精品解析：陕西省西安市雁塔区第三初级中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年第二学期3月限时训练 八年级数学 （总分120分 用时120 分钟） 一、选择题：（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在第二象限内，则m的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 5. 如图，将△ABC沿BC方向向右平移到△A'B'C'的位置，连接AA'．已知△ABC的周长为22cm，四边形ABC'A'的周长为34cm，则这次平移的平移距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小逸是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：、5、、、、分别对应强、我、祖、爱、国、有．现将因式分解，则结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱祖国 B. 强国有我 C. 我爱国 D. 我有祖国 8. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 9. 已知a,b,c分别是△ABC的三边长,且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2,则△ABC是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 10. 如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（ ） A. B. 2 C. 9 D. 二、填空题：（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：___________． 12. 不等式，两边同除以，得，则m的取值范围为___________ 13. 如图，将绕顶点B顺时针旋转得到，且点C刚好落在线段上，若，则的度数是____________ 14. 若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，则m的值为_________． 15. 已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是___________ 16. 如图，在边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点旋转得到，连接，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是______________ 三、解答题：（共10小题，共72分，解答题要写出过程） 17. 解不等式组：并写出它的所有整数解． 18. 因式分解 （1） （2） 19. 若x+y=3，且(x+2)(y+2)=12． （1）求xy的值； （2）求x2+3xy+y2的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 21. 阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号的意义为： 当时，；当时，． 如：，． 根据上面的材料回答下列问题： （1）___； （2）当时，求x的取值范围． 22. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 23. 在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： （1）关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． （2）若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 24. 在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元. （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元? （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低. 25. 阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：； （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； （3）已知是的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 26. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． （2）如图2，等补四边形中，，，若，求的长． （3）如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期3月限时训练 八年级数学 （总分120分 用时120 分钟） 一、选择题：（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义就可以选出答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误； 、∵，∴，符合题意，选项正确； 、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误； 、，，，则不成立，不符合题意，选项错误． 故选：． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解）、平方差公式（）逐项判断即可得． 【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，则此项不符题意； B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意； C、等式右边等于，与等式左边不相等，不是因式分解，则此项不符题意； D、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义、整式的乘法运算，熟记因式分解的定义是解题关键． 4. 已知点在第二象限内，则m的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，根据第二象限内点的符号特征，求出的取值范围，即可． 【详解】解：∵在第二象限内， ∴， ∴， ∴m的值可以是0； 故选：D． 5. 如图，将△ABC沿BC方向向右平移到△A'B'C'的位置，连接AA'．已知△ABC的周长为22cm，四边形ABC'A'的周长为34cm，则这次平移的平移距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得平移的距离为：AA'=CC'，由平移的性质得AC=A'C'，再利用已知的周长即可求解． 【详解】解：由题意得：平移的距离为AA'或CC'的长度，且AA'=CC'， ∵将△ABC沿BC方向向右平移到△A'B'C'的位置， ∴AC=A'C'， ∵△ABC的周长为22cm，四边形ABC'A'的周长为34cm， ∴AB+BC+AC=22(cm)， AB+BC+CC'+A'C'+AA'=34(cm)， ∴AB+BC+CC'+AC+AA'=34(cm)， 则2AA'=12cm， 解得：AA'=6cm， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平移的性质，解答的关键是熟记平移的性质并灵活运用． 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 7. 小逸是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：、5、、、、分别对应强、我、祖、爱、国、有．现将因式分解，则结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱祖国 B. 强国有我 C. 我爱国 D. 我有祖国 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—综合运用提公因式与公式法，先提取公因式，再利用平方差公式进行计算是解此题的关键． 所给的多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止，从而结合密码手册即可得出答案． 【详解】解：， ∴呈现的密码信息包括我、强、国、有， 故选B． 8. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程①减去方程②，得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：， ①②得：，即， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“利用整体未知数的方法解决问题”是解本题的关键． 9. 已知a,b,c分别是△ABC的三边长,且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2,则△ABC是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】等式两边乘以2，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，，则，且.然后根据等腰三角形和直角三角形的判定方法进行判断. 【详解】， ， ， ，， ，， ，且， 为等腰直角三角形. 故选. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式是解决问题的关键. 10. 如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（ ） A. B. 2 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作，交于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 则． 根据勾股定理，得． 在中，． 故选：A． 二、填空题：（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】原式 ． 12. 不等式，两边同除以，得，则m的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式号的方向要改变，是解本题的关键． 运用不等式的性质解题即可． 【详解】解：由题可知：， 解得：． 13. 如图，将绕顶点B顺时针旋转得到，且点C刚好落在线段上，若，则的度数是____________ 【答案】##38度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，即可得，进而利用三角形内角和定理可求出，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 14. 若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，则m的值为_________． 【答案】或者 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式， 即， ， 解得：或者， 故答案为：或者． 【点睛】此题考查因式分解的定义，完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 15. 已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键． 根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案． 【详解】解： 解①式得： 解②式得： ∵ 关于 x 的不等式组仅有三个整数解， ∴不等式组的解集为：即 0 ，1 ，2， ∴，解得： ． 故答案为：． 16. 如图，在边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点旋转得到，连接，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是______________ 【答案】 【解析】 【分析】取 的中点 ，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴ ， 又∵是等边三角形， ∴，即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴ ， ∴， 又∵旋转到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时 ， ∴， ∴ ， ∴． ∴线段长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含30度角的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题：（共10小题，共72分，解答题要写出过程） 17. 解不等式组：并写出它的所有整数解． 【答案】，所有整数解有，0． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键． 分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． ∴它的所有整数解有，0． 18. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，根据所给多项式选择合适的因式分解方法是解题的关键. （1）先提取公因式a，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）变形后提取公因式，再用平方差公式分解因式即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 19. 若x+y=3，且(x+2)(y+2)=12． （1）求xy的值； （2）求x2+3xy+y2的值． 【答案】（1）2； （2）11 【解析】 【分析】（1）先去括号，再整体代入即可求出答案； （2）先配方变形，再整体代入，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12， ∴xy+2x+2y+4=12， ∴xy+2（x+y）=8， ∴xy+2×3=8， ∴xy=2； （2）∵x+y=3，xy=2， ∴x2+3xy+y2 =（x+y）2+xy =32+2 =11． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 20. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 【答案】（1） 解：如图； （2） 解：如图 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 21. 阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号的意义为： 当时，；当时，． 如：，． 根据上面的材料回答下列问题： （1）___； （2）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． （1）比较大小，即可得出答案； （2）根据题意判断出解不等式即可判断x的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得 故答案为：； 【小问2详解】 由题意得： ∴x的取值范围为． 22. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ； （2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）略 （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 23. 在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： （1）关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． （2）若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 【答案】（1）， （2）不等式的解集是．的面积为 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围，再利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数和的图象，分别与轴交于点， 关于的方程的解是， 关于的不等式的解集，为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：点的坐标为， 由图象可知，不等式的解集是． ，点， ， ． 24. 在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元. （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元? （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低. 【答案】（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元（2）共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台；方案三费用最低． 【解析】 【分析】（1）设电脑、电子白板的价格分别为x、y元，根据等量关系：“1台电脑+2台电子白板=3.5万元”，“2台电脑+1台电子白板=2.5万元”，列方程组求解即可． （2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解．设购进电脑x台，电子白板有(30-x)台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答． 【详解】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元． （2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台， 则， 解得：，即a=15，16，17． 故共有三种方案： 方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元； 方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元； 方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元． ∴方案三费用最低． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系和不等关系列出方程组及不等式组是解题关键． 25. 阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：； （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； （3）已知是的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 【答案】（1） （2）代数式的最大值为，此时． （3）是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． （1）原式化为，利用完全平方公式，平方差公式分解因式即可； （2）先添括号与负号，将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最大值即可； （3）分别对用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定的值即可求出结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴， ∴代数式的最大值为，此时． 【小问3详解】 解：∵， ， 即， ， ， 是等腰三角形． 26. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． （2）如图2，等补四边形中，，，若，求的长． （3）如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路的长． 【答案】（1）是 （2）； （3）道路的长为． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）利用等边三角形的判定与性质得到是等边三角形，则．把绕点逆时针旋转至，只要再证明，根据即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转得：，， ∵， ∴， ∴四边形是等补四边形， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：如图2，∵，， ∴将绕点顺时针旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问3详解】 解：如图3，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足， ∵，， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得到：， 又∵， ∴，即点在的延长线上． ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵和是边长相等的等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴, 即这条道路的长为． 【点睛】本题考查的是四边形综合题，考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $