，融入2024新课标Ⅰ卷等高考真题，运用数学思维剖析集合关系推理、不等式性质应用，如基本不等式的配凑法和换元法实例，培养学生运算能力与逻辑推理素养。特设易错点警示和答题模板，助力学生高效冲刺，为教师提供精准复习教学指导。

第一章集合、常用逻辑用语与不等式 第一节　集合 【课程标准】　1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系,能用列举法或描述法表示集合;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,了解全集与空集的含义;3.理解并会求并集、交集、补集,能用Venn图表示集合的关系与运算. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.集合与元素 元素的特性 确定性、互异性、无序性 元素与集 合的关系 若a属于集合A,记作 a∈A ; 若b不属于集合A,记作 b∉A 集合的表示法 列举法、描述法、图示法 2.常见的数集 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R 3.集合间的基本关系 文字语言 记法 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B 或 B⊇A 真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A A⫋B 或 B⫌A 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素,集合B的任何一个元素也都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A ⇔A=B 空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集 4.集合的基本运算 语言表示 图形表示 符号语言 并集 所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合 A∪B={x|x∈A,或x∈B} 交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B={x|x∈A,且x∈B} 补集 若全集为U,则集合A的补集为∁UA ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 5.集合的运算性质 交集 A∩B= B∩A ,A∩A=A,A∩⌀= ⌀ ,A⊆B⇔A∩B= A 并集 A∪B= B∪A ,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪A= A ,A∪⌀= A ,A⊆B⇔A∪B= B 补集 ∁U(∁UA)= A ,∁U⌀= U ,∁UU=⌀,A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)= U 微|点|延|伸 1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. 3.德·摩根定律:∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 4.对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 小|题|快|练 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(A) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 解析　因为A={x|-5<x3<5}={x|-<x<},B={-3,-1,0,2,3},所以A∩B={-1,0},故选A. 2.(人A必一P35复习参考题1 T8改编)若集合M={(x,y)|y=1},集合N={(x,y)|x=0},则M∩N=(B) A.{0,1} B.{(0,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1),(1,0)} 解析　集合M表示纵坐标为1的点集,集合N表示横坐标为0的点集,所以M∩N={(0,1)},故选B. 3.(人A必一P9习题1.2 T1改编)下列结论正确的是(A) A.{y|y=x2+1,x∈R}={x|x=t2+1,t∈R} B.{y|y=x2+1,x∈R}={(x,y)|y=x2+1,x∈R} C.⌀={0} D.集合{a,b}的真子集为{a},{b} 解析　对于A,B,{y|y=x2+1,x∈R}=[1,+∞),{x|x=t2+1,t∈R}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1,x∈R}表示函数y=x2+1图象上的点的集合,所以A正确,B错误;对于C,⌀⫋{0},所以C错误;对于D,集合{a,b}的真子集为⌀,{a},{b},所以D错误.故选A. 4.已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤9},若集合B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)= {0,2,4,6,8,9} .  解析　由题意知集合A中至少包含0,2,4,6,8,9这几个元素,而∁UB={0,2,4,6,8,9},所以A∩(∁UB)={0,2,4,6,8,9}. 5.(人B必一P9练习B T4改编)若集合A={a-3,2a-1,a2-4},且-3∈A,则实数a= 0或1 .  解析　当a-3=-3时,可得a=0,此时集合A={-3,-1,-4},符合题意;当2a-1=-3时,可得a=-1,此时a2-4=-3,不满足集合中元素的互异性,舍去;当a2-4=-3时,可得a=1或a=-1(舍去),当a=1时,集合A={-2,1,-3},符合题意.综上可得,实数a=0或1. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　集合的含义及表示 自练自悟 1.(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)=(D) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 解析　B={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4,9},则∁A(A∩B)={2,3,5}.故选D. 2.已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(C) A.2 B.3 C.4 D.6 解析　因为A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以A∩B中元素的个数为4,故选C. 3.集合A={x|2x2-3x-2<0},若a∈A,a+1∉A,则a的取值范围是(C) A. B. C.[1,2) D.(1,2) 解析　A={x|2x2-3x-2<0}=,若a∈A,a+1∉A,则解得1≤a<2.故选C. 4.若{a2,0,-1}={a,b,0},则ab的值是(C) A.0 B.1 C.-1 D.±1 解析　因为{a2,0,-1}={a,b,0},所以①或②由①得或其中与元素互异性矛盾,舍去,符合题意;由②得符合题意,两种情况代入得ab=-1.故选C. 　　与集合中元素有关问题的求解步骤 1.确定集合的元素是什么,集合是数集还是点集. 2.看这些元素满足什么限制条件. 3.根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性. 类型二　集合间的基本关系 【例1】　(1)已知集合A={x|x>5},B={x|1-log2x<0},则(A) A.A⊆B B.B⊆A C.A∩B=⌀ D.A∪B=R 解析　因为集合A={x|x>5},B={x|1-log2x<0}={x|x>2},所以A⊆B.故选A. (2)(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)=(A) A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.⌀ 解析　因为整数集Z={x|x=3k,k∈Z}∪{x|x=3k+1,k∈Z}∪{x|x=3k+2,k∈Z},U=Z,所以∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.故选A. 　　判断两集合关系的常用方法 1.化简集合法:用描述法表示的集合,若代表元素的表达式比较复杂,往往需化简表达式,再寻求两个集合的关系. 2.数形结合法:利用数轴或Venn图直观判断. 易错提醒　当B为A的子集时,易漏掉B=⌀的情况而致误. 【训练】　(1)已知集合M={x|y=,x∈R},N={x|x=m2,m∈M},则集合M,N的关系是(B) A.M⫋N B.N⫋M C.M⊆∁RN D.N⊆∁RM 解析　因为M={x|y=,x∈R}={x|-1≤x≤1},N={x|x=m2,m∈M}={x|0≤x≤1},所以N⫋M.故选B. (2)已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若B⊆A,则实数a的取值范围是(A) A. B.∪(0,1) C. D.(-∞,-1)∪[0,+∞) 解析　因为B⊆A,所以①若B=⌀,即ax+1≤0无解,此时a=0,满足题意.②若B≠⌀,即ax+1≤0有解,当a>0时,可得x≤-,要使B⊆A,则需要解得0<a<1;当a<0时,可得x≥-,要使B⊆A,则需要解得-≤a<0,综上,实数a的取值范围是.故选A. 类型三　集合的基本运算 考向❶:集合的基本运算 【例2】　(1)(2024·北京高考)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N=(C) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 解析　由集合的并运算,得M∪N={x|-3<x<4}.故选C. (2)已知M,N均为R的子集,且∁RM⊆N,则M∪(∁RN)=(B) A.⌀ B.M C.N D.R 解析　解法一:如图所示,易知答案为B. 解法二(特值法):不妨设∁RM=(1,2),N=(0,3),则M∪(∁RN)=M.故选B. 　　对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况. 考向❷:利用集合运算求参数 【例3】　已知集合A=,若A∩N*=⌀,则实数a的取值范围是(D) A.{1} B.(-∞,1) C.[1,2] D.(-∞,2] 解析　由题意,得A={x|(x-1)(x-a)<0},当a>1时,A={x|1<x<a},因为A∩N*=⌀,所以1<a≤2;当a<1时,A={x|a<x<1},因为A∩N*=⌀,所以a<1;当a=1时,A=⌀,满足题意.综上所述,实数a的取值范围为(-∞,2].故选D. 　　利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 1.与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到. 2.若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 考向 ❶ ❶ ❷ 新定义问题 1.已知集合U=R,集合A={x|x2+2x-3<0},B={x|0≤x≤2},则图中阴影部分表示的集合为(A) A.(-3,0) B.(-1,0) C.(0,1) D.(2,3) 解析　由题图可知阴影部分表示的集合为A∩∁UB.解不等式x2+2x-3<0,得-3<x<1,即A=(-3,1),由B=[0,2],得∁UB=(-∞,0)∪(2,+∞),所以A∩∁UB=(-3,0).故选A. 2.(多选题)(2025·山东枣庄模拟)已知全集为U,集合A,B,C均为U的子集.若A∩B=⌀,A∩C≠⌀,B∩C≠⌀,则下列说法一定正确的是(AD) A.A⊆∁U(B∩C) B.C⊆∁U(A∪B) C.A∪B∪C=U D.A∩B∩C=⌀ 解析　由题意得A⊆∁UB,又∁U(B∩C)=(∁UB)∪(∁UC),所以A⊆∁U(B∩C),故A正确;符合题意的集合A,B,C及全集U的关系可用如图所示的Venn图表示,由图可知C不是∁U(A∪B)的子集,故B错误;集合A∪B∪C与全集U不一定相等,故C错误;由A∩B=⌀,可得A∩B∩C=⌀∩C=⌀,故D正确.综上.选AD. 3.(2024·九省联考)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为 5 .  解析　由A∩B=A可知B≠⌀,所以m≥0.由|x-3|≤m可得-m≤x-3≤m,即3-m≤x≤3+m,故B=[3-m,3+m],因为A∩B=A,所以A⊆B,所以解得m≥5,所以m的最小值为5. 4.(加强练)(多选题)设A,B是R的两个子集,对任意x∈R,定义:m=n=若对任意x∈R,m+n=1,则A,B间的关系为(AC) A.B=∁RA B.B=∁R(A∩B) C.A=∁RB D.A=∁R(A∩B) 解析　因为m=n=且对任意x∈R,m+n=1,所以m,n的值一个为0时,另一个为1,即x∈A时,x∉B或x∈B时,x∉A,所以A,B间的关系为B=∁RA或A=∁RB,故选AC. 第二节　常用逻辑用语 【课程标准】　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确使用存在量词(全称量词)对全称量词命题(存在量词命题)进行否定. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ∀ ”表示.  (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ∃ ”表示.  3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x,有p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 微|点|延|伸 1.会区分A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同. 2.p是q的充分不必要条件,等价于􀱑q是􀱑p的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”. 4.命题p和􀱑p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难,可判断此命题否定的真假. 小|题|快|练 1.(人A必一P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”,但反之不成立.故选B. 2.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定是(D) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n>x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n>x2 解析　含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”,可知选D. 3.(苏教必一P46“探究拓展”素材发掘命题)《墨经》上说:“小故,有之不必然,无之必不然.体也,若有端.大故,有之必然,若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是(A) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.不能确定 解析　由“小故,有之不必然,无之必不然.体也,若有端.大故,有之必然,若见之成见也”知“大故”必然有其原因,有其原因必然会发生,所以“有之必然”所表述的数学关系一定是充分条件.故选A. 4.(人A必一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是 任意一个偶数都不是素数 .  5.(人B必一P38T5改编)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,则a的取值范围为 (-∞,3) .  解析　因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以A⫋B,所以a<3. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　充分条件、必要条件的判定 自练自悟 1.“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　解法一:若a2=b2,则当a=-b≠0时,有a2+b2=2a2,2ab=-2a2,即a2+b2≠2ab,所以由a2=b2a2+b2=2ab;若a2+b2=2ab,则有a2+b2-2ab=0,即(a-b)2=0,所以a=b,则有a2=b2,即a2+b2=2ab⇒a2=b2.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 解法二:因为“a2=b2”⇔“a=-b或a=b”,“a2+b2=2ab”⇔“a=b”,所以本题可以转化为判断“a=-b或a=b”与“a=b”的关系,又“a=-b或a=b”是“a=b”的必要不充分条件,所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 2.已知复数z1和z2,则“z1>z2”是“z1-z2>0”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为z1>z2,所以复数z1和z2是实数,所以z1-z2>0成立;当z1-z2>0时,例如(2-3i)-(-5-3i)=7>0,z1,z2无法比较大小,所以“z1>z2”是“z1-z2>0”的充分不必要条件.故选A. 3.《三字经》中有一句“玉不琢,不成器”,其中“打磨玉石”是“成为器物”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　“打磨玉石”不一定“成为器物”,故充分性不成立,但“成为器物”一定要“打磨玉石”,故必要性成立,所以“打磨玉石”是“成为器物”的必要不充分条件.故选B. 4.不等式x->0成立的一个充分不必要条件是(D) A.-1<x<0或x>1 　　B.x>-1 C.x<-1或0<x<1 　　D.x>1 解析　由x->0可知>0,即或解不等式组可知x->0的解集为{x|x>1或-1<x<0},故不等式x->0成立的一个充分不必要条件是x>1.故选D. 　　充分、必要条件的三种判定方法 1.定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断. 2.集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. 3.等价转化法:对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 类型二　充分条件与必要条件的应用 【例1】　(2025·沈阳模拟)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|(x-m-1)(x-2m+1)<0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为(C) A.[-3,2] B.[-1,3] C. D. 解析　由题意可得集合A=[-3,4],若m>2,则2m-1>m+1,此时B=(m+1,2m-1),因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,故B⫋A,故所以2<m≤;若m<2,则2m-1<m+1,此时B=(2m-1,m+1),因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,故B⫋A,故所以-1≤m<2;若m=2,则2m-1=m+1,此时B=⌀,满足B⫋A,综上可得m∈,故选C. 　　由充分、必要条件求参数范围的策略 巧用转化 求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形 端点值慎取舍 在求参数范围时,要注意区间端点值的检验,从而确定取舍 【训练】　(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0,且在[0,+∞)上单调递减,对于实数a,b,则“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的(C) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0,得函数f(x)是R上的偶函数,而f(x)在[0,+∞)上单调递减,因此由f(a)>f(b)得f(|a|)>f(|b|),|a|<|b|⇔a2<b2,所以“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的充要条件.故选C. (2)(2025·河南联考)设p:0<ln(x-2)≤ln 3,q:(x-2m)(x-2m-3)≤0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是(C) A. B. C. D. 解析　因为0<ln(x-2)≤ln 3,所以1<x-2≤3,即3<x≤5,因为(x-2m)(x-2m-3)≤0,所以2m≤x≤2m+3,因为p是q的充分不必要条件,所以(3,5]是[2m,2m+3]的真子集,所以解得1≤m≤,故选C. 类型三　全称量词与存在量词 考向❶:含有量词的命题的否定 【例2】　(1)(多选题)下列说法正确的是(ABC) A.“正方形是菱形”是全称量词命题 B.∃x∈R,ex<ex+1 C.命题“∃x∈R,x2-2x+3=0”的否定为“∀x∈R,x2-2x+3≠0” D.命题“∀x>1,都有2x+1>5”的否定为“∃x≤1,使得2x+1≤5” 解析　对于A,“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题,故A正确;对于B,当x=1时,e<e+1成立,故B正确;对于C,命题“∃x∈R,x2-2x+3=0”的否定为“∀x∈R,x2-2x+3≠0”,故C正确;对于D,命题“∀x>1,都有2x+1>5”的否定为“∃x>1,使得2x+1≤5”,故D不正确.故选ABC. (2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式: 至少有一个实数是无理数 .  　　全称量词命题与存在量词命题的否定 1.改写量词:确定命题所含量词的类型,若命题中无量词,则要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写. 2.否定结论:对原命题的结论进行否定. 考向❷:求参数的取值范围 【例3】　(1)命题“∀x∈(1,2),log2x-a<0”为真命题的一个充分不必要条件是(B) A.a≥0 B.a≥2 C.a≥1 D.a≤4 解析　由题意得,当x∈(1,2)时,a>log2x恒成立,则a≥1,结合选项,命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥2.故选B. (2)若命题“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”是假命题,则实数a的取值范围是 (-2,1) .  解析　因为命题“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”是假命题,所以“∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0”为真命题,所以Δ=4a2-4(2-a)<0,即a2+a-2<0,所以-2<a<1. 　　根据全称、存在量词命题的真假求参数的方法 1.巧用三个转化 (1)全称量词命题可转化为恒成立问题; (2)存在量词命题可转化为存在性问题; (3)全称量词命题、存在量词命题为假命题可转化为它的否定为真命题. 2.准确计算 通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围. 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.(多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的是(AC) A.∃x∈R,x2-x+<0 B.所有的正方形都是矩形 C.∃x∈R,x2+2x+2=0 D.至少有一个实数x,使x3+1=0 解析　A项,原命题的否定为∀x∈R,x2-x+≥0,是全称量词命题,因为x2-x+=≥0,所以原命题的否定为真命题,所以该选项符合题意;B项,原命题为全称量词命题,其否定为存在量词命题,所以该选项不符合题意;C项,原命题为存在量词命题,所以其否定为全称量词命题,对于方程x2+2x+2=0,Δ=22-8=-4<0,所以x2+2x+2>0,所以原命题为假命题,即其否定为真命题,所以该选项符合题意;D项,原命题的否定为对于任意实数x,都有x3+1≠0,如x=-1时,x3+1=0,所以原命题的否定不是真命题,所以该选项不符合题意.故选AC. 2.已知命题p:对于任意x∈[1,2],都有x2-a≥0;命题q:存在x∈R,使得x2+2ax+2-a=0.若p与q中至少有一个是假命题,则实数a的取值范围为 (-2,1)∪(1,+∞) .  解析　若命题p为真,则对于任意x∈[1,2],都有a≤(x2)min=1,即a≤1;若命题q为真,则方程x2+2ax+2-a=0有解.则有Δ=4a2-4(2-a)≥0,即 a2+a-2≥0,解得 a≥1或a≤-2.若p与q都是真命题,则a≤-2或a=1,所以若p与q中至少有一个是假命题,则a>-2且a≠1. 第三节　等式性质与不等式性质 【课程标准】　1.梳理等式的性质,理解不等式的概念;2.会比较两个数(式)的大小;3.理解不等式的性质,掌握不等式性质的简单应用. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.两个实数比较大小的方法 作差法(a,b∈R). 2.等式的性质 性质1　对称性:如果a=b,那么 b=a ;  性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么 a=c ;  性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc; 性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么 = .  3.不等式的性质 性质1　对称性:a>b⇔ b<a ;  性质2　传递性:a>b,b>c⇒ a>c ;  性质3　可加性:a>b⇔a+c>b+c; 性质4　可乘性:a>b,c>0⇒ ac>bc ;a>b,c<0⇒ ac<bc ;  性质5　同向可加性:a>b,c>d⇒ a+c>b+d ;  性质6　同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0⇒ ac>bd ;  性质7　同正可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2). 微|点|延|伸 　不等式的两类常用性质 1.倒数性质 (1)a>b,ab>0⇒<; (2)a>b>0,0<c<d⇒>; (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2.有关分数的性质 若a>b>0,m>0,则 (1)真分数的性质 <,>(b-m>0); (2)假分数的性质 >,<(b-m>0). 小|题|快|练 1.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有(A) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 解析　因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,所以M>N.故选A. 2.(人A必一P43T8改编)已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是(D) A.ln a<ln b B.> C.a2<b2 D.a3<b3 解析　对于A,当a<b<0时,不等式无意义,故A错误;对于B,当a<0<b时,<,故B错误;对于C,当a<b<0时,a2>b2,故C错误;对于D,当a<b时,a3<b3成立,故D正确. 3.如果x+y<0,且y>0,那么下列不等式成立的是(D) A.y2>x2>-xy B.x2>y2>-xy C.x2<-xy<y2 D.x2>-xy>y2 解析　因为x+y<0,y>0,所以x<-y<0<y.在不等式x<-y两边同时乘以x,得x2>-xy.在不等式x<-y两边同时乘以y,得xy<-y2,则-xy>y2.所以x2>-xy>y2.故选D. 4.已知a>0,-1<b<0,则a,ab,ab2由小到大依次排列是 ab<ab2<a .  解析　因为a>0,-1<b<0,所以ab<0,0<b2<1,0<ab2<a,故ab<ab2<a. 5.(人A必一P43T5改编)已知2<a<3,-2<b<-1,则a+2b的取值范围为 (-2,1) .  解析　因为-2<b<-1,所以-4<2b<-2,又2<a<3,所以-2<a+2b<1. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　比较数(式)的大小 【例1】　(1)(2025·石家庄调研)已知a=,b=,c=,则(A) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 解析　因为2c-2b=e-2+1=(-1)2>0,所以2c>2b,即c>b;又因为(2b)4-(2a)4=16e2-e3=e2(16-e)>0,所以(2b)4>(2a)4,又a,b均为正数,所以2b>2a,即b>a,所以a<b<c.故选A. (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为 eπ·πe<ee·ππ .  解析　==,又0<<1,0<π-e<1,所以<1,即<1,即eπ·πe<ee·ππ. 　　比较大小的常用方法 1.作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论. 2.作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论. 3.构造函数,利用函数的单调性比较大小. 【训练1】　(1)已知P=a2+b2++c2,Q=2a+2b,则(C) A.P≤Q B.P=Q C.P≥Q D.P,Q的大小无法确定 解析　P-Q=-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2+≥0,所以P-Q≥0,即P≥Q.故选C. (2)若a=,b=,c=,则(B) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 解析　解法一:易知a,b,c都是正数,==log8164<1,所以a>b;==log6251 024>1,所以b>c.即c<b<a.故选B. 解法二:构造函数f(x)=,则f'(x)=,由f'(x)>0,得0<x<e;由f'(x)<0,得x>e.所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.所以f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.故选B. 类型二　不等式的基本性质 【例2】　(1)(2025·北京朝阳区模拟)若a>0>b,则(A) A.a3>b3 B.|a|>|b| C.< D.ln(a-b)>0 解析　因为a>0>b,所以a3>0,b3<0,即a3>b3,故A正确;取a=1,b=-2,则|a|>|b|不成立,<不成立,故B,C错误;取a=,b=-,则ln(a-b)=ln 1=0,故D错误.故选A. (2)(多选题)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列说法正确的是(BC) A.> B.a-c>2b C.a2>b2 D.ab+bc>0 解析　对于A,因为a>b>c,所以a-c>b-c>0,所以<,A错误;对于B,因为a>b>c,a+b+c=0,所以a>0,c<0,a-b>0,所以b+c=-a<0,所以a-b>b+c,即a-c>2b,B正确;对于C,因为a-b>0,a+b=-c>0,所以a2-b2=(a+b)(a-b)>0,即a2>b2,C正确;对于D,ab+bc=b(a+c)=-b2≤0,D错误.故选BC. 　　解决此类题目常用的三种方法 1.直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件. 2.利用特殊值排除法. 3.利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【训练2】　(1)若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列说法正确的是(D) A.ac2<bc2 B.< C.> D.a2>ab>b2 解析　当c=0时,A不成立;-=>0,即>,B错误;-==<0,即<,C错误;由a<b<0,得a2>ab>b2,D正确.故选D. (2)(多选题)若<<0,则(ACD) A.|a|<|b| B.ac<bc C.>0 D.0<<1 解析　由<<0,得c≠0.当c>0时,由<<0,得<<0,即b<a<0,可得0<<1;当c<0时,由<<0,得>>0,即b>a>0,所以0<<1,故A,D正确;由<<0,得-=<0,且a与b同号,即ab>0,所以c与b-a异号,即c与a-b同号,故C正确;由ac<bc,得(a-b)c<0,故B错误.故选ACD. 类型三　不等式性质的应用 【例3】　(1)已知6<a<60,15<b<18,则下列结论正确的是(C) A.<< B.21<a+2b<78 C.-12<a-b<45 D.<<5 解析　A,因为15<b<18,所以<<,又6<a<60,所以<<4,所以A错误.B,因为6<a<60,15<b<18,所以36<a+2b<96,所以B错误.C,因为15<b<18,所以-18<-b<-15,又6<a<60,所以-12<a-b<45,所以C正确.D,因为6<a<60,15<b<18,所以21<a+b<78,由A选项知<<,所以<<,所以D错误.故选C. (2)某班有学生参加才艺比赛,已知每人只参加一个比赛,且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数,参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数,参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数,则参加这三项比赛的总人数至少为　12 .  解析　设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a,b,c,由题意得a≥b+1,b≥c+1,2c≥a+1,所以a+b+2c≥b+1+c+1+a+1,所以c≥3,所以b≥4,a≥5,所以参加这三项比赛的总人数至少为12. 　　利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练3】　(1)已知0<β<α<,则α-β的取值范围是  .  解析　因为0<β<,所以-<-β<0,又0<α<,所以-<α-β<,又β<α,所以α-β>0,即0<α-β<. (2)已知2<x<4,-3<y<-1,则的取值范围是(B) A. B. C. D. 解析　原式分子和分母同时除以x,得=,由条件得2<-2y<6,<<,所以<-<,即<-<3,所以<1-<4,所以<<.故选B. 第四节　基本不等式 【课程标准】　1.了解基本不等式的证明过程;2.掌握基本不等式≤(a>0,b>0),会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件: a>0,b>0 .  (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时,等号成立.  (3)其中,  叫做正数a,b的算术平均数,  叫做正数a,b的几何平均数.  2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥ 2ab (a,b∈R).  (2)+≥ 2 (ab>0).  (3)ab≤  (a,b∈R).  (4)≥  (a,b∈R).  以上不等式等号成立的条件均为a=b. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值 2 .  (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 S2 .  [微点清]　①利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. ②利用基本不等式求最值简记:积定和最小,和定积最大. 小|题|快|练 1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是(B) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b 解析　代入a=1,b=2,则有0<a=1<=<=1.5<b=2.故选B. 2.(人A必一P48习题2.2 T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=(C) A.1+ B.1+ C.3 D.4 解析　当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时,取等号,即当f(x)取得最小值时x=3,即a=3.故选C. 3.已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为(A) A. B. C. D.1 解析　因为0<x<1,所以1-x>0,所以x(1-x)≤=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,故x(1-x)的最大值为.故选A. 4.已知x>0,y>0,x+y=1,则+的最小值为 4 .  解析　由x+y=1得+=(x+y)=2++≥2+2=4,当且仅当x=y=时,等号成立,即+的最小值为4. 5.某地地震期间,一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地距离400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km(车长忽略不计),那么这批物资全部到达灾区最少需要 10 h.  解析　当最后一辆汽车出发时,第一辆汽车最少行驶了=(h),最后一辆车驶完全程共需要 h,所以这批物资全部到达灾区最少需要h,由基本不等式,得+≥2=10,当且仅当=,即v=80时,等号成立,故最少需要10 h. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　基本不等式求最值 考向❶:配凑法 【例1】　(1)当x>1时,x+的最小值为 5 .  解析　因为x>1,所以x-1>0,由基本不等式,得x+=(x-1)++1≥2+1=5,当且仅当x=3时,等号成立.因此,x+的最小值为5. (2)已知0<x<,则x的最大值为  .  解析　因为0<x<,所以1-2x2>0,x=·x≤·=,当且仅当2x2=1-2x2,即x=时等号成立. 　　基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数的形式,再利用基本不等式求解. 考向❷:常值代换法 【例2】　(1)若+=1,则4a2+b2的最小值为(A) A.16 B.8 C.20 D.12 解析　由题意得4a2+b2=(4a2+b2)=8++≥2+8=16,当且仅当=,即b2=4a2=8时等号成立,所以4a2+b2的最小值为16,故选A. (2)(2025·邯郸模拟)已知a>0,b>0,且a+b=2,则+的最小值是(C) A.2 B.4 C. D.9 解析　依题意,因为a+b=2,所以(a+1)+(b+1)=4,则+=[(a+1)+(b+1)]·=≥×(2×4+10)=,当且仅当a=,b=时,等号成立.故选C. 　　常值代换法求最值的基本步骤 1.根据已知条件或其变形确定定值(常数); 2.把确定的定值(常数)变形为1; 3.把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式; 4.利用基本不等式求解最值. 考向❸:换元法 【例3】　已知x>,求函数y=的最小值. 解　设4x-5=t,则x=.因为x>,所以t>0.所以y===t++3≥2+3=5.当且仅当t=1,即x=时,上式取“=”.所以x=时,ymin=5. 　　本例是通过换元转化为y=Ax++C的形式,凑出积为常数的形式,进而求最值. 考向❹:消元法 【例4】　已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 6 .  解析　由x+3y+xy=9,得x=,所以x+3y=+3y====3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6.当且仅当3(1+y)=,即y=1时取等号.所以x+3y的最小值为6. 　　消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之转化为能使用基本不等式的形式,最后利用基本不等式求最值. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 考向 ❶ ❷ ❸ ❹ 1.若x<,则f(x)=3x+1+有(C) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 解析　因为x<,所以3x-2<0,f(x)=3x-2++3=-+3≤-2+3=-3.当且仅当2-3x=,即x=-时取“=”.故选C. 2.已知正实数a,b满足a+b=2,则+的最小值是(B) A. B. C.5 D.9 解析　+=(a+b)=≥×(4+5)=,当且仅当=时,等号成立.故选B. 3.(2025·山西太原模拟)已知x>1,则y=的最大值为  .  解析　设x-1=t,则x=t+1,t>0,y===≤(当且仅当t=2,即x=3时取等号). 4.设a>0,b>0,且5ab+b2=1,则a+b的最小值为  .  解析　因为5ab+b2=1,所以a==-,所以a+b=-+b=+≥2=,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以a+b的最小值为. 类型二　基本不等式的实际应用 【例5】　(2025·福建厦门模拟)港珠澳大桥通车后,经常往返于港、珠、澳三地的刘先生采用自驾方式出行.刘先生在某段时间内共加油两次,由于燃油的价格有升也有降,现刘先生有两种加油方案,第一种方案:每次均加30升的燃油;第二种方案,每次加200元的燃油,则下列说法正确的是(B) A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 解析　假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升,第一种方案的均价:=≥;第二种方案的均价:=≤.所以无论油价如何变化,第二种都更划算.故选B. 　　利用基本不等式解决实际问题的策略 1.根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值. 2.解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围. 3.在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解. 【训练】　古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图所示的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.若以斜边BC为直径的半圆弧的长为2π,则△ABC周长的最大值为 4+4 .  解析　设BC=a,AC=b,AB=c,其中a,b,c>0,因为以斜边BC为直径的半圆弧的长为2π,所以π×=2π,得a=4,因为△ABC为直角三角形,所以a2=b2+c2,所以b2+c2=16,所以≤=8,得b+c≤4,当且仅当b=c=2时等号成立,则a+b+c≤4+4,即△ABC周长的最大值为4+4. 高考真题重温 　　　　　　　　　　　　　 1.(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(ABD) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 解析　因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=1,所以a2+b2≥,A正确;易知0<a<1,0<b<1 ,所以-1<a-b<1,所以2a-b>2-1=,B正确;令a=,b=,则log2+log2=-2+log2<-2,C错误;因为(+)2=a+b+2≤1+2·=2,所以+≤,D正确.故选ABD. 2.(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(C) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 解析　因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3,所以当x=-1时,y取得最小值,且ymin=3,所以A不符合题意.因为y=|sin x|+≥2=4,当且仅当|sin x|=,即|sin x|=2时不等式取等号,但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|=2不可能成立,因此可知y>4,所以B不符合题意.因为y=2x+22-x≥2=4,当且仅当2x=22-x,即x=2-x,x=1时不等式取等号,所以ymin=4,所以C符合题意.当0<x<1时,ln x<0,y=ln x+<0,所以D不符合题意.故选C. 3.(多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(BC) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 解析　对于A,B:由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-3xy=1,(x+y)2-1=3xy≤3,即(x+y)2≤4,所以-2≤x+y≤2,所以A不正确,B正确;对于C,D:由x2+y2-xy=1,得x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y时取等号,所以x2+y2≤2,所以C正确,D不正确.故选BC. 4.(2020·天津高考)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为 4 .  解析　因为a>0,b>0,所以a+b>0,又ab=1,所以++=+=+≥2=4,当且仅当a+b=4时取等号,结合ab=1,解得a=2-,b=2+或a=2+,b=2-时等号成立. 第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数 【课程标准】　1.掌握二次函数的图象与性质;2.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)= ax2+bx+c(a≠0) .  (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为 (m,n) .  (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx +c(a>0) y=ax2+bx +c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x= - 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数;在上是增函数 在上是增函数;在上是减函数 微|点|延|伸 1.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[m,n]上的最大、最小值的分布情况 (1)若-∈[m,n],则f(x)max=max{f(m),f(n)},f(x)min=f. (2)若-∉[m,n],则f(x)max=max{f(m),f(n)},f(x)min=min{f(m),f(n)}. 2.当二次函数的图象开口向上时,自变量的取值离对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数的图象开口向下时,自变量的取值离对称轴越远,则对应的函数值越小. 小|题|快|练 1.已知某二次函数的图象与函数y=2x2的图象的形状一样,开口方向相反,且其顶点为(-1,3),则此函数的解析式为(D) A.y=2(x-1)2+3 B.y=2(x+1)2+3 C.y=-2(x-1)2+3 D.y=-2(x+1)2+3 解析　设所求函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0),由题意可知a=-2,h=-1,k=3,故y=-2(x+1)2+3.故选D. 2.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是(C) A　B　C　D 解析　因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,所以a<0,b<0,所以二次函数的图象开口向下,对称轴方程x=-<0.只有选项C符合,故选C. 3.函数f(x)=x2-2x+4,x∈[0,3],则函数f(x)的最大值是(D) A.4 B.5 C.6 D.7 解析　f(x)的对称轴为直线x=1,所以f(x)max=f(3)=7.故选D. 4.已知二次函数y=f(x)满足f(0)=f(2),若x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,则x1+x2= 2 .  解析　因为f(0)=f(2),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.所以x1+x2=2×1=2. 5.若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为 (-∞,40]∪[160,+∞) .  解析　依题意知,≥20或≤5,解得k≥160或k≤40. 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　二次函数的解析式 【例1】　已知二次函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且f(0)=0,顶点的纵坐标为1,求f(x)的解析式. 解　解法一(一般式):设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依题意,f(0)=0,f(x)图象的对称轴为直线x=1,f(1)=1,故有⇒所以f(x)=-x2+2x. 解法二(零点式):由已知易得f(2)=f(0)=0,所以f(x)=0的两根分别为0,2.所以可设其解析式为f(x)=ax(x-2).又因为f(1)=1,可得a=-1,所以f(x)=-x(x-2)=-x2+2x. 解法三(顶点式):由已知,可得顶点为(1,1),所以可设其解析式为f(x)=a(x-1)2+1.又由f(0)=0,可得a=-1,所以f(x)=-(x-1)2+1=-x2+2x. 　　根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: 【训练1】　已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x=2,且方程f(x)=0的两个根的平方和为10,则f(x)的解析式为 f(x)=x2-4x+3 .  解析　依题意,设函数f(x)=a(x-2)2+h(a≠0),由二次函数f(x)的图象过点(0,3),得f(0)=3,所以4a+h=3,即h=3-4a,所以f(x)=a(x-2)2+3-4a,令f(x)=0,即a(x-2)2+3-4a=0,所以ax2-4ax+3=0,设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=4,x1x2=,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=16-,所以16-=10,解得a=1,所以f(x)=x2-4x+3. 类型二　二次函数的图象 【例2】　(多选题)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论正确的为(AD) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c=0 D.5a<b 解析　因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确.对称轴为直线x=-1,即-=-1,2a-b=0,B错误.结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,C错误.由对称轴为直线x=-1知,b=2a.根据抛物线开口向下,知a<0,所以5a<2a,即5a<b,D正确.故选AD. 　　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向. 【训练2】　(1)已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,则函数f(x)的图象可能是(D) A B C D 解析　由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,所以函数图象开口向上,排除A,C;又f(0)=c<0,排除B.故选D. (2)(多选题)已知函数f(x)=4ax2+2bx+c(a≠0)满足f=0,且f(0)>0,f(1)>0,则下列不等式一定正确的是(ACD) A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.f(-1)>0 解析　解法一:由题可知,f(0)=c>0,故C正确;f(1)=4a+2b+c>0　①,f=a+b+c=0,所以b=-a-c,代入①,得4a+2(-a-c)+c>0,即2a-c>0,所以2a>c>0,所以a>0,故A正确;因为a+b+c=0,a>0,c>0,所以b<0,故B错误;f(-1)=4a-2b+c=4a-2(-a-c)+c=6a+3c>0,故D正确.故选ACD. 解法二:根据题意,可画出函数f(x)的大致图象,如图所示,数形结合,易知选ACD. 类型三　二次函数的性质 【例3】　已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围; (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 解　(1)当a>0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上,对称轴方程为x=,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需同时满足≥2,a>0,解得0<a≤.当a<0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向下,对称轴方程为x=<0,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0.综上,a的取值范围是(-∞,0)∪. (2)①当0<<1,即a>时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,此时g(a)=f(1)=3a-2.②当1≤≤2,即≤a≤时,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时g(a)=f=2a--1.③当>2,即0<a<时,f(x)在区间[1,2]上单调递减,此时g(a)=f(2)=6a-3.综上所述,g(a)= 　　二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 【训练3】　已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值. 解　(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],函数图象的对称轴为直线x=-∈[-2,3],所以f(x)min=f=--3=-,f(x)max=f(3)=15,所以f(x)的值域为. (2)函数图象的对称轴为直线x=-.①当-≤1,即a≥-时,f(x)max=f(3)=6a+3,所以6a+3=1,即a=-,满足题意;②当->1,即a<-时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,所以-2a-1=1,即a=-1,满足题意.综上可知,a=-或-1. 第2课时　一元二次不等式的解法 【课程标准】　1.会判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系;2.会求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集;3.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 必备知识梳理 　　　　　　　　　　　　　 教|材|回|顾 1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 3.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a)(x -b)>0 {x|x<a, 或x>b} {x|x≠a} {x|x<b, 或x>a} (x-a)(x -b)<0 {x|a<x<b} ⌀ {x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 微|点|延|伸 1.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时不要忘记当a=0时的情形. 2.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 小|题|快|练 1.不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为(A) A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≤1或x≥2} C.{x|1<x<2} D.{x|x<1或x>2} 解析　因为(x-1)(2-x)≥0,所以(x-2)(x-1)≤0,所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.故选A. 2.(人B必一P85复习题B组T8改编)设x∈R,则“>0”是“|x-1|<4”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由>0,得(x-5)(2-x)>0,得(x-5)(x-2)<0,解得2<x<5;由|x-1|<4,得-4<x-1<4,得-3<x<5.因为(2,5)⫋(-3,5),所以“>0”是“|x-1|<4”的充分不必要条件,故选A. 3.若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为,则a+b= -14 .  解析　依题意知解得故a+b=-14. 4.一元二次不等式ax2+ax-1<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 (-4,0) .  解析　依题意知即解得-4<a<0. 5.(人A必一P55练习T2改编)如图所示,某学校要在长为8米,宽为6米的一块矩形土地上进行绿化,计划四周种植花卉,花卉带的宽度相同,均为x米,中间种植草坪.为了美观,要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半,则x的取值范围为 (0,1) .  解析　由题意,花卉带的宽度为x(0<x<3)米,则中间草坪的长为(8-2x)米,宽为(6-2x)米,所以(8-2x)×(6-2x)>×8×6,整理得x2-7x+6>0,即(x-6)(x-1)>0,又0<x<3,故0<x<1,故x的取值范围为(0,1). 关键能力落实 　　　　　　　　　　　　　 类型一　一元二次不等式的解法 自练自悟 1.不等式-2x2+x+3<0的解集为(B) A. B.(-∞,-1)∪ C. D.∪(1,+∞) 解析　-2x2+x+3<0可化为(2x-3)(x+1)>0,解得x<-1或x>.故选B. 2.不等式<1的解集为 {x|-7<x<2} .  解析　<1,即-1<0,即<0,解得-7<x<2,因此不等式的解集为{x|-7<x<2}. 3.不等式-1<x2+2x-1≤2的解集为 {x|-3≤x<-2,或0<x≤1} .  解析　原不等式等价于即由①,得x<-2或x>0;由②,得-3≤x≤1.画出数轴,如图, 可得原不等式的解集为{x|-3≤x<-2,或0<x≤1}. 4.解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 解　原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,因为a>0,所以(x-1)<0.当a>1时,0<<1,解得<x<1;当a=1时,解集为⌀;当0<a<1时,>1,解得1<x<.综上,当0<a<1时,原不等式的解集为;当a=1时,原不等式的解集为⌀;当a>1时,原不等式的解集为. 　　解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(a>0);②确定判别式Δ的符号,若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无根;③结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集. 类型二　三个“二次”的关系 【例1】　(1)不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a>0的解集为(A) A. B. C.{x|-2<x<1} D.{x|x<-2,或x>1} 解析　不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},所以-1,2是方程ax2+bx+2=0的两个实数根,且a<0,则解得故不等式2x2+bx+a>0,即2x2+x-1>0,解得x<-1或x>,所以不等式2x2+bx+a>0的解集为.故选A. (2)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15,则a的值为  .  解析　解法一:由题知x1,x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的实数根,所以Δ=4a2+32a2=36a2>0,且x1+x2=2a,x1x2=-8a2.又因为x2-x1=15,所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2,又a>0,解得a=. 解法二:由x2-2ax-8a2<0(a>0)得,(x-4a)(x+2a)<0,即-2a<x<4a.又因为此不等式解集为{x|x1<x<x2},所以x1=-2a,x2=4a,由x2-x1=15,得4a-(-2a)=15,a=. 　　1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【训练1】　(1)若关于x的不等式x2+px+q<0的解集为(-1,2),则不等式>0的解集为(B) A.(-4,2)∪(3,+∞) B.(-3,2)∪(4,+∞) C.(-∞,-3)∪(2,4) D.(-∞,-4)∪(2,3) 解析　关于x的不等式x2+px+q<0的解集为(-1,2),则方程x2+px+q=0的两根为-1和2,则即则>0可化为>0,整理得>0,可得-3<x<2或x>4,故选B. (2)(多选题)(2025·长治质检)已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则(ABD) A.a2-b2≤4 B.a2+≥4 C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0 D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4 解析　根据题意,函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则Δ=a2-4b=0,即a2=4b(b>0).对于A,a2-b2-4=4b-b2-4=-(b2-4b+4)=-(b-2)2≤0,即有a2-b2≤4,故A正确;对于B,a2+=4b+≥2=4,当且仅当4b=,即b=时等号成立,故B正确;对于C,由x1,x2为方程x2+ax-b=0的两根,可得x1x2=-b<0,故C错误;对于D,由x1,x2为方程x2+ax+b-c=0的两根,可得x1+x2=-a,x1x2=b-c,则|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=a2-4(b-c)=a2-4b+4c=4c=16,解得c=4,故D正确.故选ABD. 类型三　一元二次不等式恒成立问题 【例2】　(1)已知mx2+2mx+1>0恒成立,求m的取值范围. (2)若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围. (3)若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围. 解　(1)①当m=0时,1>0显然恒成立;②当m≠0时,由题意知⇒⇒0<m<1.由①②知,m的取值范围为[0,1). (2)原不等式可化为x2-2x+a2-3a-3≥0,因为该不等式对任意实数x恒成立,所以Δ≤0,即4-4(a2-3a-3)≤0,即a2-3a-4≥0,解得a≤-1或a≥4,所以实数a的取值范围是{a|a≤-1或a≥4}. (3)设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则即解得<x<,故x的取值范围为. 　　一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或取值范围); (2)转化为函数值域问题,即f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a,b]). 【训练2】　(1)已知命题p:“∀x∈R,(a+1)x2-2(a+1)x+3>0”为真命题,则实数a的取值范围是(D) A.(-1,2) B.[1,+∞) C.(-∞,-1) D.[-1,2) 解析　当a=-1时,3>0恒成立,符合题意;当a≠-1时,需满足解得-1<a<2.综上所述,-1≤a<2.故选D. (2)当1≤x≤2时,不等式x2-ax+1≤0恒成立,则实数a的取值范围是(D) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C. D. 解析　解法一:当1≤x≤2时,不等式x2-ax+1≤0恒成立,所以当1≤x≤2时,a≥恒成立,则a≥,由于=x+,而y=x+在[1,2]上单调递增,故当x=2时,x+取得最大值,故a≥.故选D. 解法二:令f(x)=x2-ax+1,x∈[1,2],因为当1≤x≤2时,不等式x2-ax+1≤0恒成立,所以f(x)max≤0,所以即解得a≥.故选D. 微专题强化一　一元二次方程根的分布 　　　　　　　　　　　　　 专|题|梳|理 　解决由一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题,主要从以下四个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. ①二次函数图象的开口方向.②对应一元二次方程根的判别式.③二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系.④二次函数在所给区间端点处函数值的正负.具体如下: 1.一元二次方程的根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系.比如一元二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个一元二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧. 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2,且x1≤x2. (1)两个正根: (2)两个负根: (3)一正根一负根:x1x2=<0. 2.一元二次方程的根的非零分布——k分布 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实根为x1,x2,且x1≤x2.k为常数.则一元二次方程根的k分布(即x1,x2相对于k的位置)有以下若干情况: (1)x1<k<x2(一个根小于k,一个根大于k)⇔af(k)<0. (2)k<x1≤x2(两个根都大于k)⇔ (3)x1≤x2<k(两个根都小于k)⇔ (4)有且仅有k1<x1(或x2)<k2(在(k1,k2)内有且仅有一个根)⇔f(k1)·f(k2)<0(f(k1)或f(k2)为0的情况另算). (5)k1<x1≤x2<k2(两个根都在(k1,k2)内)⇔或 典|型|例|题 【例1】　m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4满足下列条件: (1)有且仅有一个零点; (2)有两个零点且一个零点小于-1,另一个零点大于-1; (3)有两个零点且均比-1大. 解　(1)由f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,可知方程f(x)=0有两个相等实根,故Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1. (2)f(-1)=1-2m+3m+4<0,解得m<-5. (3)由题意,知即解得-5<m<-1.故m的取值范围为(-5,-1). 【例2】　已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数m的取值范围; (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围. 解　(1)依题意知,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得 即解得-<m<-.故实数m的取值范围为. (2)依题意知,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内,画出示意图,得即解得-<m<1-.故实数m的取值范围为. 【训练】　关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围. (1)有两个正根; (2)一个根大于1,一个根小于1; (3)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内; (4)一个根小于2,一个根大于4; (5)两个根都在(0,2)内. 解　令f(x)=x2+(m-3)x+m, (1)由题意得解得0<m≤1. (2)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-2<0,解得m<1. (3)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内,则解得-<m<0. (4)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根小于2,一个根大于4,则解得m<-. (5)若方程x2+(m-3)x+m=0的两个根都在(0,2)内,则解得<m≤1. 学科网（北京）股份有限公司 $$