第二单元位置与方向（二）【从课本到奥数】-2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）人教版

第 1 页 共 24 页 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 第 2 页 共 24 页 2025-2026 学年六年级数学上册书山培优系列「2025 秋」 第二单元位置与方向（二）【从课本到奥数】 一、填空题。 1．少年宫在图书馆西偏北 30°200米处，则图书馆在少年宫( )偏 ( )( )°200米处。 【答案】 东 南 30 【分析】根据方向的相对性，西偏北对东偏南，角度和距离不变，进行填空。 【详解】少年宫在图书馆西偏北 30°200米处，则图书馆在少年宫东偏南 30°或南偏东 60°200 米处。 2．如图。小猴在小松鼠的( )偏( )( )°的方向上；小松鼠在小猴的 ( )偏( )( )°的方向上。 【答案】 东 北 35 西 南 35 【分析】根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以小松鼠为观测点，确定出小猴的位 置；再根据方向的相对性，它们的方向相反，角度相等，距离相等；以小猴为观测点，确定出 小松鼠的位置，据此解答。 【详解】90°－35°＝55° 90°－35°＝55° 小猴在小松鼠的东偏北 35°（或北偏东 55°）的方向上；小松鼠在小猴的西偏南 35°（南偏西 55°）方向上。 3．小丽和小明的位置如图所示，小明在小丽的( )偏( )( )°方向上，小 丽在小明的( )偏( )( )°方向上。 第 3 页 共 24 页 【答案】 东 南 30 西 北 30 【分析】小丽看小明，说明小丽是观测点，根据“上北下南，左西右东”，即角度信息和距离， 可确定小明的位置。小明看小丽，小明就是观测点，根据位置的相对性，方向相反，角度相同， 距离相等，即可确定小丽的位置。据此解答。 【详解】根据分析，可得： 小丽和小明的位置如图所示，小明在小丽的东偏南 30°方向上，小丽在小明的西偏北 30°方向 上。 4．骑车从公园到滨海小区的路线图是：向( )偏( )、( )°方向上骑行 ( )米到学校，再向( )方向骑行( )米到邮局，再向( )偏 ( )、( )°方向上骑行( )米到书店，最后往( )方向上骑行 ( )米到滨海小区。 【答案】 东 北 30 1000 正东 1500 西 北 40 2000 正北 500 【分析】由图可知，图上 1厘米表示实际 500米，先分别算出公园到学校、学校到邮局、邮局 到书店的路程，再根据地图上上北下南、左西右东，以及图中给出的数据，描述骑车从公园到 滨海小区的路线图，据此解答。 【详解】500×2＝1000（米） 500×3＝1500（米） 500×4＝2000（米） 第 4 页 共 24 页 骑车从公园到滨海小区的路线图是：向东偏北 30°（或北偏东 60°）方向上骑行 1000米到学校， 再向正东方向骑行 1500米到邮局，再向西偏北 40°（或北偏西 50°）方向上骑行 2000米到书 店，最后往正北方向上骑行 500米到滨海小区。 二、选择题。 5．如图，图书馆在动物园的( )。 A．西偏北 40°方向 2km处 B．东偏北 40°方向 2km处 C．北偏西 40°方向 2km处 D．南偏西 40°方向 2km处 【答案】C 【分析】根据“上北下南，左西右东”及角度信息和距离解答即可。 【详解】由分析可知： 图书馆在动物园的北偏西 40°（西偏北 50°）方向 2km处。 故答案为：C 6．观察下图的位置关系，其中说法错误的是( )。 A．学校在公园北偏西 40°方向 400米处 B．公园在少年宫西偏南 70°方向 300米处 C．公园在学校东偏南 40°方向 400米处 D．少年宫在公园北偏东 20°方向 300米处 【答案】C 【分析】由题意可知，每格表示 100米，再根据“上北下南，左西右东”及角度信息；再结合位 置的相对性，方向相反，角度相同，距离相等，据此逐一分析各项即可。 【详解】A．100×4＝400（米） 则学校在公园西偏北 50°（北偏西 40°）方向 400米处，原说法正确； 第 5 页 共 24 页 B．100×3＝300（米） 则少年宫在公园的东偏北 70°方向 300米处，所以公园在少年宫西偏南 70°方向 300米处，原 说法正确； C．100×4＝400（米） 学校在公园西偏北 50°方向 400米处，所以公园在学校东偏南 50°方向 400米处，原说法错误； D．100×3＝300（米） 少年宫在公园的东偏北 70°方向 300米处，也可以说少年宫在公园北偏东 20°方向 300米处， 原说法正确。 故答案为：C 7．如图，下面描述错误的是( )。 A．从学校到书店沿着西偏北 45°方向走 300m B．邮局在书店的正西方向 550m处 C．邮局在小芳家的北偏东 35°方向距离是 500m处 D．小芳上学一共要走 1350米 【答案】C 【分析】用方向和距离结合来描述路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是 方向，三是距离。 【详解】A．从学校到书店沿着西偏北 45°方向走 300m，说法正确； B．邮局在书店的正西方向 550m处，说法正确； C．邮局在小芳家的东偏北 35°方向距离是 500m处，选项说法错误； D．500＋550＋300＝1350（米），小芳上学一共要走 1350米，说法正确。 描述错误的是邮局在小芳家的北偏东 35°方向距离是 500m处。 故答案为：C 8．如图，学校的位置用数对表示为( )，学校在超市的( )方向。 第 6 页 共 24 页 A．（2，3）；南偏东 45° B．（3，2）；南偏西 45° C．南偏东 45°；（2，3） D．南偏西 45°；（3，2） 【答案】B 【分析】根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此用数对表 示出学校的位置；以超市为观测点，根据“上北下南，左西右东”及角度信息，正方形的对角线 把正方形的一个角平均分成两份，每份为 45°，据此解答即可。 【详解】学校的位置用数对表示为（3，2），学校在超市的南偏西 45°（西偏南 45°）方向。 故答案为：B 三、作图题。 9．快递公司紧跟科技发展的步伐，引进一批智能机器人进行快递业务派送，如下为机器人萌 宝的派送路线，请画出路线图。 萌宝从菜鸟驿站出发向东走 600米到达 1号快递柜，再向西偏南 30°方向走 1000米到达 2号 快递柜，然后向南偏东 40°方向走 800米到达 3号快递柜，最后向东偏北 20°方向走 1200米到 达 4号快递柜。 【答案】见详解 【分析】按照“上北下南、左西右东”的方向，确定比例尺，可以用图中 1厘米线段代表实际距 离 200米，进行作图。 分别以菜鸟驿站、1号快递柜、2号快递柜、3号快递柜为观测点，根据方向、角度和图上距 离画出路线图，最后到达终点。 【详解】菜鸟驿站到 1号快递柜图上线段长度：600÷200＝3（厘米） 从 1号快递柜到 2号快递柜图上线段长度：1000÷200＝5（厘米） 从 2号快递柜到 3号快递柜图上线段长度：800÷200＝4（厘米） 从 3号快递柜到 4号快递柜图上线段长度：1200÷200＝6（厘米） 由分析可作图： 第 7 页 共 24 页 四、解答题。 10．下面是一幅未完成的公园示意图，请你按要求完成这幅图。（每个小方格的对角线表示 100米） （1）猴山的位置用（2，1）表示，那么塔林在( )的位置上，牡丹亭在（3，6）的位 置上，请你在图中用“△”标出牡丹亭的位置。 （2）见山楼在塔林的北偏东 45°方向，距离塔林 100米的地方，请你用“○”标出来。 （3）明明想从塔林经过猴山到天鹅湖，该怎样走？ 【答案】（1）（0，3）；见详解；（2）见详解；（3）明明从塔林出发，先向南偏东 45°（东 偏南 45°）方向走 200米到达猴山，再向北偏东 45°（东偏北 45°）方向走 400米到达天鹅湖。 【分析】（1）用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；据此表示塔 第 8 页 共 24 页 林的位置并标出牡丹亭的位置； （2）根据图上确定方向的方法：上北下南、左西右东，以塔林为观测点，确定见山楼的方向， 每个小方格的对角线表示 100米，据此标出见山楼的位置； （3）根据图上确定方向的方法：上北下南、左西右东，以塔林为观测点，确定猴山的方向， 再以猴山为观测点，确定天鹅湖的方向，再根据每个小方格的对角线表示 100米，确定塔林到 猴山的距离，以及猴山到天鹅湖的距离。据此解答。 【详解】（1）塔林在（0，3）的位置上；牡丹亭的位置如图； （2）100÷100＝1（格） 见山楼的位置如图： （3）2×100＝200（米） 4×100＝400（米） 明明从塔林出发，先向南偏东 45°（东偏南 45°）方向走 200米到达猴山，再向北偏东 45°（东 偏北 45°）方向走 400米到达天鹅湖。 【点睛】本题主要考查了用数对表示位置的方法，以及依据方向（角度）和距离确定物体位置 的方法。 11．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 第 9 页 共 24 页 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南 45°，距离淘气家 300米。试着在图中画出超 市的位置。 【答案】（1）北；西 30；200； （2）见详解； （3）北；东 60；400； （4）见详解 【分析】（1）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，奇思家距离书店有 200米，以 书店为观测点，根据方向、角度、距离确定奇思家的位置即可。 （2）同样根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，奇思从家出发，经过书店，到达学校， 每到一个地方，观测点随之发生变化，根据方向、角度、距离确定书店和学校的位置，再描述 出上学的路线即可。 （3）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，经过测量，妙想家离书店在图上有 2厘 米，由此计算出妙想家和书店的实际距离，再以书店为观测点，根据方向、角度、距离确定妙 想家的位置即可。 （4）观察平面图，图上的 1厘米表示实际距离 100米，超市距离淘气家 300米，用 300米除 以 100米，求出这两地在图上的距离是 3厘米，按地图上的方向“上北下南，左西右东”，再以 淘气家为观测点，根据方向、角度、距离确定超市的位置，并在图中画出超市的位置。 【详解】（1）奇思家的位置是在北偏西 30°，距离书店 200米。 （2）答：奇思从家向南偏东 30°的方向走 200米到书店，再从书店向正东方向走 280米到学 校。 （3）2×200＝400（米） 第 10 页 共 24 页 妙想家的位置是北偏东 60°，距离书店 400米。 （4）300÷100＝3（厘米） 如图： 【点睛】本题主要考查根据方向、角度和距离确定位置以及描述线路图，确定观测点是关键。 【奥数培优 1】在图形中确定物体的位置 图中三角形 ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点 B在点 C的( )方向上， 点 A在点 C的东偏北( )°方向上。 【答案】 正西 80 【分析】以点 C为观测点，根据“上北下南，左西右东”描述方向，则点 B在点 C的正西方向， 等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和求出∠3的度数，∠3与∠4的和等于一个 平角的度数，∠4＝180°－∠3，求出∠4的度数，即可求得。 【详解】三角形 ABC中，∠1＝∠2＝40°，且三角形的内角和为 180°。 180°－40°－40° 第 11 页 共 24 页 ＝140°－40° ＝100° 180°－100°＝80° 所以，点 B在点 C的正西方向上，点 A在点 C的东偏北 80°方向上。 【点睛】掌握等腰三角形的特征，并根据三角形的内角和与一个平角的度数求出∠4的度数是 解答题目的关键。 【对应练习】 已知下图中每个方格的边长是 1厘米，三角形 ABC是一个等边三角形，那么，点 C在点 A的 ( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。 【答案】 北 东 30 4 【分析】观察题意可知，AB长 4厘米，根据等边三角形的特征，可知 AC长也是 4厘米，∠BAC 是 60°；根据平面图上方向的规定：上北下南，左西右东，以 A点为观测点即可确定 C点的方 向；据此解答。 【详解】点 C在点 A的东偏北 60°或北偏东 30°方向 4厘米处。 【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法，明确等边三角形的特征 是解答本题的关键。 【奥数培优 2】数对与位置综合应用 看图填空。 第 12 页 共 24 页 （1）如果 A点的位置用数对（1，2）表示，那么 B点的位置可用数对( )表示。 （2）如果一个小正方形的对角线长 10米，点 C在点 B的南偏东 45度方向 20米处，请在图 上标出 C点；点 D在 A点的东偏南 45度方向 20米处，请在图上标出 D点。 （3）连接 ABCD四点，再画出将四边形 ABCD向右平移 3格后的图形。 【答案】（1）（3，6） （2）（3）见详解 【分析】（1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此分析； （2）弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意各场 所离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。 （3）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和 平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的 对应点的位置；连点－连接对应点。 【详解】（1）如果 A点的位置用数对（1，2）表示，那么 B点的位置可用数对（3，6）表示。 （2） 第 13 页 共 24 页 （3） 【点睛】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往 右数，确定第几行时从前往后数。确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要 知道平移的方向、平移的距离。 【对应练习】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了 10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一 个方格的对角线长代表 10m，所研究的点都是网格的交点。 （1）点（0，0）北偏东 45°方向 30m是点 A，它的位置用数对表示是( )。 （2）点 A北偏西 45方向 20m是点 B，点 B北偏东 45°方向 20m是点 C，点 C南偏东 45°方 向 20m是点 D。用 A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？ （3）请你设计不同于点 D的另一个点 E使得以 A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积 与第（2）题用 A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点 E可以有不同的设 计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点 E：( )、( )、( )、 ( )。 【答案】图见详解； （1）（3，3） 第 14 页 共 24 页 （2）1600m² （3）11；（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8） 【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数、 平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”、方格的对角线长代表 10m，即可描出点 A，并用 数对表示它的位置。 （2）同理，分别以点 A的位置为观测点即可描出点 B的位置、以点 B的位置为观测点即可描 出点 C的位置、以点 C的位置为观测点即可描出点 D的位置，然后再把 A、B、C、D连结成 一个封闭图形。连结成的封闭图形是一个正方形，其边长是（20×2）米，根据正方形的面积计 算公式“S＝a2”即可求出它的面积。 （3）正方形 ABCD看作是由三角形 ABC与三角形 ADC的面积之和，且三角形 ABC与三角 形 ADC的面积相等。三角形 ACD看作底为 4格，高为 2格三角形，当底不变，高是 2格时， 其面积也不会变，因此，第 5列上的任一点为 E，与 AC组成的三角形面积都与三角形 ADC 的面积相等。这样四边形 ABCE的面积就与正方形 ABCD的面积相等。这样的点在本图上共 有 8个：（5，0）、（5，2）、（5，3）、5，4）、（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5， 10）。可以写出其中四个（答案不唯一）。 【详解】（1）点（0，0）北偏东 45°方向 30m是点 A，它的位置用数对表示是（3，3） （2）点 A北偏西 45方向 20m是点 B，点 B北偏东 45°方向 20m是点 C，点 C南偏东 45°方 向 20m是点 D。用 A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是： （20×2）² ＝40² ＝1600（m²） （3）设计不同于点 D的另一个点 E使得以 A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第 （2）题用 A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点 E可以有不同的 设计，这样的点共有 8个，写出其中的四个点 E：（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8） （答案不唯一）。 第 15 页 共 24 页 【点睛】此题考查的知识有：数对与位置、根据方向和距离确定物体的位置、正方形面积的计 算、三角形面积的计算等。 【奥数培优 3】描述并绘制路线图 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 （1）根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 （2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 【答案】（1）见详解。 （2）960米；40米 【分析】（1）先以家参照点建立方向标，向东偏北 60°（或北偏东 30°）方向走 200米到超市； 再以超市为参照点建立方向标，向东走 400米到医院；最后以医院为参照点建立方向标，向东 偏南 30°（或南偏东 60°）方向走 360米到学校。 （2）把家到超市、超市到医院、医院到学校这三段路程加起来，即 200＋400＋360，可求出 第 16 页 共 24 页 芳芳每天从家出发到学校走的米数；再用 5＋10＋9求出芳芳从家出发到学校走的分钟数（24 分钟）；最后根据路程÷时间＝速度，用芳芳每天从家出发到学校走的米数÷从家出发到学校 走的分钟数，可求出平均每分钟走的米数。 【详解】（1）如下图： 路线 方向 路程 时间 家→超市 东偏北 60°（或北偏东 30°） 200米 5分钟 超市→医院 东 400米 10分钟 医院→学校 东偏南 30°（或南偏东 60°） 360米 9分钟 （2）200＋400＋360＝960（米） 960÷（5＋10＋9） ＝960÷24 ＝40（米） 答：芳芳每天从家出发到学校走 960米，平均每分钟走 40米。 【对应练习】 小华从家出发，先向东走 200米到达 A地，再向东偏北 45°方向行 500米到达 B地，最后向西 偏北 30°方向行 300米到达终点 C地。 （1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 （2）如果从终点 C原路返回家里用了 12分 30秒，那么他返回时每分钟行多少米？ 【答案】（1）见详解 （2）80米 【分析】（1）以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上 1厘米相当于实际距离 100 米。 第 17 页 共 24 页 小华从家出发，在家的正东方向画（200÷100）厘米长的线段，即是 A地； 在 A地的东偏北 45°方向上画（500÷100）厘米长的线段，即是 B地； 在 B地的西偏北 30°方向上画（300÷100）厘米长的线段，即是 C地。 （2）已知从终点 C原路返回家里用了 12分 30秒，根据“1分＝60秒”可知，用时 12.5分； 用加法求出从 C地返回家的总路程，再根据“速度＝路程÷时间”，即可求出他返回时的速度。 【详解】（1）200÷100＝2（厘米） 500÷100＝5（厘米） 300÷100＝3（厘米） 如图： （2）12分 30秒＝12.5分 （300＋500＋200）÷12.5 ＝1000÷12.5 ＝80（米） 答：他返回时每分钟行 80米。 【奥数培优 4】数列与位置 已知数列 1 3， 1 15 ， 1 63…，则第 10个数是( )。 【答案】 1 399 【分析】通过观察可知， 1 3＝ 1 1 3 ， 1 15 ＝ 1 3 5 ， 1 63＝ 1 5 7 …，以此类推，第 n个数是     1 2 1 2 1－ ＋n n ， 据此解答。 【详解】根据分析可知，第 10个数是 第 18 页 共 24 页     1 2 10 1 2 10 1× － × ＋ ＝     1 20 1 20 1－ ＋ ＝ 1 19 21 ＝ 1 399 【对应练习】 1．找规律 4 3 、1、10 11 、 13 15、 16 19 、…，这串数中第 7个数是( )。 【答案】 19 23 【分析】根据 10 11 、 13 15、 16 19 可得相邻两个分数的分子之差为 3，分母之差为 4，又因为 4 3 和 10 11 的 分子之差为 6，分母之差为 8，即两数之间应该是 77 ， 7 7 ＝1。所以这串数中第 7个数应该是 16 19 的分子加上 3，分母加上 4之后所得的数。 【详解】16＋3＝19 19＋4＝23 所以这串数中第 7个数是 1923。 2．一列分数： 1 2、 1 3、 2 3 、 1 4、 2 4 、 3 4 、 1 5…，按规律， 7 8 是这列分数中的第( )个。 【答案】28 【分析】观察数列可知，分母是 2的分数有 1个，分母是 3的分数有 2个，分母是 4的分数有 3个，发现分母是 n的分数有（n－1）个，分子从 1到 n－1依次排列，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 分母是 2的分数有 1个，分母是 3的分数有 2个，分母是 4的分数有 3个，分母是 5的分数有 4个，分母是 6的分数有 5个，分母是 7的分数有 6个，分母是 8的分数有 7个； 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 ＝（1＋2＋7）＋（4＋6）＋（3＋5） ＝10＋10＋8 ＝20＋8 第 19 页 共 24 页 ＝28 则按规律， 7 8 是这列分数中的第 28个。 【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据 9 16 25 365 12 21 32 、 、 、 ，……中得到巴尔末公式，从而打开了 光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第 5个数是( )，第 8个数是( )。 【答案】 49 45 100 96 【分析】根据题意可知，分子的规律依次是 32、42、52、62⋯ ⋯ 分母的规律是：1×5、2×6、3×7、 4×8⋯ ⋯ ；通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分子就是这个数加 2的平方，即（n ＋2）2，分母可以写成两个数相乘，后面的数比前面的数多 4，则第几个数，它的分母就是 n （n＋4），由此即可解答。 【详解】当 n＝5时， （n＋2）2 ＝（5＋2）2 ＝72 ＝49 n（n＋4） ＝5×（5＋4） ＝5×9 ＝45 即第 5个数是 4945； 当 n＝8时， （n＋2）2 ＝（8＋2）2 ＝102 ＝100 n（n＋4） ＝8×（8＋4） ＝8×12 第 20 页 共 24 页 ＝96 即第 8个数是10096 。 【点睛】本题主要考查分数的变化规律，仔细的找到分子和分母的变化规律是解答的关键。 【奥数培优 5】方格游戏 “扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有 10个雷； ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★”的方格周围有 8个方格（标数的方格）。 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×） 【答案】见详解 【分析】根据题目规则，数字 5周围的阴影部分都是雷，据此第四行的数字 2周围已经有 2 个雷，所以这个数字 2周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字 3也已经有 3个雷，所以这 个数字 3周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字 3右边的数字 1已经有 1个雷，所以这个 数字 1周围其他阴影部分都不是雷；数字 4已经有 1个阴影部分不是雷，有 3个是雷，说明还 有 1个是雷；第二行的数字 3已经有 3个雷，则这个数字 3周围其他阴影部分不是雷；第六行 第一个数字 1，周围已经有 2个不是雷，说明剩余 1个阴影部分是雷；第七行第一个数字 2， 周围有 2个雷；第七行第二个数字 2已经有 2个雷，说明剩余 1个阴影部分不是雷；第六行第 第 21 页 共 24 页 三个数字 1有 1个雷；第六行第二个数字 1已经有 1个雷，说明这个数字 1周围其他阴影部分 都不是雷；第五行第二个数字 2已经有 1个雷，2个不是雷，说明剩余 1个是雷；第四行第二 个数字 2已经有 2个雷，说明这个数字 2周围其他地方都不是雷；据此作图。 【详解】如图所示： 【点睛】本题从数字一个个分析，能确定的地方先做好标记，是雷的标○，不是雷的标×，然 后不能确定的地方根据做的标记进行分析即可。 【对应练习】 1．如图，每个小方块周围最多有 8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中 每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有 ( )个雷。 【答案】16 【解析】如图，用小红旗表示不是雷，依次进行分析，可以得到所有不是雷的方格，剩下的方 格中都是雷，总共 16个。 【详解】如图所示： 第 22 页 共 24 页 图中共有 16个雷。 【点睛】本题考查的是扫雷问题，扫雷实质上还是逻辑推理问题，在推理过程中，可以先把能 够确定的地方标出来，然后再确定其它位置。 2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑 脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”） 【答案】 【分析】首先从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸；然后根据点开的方 格中是几，就代表周围的八个方格里有几个笑脸，判断出哪些方格中有笑脸即可。 【详解】右边的第二列、以及第三列和第四列的数字都是 1，则可以判断最右边的一列的三个 不是笑脸，右边第三列的中间一定是笑脸，则第四列中间的一个不是笑脸，左边第三列的两个 也不是笑脸，由左边第三列的 2判断出左边第二列的下面两个都是笑脸，由左下角的 3可以判 断出左第一列的中间是笑脸，有左上角的 2可以判断第二列的上面的空不是笑脸。 答案如下图： 第 23 页 共 24 页 【点睛】此题主要考查了逻辑推理问题，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是从方 格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸。 3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： （1）图中共有 6个宝物； （2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量； （3）数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图 1，在图 2中画出宝物。（宝物用○表示） 图 1 图 2 【答案】见详解 【分析】根据题意，只有 6个宝物，尽量找一些重合的地方标记宝物。 ①数字 5代表 5的周围有 5个宝物，3的周围有 3个宝物，如下图，则有两个“√”号的可以标 记有宝物。 ②分析 5和另外一个 3，如图，有两个“√”号的可以标记有宝物。 第 24 页 共 24 页 往下类推，找出所有的宝物。 【详解】 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第二单元位置与方向（二）【从课本到奥数】 一、填空题。 1．少年宫在图书馆西偏北30°200米处，则图书馆在少年宫( )偏( )( )°200米处。 2．如图。小猴在小松鼠的( )偏( )( )°的方向上；小松鼠在小猴的( )偏( )( )°的方向上。 3．小丽和小明的位置如图所示，小明在小丽的( )偏( )( )°方向上，小丽在小明的( )偏( )( )°方向上。 4．骑车从公园到滨海小区的路线图是：向( )偏( )、( )°方向上骑行( )米到学校，再向( )方向骑行( )米到邮局，再向( )偏( )、( )°方向上骑行( )米到书店，最后往( )方向上骑行( )米到滨海小区。 二、选择题。 5．如图，图书馆在动物园的( )。 A．西偏北40°方向2km处 B．东偏北40°方向2km处 C．北偏西40°方向2km处 D．南偏西40°方向2km处 6．观察下图的位置关系，其中说法错误的是( )。 A．学校在公园北偏西40°方向400米处 B．公园在少年宫西偏南70°方向300米处 C．公园在学校东偏南40°方向400米处 D．少年宫在公园北偏东20°方向300米处 7．如图，下面描述错误的是( )。 A．从学校到书店沿着西偏北45°方向走300m B．邮局在书店的正西方向550m处 C．邮局在小芳家的北偏东35°方向距离是500m处 D．小芳上学一共要走1350米 8．如图，学校的位置用数对表示为( )，学校在超市的( )方向。 A．（2，3）；南偏东45° B．（3，2）；南偏西45° C．南偏东45°；（2，3） D．南偏西45°；（3，2） 三、作图题。 9．快递公司紧跟科技发展的步伐，引进一批智能机器人进行快递业务派送，如下为机器人萌宝的派送路线，请画出路线图。 萌宝从菜鸟驿站出发向东走600米到达1号快递柜，再向西偏南30°方向走1000米到达2号快递柜，然后向南偏东40°方向走800米到达3号快递柜，最后向东偏北20°方向走1200米到达4号快递柜。      四、解答题。 10．下面是一幅未完成的公园示意图，请你按要求完成这幅图。（每个小方格的对角线表示100米） （1）猴山的位置用（2，1）表示，那么塔林在( )的位置上，牡丹亭在（3，6）的位置上，请你在图中用“△”标出牡丹亭的位置。 （2）见山楼在塔林的北偏东45°方向，距离塔林100米的地方，请你用“○”标出来。 （3）明明想从塔林经过猴山到天鹅湖，该怎样走？ 11．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南45°，距离淘气家300米。试着在图中画出超市的位置。 【奥数培优1】在图形中确定物体的位置 图中三角形ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点B在点C的( )方向上，点A在点C的东偏北( )°方向上。    【对应练习】 已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。    【奥数培优2】数对与位置综合应用 看图填空。   （1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对( )表示。     （2）如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。     （3）连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。 【对应练习】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一个方格的对角线长代表10m，所研究的点都是网格的交点。 （1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是( )。 （2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？ （3）请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E：( )、( )、( )、( )。 【奥数培优3】描述并绘制路线图 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 （1）根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 （2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 【对应练习】 小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西偏北30°方向行300米到达终点C地。 （1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 （2）如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？ 【奥数培优4】数列与位置 已知数列，，…，则第10个数是( )。 【对应练习】 1．找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。 2．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。 3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( )，第8个数是( )。 【奥数培优5】方格游戏 “扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有10个雷； ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★”的方格周围有8个方格（标数的方格）。 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×） 【对应练习】 1．如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有( )个雷。 2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”） 3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： （1）图中共有6个宝物； （2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量； （3）数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用○表示） 图1                                   图2 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 11 页 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 第 2 页 共 11 页 2025-2026 学年六年级数学上册书山培优系列「2025 秋」 第二单元位置与方向（二）【从课本到奥数】 一、填空题。 1．少年宫在图书馆西偏北 30°200米处，则图书馆在少年宫( )偏 ( )( )°200米处。 2．如图。小猴在小松鼠的( )偏( )( )°的方向上；小松鼠在小猴的 ( )偏( )( )°的方向上。 3．小丽和小明的位置如图所示，小明在小丽的( )偏( )( )°方向上，小 丽在小明的( )偏( )( )°方向上。 4．骑车从公园到滨海小区的路线图是：向( )偏( )、( )°方向上骑行 ( )米到学校，再向( )方向骑行( )米到邮局，再向( )偏 ( )、( )°方向上骑行( )米到书店，最后往( )方向上骑行 ( )米到滨海小区。 第 3 页 共 11 页 二、选择题。 5．如图，图书馆在动物园的( )。 A．西偏北 40°方向 2km处 B．东偏北 40°方向 2km处 C．北偏西 40°方向 2km处 D．南偏西 40°方向 2km处 6．观察下图的位置关系，其中说法错误的是( )。 A．学校在公园北偏西 40°方向 400米处 B．公园在少年宫西偏南 70°方向 300米处 C．公园在学校东偏南 40°方向 400米处 D．少年宫在公园北偏东 20°方向 300米处 7．如图，下面描述错误的是( )。 A．从学校到书店沿着西偏北 45°方向走 300m B．邮局在书店的正西方向 550m处 第 4 页 共 11 页 C．邮局在小芳家的北偏东 35°方向距离是 500m处 D．小芳上学一共要走 1350米 8．如图，学校的位置用数对表示为( )，学校在超市的( )方向。 A．（2，3）；南偏东 45° B．（3，2）；南偏西 45° C．南偏东 45°；（2，3） D．南偏西 45°；（3，2） 三、作图题。 9．快递公司紧跟科技发展的步伐，引进一批智能机器人进行快递业务派送，如下为机器人萌 宝的派送路线，请画出路线图。 萌宝从菜鸟驿站出发向东走 600米到达 1号快递柜，再向西偏南 30°方向走 1000米到达 2号 快递柜，然后向南偏东 40°方向走 800米到达 3号快递柜，最后向东偏北 20°方向走 1200米到 达 4号快递柜。 四、解答题。 10．下面是一幅未完成的公园示意图，请你按要求完成这幅图。（每个小方格的对角线表示 100米） 第 5 页 共 11 页 （1）猴山的位置用（2，1）表示，那么塔林在( )的位置上，牡丹亭在（3，6）的位 置上，请你在图中用“△”标出牡丹亭的位置。 （2）见山楼在塔林的北偏东 45°方向，距离塔林 100米的地方，请你用“○”标出来。 （3）明明想从塔林经过猴山到天鹅湖，该怎样走？ 11．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南 45°，距离淘气家 300米。试着在图中画出超 市的位置。 第 6 页 共 11 页 【奥数培优 1】在图形中确定物体的位置 图中三角形 ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点 B在点 C的( )方向上， 点 A在点 C的东偏北( )°方向上。 【对应练习】 已知下图中每个方格的边长是 1厘米，三角形 ABC是一个等边三角形，那么，点 C在点 A的 ( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。 【奥数培优 2】数对与位置综合应用 看图填空。 第 7 页 共 11 页 （1）如果 A点的位置用数对（1，2）表示，那么 B点的位置可用数对( )表示。 （2）如果一个小正方形的对角线长 10米，点 C在点 B的南偏东 45度方向 20米处，请在图 上标出 C点；点 D在 A点的东偏南 45度方向 20米处，请在图上标出 D点。 （3）连接 ABCD四点，再画出将四边形 ABCD向右平移 3格后的图形。 【对应练习】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了 10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一 个方格的对角线长代表 10m，所研究的点都是网格的交点。 （1）点（0，0）北偏东 45°方向 30m是点 A，它的位置用数对表示是( )。 （2）点 A北偏西 45方向 20m是点 B，点 B北偏东 45°方向 20m是点 C，点 C南偏东 45°方 向 20m是点 D。用 A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？ （3）请你设计不同于点 D的另一个点 E使得以 A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积 与第（2）题用 A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点 E可以有不同的设 计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点 E：( )、( )、( )、 ( )。 第 8 页 共 11 页 【奥数培优 3】描述并绘制路线图 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 （1）根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 （2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 【对应练习】 小华从家出发，先向东走 200米到达 A地，再向东偏北 45°方向行 500米到达 B地，最后向西 偏北 30°方向行 300米到达终点 C地。 （1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 （2）如果从终点 C原路返回家里用了 12分 30秒，那么他返回时每分钟行多少米？ 第 9 页 共 11 页 【奥数培优 4】数列与位置 已知数列 1 3， 1 15 ， 1 63…，则第 10个数是( )。 【对应练习】 1．找规律 4 3 、1、10 11 、 13 15、 16 19 、…，这串数中第 7个数是( )。 2．一列分数： 1 2、 1 3、 2 3 、 1 4、 2 4 、 3 4 、 1 5…，按规律， 7 8 是这列分数中的第( )个。 3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据 9 16 25 365 12 21 32 、 、 、 ，……中得到巴尔末公式，从而打开了 光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第 5个数是( )，第 8个数是( )。 【奥数培优 5】方格游戏 “扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有 10个雷； ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★”的方格周围有 8个方格（标数的方格）。 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×） 第 10 页 共 11 页 【对应练习】 1．如图，每个小方块周围最多有 8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中 每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有 ( )个雷。 2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑 脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”） 3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： （1）图中共有 6个宝物； （2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量； （3）数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图 1，在图 2中画出宝物。（宝物用○表示） 第 11 页 共 11 页 图 1 图 2 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 ——宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第二单元位置与方向（二）【从课本到奥数】 一、填空题。 1．少年宫在图书馆西偏北30°200米处，则图书馆在少年宫( )偏( )( )°200米处。 【答案】 东 南 30 【分析】根据方向的相对性，西偏北对东偏南，角度和距离不变，进行填空。 【详解】少年宫在图书馆西偏北30°200米处，则图书馆在少年宫东偏南30°或南偏东60°200米处。 2．如图。小猴在小松鼠的( )偏( )( )°的方向上；小松鼠在小猴的( )偏( )( )°的方向上。 【答案】 东 北 35 西 南 35 【分析】根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以小松鼠为观测点，确定出小猴的位置；再根据方向的相对性，它们的方向相反，角度相等，距离相等；以小猴为观测点，确定出小松鼠的位置，据此解答。 【详解】90°－35°＝55° 90°－35°＝55° 小猴在小松鼠的东偏北35°（或北偏东55°）的方向上；小松鼠在小猴的西偏南35°（南偏西55°）方向上。 3．小丽和小明的位置如图所示，小明在小丽的( )偏( )( )°方向上，小丽在小明的( )偏( )( )°方向上。 【答案】 东 南 30 西 北 30 【分析】小丽看小明，说明小丽是观测点，根据“上北下南，左西右东”，即角度信息和距离，可确定小明的位置。小明看小丽，小明就是观测点，根据位置的相对性，方向相反，角度相同，距离相等，即可确定小丽的位置。据此解答。 【详解】根据分析，可得： 小丽和小明的位置如图所示，小明在小丽的东偏南30°方向上，小丽在小明的西偏北30°方向上。 4．骑车从公园到滨海小区的路线图是：向( )偏( )、( )°方向上骑行( )米到学校，再向( )方向骑行( )米到邮局，再向( )偏( )、( )°方向上骑行( )米到书店，最后往( )方向上骑行( )米到滨海小区。 【答案】 东 北 30 1000 正东 1500 西 北 40 2000 正北 500 【分析】由图可知，图上1厘米表示实际500米，先分别算出公园到学校、学校到邮局、邮局到书店的路程，再根据地图上上北下南、左西右东，以及图中给出的数据，描述骑车从公园到滨海小区的路线图，据此解答。 【详解】500×2＝1000（米） 500×3＝1500（米） 500×4＝2000（米） 骑车从公园到滨海小区的路线图是：向东偏北30°（或北偏东60°）方向上骑行1000米到学校，再向正东方向骑行1500米到邮局，再向西偏北40°（或北偏西50°）方向上骑行2000米到书店，最后往正北方向上骑行500米到滨海小区。 二、选择题。 5．如图，图书馆在动物园的( )。 A．西偏北40°方向2km处 B．东偏北40°方向2km处 C．北偏西40°方向2km处 D．南偏西40°方向2km处 【答案】C 【分析】根据“上北下南，左西右东”及角度信息和距离解答即可。 【详解】由分析可知： 图书馆在动物园的北偏西40°（西偏北50°）方向2km处。 故答案为：C 6．观察下图的位置关系，其中说法错误的是( )。 A．学校在公园北偏西40°方向400米处 B．公园在少年宫西偏南70°方向300米处 C．公园在学校东偏南40°方向400米处 D．少年宫在公园北偏东20°方向300米处 【答案】C 【分析】由题意可知，每格表示100米，再根据“上北下南，左西右东”及角度信息；再结合位置的相对性，方向相反，角度相同，距离相等，据此逐一分析各项即可。 【详解】A．100×4＝400（米） 则学校在公园西偏北50°（北偏西40°）方向400米处，原说法正确； B．100×3＝300（米） 则少年宫在公园的东偏北70°方向300米处，所以公园在少年宫西偏南70°方向300米处，原说法正确； C．100×4＝400（米） 学校在公园西偏北50°方向400米处，所以公园在学校东偏南50°方向400米处，原说法错误； D．100×3＝300（米） 少年宫在公园的东偏北70°方向300米处，也可以说少年宫在公园北偏东20°方向300米处，原说法正确。 故答案为：C 7．如图，下面描述错误的是( )。 A．从学校到书店沿着西偏北45°方向走300m B．邮局在书店的正西方向550m处 C．邮局在小芳家的北偏东35°方向距离是500m处 D．小芳上学一共要走1350米 【答案】C 【分析】用方向和距离结合来描述路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离。 【详解】A．从学校到书店沿着西偏北45°方向走300m，说法正确； B．邮局在书店的正西方向550m处，说法正确； C．邮局在小芳家的东偏北35°方向距离是500m处，选项说法错误； D．500＋550＋300＝1350（米），小芳上学一共要走1350米，说法正确。 描述错误的是邮局在小芳家的北偏东35°方向距离是500m处。 故答案为：C 8．如图，学校的位置用数对表示为( )，学校在超市的( )方向。 A．（2，3）；南偏东45° B．（3，2）；南偏西45° C．南偏东45°；（2，3） D．南偏西45°；（3，2） 【答案】B 【分析】根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此用数对表示出学校的位置；以超市为观测点，根据“上北下南，左西右东”及角度信息，正方形的对角线把正方形的一个角平均分成两份，每份为45°，据此解答即可。 【详解】学校的位置用数对表示为（3，2），学校在超市的南偏西45°（西偏南45°）方向。 故答案为：B 三、作图题。 9．快递公司紧跟科技发展的步伐，引进一批智能机器人进行快递业务派送，如下为机器人萌宝的派送路线，请画出路线图。 萌宝从菜鸟驿站出发向东走600米到达1号快递柜，再向西偏南30°方向走1000米到达2号快递柜，然后向南偏东40°方向走800米到达3号快递柜，最后向东偏北20°方向走1200米到达4号快递柜。 【答案】见详解 【分析】按照“上北下南、左西右东”的方向，确定比例尺，可以用图中1厘米线段代表实际距离200米，进行作图。 分别以菜鸟驿站、1号快递柜、2号快递柜、3号快递柜为观测点，根据方向、角度和图上距离画出路线图，最后到达终点。 【详解】菜鸟驿站到1号快递柜图上线段长度：600÷200＝3（厘米） 从1号快递柜到2号快递柜图上线段长度：1000÷200＝5（厘米） 从2号快递柜到3号快递柜图上线段长度：800÷200＝4（厘米） 从3号快递柜到4号快递柜图上线段长度：1200÷200＝6（厘米） 由分析可作图：      四、解答题。 10．下面是一幅未完成的公园示意图，请你按要求完成这幅图。（每个小方格的对角线表示100米） （1）猴山的位置用（2，1）表示，那么塔林在( )的位置上，牡丹亭在（3，6）的位置上，请你在图中用“△”标出牡丹亭的位置。 （2）见山楼在塔林的北偏东45°方向，距离塔林100米的地方，请你用“○”标出来。 （3）明明想从塔林经过猴山到天鹅湖，该怎样走？ 【答案】（1）（0，3）；见详解；（2）见详解；（3）明明从塔林出发，先向南偏东45°（东偏南45°）方向走200米到达猴山，再向北偏东45°（东偏北45°）方向走400米到达天鹅湖。 【分析】（1）用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；据此表示塔林的位置并标出牡丹亭的位置； （2）根据图上确定方向的方法：上北下南、左西右东，以塔林为观测点，确定见山楼的方向，每个小方格的对角线表示100米，据此标出见山楼的位置； （3）根据图上确定方向的方法：上北下南、左西右东，以塔林为观测点，确定猴山的方向，再以猴山为观测点，确定天鹅湖的方向，再根据每个小方格的对角线表示100米，确定塔林到猴山的距离，以及猴山到天鹅湖的距离。据此解答。 【详解】（1）塔林在（0，3）的位置上；牡丹亭的位置如图； （2）100÷100＝1（格） 见山楼的位置如图：    （3）2×100＝200（米） 4×100＝400（米） 明明从塔林出发，先向南偏东45°（东偏南45°）方向走200米到达猴山，再向北偏东45°（东偏北45°）方向走400米到达天鹅湖。 【点睛】本题主要考查了用数对表示位置的方法，以及依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法。 11．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南45°，距离淘气家300米。试着在图中画出超市的位置。 【答案】（1）北；西30；200； （2）见详解； （3）北；东60；400； （4）见详解 【分析】（1）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，奇思家距离书店有200米，以书店为观测点，根据方向、角度、距离确定奇思家的位置即可。 （2）同样根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，奇思从家出发，经过书店，到达学校，每到一个地方，观测点随之发生变化，根据方向、角度、距离确定书店和学校的位置，再描述出上学的路线即可。 （3）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，经过测量，妙想家离书店在图上有2厘米，由此计算出妙想家和书店的实际距离，再以书店为观测点，根据方向、角度、距离确定妙想家的位置即可。 （4）观察平面图，图上的1厘米表示实际距离100米，超市距离淘气家300米，用300米除以100米，求出这两地在图上的距离是3厘米，按地图上的方向“上北下南，左西右东”，再以淘气家为观测点，根据方向、角度、距离确定超市的位置，并在图中画出超市的位置。 【详解】（1）奇思家的位置是在北偏西30°，距离书店200米。 （2）答：奇思从家向南偏东30°的方向走200米到书店，再从书店向正东方向走280米到学校。 （3）2×200＝400（米） 妙想家的位置是北偏东60°，距离书店400米。 （4）300÷100＝3（厘米） 如图： 【点睛】本题主要考查根据方向、角度和距离确定位置以及描述线路图，确定观测点是关键。 【奥数培优1】在图形中确定物体的位置 图中三角形ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点B在点C的( )方向上，点A在点C的东偏北( )°方向上。    【答案】 正西 80 【分析】以点C为观测点，根据“上北下南，左西右东”描述方向，则点B在点C的正西方向，等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和求出∠3的度数，∠3与∠4的和等于一个平角的度数，∠4＝180°－∠3，求出∠4的度数，即可求得。 【详解】三角形ABC中，∠1＝∠2＝40°，且三角形的内角和为180°。 180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 180°－100°＝80° 所以，点B在点C的正西方向上，点A在点C的东偏北80°方向上。 【点睛】掌握等腰三角形的特征，并根据三角形的内角和与一个平角的度数求出∠4的度数是解答题目的关键。 【对应练习】 已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。    【答案】 北 东 30 4 【分析】观察题意可知，AB长4厘米，根据等边三角形的特征，可知AC长也是4厘米，∠BAC是60°；根据平面图上方向的规定：上北下南，左西右东，以A点为观测点即可确定C点的方向；据此解答。 【详解】点C在点A的东偏北60°或北偏东30°方向4厘米处。 【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法，明确等边三角形的特征是解答本题的关键。 【奥数培优2】数对与位置综合应用 看图填空。   （1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对( )表示。     （2）如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。     （3）连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。 【答案】（1）（3，6） （2）（3）见详解 【分析】（1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此分析； （2）弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意各场所离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。 （3）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。 【详解】（1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对（3，6）表示。     （2） （3） 【点睛】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。 【对应练习】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一个方格的对角线长代表10m，所研究的点都是网格的交点。 （1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是( )。 （2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？ （3）请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E：( )、( )、( )、( )。 【答案】图见详解； （1）（3，3） （2）1600m² （3）11；（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8） 【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数、平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”、方格的对角线长代表10m，即可描出点A，并用数对表示它的位置。 （2）同理，分别以点A的位置为观测点即可描出点B的位置、以点B的位置为观测点即可描出点C的位置、以点C的位置为观测点即可描出点D的位置，然后再把A、B、C、D连结成一个封闭图形。连结成的封闭图形是一个正方形，其边长是（20×2）米，根据正方形的面积计算公式“S＝a2”即可求出它的面积。 （3）正方形ABCD看作是由三角形ABC与三角形ADC的面积之和，且三角形ABC与三角形ADC的面积相等。三角形ACD看作底为4格，高为2格三角形，当底不变，高是2格时，其面积也不会变，因此，第5列上的任一点为E，与AC组成的三角形面积都与三角形ADC的面积相等。这样四边形ABCE的面积就与正方形ABCD的面积相等。这样的点在本图上共有8个：（5，0）、（5，2）、（5，3）、5，4）、（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，10）。可以写出其中四个（答案不唯一）。 【详解】（1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是（3，3） （2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是： （20×2）² ＝40² ＝1600（m²） （3）设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的 设计，这样的点共有8个，写出其中的四个点E：（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8）（答案不唯一）。 【点睛】此题考查的知识有：数对与位置、根据方向和距离确定物体的位置、正方形面积的计算、三角形面积的计算等。 【奥数培优3】描述并绘制路线图 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 （1）根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 （2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 【答案】（1）见详解。 （2）960米；40米 【分析】（1）先以家参照点建立方向标，向东偏北60°（或北偏东30°）方向走200米到超市；再以超市为参照点建立方向标，向东走400米到医院；最后以医院为参照点建立方向标，向东偏南30°（或南偏东60°）方向走360米到学校。 （2）把家到超市、超市到医院、医院到学校这三段路程加起来，即200＋400＋360，可求出芳芳每天从家出发到学校走的米数；再用5＋10＋9求出芳芳从家出发到学校走的分钟数（24分钟）；最后根据路程÷时间＝速度，用芳芳每天从家出发到学校走的米数÷从家出发到学校走的分钟数，可求出平均每分钟走的米数。 【详解】（1）如下图： 路线 方向 路程 时间 家→超市 东偏北60°（或北偏东30°） 200米 5分钟 超市→医院 东 400米 10分钟 医院→学校 东偏南30°（或南偏东60°） 360米 9分钟 （2）200＋400＋360＝960（米） 960÷（5＋10＋9） ＝960÷24 ＝40（米） 答：芳芳每天从家出发到学校走960米，平均每分钟走40米。 【对应练习】 小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西偏北30°方向行300米到达终点C地。 （1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 （2）如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？ 【答案】（1）见详解 （2）80米 【分析】（1）以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离100米。 小华从家出发，在家的正东方向画（200÷100）厘米长的线段，即是A地； 在A地的东偏北45°方向上画（500÷100）厘米长的线段，即是B地； 在B地的西偏北30°方向上画（300÷100）厘米长的线段，即是C地。 （2）已知从终点C原路返回家里用了12分30秒，根据“1分＝60秒”可知，用时12.5分； 用加法求出从C地返回家的总路程，再根据“速度＝路程÷时间”，即可求出他返回时的速度。 【详解】（1）200÷100＝2（厘米） 500÷100＝5（厘米） 300÷100＝3（厘米） 如图： （2）12分30秒＝12.5分 （300＋500＋200）÷12.5 ＝1000÷12.5 ＝80（米） 答：他返回时每分钟行80米。 【奥数培优4】数列与位置 已知数列，，…，则第10个数是( )。 【答案】 【分析】通过观察可知，＝，＝，＝…，以此类推，第n个数是，据此解答。 【详解】根据分析可知，第10个数是 ＝ ＝ ＝ 【对应练习】 1．找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。 【答案】 【分析】根据、、可得相邻两个分数的分子之差为3，分母之差为4，又因为和的分子之差为6，分母之差为8，即两数之间应该是，＝1。所以这串数中第7个数应该是的分子加上3，分母加上4之后所得的数。 【详解】16＋3＝19 19＋4＝23 所以这串数中第7个数是。 2．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。 【答案】28 【分析】观察数列可知，分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，发现分母是n的分数有（n－1）个，分子从1到n－1依次排列，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，分母是5的分数有4个，分母是6的分数有5个，分母是7的分数有6个，分母是8的分数有7个； 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 ＝（1＋2＋7）＋（4＋6）＋（3＋5） ＝10＋10＋8 ＝20＋8 ＝28 则按规律，是这列分数中的第28个。 【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( )，第8个数是( )。 【答案】 【分析】根据题意可知，分子的规律依次是32、42、52、62⋯⋯分母的规律是：1×5、2×6、3×7、4×8⋯⋯；通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分子就是这个数加2的平方，即（n＋2）2，分母可以写成两个数相乘，后面的数比前面的数多4，则第几个数，它的分母就是n（n＋4），由此即可解答。 【详解】当n＝5时， （n＋2）2 ＝（5＋2）2 ＝72 ＝49 n（n＋4） ＝5×（5＋4） ＝5×9 ＝45 即第5个数是； 当n＝8时， （n＋2）2 ＝（8＋2）2 ＝102 ＝100 n（n＋4） ＝8×（8＋4） ＝8×12 ＝96 即第8个数是。 【点睛】本题主要考查分数的变化规律，仔细的找到分子和分母的变化规律是解答的关键。 【奥数培优5】方格游戏 “扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有10个雷； ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★”的方格周围有8个方格（标数的方格）。 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×） 【答案】见详解 【分析】根据题目规则，数字5周围的阴影部分都是雷，据此第四行的数字2周围已经有2个雷，所以这个数字2周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字3也已经有3个雷，所以这个数字3周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字3右边的数字1已经有1个雷，所以这个数字1周围其他阴影部分都不是雷；数字4已经有1个阴影部分不是雷，有3个是雷，说明还有1个是雷；第二行的数字3已经有3个雷，则这个数字3周围其他阴影部分不是雷；第六行第一个数字1，周围已经有2个不是雷，说明剩余1个阴影部分是雷；第七行第一个数字2，周围有2个雷；第七行第二个数字2已经有2个雷，说明剩余1个阴影部分不是雷；第六行第三个数字1有1个雷；第六行第二个数字1已经有1个雷，说明这个数字1周围其他阴影部分都不是雷；第五行第二个数字2已经有1个雷，2个不是雷，说明剩余1个是雷；第四行第二个数字2已经有2个雷，说明这个数字2周围其他地方都不是雷；据此作图。 【详解】如图所示： 【点睛】本题从数字一个个分析，能确定的地方先做好标记，是雷的标○，不是雷的标×，然后不能确定的地方根据做的标记进行分析即可。 【对应练习】 1．如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有( )个雷。 【答案】16 【解析】如图，用小红旗表示不是雷，依次进行分析，可以得到所有不是雷的方格，剩下的方格中都是雷，总共16个。 【详解】如图所示： 图中共有16个雷。 【点睛】本题考查的是扫雷问题，扫雷实质上还是逻辑推理问题，在推理过程中，可以先把能够确定的地方标出来，然后再确定其它位置。 2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”） 【答案】 【分析】首先从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸；然后根据点开的方格中是几，就代表周围的八个方格里有几个笑脸，判断出哪些方格中有笑脸即可。 【详解】右边的第二列、以及第三列和第四列的数字都是1，则可以判断最右边的一列的三个不是笑脸，右边第三列的中间一定是笑脸，则第四列中间的一个不是笑脸，左边第三列的两个也不是笑脸，由左边第三列的2判断出左边第二列的下面两个都是笑脸，由左下角的3可以判断出左第一列的中间是笑脸，有左上角的2可以判断第二列的上面的空不是笑脸。 答案如下图： 【点睛】此题主要考查了逻辑推理问题，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸。 3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： （1）图中共有6个宝物； （2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量； （3）数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用○表示） 图1                                   图2 【答案】见详解 【分析】根据题意，只有6个宝物，尽量找一些重合的地方标记宝物。 ①数字5代表5的周围有5个宝物，3的周围有3个宝物，如下图，则有两个“√”号的可以标记有宝物。 ②分析5和另外一个3，如图，有两个“√”号的可以标记有宝物。 往下类推，找出所有的宝物。 【详解】 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$