4.3.1 对数的概念+4.3.2 对数的运算法则-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

数学 必修第一册 XJ 1 4.3 4.3 对数函数 2 4.3 4.3.1 对数的概念4.3.2 对数的运算法则 刷基础 3 1.有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫作常用对数； ④以 为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 对数的概念 4 解析 ①③④正确,②不正确,只有且时, 才能化为对数式. 题型1 对数的概念 5 2.［北京东城区2025高一月考］已知，，则 的值为( ) C A.15 B. C. D. 题型1 对数的概念 6 解析 由，得，即，而，所以 .故选C. 题型1 对数的概念 7 3.［江苏无锡天一中学2025高一期末］下列各式：; ； ； ，其中正确的个数为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 对数的运算 8 解析 ,故①错误； ,, ，故②错误； ，故③正确； ， 故④正确.故选B. 题型2 对数的运算 9 4.［安徽合肥六中2025高一期末］生物学家研发一种谷物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后 各代每粒种子都可以得到下一代6粒种子，那么种子数量首次超过100万粒的是（参考数据： , ）( ) C A.第7代种子 B.第8代种子 C.第9代种子 D.第10代种子 题型2 对数的运算 10 解析 设第代种子的数量为 ， 由题意得，得 ， 即.因为 ，所以种子数量首次超过100万粒的是第9代种子.故 选C. 题型2 对数的运算 11 5.求值： ___. 1 解析 . 题型2 对数的运算 12 6.［重庆巴蜀中学2024高一期中］设，， 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是 ( ) D A. B. C. D. 题型3 对数的换底公式 13 解析 A选项, ,所以A错误. B,D选项,由于 ,所以B错误,D正确. C选项,不妨设,则, ,此时 ,所以C错误.故选D. 题型3 对数的换底公式 14 7.（多选）［吉林部分学校2025高一期末联考］以下计算正确的是( ) BCD A. B. C. D.若实数且满足，则 的值为4 051 题型3 对数的换底公式 15 解析 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为且 ， 所以，所以，即 ， 所以，故D正确.故选 . 题型3 对数的换底公式 16 名师点拨 对于对数的乘法,尤其是不同底对数的乘法,最好的方法就是将所有对数换成同底对数的商,这样能 很好地化简式子. 题型3 对数的换底公式 17 8.已知,，则_ _______.（用, 表示） 题型3 对数的换底公式 18 解析 由,得,又 ,所以 . 链接教材本题与教材第117页例3类似，用代数式表示对数的关键在于将所有字母和所求对数表 示为同底的对数,然后代入化简即可. 题型3 对数的换底公式 19 9. 的值是( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 题型4 对数恒等式 20 解析 原式 ,故选C. 题型4 对数恒等式 21 10.若方程的两根为 ， ，则 的值为( ) C A. B.6 C.36 D.1 题型4 对数恒等式 22 解析 因为方程的两根为 , ,所以 , 故 .故选C. 题型4 对数恒等式 23 11. ____. 98 解析 , ,所以原式 . 题型4 对数恒等式 24 12.［江苏常州部分学校2025高一期中］若有意义，则实数 的取值范围是_______ ________. 解析 要使有意义，则即解得或 ，故实数 的取值范围是 . 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 25 易错警示 对数式中底数大于0且不等于1,真数大于0. 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 26 13.方程 的解为______. 解析 原方程可化为,即 ,所以 ,即,解得或 . 又且,所以 . 所以 不满足题意,因此应舍去. 故方程的解为 . 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 27 易错警示 求解对数方程,利用对数运算性质转化为关于真数的方程时,要注意等价变化,同时要满足真数大于0. 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 28 4.3 4.3.1 对数的概念4.3.2 对数的运算法则 刷提升 29 1.求值： ( ) C A.1 B. C.2 D. 30 解析 .故选C. 31 规律方法 对数式恒等变形的常用策略：一看底,底不同时用换底公式化不同底为同底；二看真数,利用对数 的运算法则将真数进行适当变形.解题时还要考虑到对数恒等式及特殊值. 32 2.已知 ，给出下面四个等式： ； ； ； . 其中正确的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 33 解析 当,时,, , 故①②错误；当时,,,③正确；当 时,④错误. 因此只有一个正确,故选B. 34 3.［河南南阳部分学校2025高一联考］已知，， ， 则 的值为( ) A A.或0 B.1 C. D.1或0 35 解析 因为 , ， 所以由 ， 得，化简得，即 ，解得 或 . 又 ， 所以当时， . 当时， . 综上，的值为 或0. 故选A. 36 4.［陕西西安铁一中学2025高二期末］数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当 较大 时，，常数 .利用以上公式，可以估算 的值为( ) C A. B. C. D. 37 解析 由题意得 ， . 两式相减得 . 故选C. 38 5.［广东阳江部分学校2025高一期末联考］大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵. 研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速（单位：）可以表示为，其中 表示鱼的耗 氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加 ，则它的耗氧量的单位数是原来的( ) B A.3倍 B.9倍 C.18倍 D.27倍 39 解析 设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为 ，提速后的耗 氧量的单位数为 ， 则 所以 ， ，故 ， 所以若蛙鱼的游速每增加 ，则它的耗氧量的单位数是原来的9倍.故选B. 40 6.［天津第一中学2025高一期末］计算 ____. 解析 . 41 7.［河北秦皇岛2024高一月考］已知,，若,，则 的取值 范围是______. 解析 因为,,,,可知 , 则,所以的取值范围是 . 42 8.已知，是方程的两个实数根，则 _ _. 解析 因为,是方程 的两个实数根, 所以由根与系数的关系得 , , 则 . 43 多种解法 因为的实数根为或 , 不妨设,,则, , 所以 . 44 9.设，，若，则 的最大值为_ _. 解析 由得,又,,所以 . 同理可得 . 因为 , 所以,所以 . 故 . ①当,且时,, . 由基本不等式知 ， 当且仅当,即 即, 时等号成立. 45 ②当,且时, . ③当,且时, . ④当,且时,不满足 . ⑤当或时, . 综上所述,的最大值为 . 46 10.［江苏南通海安高级中学2025高一月考］求下列各式的值： （1）（其中， .注意：结果用分数指数幂表示）. 【解】原式 . 47 （2） . [答案] 原式 . （3）已知，，试用，表示 . [答案] ， ， ， ， . 48 归纳总结 对数式与指数式的互化 且可转化为且 . 49 11.［厦门大学2024强基计划］表示不超过的最大整数，则 ________. 解析 若是整数，则 ； 若不是整数，则，故 . 而是整数，，故由 知 ，所以 . 记，则 . 对于 当,10,100,时，是整数，此时 ； 当,10,100,时，不是整数，此时 . 故 . 50 12.［2023全国中学生数学奥林匹克竞赛预赛（A卷）］若正实数,满足, , 则 的值为____. 20 解析 . , . 51 13.［清华大学2023强基计划］已知,,求 的可能取值. 【解】由题意可知 ,① 同理, ,② 可得 , 则或 . 52 $$