1.1.2 集合的基本关系-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“集合的基本关系”，系统覆盖子集、真子集概念及应用，通过“刷基础-刷提升”梯度设计，衔接概念辨析与易错点精讲，构建从理解到应用的学习支架。 其亮点在于结合数学思维与数学语言，通过题型分类（如子集个数计算）、易错点剖析（如空集讨论）及二级结论总结，辅以思维导图梳理逻辑。实例如含参集合关系题，培养学生推理与表达能力，助力教师高效教学，提升学生解题素养。

数学 必修第一册 RJB 1 1.1 1.1 集合 2 1.1 1.1.2 集合的基本关系 刷基础 3 1.对于集合，，“ ”不成立的含义是( ) C A.是的子集 B.中的元素都不是 的元素 C.中至少有一个元素不属于 D.中至少有一个元素不属于 题型1 子集的概念 4 解析 “”成立的含义是集合中的任何一个元素都是集合 的元素，不成立的含义是集合 中至少有一个元素不属于集合 ，故选C. 题型1 子集的概念 5 2.已知集合， ，则( ) D A. B. C. D. 题型1 子集的概念 6 解析 集合，，, 两个数集之间应是包含关系而不是属 于关系，故A错误. 由条件可得，且 ，所以B,C错误，D正确.故选D. 题型1 子集的概念 7 3.［河南豫北名校2025高一联考］设集合，,，则 的非空子 集的个数为( ) C A.3 B.4 C.7 D.8 题型1 子集的概念 8 解析 要使，，则,4,9，故中含有三个元素，所以的非空子集有， ， ，，，， ，共7个.故选C. 题型1 子集的概念 9 二级结论 若集合中有个元素,则其子集个数为,非空子集个数为,真子集个数为 ,非空真子集 个数为 . 题型1 子集的概念 10 4.［山东新泰一中2025高一期中］已知集合,，,,，若，则实数 的取值集合为____. 解析 因为，所以，所以或，即或 . 当时，，，满足；当时，,，,0, ，不 满足.综上，，因此实数的取值集合为 . 题型1 子集的概念 11 5.设集合，和，，那么与 的关系为_____ ___． 解析 因为，所以，同号.又，所以，，即集合 表示第三象限内的 点．而集合也表示第三象限内的点，故 . 题型1 子集的概念 12 6.下列命题中，正确的有( ) C ①空集是任何集合的真子集；②若，，则 ；③任何一个集合必有两个或两个以 上的真子集；④若不属于的元素一定不属于，则 . A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 题型2 真子集的概念 13 解析 ①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故①错误； ②真子集具有传递性，故②正确； ③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错误； ④由维恩图易知④正确.故选C. 题型2 真子集的概念 14 7.下列能正确表示集合,0,和 的关系的维恩图是( ) B A. B. C. D. 题型2 真子集的概念 15 解析 由题意得或,，所以 .故选B. 题型2 真子集的概念 16 8.［湖北重点中学2024高一联考］集合，,,且，则集合 的真子集的个数为( ) C A.5 B.15 C.31 D.32 题型2 真子集的概念 17 解析 由,,,且,得,,,, ,集 合中含有5个元素,所以集合的真子集个数为 .故选C. 题型2 真子集的概念 18 9.已知集合,，,},则满足条件 的集 合 的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 真子集的概念 19 解析 由题得，,3,4， . 因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素2,5，所以或,5，或 , 5， .故选C. 题型2 真子集的概念 20 多种解法 因为中有2个元素，中有4个元素，且，则有 （个）. 题型2 真子集的概念 21 二级结论 若集合中有个元素，集合中有个元素，且 . 当时，集合有 个； 当时，集合有 个； 当时，集合有 个； 当时，集合有 个. 题型2 真子集的概念 22 10.已知集合，.若，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型2 真子集的概念 23 解析 因为，， ， 所以 ．故选A. 题型2 真子集的概念 24 链接教材 本题是教材第11页例2的同类试题，都考查根据集合间的关系求参数.若已知集合与 的关系，求 参数的取值或范围时，可以采用数形结合的方法，用数轴表示出集合的关系，分析参数的范围， 注意区分是子集关系还是真子集关系，并检验端点值是否满足题意.若，在未指明 非空集 时，应分为 和 两种情况来讨论. 题型2 真子集的概念 25 11.（多选）［海南三亚一中2025高一期中］以下写法正确的是( ) AC A. B. C. D. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 26 解析 对于A，，故A正确；对于B，因为,表示集合，所以 ，故B 错误；对于C，由 ，故C正确；对 于D，根据集合与集合的关系，，故D错误.故选 . 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 27 易错警示 （1）元素与集合的关系为属于、不属于；集合与集合的关系为包含、不包含. （2）集合相等也是集合包含关系的一种情况. （3）空集和 并不相等. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 28 12.［辽宁沈阳一二○中学2024质量检测］设集合 ，集合 ，若，则实数 取值集合的真子集的个数为( ) C A.2 B.3 C.7 D.8 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 29 解析 由,得 , 解得或,所以 . 当时, ,满足 ； 当时,,因为,所以或,解得或 . 综上,实数取值的集合为 , 所以实数取值集合的真子集的个数为 ,故选C. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 30 易错警示 求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时,应考虑该集合为空集的特殊情况,本题求解的易 错之处是忽视集合 为空集的特殊情况而导致漏解. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 31 13.［辽宁沈阳东北育才中学2025高一月考］已知集合或, ， 若，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C.或 D. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 32 解析 集合或 , ,当时，不成立，此时 ，满足 ； 当时，因为，所以，又因为，所以，解得 ； 当时，因为，所以，又因为，所以，解得 . 综上可知， .故选A. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 33 易错警示 在根据集合间的关系求参数时,需要注意端点处是否取等号,最有效的方法是假设可以取等号,如果 满足题中条件就可以取等号,不满足则取不到等号. 本题还要考虑 的情况. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 34 1.1 1.1.2 集合的基本关系 刷提升 35 1.（多选）下列选项中正确的是( ) CD A.{质数奇数} B.集合与集合 没有相同的子集 C.任何集合都有子集，但不一定有真子集 D.若，，则 36 解析 2是质数，但它不是奇数，所以{质数 奇数}错误，所以A错误； 集合与集合有相同的子集 ，所以B错误； 空集是任何集合的子集，空集没有真子集，所以C正确； 若，，则，所以D正确.故选 . 37 2.给出下列关系式： ；；； ； .其中正确的个数为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 38 解析 ，故①错误； 是整数，所以 ，故②正确； ③由，得或，所以，所以 ,故③正确； 为正整数集，故④错误； ⑤由得所以 ，故⑤错误.所以正确的有2个.故 选B. 39 3.［山东济南2025高一期末］若 ，则下列说法正确的是( ) D A. B. C., D. 40 解析 ，是以空集为元素的集合，不是集合 的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误； ，故D正确.故选D. 41 4.［河南二十名校2024高一联考］已知集合,,，则满足 , 的集合 的个数为( ) A A.16 B.14 C.8 D.2 42 解析 由集合,, }, 可得集合中的元素有,,,,, , 所以集合,,,的任何一个子集,添加元素, 后都可以作为 集合 , 所以符合条件的集合共有 个.故选A. 43 5.［福建福州、宁德五校2025高一期中联考］集合, ， ,，, }的关系是( ) A A. B. C. D. 44 解析 根据集合的概念可知，集合表示所有被7除余5的正整数以及所构成的集合，集合 表 示所有被7除余5的正整数所构成的集合，所以且.集合 表示所有被14除余5的正整 数所构成的集合，任取，则，，所以，则 ，又 ，，所以.综上， ，故选A. 45 6.已知集合，.若，则实数 的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 46 解析 当 时,满足,此时,解得 ； 当 时,由得解得 . 综上所述,实数的取值范围为 . 故选C. 47 特别注意 根据此题给出的包含关系,需要分别讨论 和 的情况. 48 7.若，且中至少含有一个质数，则满足要求的 的个数为( ) C A.16 B.20 C.24 D.32 49 解析 由题意， 可以取的所有值有0,1,2,3,4，其中质数有2,3. 当且中只有一个质数时，集合有，，，，，， ， ； 当且中只有一个质数时，集合有，，，，，， ， ； 当2,时，集合有，，，，，， ， . 故总个数为 .故选C. 50 8.［北京四中2025高一期末］正交数组的概念在现代广泛应用.设集合 ,,,2,3,，任取, ，若 ，则称与正交.若，且 中任意两 个元素均正交，则 中元素个数最多是( ) C A.2 B.3 C.4 D.6 51 解析 不妨设 ， 由，则中最多再包含,, , ,, 这6个元素， 设这6个元素组成的集合为，则中存在两个元素在集合中时，满足题意，如 , , ， 且中存在三个元素在集合中时，满足题意，如,, , ,但其中有4个元素在集合中时，不满足题意，同理，其中有5个或6个元素在集合 中时，均不满足题意. 因此若，且中任意两个元素均正交，则 中元素个数最多是4.故选C. 52 9.［湖北孝感高级中学2024高一调研］已知整数集合关于的方程 有整 数解，集合满足条件：；②若，则.则所有这样的集合 的个数为____. 31 53 思路导引 根据集合关于的方程 有整数解},利用一元二次方程根与系数的关系,可 求出集合,进而根据已知中集合满足的两个条件,可得互为相反数的两个元素同属于 或同不属 于,进而得到满足条件的集合 的个数. 54 解析 由题意可得.设关于的方程的两个根分别为, ,则 所以方程 的整数解只能是36的约数. 当方程的解为,36时, ； 当方程的解为,18时, ； 当方程的解为,12时, ； 当方程的解为,9时, ； 当方程的解为,6时, ； 当方程的解为1,时, ； 当方程的解为2,时, ； 55 当方程的解为3,时, ； 当方程的解为4,时, . 故集合,,,,0,5,9,16, . 由集合满足条件：；②若,则 , 得集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合,因为集合 中有4对相反数和元 素0, 所以这样的非空集合共有 个. 10.［江苏泰州2025高一月考］设集合,,，若集合 的各个非空子集元素和的总和是64， 则 ____. 16 解析 由,,，得的非空子集为,,,,,,，,,,, ，若 集合的各个非空子集元素和的总和是64，则，故 . 57 11.［天津经济技术开发区一中2025高一月考］已知集合 . （1）若 ，求实数 的取值集合. 【解】因为 ，所以 . 当时，,则 ，与题意矛盾; 当时，则，解得 . 综上，实数的取值集合为 . （2）若的子集有两个，求实数 的取值集合. [答案] 因为的子集有两个，所以集合 中只有一个元素. 当时，由（1）知， ，符合题意； 当时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为 . 58 12.［2023全国高中数学联赛北京赛区预赛］是集合,2, , 的子集，满足任意两个元素 的平方和不是9的倍数，则的最大值是________（这里表示 的元素个数）. 1 350 解析 ，，，，，，，， ， 的平方是9的倍数的数有3个：3，6，9， 的平方除以9的余数分别是1，4，0，7，7， 0，4，1，0， 任意一个整数的平方被9除的余数只能是0,1,4,7, ,,,,,,,, , ,,1,4,7的任意两个数的和（除0和0外）均不是9的倍数， 任意两个数的平方和是 9的倍数只能要求这两个数的平方本身是9的倍数， 余1, 的平方是9的倍数的数有674个， 的最大值为 . 59 $$