2.2 从函数观点看一元二次方程-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“从函数观点看一元二次方程”，系统覆盖一元二次方程的根、根与系数关系、二次函数零点判断及参数求解等核心内容。通过复习一元二次方程解法导入，衔接函数概念，以题型分类（基础题、能力题）和例题解析为支架，帮助学生构建方程与函数的内在联系。 其亮点在于融合数学思维与数学语言，通过典型例题（如含参数二次函数零点讨论）和易错点分析（如忽略判别式条件），培养学生逻辑推理与运算能力。采用“题型+解析+易错警示”模式，结合高考真题与模拟题，学生能深化知识理解，教师可直接用于课堂教学与分层训练，提升教学效率。

数学 必修第一册 XJ 1 2.2 2.2 从函数观点看一元二次方程 刷基础 2 1.［山东济南2025高一联考］关于的一元二次方程 有实数根，若其中一个根 为1，则另一个根为( ) D A.1 B.2 C. D. 题型1 一元二次方程的根及根与系数的关系 3 解析 因为1为关于的一元二次方程 的根, 显然,且,不妨令,则 , 此时,方程可化为 ,经检验符合题意, 即方程的另一个根为 .故选D. 题型1 一元二次方程的根及根与系数的关系 4 2.［湖南株洲二中2024高一月考］已知,是方程的两个实根，则 的值 为( ) A A.3 B.5 C.7 D. 题型1 一元二次方程的根及根与系数的关系 5 解析 因为,是方程的两个实根,所以, ,则 .故选A. 题型1 一元二次方程的根及根与系数的关系 6 3.在解方程时，甲同学看错了，解得方程的根为， ；乙同学看错 了，解得方程的根为，，则方程中的____， ____. 题型1 一元二次方程的根及根与系数的关系 7 解析 甲同学看错了,但没有看错,乙同学看错了,但没有看错 ,所以根据根与系数的关系,得 , . 题型1 一元二次方程的根及根与系数的关系 8 4.（多选）关于函数 的零点，以下说法正确的是( ) AB A.当时，该函数只有一个零点 B.当 时，该函数只有一个零点 C.当时，该函数没有零点 D.当 时，该函数有两个零点 题型2 二次函数的零点的判断 9 解析 当时,函数,令,解得 ,此时方程只有一个实数根,即该函数 只有一个零点,A正确； 当时,函数,令,因为 ,所以此时方程 有两个相等的实数根,即该函数只有一个零点,B正确； 当时,函数,令,因为 ,所以 此时方程有两个不相等的实数根,即该函数有两个零点,C错误; 当时,函数,令,因为 ,所以 此时方程无实数根,即该函数无零点,D错误.故选 . 题型2 二次函数的零点的判断 10 5.（多选）下列函数有零点的是( ) ABD A. B. C. D. 题型2 二次函数的零点的判断 11 解析 A中,令,, 方程有两个不相等的实数根,即该函数有两个 零点； B中,令,, 方程有两个相等的实数根,即该函数有一个零点； C中,令,, 方程没有实数根,即该函数无零点； D中,令,, 方程有两个不相等的实数根,即该函数有两个零点. 题型2 二次函数的零点的判断 12 6.若二次函数有零点，则实数 的取值为( ) B A.正数 B.非负数 C.一切实数 D.零 题型3 利用二次函数的零点求参数的值（范围） 13 解析 当时,一元二次方程有解,即函数 有零点.故选B. 题型3 利用二次函数的零点求参数的值（范围） 14 7.若是函数的一个零点，则实数 的值是( ) A A.1 B. C. D. 题型3 利用二次函数的零点求参数的值（范围） 15 解析 把代入方程,得,解得 .故选A． 题型3 利用二次函数的零点求参数的值（范围） 16 8.已知函数的两个零点分别为,,且,,则实数 的 取值范围是_______________. 题型3 利用二次函数的零点求参数的值（范围） 17 解析 由题意得,方程 有两个不相等的实数根,所以 ,所以.因为,所以 .因为 ,所以.所以且 . 题型3 利用二次函数的零点求参数的值（范围） 18 9.［辽宁大连八中2025高一月考］若方程的两根, 满足 ，则实数 的取值范围是___________________. 题型3 利用二次函数的零点求参数的值（范围） 19 图① 解析 因为方程的两根,满足 ，所 以 , 当时，画出 的大致图象如图①所示，则 解得 ； 图② 当时，画出 的大致图象如图②所示，则 解得 . 综上，实数的取值范围是 题型3 利用二次函数的零点求参数的值（范围） 20 10.若二次函数在区间上有两个零点，求实数 的取值范围. 题型3 利用二次函数的零点求参数的值（范围） 21 【解】二次函数图象的对称轴为直线 ,且开口向上. 因为二次函数在区间 上有两个零点, 所以方程在区间 内有两个不同的根, 记方程的两根分别为, ,则 解得,所以的取值范围是 . 题型3 利用二次函数的零点求参数的值（范围） 22 11.［湖北宜昌2024高一月考］已知集合，，若集合 有且仅有2个 子集，则实数 的取值是( ) D A.1 B.0,1 C.,1 D. ,0,1 易错点1 忽略对参数的分类讨论而致错 23 解析 集合有且仅有2个子集,说明集合只含有一个元素.集合, },当 时,,满足题意.当时,,解得.当时,集合 ,满足 题意;当时,,满足题意.所以或 ,故选D. 易错点1 忽略对参数的分类讨论而致错 24 易错警示 若集合有且仅有2个子集,说明集合 是单元素集合.若二次项系数含参数,则要讨论二次项系数是 不是零.若本题改为集合 有4个子集,则不需要考虑二次项系数为零的情况. 易错点1 忽略对参数的分类讨论而致错 25 12.［江苏常州2025高一调研］已知关于的方程有两个实数根, . 若,满足，则实数 的值为( ) C A.或6 B.6 C. D. 易错点2 忽视一元二次方程有解的条件而致错 26 解析 关于的方程有两个实数根, ， ，解得 . 由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， ，即 ， 解得或 （舍去）， 实数的值为 .故选C. 易错点2 忽视一元二次方程有解的条件而致错 27 易错警示 通过设而不求的方法,运用一元二次方程根与系数的关系求参数时,注意需利用判别式验证根的存 在性,避免出现多解的情况. 易错点2 忽视一元二次方程有解的条件而致错 28 2.2 2.2 从函数观点看一元二次方程 刷能力 29 1.如果方程的解为，那么实数, 的值分别是( ) A A., B., C.,9 D. ,2 30 解析 由题意得方程的解为,故 解得 故选A. 31 2.若关于的一元二次方程有一个根是0，则 的值是( ) A A. B.2 C.0 D. 或2 32 解析 关于的一元二次方程有一个根为0,且 , 解得.当时,原方程化为,, 满足题意.故选A. 33 3.［陕西安康2025高一月考］已知，函数的图象与 轴的交点横坐 标为，，且 ，则( ) B A. B. C. D. 解析 二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为， ，将其图象向上平移 1个单位长度可得二次函数 的图象，在同一平面直角坐标系中分别作出函 数与的图象如图所示，由图可知 .故选B. 34 4.集合, 的子集的个数为___. 4 解析 , , 方程有两个不等的实数根,即集合 中的元素有两个,则其子集的个数为4. 35 5.已知为实数，，.当时， 的取值集 合为________. , 解析 当时,, ,不符合题意,舍去. 当时,,,若,则 ,满足题意； 若,则,则,得舍去,或,得（舍去）.所以 的取值集 合是, . 36 6.［甘肃金昌2025高一月考］若实数，且,满足， ，则 ____. 解析 根据题意可知,是方程 的两个实数根， 则， ， 所以 . 37 7.已知关于的函数，若此函数有两个零点，则实数 的取值范 围是_ ___________________；若此函数有一个零点为0，则另一个零点是____. , 解析 方程,判别式 ,解得 ., . 且 . 当函数有一个零点为0,即方程有一个根为0时,设方程的两个根分别为, . ,,此时原方程为 . , . 38 8.已知方程，根据下列条件分别求出实数 的值. （1）方程的两个实数根， 的积为5； 【解】由,得 ． 方程的两个实数根的积为5,,解得或 （舍）． 当时,方程的两个实数根, 的积为5. 39 （2）方程的两个实数根，满足 . [答案] 由 得 ①当时, ,故方程有两个相等的实数根, ,得 ； ②当时,,即,则,得,此时, 不合题意,舍去． 综上可得,当时,方程的两个实数根,满足 40 名师点拨 求解本题不要忽视 的限制而造成增解. 41 9.［辽宁沈阳东北育才中学2025高一月考］对于二次函数，若 ， 使得成立，则称为二次函数 的不动点. （1）求二次函数 的不动点； 【解】令，可得 ， 可得，解得, ， 所以二次函数的不动点为 和1. 42 （2）若二次函数有两个不相等的不动点,，且, ，求 的最小值. 43 [答案] 二次函数有两个不相等的不动点,，且, ， 则方程 有两个不相等的正实数根， 即方程 有两个不相等的正实数根， 所以，且, ， 因为,，所以，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以 的最小值为6. $$