4.2.2 指数函数的图象与性质-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

数学 必修第一册 XJ 1 4.2 4.2 指数函数 2 4.2 4.2.2 指数函数的图象与性质 刷基础 3 1.［黑龙江绥化2025高一月考］已知两个指数函数， 的部分图象 如图所示，则( ) D A. B. C. D. 题型1 指数函数的图象 4 解析 由题图可知函数，均单调递增，则， . 当时，，得，所以 .故选D. 题型1 指数函数的图象 5 规律方法 不同底数的指数函数图象的规律 若,,,,,, 均大于0且不等于1）的图象如图所示,则 . 简记规律：在第一象限,按照逆时针方向观察,对应的指数函数的底数逐渐增大. 题型1 指数函数的图象 6 2.［福建龙岩2024高一期中联考］已知函数 的图象过原点，且无限接近直线 ，但又不与该直线相交，则 ( ) C A. B. C.1 D. 题型1 指数函数的图象 7 解析 因为函数 的图象过原点, 所以 , 又因为图象无限接近直线 ,但又不与该直线相交, 所以直线 是图象的一条渐近线, 所以,所以 .故选C. 题型1 指数函数的图象 8 3.要得到函数的图象，只需将函数 的图象( ) A A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度 题型1 指数函数的图象 9 解析 因为,所以只需将函数 的图象向左平移1个单位 长度,即可得到函数 的图象.故选A. 题型1 指数函数的图象 10 4.［甘肃庆阳2025高一期中］函数 的图象恒过的点为__________. 题型1 指数函数的图象 11 解析 对于函数，令，解得 ，此时 ，所以函数的图象恒过的点为 . 题型1 指数函数的图象 12 5.［湖北武汉2024高一期中］函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 题型2 指数函数的性质 13 解析 函数 的定义域 满足解得且 . 题型2 指数函数的性质 14 6.当时，函数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型2 指数函数的性质 15 解析 因为指数函数在区间上单调递增,所以 ,于是 ,即,所以的取值范围是 .故选C. 题型2 指数函数的性质 16 7.［四川泸州2025高一期中］下列式子正确的是( ) C A. B. C. D. 题型2 指数函数的性质 17 解析 对于A，函数在上单调递增，，则 ，A错误； 对于B，函数在上单调递减，，则 ，B错误； 对于C，函数在上单调递减，函数在 上单调递增，则 ，C正确； 对于D， ，D错误.故选C. 题型2 指数函数的性质 18 链接教材 本题是教材第111页例4的变式,结合指数函数的单调性比较大小. 题型2 指数函数的性质 19 规律方法 指数式比较大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由指数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同,指数为同一常数 方法1：由幂函数的单调性比较大小； 方法2：借助不同底数的指数函数图象的高低比较大小 底数与指数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 题型2 指数函数的性质 20 8.［河南豫东名校2025高一期末联考］已知函数 则不等式 的解集为( ) B A. B. C. D. 题型2 指数函数的性质 21 解析 当时， ， 则在 时无解； 当时，在 上单调递增， 当时，，则的解集为 ； 当时， ， 则在 时恒成立. 综上，不等式的解集为 .故选B. 题型2 指数函数的性质 22 9.［云南昆明一中2025高一月考］设为实数，若关于的方程有实数解，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型2 指数函数的性质 23 解析 因为，所以 ， 令，则 ， 要使方程有实数解只需直线与 的图象有交点即可. 设，当时，单调递增，所以 ， 则，即 ， 故的取值范围是 .故选C. 题型2 指数函数的性质 24 10.若不等式对一切实数恒成立，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型2 指数函数的性质 25 解析 因为不等式对一切实数恒成立,所以对一切实数 恒成立. 又因为为上的增函数,所以对一切实数 恒成立,所以 对一切实数恒成立,故,解得 ,故选A. 题型2 指数函数的性质 26 11.函数在区间内不单调，则实数 的取值范围是______. 解析 令,则.因为在区间内不单调,所以 在区 间内不单调.又因为在上单调递减,在 上单调递增,所以 ,解得 . 题型2 指数函数的性质 27 12.［甘肃兰州2025高一月考］已知函数 为奇函数. （1）求 的值； 【解】由题意可得 ， 所以 ， 因为，所以 . 经验证当时， 为奇函数. 题型2 指数函数的性质 28 （2）解不等式 ； [答案] 不等式等价于，则 ，化简得 ， 所以，所以 ， 所以原不等式的解集为 . 题型2 指数函数的性质 29 （3）求 的值域. [答案] 令，则，整理得 ， 即 . 又，所以，解得或 ， 所以的值域为 . 题型2 指数函数的性质 30 13.函数 的值域是( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 31 解析 令,,则,,所以 .故选D. 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 32 14.函数 的值域为( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 33 解析 ,.又,.令,则 , ,,即函数的值域是 .故选D. 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 34 易错警示 由于指数函数,且的值域为 ,因此计算与指数函数有关的函数值域时不 要忘记这一隐含条件.在本题中,若忘记该条件,则会得到 ,从而误选C. 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 35 15.若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则实数 的值为( ) D A. B. C.或2 D.或 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 36 解析 当时,在上单调递减,所以,解得或 （舍去）； 当时,在上单调递增,所以,解得或 （舍去）. 综上所述,或 .故选D. 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 37 多种解法 考虑到且在上一定单调,故一定在区间 的端点处取得最值,故 ,又,解得或 ,经检验均满足题意,故选D. 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 38 16.已知函数,且在上恒有，则实数 的取值范围是________ ______. 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 39 解析 当时,在上单调递增.因为函数在上恒有,所以 , 所以,所以 . 当时,在上单调递减.因为函数在上恒有,所以 , 所以,即,所以 . 综上所述,实数的取值范围是 . 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 40 易错警示 由于指数函数的单调性根据底数与1的大小关系判断,因此涉及含参数的指数函数的单调性问题时, 要根据底数与1的大小关系分类讨论. 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 41 17.函数 的值域为( ) B A. B. C. D. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 42 解析 设,则,所以在上单调递增,所以 ,所以函 数的值域为 ,故选B. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 43 18.［广东深圳外国语2025月考］设函数在区间上单调递减，则实数 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 44 解析 因为函数在上单调递增，而函数在区间 上单调递减，则函数 在区间上单调递减，因此，解得，所以实数 的取值 范围是 .故选D. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 45 易错警示 对于形如,且 的函数的单调性的判断,常用复合函数法.复合函数的单调性:当 时,函数与函数的单调性相同;当时,函数与函数 的单调性相反. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 46 19.（多选）［黑龙江牡丹江2025高一月考］已知函数 ，则( ) AC A.函数的图象关于原点对称 B.函数的图象关于 轴对称 C.函数的值域为 D.函数 是减函数 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 47 解析 的定义域为，，则 ， 所以为奇函数， 的图象关于原点对称,A正确，B错误； ，因为,所以,所以 ，所以 ,故的值域为 ,C正确； 设,则 ,因为 ，所以,,，所以,即 ， 所以函数 是增函数，故D错误. 故选 . 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 48 20.已知不等式的解集为集合，函数, . （1）求集合 ； 【解】由,得,即,即 , 解得,故集合 . （2）求函数 的值域. [答案] ,令,则 可化为 . ,,而函数的图象的对称轴为直线 , 在区间上单调递减,在区间上单调递增.故在, 上的最大值为 ,最小值为,故函数的值域为 . 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 49 易错警示 形如 的函数的性质问题,可利用换元法转化为二次 函数的性质问题,注意换元后新元的取值范围. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 50 4.2 4.2.2 指数函数的图象与性质 刷提升 51 1.［山东部分学校2025联考］如图所示，若，函数与 的图象可能是 ( ) C A. B. C. D. 52 解析 因为，所以指数函数在 上单调递减，所以排除A和D； 对于，当时，，所以的图象过点，因为 ，所以B错 误，C正确.故选C. 53 2.［湖北华中师大一附中2025高一月考］设,,,，则,,, 的大小 关系是( ) B A. B. C. D. 54 解析 因为是增函数，所以.因为是减函数，所以 ， 故 . 又函数在第一象限内为增函数，故 . 又为减函数，故 ， 综上可得 .故选B. 55 3.函数 的单调递减区间是( ) B A. B. C. D. 56 解析 将原函数看成复合函数,,因为是关于的减函数,且 在 上单调递增,在上单调递减,所以由复合函数的性质知 的单调递减区间是 . 57 4.若直线与函数，且的图象有两个公共点，则 可以是( ) C A.2 B. C. D. 58 图① 解析 当时, 的大致图象如图①所示,由已知得 , ； 图② 当时, 的大致图象如图②所示, 由已知可得,,结合可得 无解. 综上可知,的取值范围为 .故选C. 5.［河北邯郸大名一中2025高一月考］若函数且 满足对 任意，都有成立，则 的值可以是( ) D A. B. C. D.2 60 解析 因为对任意，都有 成立， 所以在 上单调递增， 所以解得 .故选D. 61 规律方法 分段函数单调不仅需要考虑每一段函数的单调性相同,还应考虑在端点处的衔接情况. 62 6.（多选）［黑龙江三校2025高一联考］已知函数，其中 ，则 ( ) ACD A.当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C.在上单调递增 D. 的图象恒过定点 63 解析 当时，，定义域为，因为，所以 为偶函数，A正确； 因为，所以，则 有最大值， 没有最小值，B错误； 因为在上单调递增，在 上单调递减, 又在 上单调递增， 所以在上单调递增，在 上单调递减，C正确； 当时，，所以的图象恒过定点，D正确.故选 . 64 7.［四川内江六中2024高一月考］已知函数，若 ， 则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 65 解析 令,定义域为 ,则 ,所以 为奇函数. 不等式 , 等价于 , 即 . 因为为奇函数,所以 . 因为,,均为减函数,所以 为减函数, 则,解得 .故选B. 66 8.若函数在区间上的最大值是13，则实数 的值为______. 3或 解析 设,则函数等价于,图象的对称轴为直线 ,该二次函 数在, 上单调递增. ①若,由,得,且,故当,即时, , 解得或 （舍去）. ②若,由,可得,且,故当,即 时, ,或 （舍去）. 综上可得，或 . 67 9.［甘肃平凉2025高一联考］已知函数 ，则 的值为________. 2 025 解析 因为函数的定义域为 ， 所以 ， 所以 . 68 10.已知定义在上的函数 . （1）当时，求 的值域； 【解】当时, , 令,则可转化为 ,即 ,的值域为 . 69 （2）若函数在上单调递增，求实数 的取值范围； [答案] 令,,,则可转化为 . 在 上单调递增, 要使在 上单调递增, 只需在 上单调递增即可. ①当时,在 上单调递减,不符合题意； ②当时, 的图象开口向下,不符合题意； ③当时,要满足,解得 . 综上,实数的取值范围是 . 70 （3）若函数的定义域内存在，使得成立，则称 为局 部对称函数，其中为函数的局部对称点，若是函数 的局部对称点，求实 数 的取值范围. [答案] 由是函数的局部对称点,得, , 代入整理得 .① 令,则,当且仅当时取等号，则 , 代入①式得,即 . 当时,函数和 均单调递增, 在 上单调递增, , , 实数的取值范围为 . 71 $$