专题01 有理数的运算与数轴、绝对值之间的联合应用（高效培优专项训练）数学人教版2024七年级上册

专题1 有理数的运算与数轴、绝对值之间的联合应用 类型一：利用有理数的加减法解决数轴上的点的移动问题 类型二：利用有理数的减法以及绝对值的意义解决数轴上两点之间的距离问题 类型三：根利用有理数的加法解决数轴的折叠问题 类型四：利用数轴以及有理数的混合运算判断式子的符号 类型五：利用数轴以及有理数的加减法判断式子的符号并对绝对值进行化简 类型一：利用有理数的加减法解决数轴上的点的移动问题 方法说明：向右移动多少个单位就在原数上加多少得到移动后的数，向左移动多少个单位就在原数上减多少得到移动后的数。 1．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点A′，则点A′表示的数为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．4 【答案】B 【解答】解：点A′表示的数为1﹣3＝﹣2． 故选：B． 2．在数轴上点A表示﹣3，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数等于（　　） A．﹣7或1 B．﹣1或7 C．2或﹣8 D．1或﹣5 【答案】A 【解答】解：分两种情况： ①点A沿数轴向右移动时，点B表示的数是：﹣3+4＝1； ②点A沿数轴向左移动时，点B表示的数是：﹣3﹣4＝﹣7； 综上所述，点B表示的数是1或﹣7． 故选：A． 3．如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（　　） A．7 B．3 C．﹣2 D．2 【答案】C 【解答】解：设A点对应的数为x． 则：x﹣2+5＝1， 解得：x＝﹣2． 所以A点表示的数为﹣2． 故选：C． 4．在数轴上，一个点从﹣4开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【答案】D 【解答】解：由题意得， ﹣4+2﹣3＝﹣5， 故选：D． 5．小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，数轴上的点A表示﹣6，小明设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M沿数轴向右移动2个单位长度，同时点N沿数轴向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图所示，在数轴上点M，N表示的有理数分别是m，n． （1）第　3　 次按键后，点M正好到达原点； （2）第6次按键后，求m比n大多少？ （3）在按键过程中，当点M与原点O的距离为2个单位长度时，求n的值． 【答案】（1）3； （2）18； （3）﹣10或﹣8． 【解答】解：（1）由条件可知点A到原点的距离为6为单位长度， ∵6÷2＝3， 即第3次按键后，点M正好到达原点； 故答案为：3； （2）根据题意得：m＝12，n＝﹣6， 12﹣（﹣6）＝18， 即第6次按键后，m比n大18； （3）当点M在原点的右侧，且与原点O的距离为2个单位长度时，m＝2， 此时按键次数是[2﹣（﹣6）]÷2＝4次， 则n＝﹣10； 当点M在原点的左侧，且与原点O的距离为2个单位长度时，m＝﹣2， 此时按键次数是[﹣2﹣（﹣6）]÷2＝2次， 则n＝﹣6﹣1×2＝﹣8； 综上所述，n的值为﹣10或﹣8． 6．阅读以下材料，并回答问题． 如图，把一根长度为a cm的木棒MN放置在一条数轴上，它的两端M，N分别落在点A，B处．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B处时，点N对应的数为20；当点N移动到点A处时，点M对应的数为5．（注：本题中，数轴上1个单位长度代表1cm．） （1）由此可得，a的值为 　5　 ； （2）借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）5； （2）答：爷爷和小明现在的年龄分别为64岁，12岁． 【解答】解：（1）由题意得，3a＝20﹣5＝15， ∴a＝5， 故答案为：5； （2）示意图如图1，令木棍MN的长代表小明与爷爷的年龄差，A表示小明年龄，B表示爷爷年龄， MN的两端分别落在A和B，当N移动到A，M对应的数为﹣40，点M移动到B处，N对应的数为116， ∴3MN＝116﹣（﹣40）＝156， ∴MN＝52， ∴点A表示的数为52+（﹣40）＝12， 点B表示的数为116﹣52＝64， 答：爷爷和小明现在的年龄分别为64岁，12岁． 7．阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置： （2）点C到点A的距离CA＝　6　 cm；若数轴上有一点D，且AD＝5，则点D表示的数为 　﹣7或3　 ； （3）若将点A向右移动x cm，则移动后的点表示的数为 　﹣2+x，　 ；（用代数式表示） （4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：AC﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】（1）见解答；（2）6，﹣7或3；（3）﹣2+x；（4）不会随着t的变化而变化． 【解答】解：（1）A表示﹣2，B表示﹣5，C表示4． （2）CA＝4﹣（﹣2）＝6（cm）；点D表示的数为﹣7或3； 故答案为：6，﹣7或3； （3）将点A向右移动x cm，则移动后的点表示的数为﹣2+x； 故答案为：﹣2+x； （4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：平移后，CA＝（4+4t）﹣（﹣2+t）＝（6+3t）cm， AB＝（﹣2+t）﹣（﹣5﹣2t）＝（3+3t）cm， ∴CA﹣AB＝（6+3t）﹣（3+3t）＝3（cm）， ∴CA﹣AB的值恒为3，不会随着t的变化而变化． 类型二：利用有理数的减法以及绝对值的意义解决数轴上两点之间的距离问题 方法说明：数轴上两点之间的距离等于这两点表示的数的差的绝对值。 1．在数轴上表示﹣1的点与表示﹣3的点之间的距离是（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：数轴上表示﹣1的点与表示﹣3的点之间的距离为：|﹣1﹣（﹣3）|＝|﹣1+3|＝2， 故选：C． 2．如图，在数轴上，点B在点A的右侧．已知点A对应的数为﹣1，点B对应的数为m．若在AB之间有一点C，点C到原点的距离为2，且AC﹣BC＝2，则m的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：由题意得，点C对应的数为2， ∵点A对应的数为﹣1，点B对应的数为m，AC﹣BC＝2， ∴3﹣（m﹣2）＝2， ∴m＝3， 故选：B． 3．数轴上点P表示的数为﹣3，与点P距离为4个单位长度的点表示的数为（　　） A．1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．1或7 【答案】C 【解答】解：∵﹣3+4＝1，﹣3﹣4＝﹣7， ∴与点P距离为4个单位长度的点表示的数为1或﹣7， 故选：C． 4．数轴上点A表示2，则与点A的距离为3个单位长度的点表示的数是（　　） A．5 B．5或﹣3 C．+3或﹣3 D．5或﹣1 【答案】D 【解答】解：若该点在点A的左边，则2﹣3＝﹣1， 若该点在点A的右边，则2+3＝5． 故与点A的距离等于3的点表示的数是﹣1或5． 故选：D． 5．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ，点P表示的数是 　6﹣6t　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 6．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． （1）直接写出A，B，C三点所表示的数A　﹣4　 ，B　﹣1　 ，C　2　 ； （2）动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动； ①求18秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）﹣4，﹣1，2； （2）①0.6；②m＝﹣3． 【解答】解：（1）由题意知，点A表示的数为0﹣4＝﹣4， 点C表示的数为﹣4+6＝2， 点B表示的数为， 故答案为：﹣4，﹣1，2； （2）①18秒后点P表示的数为：2﹣18×0.2＝﹣1.6， 点P与点B之间的距离为：|﹣1﹣（﹣1.6）|＝|﹣1+1.6|＝0.6； ②由题意知，运动时间为秒时，点P表示的数为2﹣0.2t， 点Q表示的数为﹣4﹣0.6t， 点M表示的数为﹣1﹣0.3t， 则QM＝|﹣1﹣0.3t﹣（﹣4﹣0.6t）|＝|3+0.3t|＝3+0.3t， MP＝|2﹣0.2t﹣（﹣1﹣0.3t）|＝|3+0.1t|＝3+0.1t， QM+mMP＝3+0.3t+m（3+0.1t）＝3m+3+（0.1m+0.3）t， 当0.1m+0.3＝0时， 解得m＝﹣3． QM+mMP＝3m+3＝﹣6，始终保持不变， 7．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t， ∴MN＝|﹣2+3t﹣8+4t|＝|﹣10+7t|； 又∵AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10且MNAB， ∴|﹣10+7t|＝5， 解得：t或t． ∴当t为或秒时，． （2）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t， ∴线段MN的中点C表示的数为， 由题意得：3， ∴t＝12． ∴当t为12秒时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合． （3）点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5．理由： ∵当点M运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8， ∴MA的中点E表示的数为，MB的中点F表示的数为， ∴EF＝||＝|﹣5|＝5． ∴点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5． 类型三：根利用有理数的加法解决数轴的折叠问题 方法说明：折叠之后重合的两个点在折叠前表示的数的和除以2等于折叠点表示的数。 1．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示﹣4的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（　　） A．﹣4 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：根据折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示﹣4的点重合，得到以﹣1对应的点对折， ∵数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴A表示的数为﹣5，B表示的数为3． 故选：B． 2．若纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示﹣4的点与表示2的点重合，则与表示5的点重合的点表示的数是（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8 【答案】C 【解答】解：∵表示﹣4的点与表示2的点重合， ∴折痕处所表示的数为：， ∴5表示的点与数﹣1﹣[5﹣（﹣1）]＝﹣7表示的点重合． 故选：C． 3．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是（　　） A．﹣2 B．﹣2.5 C．0 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：∵A，B表示的数分别是﹣9，4，AB＝1， ∴4+1＝5， ∴关于点C对折后，A与表示5的点重合， ∴[5﹣（﹣9）]÷2 ＝14÷2 ＝7， ∴5﹣7＝﹣2， ∴点C表示的数是﹣2． 故选：A． 4．在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　2　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 【答案】（1）2； （2）①点D表示的数为﹣3；②A，B两点表示的数分别为﹣3.5，5.5． 【解答】解：（1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合， ∴折痕经过原点， ∴表示﹣2的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）∵表示﹣1的点与表示3的点重合， ∴1， ∴折痕经过表示1的点， ①1﹣（5﹣1）＝﹣3， ∴点D表示的数为﹣3； ②A：13.5， B：15.5． ∴A，B两点表示的数分别为﹣3.5，5.5． 5．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3， （1）点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①若点P到点A、点B的距离相等，则x＝　1　 ； ②若点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝　6或﹣4　 ； （2）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合． ①则﹣3表示的点与数 　5　 表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2022，且M、N两点经过折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【答案】（1）1； ②6或﹣4； （2）①5； ②﹣1010和1012或1012和﹣1010． 【解答】解：（1）①∵点P到点A、点B的距离相等， ∴|x+1|＝|x﹣3|， 解得x＝1， 故答案为：1； ②∵点P到点A、点B的距离之和为10， ∴|x+1|+|x﹣3|＝10， 当P点在A点的左侧时，4+2（﹣1﹣x）＝10， 解得x＝﹣4， 当P点在B点的右侧时，4+2（x﹣3）＝10， 解得x＝6； 综上所述：x的值为6或﹣4， 故答案为：6或﹣4； （2）①∵将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合， ∴折叠的点表示的数为1， 设﹣3表示的点与数x重合， ∴1﹣（﹣3）＝x﹣1， 解得x＝5， 故答案为：5； ②设点M表示的数是a，则N点表示的数是a+2022 ∵M、N两点经过折叠后互相重合， ∴1， 解得a＝﹣1010， ∴﹣1010+2022＝1012， ∴M，N两点表示的数分别是﹣1010和1012或1012和﹣1010； 6．数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分，并利用折叠进行下列的操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣5表示的点与 　5　 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使5表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①若折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是 　1　 ； ②﹣1表示的点与 　3　 表示的点重合； ③若数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b（A在B的左侧），折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为12，求a，b的值，并画数轴表示A点和B点的位置． 【答案】（1）5；（2）①1；②3；③a＝﹣5，b＝7，画数轴见解析． 【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合， ∴数轴上数1表示的点与﹣1表示的点关于原点对称， ∴数轴上数﹣5表示的点与数5表示的点重合； 故答案为：5； （2）①∵5表示的点与﹣3表示的点重合， ∴数轴上数5表示的点与数﹣3表示的点关于数1表示的点对称， ∴C点表示的数是1． 故答案为：1； ②∵折痕C点表示的数是1， ∴﹣1表示的点与3表示的点重合；， 故答案为：3； ③∵折痕C点表示的数是1，AB＝12， ∴点A、B到1的距离均为6， 又∵A在B的左侧， ∴A点表示的数是a＝1﹣6＝﹣5，B表示的数是b＝1+6＝7． 画数轴表示如下： 7．综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以完美地将数与形结合，而平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 （1）平移运动 一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动2.5个单位长度到达点B，然后再向右移动4.5个单位长度到达点C．请画出一条数轴，并表示出A，B，C三点的位置． （2）翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示 　﹣5　 的点重合． ②若数轴上D，E两点之间的距离为22（点D在点E的左侧，且折痕与①折痕相同），当D，E两点经折叠后重合，则点D表示的数为 　﹣10　 ，点E表示的数为 　12　 ． ③如图，一条数轴上有M，N，P三点，其中点M，N表示的数分别是﹣21，8，现以P为折点，将数轴向右对折．若对折后点M对应的点为M′，且点M′与点N之间的距离为3，求点P表示的数． 【答案】（1）见解析；（2）①﹣5；②﹣10；12；③﹣8或﹣5． 【解答】解：（1）根据题意，可得点A为0+（﹣2）＝﹣2． 点B为（﹣2）+2.5＝0.5， 点C为0.5+4.5＝5． A，B，C三点在数轴上表示如下． （2）①表示﹣1的点与表示3的点重合， ∴翻折的点为， 设表示n的点与表示7的点重合， ∴点7对应的点为， 解得：n＝﹣5， 故7与表示﹣5的点重合， 故答案为：﹣5． ②数轴上D、E两点之间的距离为22，设D、E在数轴上所对应的数为a，b， ∵点D在点E的左侧，且折痕与①折痕相同， ∴b﹣a＝22，， ∴a＝﹣10，b＝12， 故D表示的点为﹣10，E表示的点为12， 故答案为：12； ③分两种情况： I当点M′落在点N的左边时，因为点M′与点N之间的距离为3， 所以点M′在数轴上表示的数为8﹣3＝5， 所以点P表示的数为； II当点M′落在点N的右边时，因为点M′与点N之间的距离为3． 所以点M′在数轴上表示的数为8+3＝11， 所以点P表示的数为． 综上所述，点P表示的数为﹣8或﹣5． 类型四：利用数轴以及有理数的混合运算判断式子的符号 方法说明：根据数轴上的点判断字母的符号，在根据四则运算法则判断式子的符号 1．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C． D．ab＜0 【答案】C 【解答】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a﹣b＜0，，ab＜0， ∴A、B、D的计算正确，故不符合题意， 选项C计算错误，故符合题意， 故选：C． 2．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个结论正确的是（　　） A． B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．a+b＝0 【答案】A 【解答】解：由a、b在数轴上的位置可得，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， ∴0，ab＜0，a﹣b＜0，a+b＜0， 故选：A． 3．若数a，b在数轴上的位置如图所示，则（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．（a﹣b）（a+b）＞0 D．0 【答案】C 【解答】解：由数轴可知：a＜﹣1＜﹣b＜0＜b＜1＜﹣a， A、a+b＜0，故A不符合题意． B、a﹣b＜0，故B不符合题意． C、（a﹣b）（a+b）＞0，故C符合题意． D、0，故D不符合题意． 故选：C． 4．已知a、b、c在数轴上的位置如图，下列说法：①abc＜0；②c+a＞0；③c﹣b＜0；④0．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：根据数轴上点的位置得：c＜b＜0＜a，且|b|＜|a|＜|c|， ∴abc＞0，c+a＜0，c﹣b＜0，0， 则正确的有2个． 故选：B． 5．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④，⑤|b+a|＝|b|﹣|a|．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：根据数轴可知，a＜0＜b，|a|＜|b|， ∴b﹣a＞0，a+b＞0，， ∴|b+a|＝b+a，|b|﹣|a|＝b﹣（﹣a）＝b+a， ∴|b+a|＝|b|﹣|a|， ∴①正确，符合题意； ②正确，符合题意； ③正确，符合题意； ④错误，不符合题意； ⑤正确，符合题意． 故选：B． 6．a，b两数在数轴上的位置如图，则a+b＞0，|b|＝b，|a|＞|b|，b﹣a＞0，ab＜0，，b＞﹣a中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：∵b＜a＜0， ∴a+b＜0，|b|＝﹣b，|a|＜|b|，b﹣a＜0，ab＞0，0，b＜﹣a． 故选：A． 7．有理数a，b，c数轴上对应位置如图，那么代数式的值是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2 【答案】C 【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，1＜c＜2， ∴b+1＞0，c﹣2＜0，a+b﹣c＜0， ∴原式 ＝﹣1+1﹣（﹣1）﹣1 ＝﹣1+1+1﹣1 ＝0， 故选：C． 类型五：利用数轴以及有理数的加减法判断式子的符号并对绝对值进行化简 方法说明：根据数轴上的点判断字母的符号，在根据加减运算法则判断式子的符号从而对绝对值进行化简 1． 在数轴上表示a、b、c三个数的点的位置如图所示，化简式子：|a﹣b|+|a﹣c|+|c﹣b|． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵b＞a＞0，c＜0，∴a﹣b是个负数，a﹣c是正数，c﹣b是负数， ∴|a﹣b|+|a﹣c|+|c﹣b|＝﹣（a﹣b）+（a﹣c）﹣（c﹣b）＝﹣a+b+a﹣c﹣c+b＝2b﹣2c． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： （1）根据数轴判断：a+b 　＜　 0，b﹣c 　＜　 0（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）化简|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|． 【答案】（1）＜，＜； （2）0． 【解答】解：（1）由题意a+b＜0，b﹣c＜0； 故答案为：＜，＜； （2）∵a+b＜0，b﹣c＜0，a+c＞0， ∴|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|＝﹣a﹣b+a+c+b﹣c ＝0． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　＜　 0，a+b 　＜　 0，c﹣a 　＞　 0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|， 所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0； 故答案为：＜，＜，＞； （2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a| ＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a） ＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a ＝﹣2b． 4．若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图： （1）判断下列各式的符号：a+b 　＜　 0；c﹣b 　＜　 0；c﹣a 　＞　 0 （2）化简|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a| 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）a+b＜0，c﹣b＜0，c﹣a＞0． 故答案为：＜，＜，＞； （2）|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a| ＝﹣（a+b）+（c﹣b）﹣（c﹣a） ＝﹣a﹣b+c﹣b﹣c+a ＝﹣2b． 5．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|c|． （1）填空：a+c 　＝　 0；a+b 　＜　 0；c﹣b 　＞　 0． （2）化简：|a+c|+|a+b|+|c﹣b|． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a、c两点在原点的异侧，|a|＝|c|， ∴a、c互为相反数， ∴a+c＝0； ∵a＜b＜0， ∴a+b＜0； ∵c＞0，b＜0， ∴c﹣b＞0． 故答案为：＝，＜，＞； （2）∵a+c＝0，a+b＜0，c﹣b＞0， ∴原式＝0﹣a﹣b+c﹣b＝﹣a﹣2b+c． 6．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空：a+b 　＞　 0，b﹣c 　＞　 0，c﹣a 　＜　 0； （2）化简：|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|． 【答案】（1）＞，＞，＜；（2）2a． 【解答】解：（1）∵c＜b＜0＜a，|b|＜|c|＜|a|， ∴a+b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0； 故答案为：＞，＞，＜； （2）∵a+b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0；， ∴|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a| ＝a+b﹣b+c+a﹣c ＝2a． 7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）比较有理数a，b，c，0的大小：　c＜b＜0＜a　 ； （2）判断符号：a+b　＞　 0；a﹣b　＞　 0；c+a　＜　 0；（填“＞”或“＜”）； （3）化简：|a+b|+|a﹣b|+|c+a|﹣|a|． 【答案】（1）c＜b＜0＜a； （2）＞，＞，＜； （3）﹣c． 【解答】解：（1）c＜b＜0＜a； 故答案为：c＜b＜0＜a； （2）∵c＜b＜0＜a，|b|＜|a|＜|c|， ∴a+b＞0，a﹣b＞0，c+a＜0； 故答案为：＞，＞，＜； （3）∵a+b＞0，a﹣b＞0，c+a＜0，a＞0， ∴|a+b|+|a﹣b|+|c+a|﹣|a| ＝a+b+a﹣b﹣a﹣c﹣a ＝﹣c． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 有理数的运算与数轴、绝对值之间的联合应用 类型一：利用有理数的加减法解决数轴上的点的移动问题 类型二：利用有理数的减法以及绝对值的意义解决数轴上两点之间的距离问题 类型三：根利用有理数的加法解决数轴的折叠问题 类型四：利用数轴以及有理数的混合运算判断式子的符号 类型五：利用数轴以及有理数的加减法判断式子的符号并对绝对值进行化简 类型一：利用有理数的加减法解决数轴上的点的移动问题 向右移动多少个单位就在原数上加多少得到移动后的数，向左移动多少个单位就在原数上减多少得到移动后的数。 1．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点A′，则点A′表示的数为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．4 2．在数轴上点A表示﹣3，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数等于（　　） A．﹣7或1 B．﹣1或7 C．2或﹣8 D．1或﹣5 3．如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（　　） A．7 B．3 C．﹣2 D．2 4．在数轴上，一个点从﹣4开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 5．小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，数轴上的点A表示﹣6，小明设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M沿数轴向右移动2个单位长度，同时点N沿数轴向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图所示，在数轴上点M，N表示的有理数分别是m，n． （1）第　 　 次按键后，点M正好到达原点； （2）第6次按键后，求m比n大多少？ （3）在按键过程中，当点M与原点O的距离为2个单位长度时，求n的值． 6．阅读以下材料，并回答问题． 如图，把一根长度为a cm的木棒MN放置在一条数轴上，它的两端M，N分别落在点A，B处．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B处时，点N对应的数为20；当点N移动到点A处时，点M对应的数为5．（注：本题中，数轴上1个单位长度代表1cm．） （1）由此可得，a的值为 　 　 ； （2）借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 7．阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置： （2）点C到点A的距离CA＝　 　 cm；若数轴上有一点D，且AD＝5，则点D表示的数为 　 　 ； （3）若将点A向右移动x cm，则移动后的点表示的数为 　 　 ；（用代数式表示） （4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：AC﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 类型二：利用有理数的减法以及绝对值的意义解决数轴上两点之间的距离问题 数轴上两点之间的距离等于这两点表示的数的差的绝对值。 1．在数轴上表示﹣1的点与表示﹣3的点之间的距离是（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 2．如图，在数轴上，点B在点A的右侧．已知点A对应的数为﹣1，点B对应的数为m．若在AB之间有一点C，点C到原点的距离为2，且AC﹣BC＝2，则m的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．数轴上点P表示的数为﹣3，与点P距离为4个单位长度的点表示的数为（　　） A．1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．1或7 4．数轴上点A表示2，则与点A的距离为3个单位长度的点表示的数是（　　） A．5 B．5或﹣3 C．+3或﹣3 D．5或﹣1 5．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 6．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． （1）直接写出A，B，C三点所表示的数A　 　 ，B　 　 ，C　 　 ； （2）动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动； ①求18秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 7．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 类型三：根利用有理数的加法解决数轴的折叠问题 折叠之后重合的两个点在折叠前表示的数的和除以2等于折叠点表示的数。 1．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示﹣4的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（　　） A．﹣4 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2 2．若纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示﹣4的点与表示2的点重合，则与表示5的点重合的点表示的数是（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8 3．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是（　　） A．﹣2 B．﹣2.5 C．0 D．﹣1 4．在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　 　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 5．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3， （1）点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①若点P到点A、点B的距离相等，则x＝　 　 ； ②若点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝　 　 ； （2）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合． ①则﹣3表示的点与数 　 　 表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2022，且M、N两点经过折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 6．数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分，并利用折叠进行下列的操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣5表示的点与 　 　 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使5表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①若折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是 　 　 ； ②﹣1表示的点与 　 　 表示的点重合； ③若数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b（A在B的左侧），折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为12，求a，b的值，并画数轴表示A点和B点的位置． 7．综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以完美地将数与形结合，而平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 （1）平移运动 一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动2.5个单位长度到达点B，然后再向右移动4.5个单位长度到达点C．请画出一条数轴，并表示出A，B，C三点的位置． （2）翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示 　 　 的点重合． ②若数轴上D，E两点之间的距离为22（点D在点E的左侧，且折痕与①折痕相同），当D，E两点经折叠后重合，则点D表示的数为 　 　 ，点E表示的数为 　 　 ． ③如图，一条数轴上有M，N，P三点，其中点M，N表示的数分别是﹣21，8，现以P为折点，将数轴向右对折．若对折后点M对应的点为M′，且点M′与点N之间的距离为3，求点P表示的数． 类型四：利用数轴以及有理数的混合运算判断式子的符号 根据数轴上的点判断字母的符号，在根据四则运算法则判断式子的符号 1．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C． D．ab＜0 2．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个结论正确的是（　　） A． B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．a+b＝0 3．若数a，b在数轴上的位置如图所示，则（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．（a﹣b）（a+b）＞0 D．0 4．已知a、b、c在数轴上的位置如图，下列说法：①abc＜0；②c+a＞0；③c﹣b＜0；④0．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④，⑤|b+a|＝|b|﹣|a|．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．a，b两数在数轴上的位置如图，则a+b＞0，|b|＝b，|a|＞|b|，b﹣a＞0，ab＜0，，b＞﹣a中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．有理数a，b，c数轴上对应位置如图，那么代数式的值是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2 类型五：利用数轴以及有理数的加减法判断式子的符号并对绝对值进行化简 根据数轴上的点判断字母的符号，在根据加减运算法则判断式子的符号从而对绝对值进行化简 1． 在数轴上表示a、b、c三个数的点的位置如图所示，化简式子：|a﹣b|+|a﹣c|+|c﹣b|． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： （1）根据数轴判断：a+b 　 　 0，b﹣c 　 　 0（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）化简|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　 0，a+b 　 　 0，c﹣a 　 　 0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 4．若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图： （1）判断下列各式的符号：a+b 　 　 0；c﹣b 　 　 0；c﹣a 　 　 0 （2）化简|a+b|﹣|c﹣b|﹣|c﹣a| 5．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|c|． （1）填空：a+c 　 　 0；a+b 　 　 0；c﹣b 　 　 0． （2）化简：|a+c|+|a+b|+|c﹣b|． 6．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空：a+b 　 　 0，b﹣c 　 　 0，c﹣a 　 　 0； （2）化简：|a+b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|． 7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）比较有理数a，b，c，0的大小：　 ； （2）判断符号：a+b　 　 0；a﹣b　 　 0；c+a　 　 0；（填“＞”或“＜”）； （3）化简：|a+b|+|a﹣b|+|c+a|﹣|a|． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$