第一次月考（10月）综合测试卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册（章节基础过关卷+单元提优验收卷+重难点易错题突破卷+月考期中期末仿真卷）

第一次月考（10月）综合测试卷 （时间：120分钟 满分：120分 ） 考试范围：一元二次方程与二次函数 姓名 得分 一．选择题（共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2024秋•潍坊期中）解下列一元二次方程可以直接开平方的是（　　） A．x2+6x＝0 B．（x﹣5）2＝16 C．x2+5x﹣6＝0 D．（x﹣2）x+3x﹣8＝0 2．（2024秋•蜀山区月考）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标为（1，0） C．对称轴为直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 3．（2024秋•韩城市期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线y＝5x2，则原抛物线解析式为（　　） A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3 C．y＝5（x﹣2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3 4．（2021秋•恩平市期中）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则的值为（　　） A．﹣4 B．1 C．2 D．4 5．（2024春•鼓楼区期末）如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为4.2m，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2+4.2（a＜0），则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（　　） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为x轴 C．以水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为y轴 6．（2024•金水区开学）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（b，c）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2024秋•芜湖期中）如图，小球悬浮于液体中（即F浮＝G），若F浮＝20N，小球质量为（x2+x）kg，g＝10N/kg，则x的值为（　　） A．1 B．4 C．﹣2或1 D．﹣5或4 8．（2024秋•萧山区月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为，且b+2c＝0，则方程cx2+bx+a＝0一定有一个根为（　　） A．﹣2022 B．﹣2023 C．﹣2024 D．﹣2025 9．（2024秋•屯留区期中）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BCAB，连接AC；②以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交AB于点E．则的值为（　　） A． B． C． D． 10．（2022秋•迎江区期中）定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（　　） A． B． C．1 D．0 二．填空题（共有6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•建湖县月考）写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程：　 　 ． 12．（2023秋•瑞金市期末）若二次函数y＝3x2﹣1的图象上有两点A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1　 　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 13．（2023秋•合肥月考）现用长为6m的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，设窗户位于上方的矩形的宽为x（m），窗户的总面积为y（m2），则y与x之间的函数关系式是 　 　 （不用写出自变量的取值范围）． 14．（2021•新市区一模）小丽在解一个三次方程x3﹣2x+1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为（x﹣1）（x2+bx+c）＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解 　 ． 15．（2024•九台区一模）如图，P是抛物线y＝x2﹣3x﹣4在第四象限的图象上一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 　 　 ． 16．（2024•中江县三模）如图，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图象C1，当直线y＝x+b与图象C1恰有两个公共点时，b的取值范围是 　 ． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2024秋•德城区月考）解方程： （1）x2+12x＝﹣27； （2）4（3x+1）2＝25（x﹣2）2． 18．（10分）（2024秋•阜宁县月考）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 19．（10分）（2024秋•硚口区月考）如图，二次函数的顶点坐标为（2，5），图象过点（0，1）． （1）求二次函数的表达式； （2）已知△ABC为一直角三角形纸片，∠BAC＝90°，，AC＝1，直角边AB落在x轴上，点C在x轴上方，将纸片沿x轴平移，当点C落在抛物线上时，求点B的坐标． 20．（12分）（2024•成都模拟）成都大运会吉祥物“蓉宝”形象深受市民喜爱，已知某商家销售的A型、B型纪念品进价、售价和每日销量如表所示． 根据市场行情，该商家对A型纪念品降价销售，同时对B型纪念品提高售价，发现A型纪念品每降低2元就可多卖1个，B型纪念品每提高2元就少卖1个，要保持每天销售总量不变．设其中A型纪念品每天多销售x个（A型纪念品售价不得低于进价）． 纪念品 进价/（元/个） 售价/（元/个） 销量/（个/日） A型 30 50 30 B型 20 30 40 （1）请用含x的代数式表示：降价后A型纪念品单个利润为 元；提价后B型纪念品单个利润为 　 　 元； （2）若当日利润为1036元，求x的值． 21．（12分）（2024•西安三模）如图，在一场校园羽毛球比赛中，小华在P点选择吊球进行击球，当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米，建立如图所示的平面直角坐标系．羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分；队友小乐则在点P选择扣球进行击球，羽毛球的飞行高度y1（m）与水平距离x（m）近似地满足一次函数关系y1＝﹣0.4x+2.8． （1）根据如图所示的平面直角坐标系，求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式； （2）在（1）的条件下，已知球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，且点A，C都在x轴上，实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式？ 22．（14分）（2025•鹿邑县三模）【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则m＝ 　 　 ，n＝ 　 ． 【思考与探究】 （2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2． ①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考（10月）综合测试卷 （时间：90分钟 满分：120分 ） 考试范围：一元二次方程与二次函数 姓名 得分 一．选择题（共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2024秋•潍坊期中）解下列一元二次方程可以直接开平方的是（　　） A．x2+6x＝0 B．（x﹣5）2＝16 C．x2+5x﹣6＝0 D．（x﹣2）x+3x﹣8＝0 【分析】形如（x+p）2＝q（q≥0）的方程可以用直接开平方法求解． 【详解】解：方程（x﹣5）2＝16可以直接开平方． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 2．（2024秋•蜀山区月考）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标为（1，0） C．对称轴为直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【分析】找到题目中函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性后即可得到答案． 【详解】解：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2中a＝1＞0，开口向上，顶点坐标为（1，0），对称轴为x＝1，当x＞1时，y随着x的增大而增大． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线y＝a（x﹣h）2+k的性质，能正确的说出顶点坐标、对称轴及开口方向是解题的关键． 3．（2024秋•韩城市期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线y＝5x2，则原抛物线解析式为（　　） A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3 C．y＝5（x﹣2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3 【分析】根据题意求将抛物线y＝5x2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为y＝5x2， ∴y＝5x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为y＝5（x﹣2）2+3． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握平移法则是关键． 4．（2021秋•恩平市期中）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则的值为（　　） A．﹣4 B．1 C．2 D．4 【分析】阅读题目信息，易得a≠0，首先利用直接开平方法求得方程ax2＝b的根为±；分析可得该方程的两根互为相反数，根据相反数的性质可得m+1+2m﹣4＝0，解方程即可求出m的值；接下来将m的值代入m+1、2m﹣4，即可得到方程的根，到此相信你能够独立完成了． 【详解】解：由题意得b≠0． ax2＝b两边同时除以a得x2， 直接开平方得x＝±． ∵方程的两个根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， ∴m＝1． 将m＝1代入m+1与2m﹣4中，可得ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2． 又∵x＝±， ∴4． 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 5．（2024春•鼓楼区期末）如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为4.2m，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2+4.2（a＜0），则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（　　） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为x轴 C．以水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为y轴 【分析】根据题意和抛物线解析式得出结论． 【详解】解：∵玉带桥的拱顶离水面的平均高度为4.2m，二次函数为y＝ax2+4.2（a＜0）， ∴抛物线的顶点坐标为（0，4.2）， ∴该抛物线所在的平面直角坐标系是以抛物线的对称轴为y轴，以水面为x轴， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是把实际问题转化为数学问题． 6．（2024•金水区开学）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（b，c）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】二次函数开口向上，则二次项系数大于0，与y轴交于负半轴，则常数项小于0，再根据第三象限内的点横坐标为负，纵坐标为负即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线x＞0， ∴a＞0，c＜0，b＜0， ∴点P（b，c）所在的象限是第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，判断点所在的象限，数形结合是解答本题的关键． 7．（2024秋•芜湖期中）如图，小球悬浮于液体中（即F浮＝G），若F浮＝20N，小球质量为（x2+x）kg，g＝10N/kg，则x的值为（　　） A．1 B．4 C．﹣2或1 D．﹣5或4 【分析】先根据题意列出方程，再求解即可． 【详解】解：由题意可知：F浮＝G，F浮＝20N， ∴10（x2+x）＝20， ∴x2+x﹣2＝0， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2， 所以x的值为﹣2或1， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是能正确列出方程． 8．（2024秋•萧山区月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为，且b+2c＝0，则方程cx2+bx+a＝0一定有一个根为（　　） A．﹣2022 B．﹣2023 C．﹣2024 D．﹣2025 【分析】先根据一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程ax2+bx+c＝0，再根据b+2c＝0，把b用c表示出来，从而把a用c表示出来，最后方程cx2+bx+a＝0中的a，b换成c，然后把方程左边分解因式，求出方程的解即可． 【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为， ∴， ， ∴， ∵b+2c＝0， ∴b＝﹣2c， ∴， ， ， a＝﹣2022×2024c， ∴方程cx2+bx+a＝0可化为：cx2﹣2cx﹣2022×2024c＝0， c（x2﹣2x﹣2022×2024）＝0， c（x﹣2024）（x+2022）＝0， 若c＝0，则x取任意实数； 若c≠0，方程cx2+bx+a＝0的两个根为：x1＝2024，x2＝﹣2022， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义和解一元二次方程的几种方法． 9．（2024秋•屯留区期中）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BCAB，连接AC；②以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交AB于点E．则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】令AB的长为2a，根据题中所给作图步骤，可得出BC的长为a，再用勾股定理表示出AC的长，进而可得出AD（即AE）的长，据此可解决问题． 【详解】解：令AB的长为2a， 则BC， 在Rt△ABC中， AC． 因为CD＝CB，AE＝AD， 所以AE， 则BE＝2a﹣（1）a＝（3）a， 所以， 故选：B． 【点睛】本题考查黄金分割，能用含a的代数式表示AE及AB的长是解题的关键． 10．（2022秋•迎江区期中）定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（　　） A． B． C．1 D．0 【分析】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B． 令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x或， ∴A（，），B（，）． 观察图象可知： ①当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为； ②当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于； ③当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为． 综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键． 二．填空题（共有6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•建湖县月考）写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程：　x2﹣3x+2＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义及一元二次方程解的概念即可完成． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数为1， ∴设所写的一元二次方程为x2﹣3x+c＝0， ∵方程有一个根为2， ∴22﹣3×2+c＝0， ∴c＝2， ∴这个方程是x2﹣3x+2＝0， 但由于一次项系数还可以取其它任意实数，故所写的满足条件的方程不唯一， 故答案为：x2﹣3x+2＝0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，利用已知可以写一个关于x的一元二次方程，可以先确定一次项，常数项待定，将x＝2代入可确定常数项，即可得到一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程． 12．（2023秋•瑞金市期末）若二次函数y＝3x2﹣1的图象上有两点A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1　＞　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】根据抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，进行比较即可． 【详解】解：y＝3x2﹣1， ∵a＝3＞0，对称轴为：直线x＝0， ∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵|﹣2﹣0|＞|1﹣0|， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．（2023秋•合肥月考）现用长为6m的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，设窗户位于上方的矩形的宽为x（m），窗户的总面积为y（m2），则y与x之间的函数关系式是 　y＝6x﹣8x2　 （不用写出自变量的取值范围）． 【分析】根据各边之间的关系，可得出窗户位于上方的矩形的长为m，利用窗户的总面积＝3×窗户位于上方的矩形的面积，即可找出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：∵该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，且窗户框架的总长度为6m， ∴窗户位于下方的矩形的长为2x m，窗户位于上方的矩形的长为m， 根据题意得：y＝3x•， 即y＝6x﹣8x2． 故答案为：y＝6x﹣8x2． 【点睛】本题考查了根据时间问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 14．（2021•新市区一模）小丽在解一个三次方程x3﹣2x+1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为（x﹣1）（x2+bx+c）＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解 　1，　 ． 【分析】先求b，c的值，再解方程． 【详解】解：有题意得：x3﹣2x+1＝（x﹣1）（x2+bx+c）． ∴x3﹣2x+1＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c． ∴b﹣1＝0，c﹣b＝﹣2，﹣c＝﹣1． ∴b＝1，c＝﹣1． ∵x3﹣2x+1＝（x﹣1）（x2+bx+c）＝0． ∴x﹣1＝0或x2+x﹣1＝0 ∴x＝1或x． 故答案为：1，． 【点睛】本题考查高次方程的解法，因式分解后求出b，c的值是求解本题的关键． 15．（2024•九台区一模）如图，P是抛物线y＝x2﹣3x﹣4在第四象限的图象上一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 　16　 ． 【分析】依据题意，设P（x，x2﹣3x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣2）2+16，从而根据二次函数的性质来求最值即可． 【详解】解：设P（x，x2﹣3x﹣4）， ∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣3x﹣4）+2x＝﹣2x2+8x+8＝﹣2（x﹣2）2+16． ∴当x＝2时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 16．（2024•中江县三模）如图，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图象C1，当直线y＝x+b与图象C1恰有两个公共点时，b的取值范围是 　b 或﹣3＜b＜1　 ． 【分析】解方程x2﹣2x﹣3＝0得A（﹣1，0），B（3，0），当直线y＝x+b过A点时得b＝1，当直线y＝x+b过B点时得b＝﹣3，当直线y＝x+b与翻折后的抛物线有一个交点得b，然后利用函数图象可得到当﹣﹣3＜b＜1或b，时，直线y＝x+b与图形C1恰有两个公共点． 【详解】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 当直线y＝x+b过A点时，直线y＝x+b与图形C1有三个公共点， ∴0＝﹣1+b， 解得b＝1， 当直线y＝x+b过B点时，直线y＝x+b与图形C1恰有1个公共点， ∴0＝3+b， 解得b＝﹣3， 将抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方部分沿x轴翻折得到﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3， 令x+b＝﹣x2+2x+3，整理得x2﹣x﹣3+b＝0， 若直线y＝x+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3有一个交点，则Δ＝0， ∴（﹣1）2﹣4（﹣3+b）＝0，解得b， ∴当直线y＝x+b与图形C1恰有两个公共点时，b的取值范围为﹣3＜b＜1或b， 故答案为：﹣3＜b＜1或b． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2024秋•德城区月考）解方程： （1）x2+12x＝﹣27； （2）4（3x+1）2＝25（x﹣2）2． 【分析】（1）变形后利用因式分解法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）x2+12x＝﹣27， ∴x2+12x+27＝0， 则（x+3）（x+9）＝0， ∴x+3＝0或x+9＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣9； （2）4（3x+1）2＝25（x﹣2）2， ∴4（3x+1）2﹣25（x﹣2）2＝0， 则（11x﹣8）（x+12）＝0， ∴11x﹣8＝0或x+12＝0， 解得，x2＝﹣12． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18．（10分）（2024秋•阜宁县月考）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0，然后解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5，利用整体代入的方法得到22+m﹣5+10＝0，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0， 解得m≤6； （2）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5， ∵（x1+x2）2+x1•x2+10＝0， ∴22+m﹣5+10＝0， ∴m＝﹣9． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2 19．（10分）（2024秋•硚口区月考）如图，二次函数的顶点坐标为（2，5），图象过点（0，1）． （1）求二次函数的表达式； （2）已知△ABC为一直角三角形纸片，∠BAC＝90°，，AC＝1，直角边AB落在x轴上，点C在x轴上方，将纸片沿x轴平移，当点C落在抛物线上时，求点B的坐标． 【分析】（1）根据顶点坐标设顶点式，代入点（0，1），即可求解； （2）根据题意点C的纵坐标为1，当y＝1时，解出x1＝0，x2＝4，得到A（0，0）或（4，0），结合，即可得到B点坐标． 【详解】解：（1）∵二次函数的顶点坐标为（2，5），图象过点（0，1）， ∴设y＝a（x﹣2）2+5（a≠0），将（0，1）代入得： 4a+5＝1， 解得：a＝﹣1， ∴函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+5＝﹣x2+4x+1； （2）∵AC＝1，∠BAC＝90°，直角边AB在x轴上， ∴点C的纵坐标为1， 当y＝1时，﹣x2+4x+1＝1， 解得：x1＝0，x2＝4， ∴A（0，0）或（4，0）， ∵， ∴或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的特点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20．（12分）（2024•成都模拟）成都大运会吉祥物“蓉宝”形象深受市民喜爱，已知某商家销售的A型、B型纪念品进价、售价和每日销量如表所示． 根据市场行情，该商家对A型纪念品降价销售，同时对B型纪念品提高售价，发现A型纪念品每降低2元就可多卖1个，B型纪念品每提高2元就少卖1个，要保持每天销售总量不变．设其中A型纪念品每天多销售x个（A型纪念品售价不得低于进价）． 纪念品 进价/（元/个） 售价/（元/个） 销量/（个/日） A型 30 50 30 B型 20 30 40 （1）请用含x的代数式表示：降价后A型纪念品单个利润为 　（20﹣2x）　 元；提价后B型纪念品单个利润为 　（10+2x）　 元； （2）若当日利润为1036元，求x的值． 【分析】（1）根据A型纪念品每降低2元就可多卖1个，B型纪念品每提高2元就少卖1个，要保持每天销售总量不变求解即可； （2）根据当日利润为1036元列式求解即可． 【详解】解：（1）∵A型纪念品每降低2元就可多卖1个，B型纪念品每提高2元就少卖1个， ∴降价后A型纪念品单个利润为50﹣30﹣2x＝（20﹣2x）元，提价后B型纪念品单个利润为30﹣20+2x＝（10+2x）元． 故答案为：（20﹣2x）元，（10+2x）元； （2）由题意，得， （20﹣2x）（30+x）+（10+2x）（40﹣x）＝1036， 解得x1＝6，x2＝1.5（舍去）， ∴x的值为6． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，找出数量关系是解答本题的关键． 21．（12分）（2024•西安三模）如图，在一场校园羽毛球比赛中，小华在P点选择吊球进行击球，当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米，建立如图所示的平面直角坐标系．羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分；队友小乐则在点P选择扣球进行击球，羽毛球的飞行高度y1（m）与水平距离x（m）近似地满足一次函数关系y1＝﹣0.4x+2.8． （1）根据如图所示的平面直角坐标系，求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式； （2）在（1）的条件下，已知球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，且点A，C都在x轴上，实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式？ 【分析】（1）先根据扣球的解析式求出点P坐标，再根据扣球时顶点坐标，把二次函数解析式设为顶点式，再把P的坐标代入二次函数解析式求出a即可； （2）分别求出扣球和吊球时球的落地点，然后再求落地点与点C的距离即可． 【详解】解：（1）令y1＝﹣0.4x+2.8中x＝0，则y1＝2.8， ∴P（0，2.8）， 由题意知，二次函数的顶点坐标为（1，3.2）， 设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3.2， 把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得， a+3.2＝2.8， 解得a＝﹣0.4， ∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2； （2）对于吊球：令y＝0，则﹣0.4×（x﹣1）2+3.2＝0， 解得x1＝1+2，x2＝1﹣2（舍去）， 对于扣球：令y＝0，则﹣0.4x+2.8＝0， 解得x＝7， ∵OA＝3m，CA＝2m， ∴OC＝OA+AC＝5， ∵7﹣5＝2，|21﹣5|＝4﹣22， ∴选择吊球时，球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出二次函数解析式． 22．（14分）（2025•鹿邑县三模）【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则m＝ 　2　 ，n＝ 　±1　 ． 【思考与探究】 （2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2． ①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围． 【分析】（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：（k，﹣k2+4k+5），然后代入解析式得出4k+5＝dk+e，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：m＝2，n＝±1， 故答案为：2；±1； （2）①y＝x2﹣2kx+4k+5＝x2﹣2kx+k2﹣k2+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5， ∴顶点坐标为：（k，﹣k2+4k+5）， ∵函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线， ∴﹣k2+4k+5＝﹣k2+dk+e， 整理得：4k+5＝dk+e， ∴d＝4，e＝5； ②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）， 由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线， ∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动， 顶点为（2，9）， 当﹣x2+4x+5＝0时， 解得：x＝﹣1或x＝5， 抛物线与x轴交（﹣1，0）（5，0）两个点， 当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1， ∵若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． ∴（2，9）在 C2上， 当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5； 综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$