3.1.2 函数的表示法-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“函数的表示法”核心知识点，涵盖三种表示法、解析式求法、分段函数及实际应用，通过等腰梯形面积、正方形运动轨迹等问题导入，衔接函数概念，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于分层设计“刷基础”“刷提升”题型，结合消毒药物含药量、阶梯水价等实际情境，融入几何直观与模型意识。通过待定系数法、换元法等规律总结培养推理意识，易错点分析助力精准教学，学生能提升数学思维与应用能力，教师可高效开展分层教学。

数学 必修第一册 RJA 1 3.1 3.1 函数的概念及其表示 2 3.1 3.1.2 函数的表示法 刷基础 3 1.一个面积为的等腰梯形，上底长为，下底长为上底长的3倍，则把它的高 单位：表示成 的函数为( ) C A. B. C. D. 题型1 函数的三种表示法 4 解析 由,得, . 题型1 函数的三种表示法 2.［福建福州十校2025高一期中］已知定义在上的函数 表示为： 0 1 0 设，的值域为 ，则( ) B A.,,0, B.,,0, C., D., 题型1 函数的三种表示法 6 解析 因为满足，所以.由表中数据可知的取值仅有三个值1,0, ， 所以的值域,0, .故选B. 题型1 函数的三种表示法 3.［北京市第五中学2025高一期中］如图所示，点 在边长为1的正方形的边上 运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点 经过的 路程为自变量，三角形的面积函数 的图象形状大致是( ) A A. B. C. D. 题型1 函数的三种表示法 8 解析 当时，在上，如图①,过点作于点 ， 图① 则，故，随 的增大而增大; 题型1 函数的三种表示法 9 当时，在 上，如图②, 图② 此时， 随 的增大而减小; 题型1 函数的三种表示法 10 当时，在 上，如图③, 图③ 此时，，随 的增大而减小. 综上可知，函数图象分为三段，每一段均为一次函数图象，结合增减趋势可知A正确，B，C，D 错误.故选A. 题型1 函数的三种表示法 11 4.［山西部分学校2024高一期中］如图，四边形是矩形，,, 是等腰直角 三角形.点从点出发，沿着边,运动到点，点在边,上运动，直线.设点 运动的路程为,的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为.当点在线段 上 运动时， 的解析式为( ) A A. B. C. D. 题型2 函数解析式的求法 12 解析 因为是等腰直角三角形,,所以 . 当点在线段上运动时,, .故选A. 题型2 函数解析式的求法 13 5.［江苏连云港2025高一期中］已知函数，且函数的定义域为 ， 则( ) D A.， B.， C.， D.， 题型2 函数解析式的求法 14 解析 由，可得 . 又函数的定义域为，即， ， 函数的定义域为 .故选D. 题型2 函数解析式的求法 多种解法 令,则 , , 函数的定义域为 , , ， 即, . 题型2 函数解析式的求法 16 6.设是定义在上的函数，已知满足，则 的解析式为 _ __________________. 解析 由①，用代替可得 ②, 得，故 . 题型2 函数解析式的求法 17 7.［湖北武汉华师大一附中2025高一月考］ （1）已知是一次函数，且，求 的解析式； 【解】因为为一次函数，可设, , 所以 , 所以解得或 所以或 . 题型2 函数解析式的求法 18 （2）已知函数，求 的解析式. [答案] 设，则， ， 所以， ， 所以， . 题型2 函数解析式的求法 19 规律方法 求函数解析式的方法 题型一：待定系数法 适用于已知所要求的解析式的类型，如一次函数、二次函数等，即可设出 的解析式，然 后根据已知条件确定其系数. 题型二：已知，求 ，有两种方法. ①换元法：即令，解出，代入中，得到一个含的解析式，再用替换 ，便得到 的解析式. ②配凑法：即从的解析式中配凑出，用来表示，然后将解析式中的用 代替即可. 题型三：方程思想、消元法 将函数中的自变量 适当地置换为别的自变量，得到一个新的函数方程，从两个函数方程组成的 方程组中，通过消元，得到所求函数解析式. 题型2 函数解析式的求法 20 8.（多选）下列关于分段函数的说法正确的是( ) BC A.分段函数在每段自变量取值范围内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B.若则 C. 是分段函数 D.分段函数的定义域都是 题型3 分段函数 21 解析 A选项,分段函数在每段自变量取值范围内都是一个独立的函数,但这几段组合在一起是一个 函数,故A错误； B选项,由函数的解析式可知B正确； C选项, 是一个分段函数,故C正确； D选项,分段函数的定义域不都是,故D错误.故选 . 题型3 分段函数 22 特别注意 对分段函数概念的理解 （1）分段函数是一个函数,不要误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,值域是各段函数值范围的并集. 题型3 分段函数 9.［江西部分学校2024高一期中联考］已知定义在上的函数 则“ ”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型3 分段函数 24 思路导引 探究“”是“ ”的什么条件,需要从函数值研究自变量,还需要从自变量研究 函数值. 题型3 分段函数 解析 若,则,所以 . 若,则,所以 . 所以“”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 题型3 分段函数 10.（多选）［山西朔州怀仁一中2025高一期中］已知函数 则下列关于函 数 的结论正确的是( ) ABD A. B.若，则的值是 C.的解集为 D.的值域为 题型3 分段函数 27 解析 对于A，因为所以 ， 所以 ，故A正确. 对于B，若，则当 时， ，解得 （舍）； 当时，，解得（舍）或 ， 所以的解为 ，故B正确. 对于C，当时，，解得 ； 当时，，解得 . 所以的解集为 ，故C错误. 对于D，当时， ； 当时， . 所以的值域为，故D正确.故选 . 题型3 分段函数 28 归纳总结 求分段函数的函数值的方法 （1）求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析 式求值； （2）当出现 的形式时,应从内到外依次求值； （3）当自变量所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的自变量取值范围. 题型3 分段函数 29 11.［北京丰台区2025高一期中］已知函数的图象如图所示，则 的值为___. 0 解析 由题图可知，所以 . 题型3 分段函数 30 12.已知函数,，令则不等式 的解集 是__________. 题型3 分段函数 31 解析 由题知,当,即时,解得 , 此时, ； 当,即 时, 解得或,此时 , 由 ,得 或或 解得或无解.综上, . 题型3 分段函数 32 13.某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 与时间 成正比，药物燃烧完后，与成反比（如图），现测得药物 燃毕，此时室内空气中 每立方米含药量为.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 才有效，那么此次消 毒的有效时间是( ) C A. B. C. D. 题型4 函数的实际应用 33 解析 当时,设,将点的坐标代入中得,解得 ,所 以 . 当时,设,将点的坐标代入中得,所以 . 综上, 当时,,解得 ； 当时,,解得 . 则当时,,所以此次消毒的有效时间是 ,故选C. 题型4 函数的实际应用 34 14.［陕西西安2025高一质量检测］某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示： 不超过 的部分 3元/ 超过不超过 的部分 6元/ 超过 的部分 9元/ 若某户居民12月份应缴水费为82元，则该户居民12月份的用水量约为( ) B A. B. C. D. 题型4 函数的实际应用 35 解析 设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为 元, 则当时, 元,不符合题意; 当时,,令,解得 ,不符合题意; 当时,,解得 ,符合题意. 综上所述，此户居民本月用水量约为 .故选B. 题型4 函数的实际应用 36 特别注意 此类分段函数问题中,在计算后续区间上的费用时, 一定要减去上一个区间的右端点,例如 时以6元/计价的用水量为 . 题型4 函数的实际应用 15.［浙江杭州九校2024高一期中联考］已知函数，则 的解析式为 ( ) B A. B. C. D. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 38 解析 令,,则 , 所以 , 所以 . 故选B. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 易错警示 已知函数的解析式,求函数的解析式时,若函数 的值域不是全体实数, 则所求得的函数的解析式必须带有定义域（即函数 的值域）. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 40 16.［天津部分区2025高一期中联考］设函数则不等式 的 解集是( ) B A. B. C. D. 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 41 解析 因为函数所以 ， 不等式即.当时，，解得，因此 ； 当时，，即，解得或，因此或 . 所以不等式的解集是 .故选B. 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 易错警示 解分段函数不等式时，需要根据自变量的范围找到对应段的函数解析式建立不等式，特别是当自 变量不确定时一定要分类讨论并注意各段间的临界点，避免遗漏或重复解. 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 43 3.1 3.1.2 函数的表示法 刷提升 44 1.以下形式中，不能表示是 的函数的是( ) D A. B. C. D. 45 解析 根据函数的定义及表示方法可知,只有选项D中可化为或 ,不符合函数的定义,故 选D. 2.［广东佛山2025质量检测］已知函数， 用列表法表示如下，则下列说法正确的是 ( ) 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 C A. B. C. D. 47 解析 由表格得，，， ， 则， ， ， ， 因此，只有C选项正确.故选C. 48 3.［北京大兴区2024高一期中］已知函数则图象与 轴交点的个 数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 49 解析 令 , 当时,由，得 ,显然无实数解； 当时,由，得,解得或 （舍去）. 综上所述,图象与 轴的交点有1个.故选B. 名师点拨 函数图象与轴交点的个数等价于方程 的解的个数. 4.（多选）［湖南长沙2024高一月考］德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名 的函数 被称为狄利克雷函数.则下列说法正确的是( ) BD A. B.对任意，恒有 成立 C.任取一个不为0的实数，对任意实数 均成立 D.存在三个点，，，使得 为等边三角形 52 解析 依题意，当为有理数时，，当为无理数时， ， 因此 恒成立，A错误； 当是有理数时，，当是无理数时， ，所以对任意 ，恒有 成立，B正确； 若是无理数，当是有理数时，则是无理数，有，而 ，此时 ，C错误； 取,,，得,,，则,, ， 此时，即为等边三角形，D正确.故选 . 53 5.（多选）［河南九校2025高一联考］若函数满足关系式 ，则 ( ) ABD A. B. C. D. 54 解析 用替换代入计算，得到，结合 ，两式联 立解得 . 对于A，令，则 ，故A正确； 对于B，令，则 ，故B正确； 对于C，令，则，令，则， ， 故C错误； 对于D，令，代入原已知式子，则，即 ，故D正确. 故选 . 55 6.［黑龙江大庆实验中学2024高一月考］已知集合, ，函数 若且，则 的取值范围为______. 思路导引 先根据分段函数的解析式,讨论,分别对应的 的 范围,再分类讨论求出的范围,结合确定最终的取值范围,即得 的取值范围. 56 解析 若,则 . 令,则,不符合 ； 令,则,不符合 . 若,则 . 令,则,此时 ,符合题意； 令,则,不符合 . 综上,,则 . 57 7.［江苏南通部分学校2025高一期中联考］已知函数 ， ，其中 . （1）当，时，请在指定直角坐标系中，画出函数 的图象； 58 【解】当时, , , 当时, ； 当时, ； 当时, , 的图象如图所示. 59 （2）用表示，中的较大者，记为,，则当 时，求函数 的解析式； 60 [答案] , 当时, , 当时, , 当时, , 当时, 的图象开口向下,对称轴为直线 , , . 当时,令,结合图象知,即 , 61 即,解得 . 令,结合图象知,解得 , （3）用表示，中的较小者，记为,，若, 恒成立，求实数 的取值范围. 63 [答案] 由（2）知 当时，, ， 令, , 则的图象开口向上,对称轴方程为 , 在上随着的增大而增大，故 , 记的图象在轴左侧与线段交于点,在轴右侧与射线交于点 , 64 , 在同一平面直角坐标系上的图象如图所示， 记点的横坐标为,由（2）知点的横坐标为 , 65 的图象如图所示， 由图可知,当时, , ,解得,又,，即实数的取值范围为 . 66 思路导引 , ，在同一直角坐标系中表现为哪个函数在上方就取哪个函数; , ，在同一直角坐标系中表现为哪个函数在下方就取哪个函数，因此关键点 在于画出两个函数图象，并找出两个函数图象的交点. 67 8.［中国科学技术大学2024强基计划］函数满足，， ， 且，则 ________. 4 047 解析 令可得 ， 根据①且令，从而 ； 根据题设及①有 ， 联立①②，有，即 . 令可得，因此 . 68 $$