第二章 §2 函数-2.2 函数的表示法-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数的表示法，涵盖函数三种表示法、解析式求法、分段函数及实际应用等核心内容，通过等腰梯形面积计算、表格与图像结合的函数求值等例题导入，衔接函数概念，为后续函数性质学习搭建阶梯。 其亮点在于结合实际问题（如阶梯水价、公司采购费用）培养数学眼光，通过待定系数法、换元法等多种解法训练数学思维，以规范的解题步骤和多种表示法提升数学语言表达。学生能系统掌握方法，教师可借助丰富题型及解析提高教学效率。

数学 必修第一册 BS 1 §2 §2 函数 2 §2 2.2 函数的表示法 刷基础 3 1.［黑龙江大庆一中2025高一月考］一个面积为的等腰梯形，上底长为 ，下底长为 上底长的3倍，则把它的高（单位：）表示成 的函数为( ) C A. B. C. D. 题型1 函数的三种表示法 4 解析 由，得， . 题型1 函数的三种表示法 5 2.［广西南宁2024高一联考］已知函数的对应关系如表所示，函数 的图象是如 图所示的曲线，则 的值为( ) A 1 2 3 2 3 0 A.3 B.0 C.1 D.2 题型1 函数的三种表示法 6 解析 根据题意，由题中函数的图象，可得，则 ，故选A. 题型1 函数的三种表示法 7 3.［陕西西安2025高一期中］如图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设是 边的中点， 则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数 的图 象形状大致是( ) A A. B. C. D. 题型1 函数的三种表示法 8 图① 解析 当时，在上，如图①,过点作于点 ， 则，故，随 的增大而增大; 题型1 函数的三种表示法 9 图② 当时，在 上，如图②, 此时，随 的增大而减小; 题型1 函数的三种表示法 10 图③ 当时，在 上，如图③, 此时，，随 的增大而减小. 综上可知，函数图象分为三段，每一段均为一次函数图象，结合增减趋势可知A正 确，B，C，D错误.故选A. 题型1 函数的三种表示法 11 4.设为一次函数，且.若，则 的解析式为( ) B A.或 B. C. D. 题型2 函数解析式的求法 12 解析 设，其中，则 ，所 以解得或当时，，此时 ，符合 题意；当时，，此时，不符合题意.综上所述， .故选B. 题型2 函数解析式的求法 13 5.［江苏连云港2025高一期中］已知函数，且函数的定义域为 ， 则( ) D A.， B.， C.， D.， 题型2 函数解析式的求法 14 解析 由，可得 . 又函数的定义域为，即， ， 函数的定义域为 .故选D. 题型2 函数解析式的求法 15 多种解法 令,则 , , 函数的定义域为 , , ， 即, . 题型2 函数解析式的求法 16 6.［江西宜春2024高二段考］设是定义在上的函数，已知满足 ， 则 的解析式为_ _____________. 解析 由 ,① 用代替可得 ,② 由可得 . 题型2 函数解析式的求法 17 归纳总结 求函数解析式的方法 （1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出 ，再利用题目中给出的已 知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定系数. （2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令 ， 解出，然后代入中即可求得，从而求得 ，要注意新元的取值范围. （3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出 的解析式. （4）构造方程组法（消元法） 主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根 据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 题型2 函数解析式的求法 18 7.设是定义在上的函数,满足,并且对任意的实数, 都有 ,求 的解析式. 【解】因为,且,所以令 ,则 ,所以 . 题型2 函数解析式的求法 19 多种解法 令，得,即,将用 代换得 . 规律方法 在求函数解析式的问题中,通过给自变量赋予特殊值，展现内在联系或是减少变量个数， 从而解决问题,这种方法叫做赋值法.赋值法常用于求解抽象函数的解析式. 题型2 函数解析式的求法 20 8.（多选）下列关于分段函数的说法正确的是( ) BC A.分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B.若则 C. 是分段函数 D.分段函数的定义域都是 题型3 分段函数 21 解析 分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故A错误； 由函数的解析式可知B正确； 是一个分段函数，故C正确；分段函数的定义域不都是 ，故D错 误.故选 . 题型3 分段函数 22 特别注意 对分段函数概念的理解 （1）分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 题型3 分段函数 23 9.［江西部分学校2024高一期中联考］已知定义在上的函数 则“ ”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型3 分段函数 24 思路导引 探究“”是“ ”的什么条件,需要从函数值研究自变量,还需要从 自变量研究函数值. 题型3 分段函数 25 解析 若,则,所以.若,则,所以 . 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 故选B. 题型3 分段函数 26 10.（多选）［河南驻马店2025高一月考］已知函数则下列关于函数 的结论正确的是( ) ABD A. B.若，则的值是 C.的解集为 D.的值域为 题型3 分段函数 27 解析 对于A，因为所以 ， 所以 ，故A正确. 对于B，若，则当 时， ，解得 （舍）； 当时，，解得（舍）或 ， 所以的解为 ，故B正确. 对于C，当时，，解得 ； 当时，，解得 . 所以的解集为 ，故C错误. 对于D，当时， ； 当时， . 所以的值域为，故D正确.故选 . 题型3 分段函数 28 归纳总结 求分段函数的函数值的方法 （1）求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析 式求值； （2）当出现 的形式时,应从内到外依次求值； （3）当自变量所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的自变量取值范围. 题型3 分段函数 29 11.［北京丰台区2025高一期中］已知函数的图象如图所示，则 的值为___. 0 解析 由题图可知，所以 . 题型3 分段函数 30 12.已知函数,，令则不等式 的解集 是__________. 解析 由题知,当,即时,解得 , 此时, ； 当,即 时, 解得或,此时 , 由 ,得 或或 解得或无解.综上, . 题型3 分段函数 31 13.（多选）［河南洛阳一高2024高一期中］某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终 庆典大会上发给各位嘉宾.现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取 固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的费用 （千元），乙厂的费用（千元）与礼品数量 （千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示， 则( ) ABC A.甲厂的费用与礼品数量之间的函数关系式为 B.当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元 C.当礼品数量超过2千个时，乙厂的费用与礼品数量 之间的函数关系式 为 D.若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用 题型4 函数的实际应用 32 解析 根据图象,甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且图象过， 两点， 所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系式为 ，故A正确；当礼品数量不超过2 千个时，乙厂的费用与礼品数量之间的函数关系式为 ，所以乙厂的加工费平均每个为 元，故B正确；易知当时，与 之间的函数关系为一次函数关系，且图象过点 ，，所以函数关系式为，故C正确；当时， ， ，因为 ，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不 正确. 题型4 函数的实际应用 33 14.［陕西西安2025高一质量检测］某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示： 不超过 的部分 3元/ 超过不超过 的部分 6元/ 超过 的部分 9元/ 若某户居民12月份应缴水费为82元，则该户居民12月份的用水量约为( ) B A. B. C. D. 题型4 函数的实际应用 34 解析 设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为 元, 则当时, 元,不符合题意; 当时,,令,解得 ,不符合题意; 当时,,解得 ,符合题意. 综上所述，此户居民本月用水量约为 .故选B. 题型4 函数的实际应用 35 特别注意 此类分段函数问题中,在计算后续区间上的费用时, 一定要减去上一个区间的右端点,例 如时以6元/计价的用水量为 . 题型4 函数的实际应用 36 15.［江西南昌2025高一期中］已知函数，则 的解析式为( ) B A. B. C. D. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 37 解析 令,,则 , 所以 , 所以 . 故选B. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 38 易错警示 已知函数的解析式,求函数的解析式时,若函数 的值域不 是全体实数,则所求得的函数的解析式必须带有定义域（即函数 的值域）. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 39 16.［天津部分区2025高一期中联考］设函数则不等式 的 解集是( ) B A. B. C. D. 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 40 解析 因为函数所以 ， 不等式即.当时，，解得，因此 ； 当时，，即，解得或，因此或 . 所以不等式的解集是 .故选B. 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 41 易错警示 解分段函数不等式时，需要根据自变量的范围找到对应段的函数解析式建立不等式， 特别是当自变量不确定时一定要分类讨论并注意各段间的临界点，避免遗漏或重复解. 易错点2 不能正确理解分段函数而致错 42 §2 2.2 函数的表示法 刷提升 43 1.［江西上饶2025高一月考］以下形式中，不能表示是 的函数的是( ) D A. B. C. D. 44 解析 根据函数的定义及表示方法可知,只有选项D中可化为或 ,不符合函数的定义,故 选D. 45 2.［广东佛山2025质量检测］已知函数， 用列表法表示如下，则下列说法正确的是 ( ) 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 C A. B. C. D. 46 解析 由表格得，，， ， 则， ， ， ， 因此，只有C选项正确.故选C. 47 3.［北京大兴区2024高一期中］已知函数则图象与 轴交点的个 数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 48 解析 令 , 当时,由，得 ,显然无实数解； 当时,由，得,解得或 （舍去）. 综上所述,图象与 轴的交点有1个.故选B. 49 名师点拨 函数图象与轴交点的个数等价于方程 的解的个数. 50 4.（多选）［湖南长沙2024高一月考］德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名 的函数 被称为狄利克雷函数.则下列说法正确的是( ) BD A. B.对任意，恒有 成立 C.任取一个不为0的实数，对任意实数 均成立 D.存在三个点，，，使得 为等边三角形 51 解析 依题意，当为有理数时，，当为无理数时， ， 因此 恒成立，A错误； 当是有理数时，，当是无理数时， ，所以对任意 ，恒有 成立，B正确； 若是无理数，当是有理数时，则是无理数，有，而 ，此时 ，C错误； 取,,，得,,，则,, ， 此时，即为等边三角形，D正确.故选 . 52 5.（多选）［河南九校2025高一联考］若函数满足关系式 ，则 ( ) ABD A. B. C. D. 53 解析 用替换代入计算，得到，结合 ，两式联 立解得 . 对于A，令，则 ，故A正确； 对于B，令，则 ，故B正确； 对于C，令，则，令，则， ， 故C错误； 对于D，令，代入原已知式子，则，即 ，故D正确. 故选 . 54 6.（多选）［吉林长春外国语2024高一期中］已知函数 的图象由如图所示的两段线段组成， 则下列说法正确的为( ) BCD A. B.函数在区间 上的最大值为2 C.的解析式可表示为 D.，不等式的解集为 55 解析 依题意，当时，令，则解得, , ， 当时，令，则解得,, , 因此 对于A， ，A不正确； 对于B，函数在上随着的增大而减小，在上随着的增大而增大，而 , ，因此函数在区间上的最大值为2，B正确；对于C，因为当 时， ，当时， ，所以 56 ,C正确；对于D，因为, ，观察图象知，当 时，不等式的解集为 ，D正确. 故选 . 7.［陕西渭南2025高一期中］已知函数 （1）画出函数 的图象； 58 【解】图象如图所示.作图时注意曲线端点处是实心点还是空心点. 59 （2）求, 的值； [答案] ，, ， . （3）当时，求 的取值范围. [答案] 当时，,解得 ； 当时， ，符合题意； 当时，,解得 . 综上，当时,的取值范围为 ， . 60 8.［中国科学技术大学2024强基计划］函数满足，， ， 且，则 ________. 4 047 解析 令可得 ， 根据①且令，从而 ； 根据题设及①有 ， 联立①②，有，即 . 令可得，因此 . 61 $$