第2章 机械振动 第4节 实验：用单摆测量重力加速度(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册（教科版）

第4节　实验:用单摆测量重力加速度 一、本版教材实验理清楚 　　◉实验目的 1.用单摆测量重力加速度。 2.会使用停表测量时间。 3.能分析实验误差的来源,并能采用适当方法减小误差。 　　◉实验原理 单摆在摆角很小(小于5°)时的摆动,可以看成做简谐运动。其周期为T=2π,由此可得g=。据此,只要测出摆长l和周期T,即可计算出当地的重力加速度值。 　　◉实验器材 　　细线、带孔小球、铁架台、刻度尺、游标卡尺、停表等。 　　◉实验步骤 1.做单摆:将线的下端穿过摆球的小孔,并打一比孔大的结,然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上,让摆球自由下垂。 2.测摆长:用1 m长的刻度尺测出摆线长度l线,用游标卡尺测量出摆球的直径d,则单摆的摆长l=l线+。 3.测周期:将摆球从平衡位置拉至一个小于5°角的位置,然后由静止释放摆球,当单摆振动稳定后,过平衡位置时开始用停表计时,测量N次(一般取30~50次)全振动的时间t,则周期T=。 4.变摆长:将单摆的摆长变短(或变长),重复实验多次,测出相应的摆长l和周期T。 　　◉数据处理 1.平均值法:每改变一次摆长,将相应的l和T代入公式中求出g值,最后求出g的平均值。 设计如下所示实验表格 实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的 平均值/(m·s-2) 1 g= 2 3 2.图像法:由T=2π得T2=l,作出T2⁃l图像,即以T2为纵轴,以l为横轴,其斜率k=,由图像的斜率即可求出重力加速度g。 　　◉误差分析 系统误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即:悬点固定是否牢固,摆球是否可看成质点,球、线是否符合要求,摆动 是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。只要注意了上面这些问题,就可以使系统误 差减小到远小于偶然误差而达到忽略不计的程度。 偶然误差 主要来自时间(即单摆周期)的测量上,因此,要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时,并采用倒计 时计数的方法,即4,3,2,1,0,1,2,…在数“零”的同时按下停表开始计时,不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误 差,应进行多次测量后取平均值。 　 　　 ◉注意事项 1.选择材料时应选择细、轻又不易伸缩的线,长度一般在1 m 左右,摆球应选用密度较大的金属球,直径应较小,最好不超过2 cm。 2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上,应夹紧在铁夹中,以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。 3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度不超过5°,可通过估算振幅的办法掌握。 4.摆球振动时,要使之保持在同一个竖直平面内,不要形成圆锥摆。 二、他版教材实验多融通 (一)鲁科版教材实验方案 　　[差异解读] 1.实验原理与实验方案与教科版实验方案相同。 2.对应平衡位置在桌子上设置了标记,测量更准确。 3.用秒表测量时间,不同于教科版用停表测量。 (二)粤教版教材实验方案 　　[差异解读] 1.实验原理与实验方案与教科版实验方案相同。 2.对应平衡位置,在桌子上设置了记号,并手拿铅笔作了标记。 3.用秒表测量时间,不同于教科版用停表测量。 命题视角一　实验原理与操作 　　 [典例1]　在“用单摆测量重力加速度”的实验中: (1)某同学制作了如图所示的甲、乙、丙三个单摆,你认为他应选用　　　　图所示的单摆来做实验。  (2)实验过程中某同学分别用了图(a)、(b)所示的两种不同方式悬挂小球,你认为　　　　[选填“(a)”或“(b)”]悬挂方式较好。  (3)某同学用停表测得单摆完成40次全振动的时间如图所示,则单摆的周期为　　　　s。  (4)若单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T=T0,式中T0为摆角趋近于0°时的周期,a为常数。为了用图像法验证该关系式,需要测量的物理量有　　　;某同学在实验中得到了如图所示的图线,则图线的斜率表示　　　　。  [解析]　(1)单摆在摆动过程中,空气等对它的阻力要尽量小,甚至忽略不计,所以摆球选铁球;摆线要尽可能细一些,摆长不能过短,一般取1 m左右的细线,选乙。 (2)如果选(a)所示悬挂方式,摆动过程中,摆长在不断变化,无法准确测量,故选(b)悬挂方式较好。 (3)由图可知,单摆完成40次全振动的时间t=60 s+15.6 s=75.6 s,所以单摆的周期为T= s=1.89 s。 (4)根据T=T0可知,需要测量的物理量有T(或t、n)、θ。由T=T0,可得sin2=T-,所以图示图线的斜率为。 [答案]　(1)乙　(2)(b)　(3)1.89 (4)T、θ　 命题视角二　数据处理和误差分析 　　[典例2]　在“用单摆测量重力加速度”的实验中,由单摆做简谐运动的周期公式得到g=,只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T,作出T2⁃l图像,就可以求出当地的重力加速度。理论上T2⁃l图线是一条过坐标原点的直线,某同学根据实验数据作出的图像如图所示: (1)造成图线不过坐标原点的原因可能是　　　　　　　　　。  (2)由图像求出的重力加速度g=　　　　m/s2(取π2=9.87)。  (3)如果测得的g值偏小,可能的原因是　　　　。  A.测摆长时摆线拉得过紧 B.摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,使摆线长度增加了 C.开始计时时,停表过迟按下 D.实验时误将49次全振动数为50次 [解析]　(1)T2⁃l图线不通过坐标原点,将图线向右平移1 cm会通过坐标原点,可知相同的周期下摆长偏小1 cm,故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径。 (2)由单摆周期公式T=2π 可得T2=4π2·, 则T2⁃l图像的斜率为k=; 由图像得k= s2·m-1, 解得g=9.87 m/s2。 (3)测摆长时摆线拉得过紧,则测量的摆长偏大,测得的重力加速度偏大,A错误;摆线上端未牢固地系于悬点,振动中出现松动,使摆线长度增加了,知测量的摆长偏小,则测得的重力加速度偏小,B正确;开始计时时,停表过迟按下,测量的周期偏小,则测得的重力加速度偏大,C错误;实验时误将49次全振动数为50次,测量的周期偏小,则测得的重力加速度偏大,D错误。 [答案]　(1)测量摆长时漏掉了摆球的半径　(2)9.87　(3)B [微点拨] 图像法求重力加速度 　　(1)图像法处理数据既直观又方便,同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。 (2)由于T⁃l的图像不是直线,不便于进行数据处理,所以采用T2⁃l的图像,目的是将曲线转换为直线,便于利用直线的斜率计算重力加速度。 命题视角三　创新考查角度和创新思维 1.[数据处理的创新]如图甲所示,某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验。 (1)若用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出周期的表达式T=　　　　。  (2)若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系,由图乙可知,该单摆的周期T=　　　　 s。  (3)在多次改变摆线长度测量后,根据实验数据,利用计算机作出周期与摆线长度的关系(T2⁃L)图线,并根据图线拟合得到方程T2=kL+b,由此可知当地的重力加速度g=　　　　,摆球半径r=　　　　(用k、b、π表示)。  解析:(1)单摆完成n次全振动所用的时间为t,则周期的表达式T=。 (2)单摆摆动过程中,每次经过最低点时拉力最大,每次经过最高点时拉力最小,拉力变化的周期为1.0 s,故单摆的周期为2.0 s。 (3)根据T=2π 得:T2=L', 知图线的斜率:k=,因此g=; 而L'=L+r,图线拟合得到方程T2=kL+b, 因此摆球半径r=。 答案:(1)　(2)2.0　(3)　 2.[实验器材的创新]某小组在做“用单摆测量重力加速度”实验后,为进一步探究,将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知,这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T=2π ,式中Ic为由该摆决定的常量,m为摆的质量,g为重力加速度,r为转轴到重心C的距离。如图甲所示,实验时在杆上不同位置打上多个小孔,将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上,使杆做简谐运动,测量并记录r和相应的运动周期T;然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验,实验数据见表,并测得摆的质量m=0.50 kg。 r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64 (1)由实验数据得出如图乙所示的拟合直线,图中纵轴表示　　　　。  (2)Ic的国际单位为　　　　,由拟合直线得到Ic的值为　　　　(保留到小数点后两位)。  (3)若摆的质量测量值偏大,重力加速度g的测量值　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。  解析:(1)由T=2π,可得T2r=+r2,所以图中纵轴表示T2r。 (2)Ic单位与mr2单位一致,因为mr2的国际单位为kg·m2,所以Ic的国际单位为kg·m2;结合T2r=+r2和题图中的截距和斜率,解得Ic的值约为0.17。 (3)重力加速度g的测量值是通过求T2r-r2图线的斜率得到的,与质量无关,所以若摆的质量测量值偏大,重力加速度g的测量值不变。 答案:(1)T2r　(2)kg·m2　0.17　(3)不变 　　　　　　　　 1.(2024·甘肃高考)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是 (　 ) A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力 B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期 C.从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间 D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径 解析:选D　在天宫实验室内,物体处于完全失重状态,重力提供了物体绕地球做匀速圆周运动的向心力,故选项A、B、C中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由重力提供天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg=mr,解得天宫实验室轨道处的重力加速度为g=r,故可行的是测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径,D正确。 2.某同学利用荡秋千测量当地的重力加速度。如图所示,该同学坐在秋千板上小角度摆动,测出小角度摆动时的周期为T,上方横杆与秋千板间的绳长为L,试回答下列问题: (1)若以L作为摆长,则当地的重力加速度大小g=　　　　。  (2)该同学的重心在板上方,使得重力加速度的测量值与真实值相比　　　　(填“偏大”或“偏小”)。  (3)仅改变横杆与板间的绳长重新测量。当横杆到板的距离为L1时,测得小角度摆动时的周期为T1;当横杆到板的距离为L2时,测得小角度摆动时的周期为T2。则当地的重力加速度大小g=　　　　。  解析:(1)根据单摆周期公式T=2π,可得g=。 (2)绳长比实际的摆长大,根据上述得出重力加速度的表达式可得,这样计算出来的重力加速度值比真实值偏大。 (3)设重心在板上方d处,根据单摆周期公式可得T1=2π,T2=2π,解得g=。 答案:(1)　(2)偏大　(3) 3.如图甲所示为采用光电门和示波器进行单摆实验来测量当地的重力加速度的装置示意图,两根长度相等的轻细线一端连接小球,另一端固定在铁架台的水平横杆上。用游标卡尺测量小球直径,测量结果如图乙所示。在小球摆动的最低点处装有光电门,并和示波器相连,当小球通过光电门时,示波器上将显示被挡光的电压脉冲图像。把摆球从平衡位置拉开一个小角度(小于5°)由静止释放,使其在竖直平面内摆动,示波器上显示的电压脉冲图像如图丙所示。 (1)本实验中单摆的有效摆长用L表示,周期用T表示,则重力加速度的表达式为g=　　　　。  (2)图乙中用游标卡尺测得的小球直径为　　　　cm。  (3)若实验中测得轻细线的长度为84.10 cm,横杆上两固定点之间的距离为8.20 cm,则此单摆的有效摆长为　　　　cm。  (4)由图丙可知该单摆的周期为　　　　s。  解析:(1)由T=2π可得g=。 (2)由题图乙读得小球直径为2.000 cm。 (3)此单摆的有效摆长为cm+cm=85.00 cm。 (4)单摆完成一次全振动需要的时间等于周期,一个周期内单摆两次经过平衡位置,结合题图丙可知该单摆的周期为1.85 s。 答案:(1)　(2)2.000　(3)85.00　(4)1.85(1.84~1.86都正确) 4.(2025年1月·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有:铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题: (1)实验时,将细线的一端连接摆球,另一端固定在铁架台上O点,如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置,使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°),由静止释放摆球,让单摆开始摆动。为了减小计时误差,应该在摆球摆至　　　　(填“最低点”或“最高点”)时开始计时。  (2)选取摆线长度为100.0 cm时,测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长,求得重力加速度大小为　　　　　m/s2(取π2=9.870,结果保留3位有效数字)。  (3)选取不同的摆线长度重复上述实验,相关数据汇总在下表中,在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线,如图2所示。 l/m t/s T2/s2 0.800 54.17 3.26 0.900 57.54 3.68 1.000 60.60 4.08 1.100 63.55 4.49 1.200 66.34 4.89 设直线斜率为k,则重力加速度可表示为g=　　　　　　(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为　　　　　　m/s2(结果保留3位有效数字)。  (4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,原因是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。  解析:(1)摆球经过最低点时速度最大,在相等的距离误差上引起的时间误差最小,测得周期的误差最小,所以为了减小计时误差,应该在摆球摆至最低点时开始计时。 (2)根据题意可知摆球摆动的周期T==2.02 s,根据单摆周期公式T=2π,其中L=100.0 cm=1.000 m,代入数据解得g≈9.68 m/s2。 (3)根据单摆周期公式T=2π,整理可得l=·T2-r,可知l⁃T2图线的斜率k=,则重力加速度可表示为g=4π2k;由题图2求得当地的重力加速度大小为g=4π2× m/s2≈9.69 m/s2。 (4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,其原因是用图像法处理数据时,无论是否考虑摆球的半径,l⁃T2图像的斜率均为,对重力加速度g的测量没有影响。 答案:(1)最低点　(2)9.68　(3)4π2k　9.69　(4)见解析 2 / 98 学科网（北京）股份有限公司 $$