【第二十二章 二次函数 03讲 实际问题与二次函数】【一大知识点+八大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十二章 二次函数 03讲 实际问题与二次函数 题型归纳 【题型1. 图形问题】…………………………………………………………………… 2 【题型2. 图形运动问题】……………………………………………………………… 6 【题型3. 拱桥问题】…………………………………………………………………… 8 【题型4. 销售问题】…………………………………………………………………… 13 【题型5. 投球问题】…………………………………………………………………… 17 【题型6. 喷水问题】…………………………………………………………………… 20 【题型7. 增长率问题】………………………………………………………………… 24 【题型8. 其他问题】…………………………………………………………………… 25 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 31 知识清单 知识点1 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k； 对二次函数使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 题型专练 题型1. 图形问题 【例1】（2025·湖北·一模）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【例2】（2025·湖北襄阳·一模）为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 活动过程 【了解场地】用皮尺测出墙的长为，墙的前面是一片空旷的场地． 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在边上给每个小矩形区域各留一个宽的门． 【准备材料】篱笆总长为，三个门不用篱笆． 设，矩形的面积为，请你帮兴趣小组解决以下问题： (1)分别求出与，与的函数解析式； (2)若矩形实验田的面积为，求矩形验田的边长； (3)当长为多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【变式1】（2025·湖北宜昌·一模）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【变式2】（2025·广东清远·一模）综合与实践：矩形种植园最大面积探究． 在某实践基地中，有一面长度为12米的墙，研究小组计划利用这面墙（不可拆）以及长度为40米的篱笆，在墙前方的空地上围成一个矩形种植园，墙可部分使用，或作为矩形某一条边的一部分．如何设计方案，才能够使围成的矩形种植园面积达到最大．请你完成以下任务：设计出合理的方案，画出相应的草图，并求出矩形种植园面积的最大值． 【变式3】（2025·河南新乡·三模）如图，夏宇家一段长的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．” (1)夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为___________； (2)请利用所学函数知识，求出夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积． 【变式4】（2025·广西柳州·模拟预测）综合与实践 【发现问题】 海边洗浴时，往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬．小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化． 【提出问题】 设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，那么与之间有什么关系呢？ 【分析问题】 一方面发现临时换衣间的底面周长是，于是另一边长可以用含的代数式表示，于是利用矩形的面积长宽，就可以直接列出面积与的关系式．另一方面可以依据实际操作和计算得到一边长和面积的相关数据，如表： 长方形地面的一边长 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 长方形地面的面积 0.84 1.14 1.36 1.5 1.56 … 然后在平面直角坐标系中，分别描出上面表格中的各对数值对应的点，得到如图，再由图象猜想与之间函数关系，最后利用待定系数法即可求出对应的函数解析式． 【解决问题】 (1)求出与的函数关系； (2)求为何值时，临时换衣间的空间最大？最大空间是多少？ (3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计空间更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行表达． 题型2. 图形运动问题 【例1】（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【例2】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 【变式1】（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【变式2】（2025·吉林·二模）如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）．       (1)当点Q与点D重合时，x＝______． (2)和之间的距离为______． (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【变式3】（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）． (1)填空：________，________（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 题型3. 拱桥问题 【例1】（2025·陕西西安·三模）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）． (1)求a的值和抛物线的对称轴； (2)已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计） 【例2】（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【变式1】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【变式2】（2025·陕西渭南·一模）某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【变式3】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图1是某市一座中承式拱桥，其截面示意图如图2所示，拱圈是抛物线的一部分，拱顶到桥面的距离为，桥面与河面平行，，，以为原点，所E直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求拱圈抛物线的函数关系式； (2)一艘高的航船能否安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度） (3)如图3，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5米设置1根垂直吊杆，若从左起第根与第根吊杆的高度差为0.5米，求的值． 【变式4】（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 题型4. 销售问题 【例1】（2025·广东河源·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 【例2】（2025·辽宁丹东·一模）某水果超市购进一批水果，进价为每千克40元，在一段时间内，销售量y（千克）是每千克售价x（元）的一次函数，其图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数关系式； (2)在这段时间内，当每千克售价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少？ 【例3】（2025·四川成都·模拟预测）成都美食众多，热辣滚烫的灭锅深受人们的喜爱，火锅中有一种重要的调味品一花椒，给火锅增添了与众不同的味道．某商店准备购进一定质量的红花椒和青花椒两种花椒，已知购进红花椒和青花椒分别需要3600元、2400元，且购进青花椒的质量是红花椒质量的，红花椒每千克的进价比青花椒每千克的进价多12元． (1)红花椒、青花椒两种花椒每千克分别是多少元？ (2)若红花椒以每千克72元的价格出售，每天可售出30，通过调查发现，红花椒每千克的售价每降低1元，每天可多售出5．当红花椒以每千克多少元出售时，红花椒每天的销售利润最大？并求出最大利润． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·二模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【变式2】（2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： (1)求出关于，关于的函数关系式； (2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？ （棵） 10 40 （元） 4920 7920 【变式3】（2025·贵州铜仁·三模）第九届亚洲冬季运动会于年月日日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天的销售量将增加个．设每个吉祥物降价元（为整数），每天的销售量为个． (1)写出与之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为元，求出与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式4】（2025·湖北武汉·模拟预测）“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． (1)若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； (2)为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ (3)在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 【变式5】（2025·浙江宁波·模拟预测）综合与实践 背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处． 排球的购买与售卖 素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3550元．已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元． 素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个．经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个． 任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？ 任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最大利润？最大利润是多少？ 题型5. 投球问题 【例1】（2025·河南·模拟预测）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 【例2】（2025·河南商丘·模拟预测）打乒乓球是一项有氧运动，能提升反应速度、增强体力、释放压力、改善视力……乒乓球桌的标准长度为，小浩从球桌边沿正上方击打乒乓球向正前方运动，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．以球桌面所在直线为轴、所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球击打后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． (1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是多少？ (2)击打后乒乓球能过球桌正中间的网（网高），并落到对方桌面上，算击打成功．请你通过计算，判断这次乒乓球击打是否成功． 【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 【变式2】（2025·江西九江·一模）2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； (3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值． 【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； (3)馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 【变式4】（2025·湖北武汉·模拟预测）问题背景  如图是足球比赛中某一时刻平面截面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于球场点，守门员位于球场点，后卫位于球场点C（O，，三点共线），的延长线与球门线交于点，且点，，均在．足球轨迹正下方，已知米，米．通过监测，足球飞行的水平速度为．水平距离s（单位：米，水平距离水平速度时间）与离地高度（单位：米）的函数关系式为．守门员的最大防守高度都为米，后卫的最大防守高度为米．守门员和后卫在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员和后卫位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员或后卫的最大防守高度视为防守成功． 问题解决 (1)当足球飞行的水平距离时，求足球离地高度为多少米？ (2)当足球飞行多少秒时，足球离地达到最高？若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求后卫选择面对足球移动防守，计算成功防守的最小速度． 题型6. 喷水问题 【例1】（2025·河南驻马店·二模）【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）户太八号葡萄果肉柔软多汁，品质优良，深受广大消费者喜爱．如图①，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图①的截面，建立如图②所示的平面直角坐标系，以喷水管底端点为坐标原点，喷头，水流落在山坡上的点和点处． (1)求山坡和轴右侧抛物线的函数表达式； (2)为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，若在坡段种植的葡萄树，则树上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？请说明理由． 【变式3】（2025·山西晋城·三模）综合与实践 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状可近似看作抛物线，如图2，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为3米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安全隐患？请判断并说明理由； (3)已知车棚的宽度为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头，请求出消防喷淋头与消防喷淋头的距离的取值范围． 【变式4】（24-25八年级下·福建福州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 我校生态实验园拟搭建大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．                素材2 现打算在的中点F处安装一款自动喷灌器，从喷水口E喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点D处．               问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，最高点距离地面多少米？ 题型7. 增长率问题 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·天津河西·期中）某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【变式3】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 题型8. 其他问题 【例1】（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【例2】（2025·河南开封·二模）某校兴趣小组在广场进行无人机飞行表演，一架无人机的飞行线路是一条抛物线，其飞行高度（）与水平距离（）满足二次函数关系． (1)用配方法求出抛物线的顶点坐标，并说明其顶点坐标的实际意义． (2)若距飞行起始点正前方10处有一个16高的大型广告牌，请通过计算判断该无人机在飞行过程中，是否存在与广告牌发生碰撞的风险． 【变式1】（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）． (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【变式2】（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【变式3】（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【变式4】（2025·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】 【项目主题】绿波畅行，高效出行 【项目背景】绿波带是通过科学设置交通信号灯配时与车辆行驶速度，使车辆连续通过多个绿灯的交通优化方案．如图1，某城市计划在两个相距500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设定：车辆在第一个路口绿灯亮起后出发，第二个绿灯在10秒后亮起，绿灯时间为30秒，为保证安全，该路段限速（即）．为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯（车身长忽略不计），某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一查阅资料 经过查阅相关资料，可知汽车在匀加（减）速直线运动过程中，行驶的速度与行驶时间满足一次函数关系：，其中为初始速度，为加速度，当汽车加速行驶时的值为正数，当汽车减速行驶时的值为负数；行驶的路程与行驶时间满足二次函数关系：． 如图2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线运动，2秒时间减速到速度为时恰好到达第二个路口． 任务二数学计算 （1）当时，汽车在加速行驶过程中的加速度为___________，在减速行驶过程中的加速度为___________； （2）判断当时，汽车是否能够连续通过第二个绿灯？ 任务三方案设计 （3）求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程与行驶时间分别满足的二次函数关系式（用含的式子表示，不用写自变量的取值范围），并直接写出要连续通过第二个绿灯，则的取值范围为___________． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在边长为的菱形中，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点都随即停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列能大致反映与之间关系的函数图象是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·模拟预测）如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（   ） A．旋转木马转一圈需要 B．当时，小明与入口的距离为 C．小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D．当时，y随x的增大而增大 5．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．到达点C停止运动，连接，设运动时间为t（秒）， 的面积为S，则S与t的函数图象正确的是（     ） A． B． C． D． 二、解答题 7．（2025·河南信阳·三模）掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 8．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 (1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； (3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 9．（2025·河南洛阳·三模）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） (2)若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？ 10．（2025·湖北随州·二模）某商店销售一种新型智能水杯，进价为每个40元，若售价为每个60元时，每天可售出200个．经市场调研发现：售价每上涨1元，每天销售量减少5个；售价每下降1元，每天销售量增加10个．设售价为每个x元，每天的销售利润为y元． (1)求售价定为多少时，每天的销售利润最大； (2)若商店希望每天的利润不低于4000元，直接写出售价x的取值范围． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 12．（2025·河南周口·一模）如图1所示，某建筑物侧面视图呈现为一个二次函数的抛物线形状．该建筑物的设计要求如下：抛物线的顶点位于水平地面上方20米处，且位于设施中心线上方．建筑物的底部两端点分别位于中心线两侧，距离中心线的水平距离为15米，且这两点在地面上．为了烘托节假日的热闹氛围，要用多条平行于地面的彩色条纹装饰建筑物的侧面，且每两条相邻条纹的高度之差为米． (1)在图2中建立适当的平面直角坐标系，使设施底部两端点的坐标分别为和，求出描述该设施侧面形状的二次函数关系式． (2)根据设计要求，计算最多可以画出多少条彩色条纹装饰带（不计装饰带的宽度，）． 13．（2025·陕西·模拟预测）如图所示的双耳锅是抛物线面（图1），经过锅心的纵断面是抛物线型，该抛物线的形状如图2所示，其口径为，锅深高度（抛物线的顶点到的距离）为，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若锅中水的最大深度为，求此时水面的直径． 14．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由 15．（2025·辽宁抚顺·三模）某文具店购进一批毛笔，每支进价为10元，出于营销考虑，要求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，在销售过程中发现该毛笔每周的销售量y（支）与每支毛笔的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为11元时，销售量为18支；当销售单价为12元时，销售量为16支． (1)求y与x的函数关系式； (2)设该文具店每周销售这种毛笔所获得的利润为w元，将该毛笔销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大？最大利润是多少？ 16．（2025·陕西·模拟预测）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度． (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值． 17．（2025·陕西西安·二模）慕梓睿学习了二次函数后，在学校的空地上设计了一个花园，它是由两条抛物线L和围成．如图，这两个抛物线都过空地上O、A两点，且它们关于直线对称，点D、E 是抛物线L上关于对称轴对称的两点（点D在点E左侧），，再作点D 、E关于直线的对称点、，顺次连接D、E、、，得到矩形．以直线为x轴，以过点O且与垂直的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知米，抛物线L的顶点B到的距离为6米． (1)求抛物线L 的表达式； (2)若沿矩形的边围一圈篱笆，将花园内部分为不同区域种植花卉，慕梓睿通过研究发现，当点D的横坐标为时，篱笆总长度最小，求篱笆总长度的最小值． 18．（21-22九年级上·江西九江·期末）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为元／千克，根据市场调查发现，批发价定为元／千克时，每天可销售千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加千克． (1)写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系． (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到元，则定价应为多少元？ 19．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一超市销售某种水果，收集每日该水果所得的利润（元）与售出质量（）的数据，并描点如图所示，发现与满足函数关系式． (1)求，的值． (2)当每日售出多少该水果时，所得利润最大？最大利润为多少元？ 20．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，小明想用长100米的一段围栏，在一段笔直且足够长的墙下围一块矩形的菜地，用墙作矩形的一边，围栏作矩形的另外三边．设围成矩形时所用墙的长为米，对应矩形的面积为平方米． (1)求和的函数关系式，并指出的取值范围； (2)围成的矩形有没有最大面积？如果有，当取何值时有最大面积，并求出最大面积． 21．（24-25九年级上·广东广州·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个元，标价为每个元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价元时，平均每天能够售出个，当每个售价每降2元时，平均每天就能多售出个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城想要获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线的表达式为． (1)请求出抛物线与坐标轴的交点A、B、D的坐标； (2)我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的“弦”的长． 23．（2025·湖北武汉·二模）如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点． ①当时，求的长； ②直接写出M点横坐标m的取值范围． 24．（2025·辽宁葫芦岛·一模）某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示： (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设该老板每天销售利润为元，求与之间的函数关系式； (3)当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 25．（2025·湖北·一模）某农庄计划在亩空地上全部种植蔬菜和水果，种植蔬菜面积大于种植水果面积，且均为正整数，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系为；小李种植水果所得报酬（元）与种植面积（亩）之间的函数关系为． (1)若小张种植蔬菜为亩，用含的代数式表示下列各量： ①小李种植水果的面积为 亩； ②小张种植蔬菜所得的总工资为 元； ③小李种植水果所得的报酬为 元； (2)若农庄支付小张和小李的总费用为元，求小张与小李种植的面积各为多少亩？ (3)直接写出农庄支付给小张和小李的总费用的最大值． 26．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 27．（2025·河南驻马店·三模）某校为准备建校二十周年庆典活动，在操场上布置一个舞台，需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接等高的，两点，点、分别位于点、正下方的地面处，且、的水平距离为米．点在线段上，且米．以为原点，以所在直线为轴，垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，点为抛物线与轴交点，图描画的是部分抛物线图象，点，点． (1)求图2中第二象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围） (2)为使灯链造型更加美观，对方案进行修改：以轴为对称轴构造段抛物线的轴对称图形，形成一个“类组合抛物线”． ①直接写出第一象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围） ②若在组合抛物线灯链上挂两个灯笼，且两灯笼离地面的高度均为米，求两个灯笼之间的最大水平距离． 28．（2025·广东深圳·三模）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小明从赛道顶端A处下滑，滑行2s后，小华操控一个无人机从A处沿着赛道方向保持相同安全高度跟拍小明，测得小明离A处的滑雪距离单位：以及无人机离A处的距离单位：注：无人机的安全高度忽略不计随滑雪时间单位：变化的数据，整理得下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 5 滑行距离 0 6 14 24 36 50 无人机离A处的距离 0 0 0 15 30 45 经探究发现，y与x之间成二次函数关系，s与之间成一次函数关系． (1)直接写出y关于x的函数解析式和s关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围； (2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)在小明到达终点前，无人机能否追上小明，若能，试计算此时小明的滑雪时间x的值；若不能，求出无人机与小明的最小距离． 29．（2025·陕西渭南·三模）滑板是一项富有激情与挑战的极限运动，U型池则是它绽放魅力的重要舞台，滑手在连续的U型池滑道间展开挑战，这不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换时，脱离滑道起跳后的飞行路线可近似看作是抛物线的一部分．如图，某次挑战中，滑手小红尝试从滑道①转换到滑道②，已知小红从起跳到着陆的过程中，起跳点到滑道底部所在直线的距离为，当离起跳点水平距离为时，小红到滑道底部所在直线的距离达到了最大值，现以滑道底部所在直线为x轴，垂直于滑道底部所在直线且经过起跳点的直线为y轴建立平面直角坐标系（滑道①、②底部在一条直线上）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则视为滑手成功完成转换，已知滑道②与滑道①高度相同，两者水平距离为，请通过计算说明小红能否转换成功？ 30．（2025·贵州铜仁·三模）【问题背景】某体育社团开展跳大绳游戏活动，两个摇绳的同学手，之间相距，绳子在摇动过程中呈抛物线形状且轨迹保持不变，当手摇绳子到最上方时，绳子的最高点距地面，握绳的手距离地面，当摇绳两端的手更高时，绳子整体也会相应更高． 【模型抽象】以人站立的地面为轴，绳子最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系． 【问题解决】 (1)求抛物线解析式； (2)若参加跳绳的人身高均为，人与人之间的距离为，最多能有多少人同时参与跳绳（除摇绳人外）？ (3)在（2）的条件下，由于还有1名同学没能同时参与跳绳，若加入这名同学，在不改变摇绳两端的水平距离和绳长的情况下，只需将两端向上移即可，则的值应满足什么条件？ 31．（2025·辽宁铁岭·三模）小莹打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期售价与日销售量的市场规律保持不变，于是她到附近A，B，C，D，E，5家花卉店对该种花卉的售价与日销售量情况作了市场调查，并记录了如下数据： 花店 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 (1)根据以上信息，求出日销售量与售价之间的一次函数关系式； (2)小莹欲购进进价为15元/盆的该种花卉在当地市场进行销售，在销售该种花卉中， ①当每盆售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ ②考虑到花店新开业，为了吸引顾客，让利于民，小贵打算在销售过程中每天获得400元的利润，应如何定价？ 32．（2025·山西太原·二模）【问题情境】 如图1，车棚是用来保护车辆不受损伤的一种建筑，主要起到挡风遮雨的功能，其中膜结构车棚造型丰富，曲线柔美，给人美的视觉享受．如图2是其横截面的示意图，其中车棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以垂直于地面的立柱为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点P在顶棚抛物线形骨架的外端处，点D离地面的距离为3米，已知车棚顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离地面的距离为3.5米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 （1）设车棚顶部骨架上某处离地面的距离为y（米），该处离车棚支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式； 【实践探究】 （2）若车棚深度为5米（即点P到的水平距离），求点P离地面的距离； 【拓展应用】 （3）为了车棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段组成，点F在线段上，．为不影响停车，将点A到地面的距离定为2米，求支架的最大长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数 03讲 实际问题与二次函数 题型归纳 【题型1. 图形问题】…………………………………………………………………… 2 【题型2. 图形运动问题】……………………………………………………………… 10 【题型3. 拱桥问题】…………………………………………………………………… 19 【题型4. 销售问题】…………………………………………………………………… 27 【题型5. 投球问题】…………………………………………………………………… 37 【题型6. 喷水问题】…………………………………………………………………… 45 【题型7. 增长率问题】………………………………………………………………… 54 【题型8. 其他问题】…………………………………………………………………… 56 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 65 知识清单 知识点1 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k； 对二次函数使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 题型专练 题型1. 图形问题 【例1】（2025·湖北·一模）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数解析式的计算，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，，则，，由此即可求解； （2）由（1）知，，将代入即可求解； （3）根据题意，根据最值的计算，当时，取得最大值，最大值为，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，， ∵将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，甲，乙两块材料的面积之和为； （3）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴丙部分面积的最大值为． 【例2】（2025·湖北襄阳·一模）为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 活动过程 【了解场地】用皮尺测出墙的长为，墙的前面是一片空旷的场地． 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在边上给每个小矩形区域各留一个宽的门． 【准备材料】篱笆总长为，三个门不用篱笆． 设，矩形的面积为，请你帮兴趣小组解决以下问题： (1)分别求出与，与的函数解析式； (2)若矩形实验田的面积为，求矩形验田的边长； (3)当长为多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】本题考查了二次函数在几何中的应用，涉及到了矩形的性质，通过篱笆长度建立等式是解决问题的关键，长不能超过墙的长时间易错点． （1）根据题意，篱笆长度，由此可知与的函数解析式，矩形的面积，从而可得与的函数解析式； （2）当时，代入二次函数求自变量的值，结合题意即可； （3）根据二次函数求最值的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴矩形的面积， ∴与，与的函数解析式分别是； （2）解：当时，， 整理得，， 解得：， ∵墙的长为， ∴， ∴， 当时，， ∴矩形实验田的边长； （3）解：∵， 该二次函数开口向下，对称轴是直线， 由题意可知， ∴当时，， 此时， ∴当长为时，实验田的面积最大，最大面积是． 【变式1】（2025·湖北宜昌·一模）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解； （2）由题意易得，然后进行求解方程即可； （3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：，整理得：， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，围成的菜地面积为81平方米． （3）解：∵墙的最大可用长度为15米， ∴，即， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为105， ∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 【变式2】（2025·广东清远·一模）综合与实践：矩形种植园最大面积探究． 在某实践基地中，有一面长度为12米的墙，研究小组计划利用这面墙（不可拆）以及长度为40米的篱笆，在墙前方的空地上围成一个矩形种植园，墙可部分使用，或作为矩形某一条边的一部分．如何设计方案，才能够使围成的矩形种植园面积达到最大．请你完成以下任务：设计出合理的方案，画出相应的草图，并求出矩形种植园面积的最大值． 【分析】已知，篱笆共40米，米，可求得的长，根据矩形面积公式可得S，由自变量x的取值范围确定S的最大值，判断思考一与思考二两种方案中的S的最大值可得． 本题考查了二次函数的应用，关键是根据自变量范围确定最大值． 【详解】解：假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分） ∵，篱笆共40米，米， ∴米， ∴化为顶点式可得：， ∵， ∴当时，S取最大值为168平方米， 方案二：将墙的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分） 米， ∴米，， ∴， ∴当时，S取最大值为169平方米， ∵， ∴最大值为169平方米． 【变式3】（2025·河南新乡·三模）如图，夏宇家一段长的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．” (1)夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为___________； (2)请利用所学函数知识，求出夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积． 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）求出夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍的宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解； （2）设夏宇方法所围成的矩形鸡舍的宽为，则长为，夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为，由题意可得求出，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍的长为，宽为， 故夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为； 故答案为：40 （2）解：设夏宇方法所围成的矩形鸡舍的宽为，则长为，夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为， 由题意可得：，， 解得：， 此时夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为， ∵， ∴当时，最大，为， 故夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积为． 【变式4】（2025·广西柳州·模拟预测）综合与实践 【发现问题】 海边洗浴时，往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬．小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化． 【提出问题】 设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，那么与之间有什么关系呢？ 【分析问题】 一方面发现临时换衣间的底面周长是，于是另一边长可以用含的代数式表示，于是利用矩形的面积长宽，就可以直接列出面积与的关系式．另一方面可以依据实际操作和计算得到一边长和面积的相关数据，如表： 长方形地面的一边长 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 长方形地面的面积 0.84 1.14 1.36 1.5 1.56 … 然后在平面直角坐标系中，分别描出上面表格中的各对数值对应的点，得到如图，再由图象猜想与之间函数关系，最后利用待定系数法即可求出对应的函数解析式． 【解决问题】 (1)求出与的函数关系； (2)求为何值时，临时换衣间的空间最大？最大空间是多少？ (3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计空间更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行表达． 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）由题意得，长方形的宽为：，根据长方形的面积公式即可得出答案； （2）根据二次函数的性质即可得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的宽为：， 则； （2）解：； ，故函数有最大值， 当时，函数的最大值为：， 即当时，临时换衣间的空间最大，最大空间是； （3）解：能．设长方形的长为，则宽为， 则， ． 故函数有最大值， 当时，函数的最大值为， 即小明的空间可以更大，当长为2.5m时，空间的最大面积为． 题型2. 图形运动问题 【例1】（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 【例2】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）根据题意直接列式即可作答； （2）根据（1）中结果，结合三角形的面积公式即可作答． 【详解】（1）解：根据题意有：，， ∵，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴根据题意有：， ∵，， ∴， 故关于的函数解析式为． 【变式1】（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． （2）①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． （3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 有，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【变式2】（2025·吉林·二模）如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）．       (1)当点Q与点D重合时，x＝______． (2)和之间的距离为______． (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【分析】此题考查了动点问题，求函数解析式，菱形的性质等知识． （1）根据菱形的性质和含角的直角三角形性质进行解答即可； （2）根据（1）中的求解过程进行解答即可； （3）按照x的范围分三种情况分别进行解答． 【详解】（1）解：当点Q与点D重合时， 如图， ∵在菱形中，，． ∴． ∵过点P作， ∴， ∴， ∴, ∴ 故答案为： （2）由（1）得到，， ∵在菱形中， ∴， ∵， 即和之间的距离为； 故答案为： （3）当时，如图， ∵， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时，设交的延长线于点， ∵，， ∴ 【变式3】（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）． (1)填空：________，________（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【分析】（1）利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可； （2）利用矩形的性质求解即可； （3）分类讨论的取值情况，利用面积公式列式即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴，即， ， 故答案为：；； （2）解：如图①，当点落在线段上时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图②，当时，重叠部分是四边形， ； 如图③，当时，重叠部分是四边形， ． 【点睛】本题为动点与几何综合，涉及到了相似三角形的判定即性质，矩形的性质，二次函数，一次函数等知识点，合理分析图象作出图形是解题的关键． 题型3. 拱桥问题 【例1】（2025·陕西西安·三模）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）． (1)求a的值和抛物线的对称轴； (2)已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计） 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法求出函数解析式即可求出a的值，再根据对称轴计算公式求出对称轴即可； （2）求出当时的函数值，即可得到A和B的坐标，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， 把代入到中得，解得． ∴抛物线的函数关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：令，得，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵， ∴， 即自动检票通道的总宽度为． 【例2】（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量， 对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案； 对于（2），令，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米， ∴点（米）. 根据题意得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为：， 把点代入函数表达式可得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由题意知，点P的纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是9米． 【变式1】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 【变式2】（2025·陕西渭南·一模）某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． （1）由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； （2）将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：任务（1）：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为（、为常数，）， 将，代入，得， 解得， 该抛物线型拱门的函数表达式为， 当时，， 该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 任务（2）：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 【变式3】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图1是某市一座中承式拱桥，其截面示意图如图2所示，拱圈是抛物线的一部分，拱顶到桥面的距离为，桥面与河面平行，，，以为原点，所E直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求拱圈抛物线的函数关系式； (2)一艘高的航船能否安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度） (3)如图3，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5米设置1根垂直吊杆，若从左起第根与第根吊杆的高度差为0.5米，求的值． 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）据题意，抛物线顶点坐标为．设抛物线解析式为：，再进一步求解即可； （2）分别过点作，垂足分别为和．根据对称性可知，．可，求解，进一步可得答案； （3）由，可得从左起第4根垂直吊杆在抛物线对称轴上．①当时，可得，解方程即可，②当时，根据抛物线的对称性求解即可． 【详解】（1）解：据题意，抛物线顶点坐标为． 设抛物线解析式为：， 将代入解析式，得 ， ． 拱圈抛物线的函数关系式为：．或者：． （2）解：高的航船不能安全通过该拱桥，理由如下： 分别过点作，垂足分别为和． 根据对称性可知，． ， ． 即． 这艘航船不能安全通过该拱桥． （3）解：， 从左起第4根垂直吊杆在抛物线对称轴上． ①当时， 解得，． 即从左起第3根与第4根吊杆高度差为米． ②当时， 根据抛物线的对称性，从左起第3根与第5根吊杆的高度相等， 第4根与第5根的高度差也为米． ， 综上所述，的值为3或4． 【变式4】（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 题型4. 销售问题 【例1】（2025·广东河源·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解； （2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 元， 答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元； （2）设销售利润为，根据题意得出 ∵, ∴当时，利润最大，最大为： 答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 【例2】（2025·辽宁丹东·一模）某水果超市购进一批水果，进价为每千克40元，在一段时间内，销售量y（千克）是每千克售价x（元）的一次函数，其图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数关系式； (2)在这段时间内，当每千克售价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少？ 【分析】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设，把，分别代入中得 解得， 所以． （2）解：设这批水果的利润为w元． 由题意得： 开口向下， 有最大值 ，， 当时，（元） 答：当每千克售价80元时，销售利润最大为4800元． 【例3】（2025·四川成都·模拟预测）成都美食众多，热辣滚烫的灭锅深受人们的喜爱，火锅中有一种重要的调味品一花椒，给火锅增添了与众不同的味道．某商店准备购进一定质量的红花椒和青花椒两种花椒，已知购进红花椒和青花椒分别需要3600元、2400元，且购进青花椒的质量是红花椒质量的，红花椒每千克的进价比青花椒每千克的进价多12元． (1)红花椒、青花椒两种花椒每千克分别是多少元？ (2)若红花椒以每千克72元的价格出售，每天可售出30，通过调查发现，红花椒每千克的售价每降低1元，每天可多售出5．当红花椒以每千克多少元出售时，红花椒每天的销售利润最大？并求出最大利润． 【分析】本题考查二次函数的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和函数解析式． （1）设青花椒每千克进价x元，则红花椒每千克进价元，根据“购进红花椒和青花椒分别需要3600元、2400元，且购进青花椒的质量是红花椒质量的”列出方程，解方程即可； （2）设红花椒的售价为m元，获得利润为w元，根据总利润=出售红花椒每千克的利润销售量列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设青花椒每千克进价x元，则红花椒每千克进价元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：红花椒每千克进价为60元，青花椒每千克进价48元； （2）解：设红花椒的售价为m元，获得利润为w元， 根据题意得： ， ， 当时，w有最大值，最大值为405， 答：当红花椒以每千克69元出售时，红花椒每天的销售利润最大，最大利润为405元． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·二模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用． （1）当时，设y与的函数关系式为，图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后将求得y的值，然后依据利润售价成本求解即可； （2）当时，设y与的函数关系式为．图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后结合（1）中的关系式可得到y与的关系式； （3）抛物线的顶点坐标为，设商品的成本与时间的关系式为，然后可求得的解析式，然后由得到与的函数关系式，最后，依据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得：，， ， 当时，， ． 故答案为：100； （2）解：由（1）知，当时， 当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得，， 与的关系式为． 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：设商品的成本与时间的关系式为． 将代入得：， ， ， 当时，取最大值为100， 元． 答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元． 【变式2】（2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： (1)求出关于，关于的函数关系式； (2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？ （棵） 10 40 （元） 4920 7920 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握利润=总收入总支出的关系式和待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法和二次函数的性质解答即可；利用利润=总收入-总支出得到，再利用待定系数法解答即可； （2）设每年的总利润为W元，则，利用题意得到W与x的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵当时，元， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， 由表格可得：当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设每年的总利润为W元，则， 由题意：， ∴ ， ∵， ∴当时，W有最大值，但x为正整数，抛物线的对称轴为直线， ∴当或18时，W有最大值，W的最大值为14548元， ∴当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元． 【变式3】（2025·贵州铜仁·三模）第九届亚洲冬季运动会于年月日日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天的销售量将增加个．设每个吉祥物降价元（为整数），每天的销售量为个． (1)写出与之间的函数关系式； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为元，求出与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】本题主要考查了列函数关系式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据每天的销售量等于原来的销售量加上降价后增加的销售量即可解答； （2）根据总利润等于单个利润与总数量的乘积成为列出函数关系式即可； （3）利用（2）的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：由题可得：与之间的函数关系式为，即． （2）解：由题可得：，即． （3）解：由（2）得：， ， 当时，随的增大而增大， 为整数， 当时，，此时定价元， 定价为元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润是元． 【变式4】（2025·湖北武汉·模拟预测）“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． (1)若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； (2)为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ (3)在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 【分析】（1）由题意，民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，进而可以租出去38个房间，进而求出利润； （2）设利润为元，则，由于 为10的整数倍及二次函数的性质可以判定得解； （3）由题意，令，则当或，又获利润不低于10360元，则，又该民宿空闲房间数不能超过20间，故，进而可以判定求解. 【详解】（1）解：由题意，∵民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴ ∴ ∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间； ∴此时利润（元） 故答案为：38，10840； （2）由题意，设利润为元， ∴ ∵ ∴开口向上，对称轴为直线， 又∵ 为10的整数倍， ∴当或时，有最大值 （3）由题意，令 ∴或 又∵所获利润不低于10360元， ∴ ∵该民宿空闲房间数不能超过20间 ∴ 解得： ∴，且为10的整数倍. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式等相关知识和内容，解题时要熟练掌握并能灵鹤运用二次函数的性质是关键. 【变式5】（2025·浙江宁波·模拟预测）综合与实践 背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处． 排球的购买与售卖 素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3550元．已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元． 素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个．经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个． 任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？ 任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需元，依据总的花费共3550元列方程求解即可； （2）设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元，根据利润（售价进价）销量建立与之间的函数关系，最后利用函数的性质回答即可． 【详解】任务1：解：设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需元 根据题意，可列方程：， 解得：， 所以购买一个乙品牌的排球需（元） 答：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元 任务2：解：设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元 根据题意，得： ， 所以当，即售价为元时利润w有最大值，最大值为845． 答：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最大利润，最大利润是845元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二次函数的顶点式，二次函数的性质及二次函数的最值的应用，根据实际问题建立方程模型和二次函数模型是解题的关键． 题型5. 投球问题 【例1】（2025·河南·模拟预测）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为 10 米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为25米、垂直距离为 5米，得到点的横坐标为27，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【详解】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为， ． 石块运行的函数解析式为． 把代入解析式，得， 解得：． ． （2）解：石块能飞越防御墙． 理由如下： 点与点的水平距离为，墙宽， 点的横坐标为． 把代入， 得 点与点的垂直距离为与轴平行， 点与点的垂直距离也为． ， 该石块能飞越防御墙． 【例2】（2025·河南商丘·模拟预测）打乒乓球是一项有氧运动，能提升反应速度、增强体力、释放压力、改善视力……乒乓球桌的标准长度为，小浩从球桌边沿正上方击打乒乓球向正前方运动，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．以球桌面所在直线为轴、所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球击打后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． (1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是多少？ (2)击打后乒乓球能过球桌正中间的网（网高），并落到对方桌面上，算击打成功．请你通过计算，判断这次乒乓球击打是否成功． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是将二次函数由一般式化为顶点式． （1）通过将二次函数表达式化为顶点式，再求出最大值； （2）求出当时的函数值与比较后得出结论． 【详解】（1）解：， ∵二次项系数为，∴抛物线的开口向下， ∴当时，有最大值． （2）∵乒乓球桌的标准长度为， ∴球桌正中间， 当时，， ∴这次乒乓球击打不成功． 【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入得：解答即可； （2）当时，，解方程求解即可； （3）设变化后的二次函数表达式为，将点代入得：；解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， （2）解：当时， ， 解得：， ， 所以G到F的距离 （3）由题意，变化后的二次函数表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ， 所以该男同学成绩增加. 【变式2】（2025·江西九江·一模）2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； (3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解； （3）把代入，求出与的关系式，当时，，当时，，解不等式即可求解最大值． 【详解】（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高， 设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ∵， 当时，， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域； 此次击球越过球网并落在对方区域内； （3）解：把代入，得：， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ， 的最大值为． 【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； (3)馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线的解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出B的坐标，然后根据待定系数法求出第二次运行路线的解析式，然后把代入求解即可； （3）把和代入第二次运行的抛物线解析式，解方程求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∵第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同，第二次弹起的最大高度为． ∴设第二次弹起的运行路线的抛物线为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴乒乓球到轴的距离为或； （3）解：把代入，得， 解得，（舍去） 把代入，得， 解得，（舍去）， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 【变式4】（2025·湖北武汉·模拟预测）问题背景  如图是足球比赛中某一时刻平面截面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于球场点，守门员位于球场点，后卫位于球场点C（O，，三点共线），的延长线与球门线交于点，且点，，均在．足球轨迹正下方，已知米，米．通过监测，足球飞行的水平速度为．水平距离s（单位：米，水平距离水平速度时间）与离地高度（单位：米）的函数关系式为．守门员的最大防守高度都为米，后卫的最大防守高度为米．守门员和后卫在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员和后卫位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员或后卫的最大防守高度视为防守成功． 问题解决 (1)当足球飞行的水平距离时，求足球离地高度为多少米？ (2)当足球飞行多少秒时，足球离地达到最高？若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求后卫选择面对足球移动防守，计算成功防守的最小速度． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意是解答的关键． （1）将代入求解即可； （2）化为顶点式，进而可求得当时取得最大值；求得当时的h值，比较大小即可作出判断； （3）求出当时的h值，比较大小即可作出判断，进而可求解． 【详解】（1）解：当时，； 答：当足球飞行距离为9米时，足球的离地高度是4.2米； （2）解：， ∴当，即时，最大； 不成功，理由如下，米． 当时， ， ∵， ∴若守门员选择原地接球，防守不成功； （3）解：由题意，可知时，， 后卫的最小速度为． 答：后卫选择面对足球移动防守，成功防守的最小速度为． 题型6. 喷水问题 【例1】（2025·河南驻马店·二模）【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． （1）将代入，求出相应的a的值即可； （2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； 【详解】（1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米； 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设出顶点式，再代入即可求解； （2）点的坐标为，代入函数解析式计算出函数值与2m的护栏花墙比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知水柱所在抛物线的顶点坐标为． 设水柱所在抛物线的函数表达式为（为常数，）， 将代入，得， 解得， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）解：水柱不会打湿护栏花墙．． 理由：∵m，m， ∴m， 则点的坐标为． 当时，． ∵， ∴水柱不会打湿护栏花墙． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 【变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）户太八号葡萄果肉柔软多汁，品质优良，深受广大消费者喜爱．如图①，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图①的截面，建立如图②所示的平面直角坐标系，以喷水管底端点为坐标原点，喷头，水流落在山坡上的点和点处． (1)求山坡和轴右侧抛物线的函数表达式； (2)为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，若在坡段种植的葡萄树，则树上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？请说明理由． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出直线和轴右侧抛物线的表达式即可； （2）设水流所在的抛物线到山坡的竖直距离为，得出，求出，从而得出答案即可． 【详解】（1）解：设山坡的函数表达式为． 过点， ，解得． 山坡的函数表达式为． 点． 右侧拋物线上点的对称点为． 设轴右侧抛物线的函数表达式为． 解得 轴右侧抛物线的函数表达式为． （2）解：粘贴的胶带没有被水流喷到的风险． 理由如下： 设水流所在的抛物线到山坡的竖直距离为， 粘贴的胶带没有被水流喷到的风险． 【变式3】（2025·山西晋城·三模）综合与实践 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状可近似看作抛物线，如图2，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为3米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安全隐患？请判断并说明理由； (3)已知车棚的宽度为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头，请求出消防喷淋头与消防喷淋头的距离的取值范围． 【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质解决具体问题是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可得到答案； （2）将代入中，求出即可判定； （3）由题意可知，抛物线可看作是由抛物线向右平移得到的，可设抛物线的函数表达式为，将、代入求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 将点代入上式，得， 解得， 则抛物线的函数表达式为； （2）解：存在， 理由如下： 将代入中， 得， ， 消防喷淋头喷洒时存在安全隐患； （3）解：将代入中， 得， 解得，， 即外层水柱在1米线处的外侧点坐标为和， 设， 记顶点为的抛物线为，顶点为的抛物线为， 由题意可知，抛物线可看作是由抛物线向右平移得到的，可设抛物线的函数表达式为， 将代入中， 得， 解得（舍去），， 将代入中， 得， 解得（舍去）， ， 综上所述，. 【变式4】（24-25八年级下·福建福州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 我校生态实验园拟搭建大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．                素材2 现打算在的中点F处安装一款自动喷灌器，从喷水口E喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点D处．               问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，最高点距离地面多少米？ 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相关的函数解析式是解决本题的关键． 任务1．设顶棚部分抛物线的解析式为：，易得点D的坐标，把点D的坐标代入可得a的值； 任务2．设从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：，易得点E的坐标，把点E的坐标和点D的坐标代入所设解析式可得b和c的值，进而根据二次函数的性质可得当抛物线的顶点坐标，进而可得处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，以及最高点距离地面多少米． 【详解】解：任务1．设顶棚部分抛物线的解析式为：， 由题意得：点D坐标为， ∴， 解得：， ∴顶棚部分抛物线的解析式为：； 任务2．设从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：， 由题意得：点，点， ∴， 解得：， ∴从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴时，y有最大值，， ∴最高点距离地面的距离为：（米）． 答：处喷出的水流在距离F点水平距离为米时达到最高，最高点距离地面米． 题型7. 增长率问题 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 分别表示8月，9月的销量，再把7，8，9三月的销量加起来即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：平均月增长率为， 则8月份销量为：，9月份销量为：， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·天津河西·期中）某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：若每次降价的百分率都是x，由题意得， 故选：B． 【变式2】（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为亿元，则今年第二季度的专项教育投入为亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第二季度的专项教育投入为亿元， 故答案为：． 题型8. 其他问题 【例1】（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 【例2】（2025·河南开封·二模）某校兴趣小组在广场进行无人机飞行表演，一架无人机的飞行线路是一条抛物线，其飞行高度（）与水平距离（）满足二次函数关系． (1)用配方法求出抛物线的顶点坐标，并说明其顶点坐标的实际意义． (2)若距飞行起始点正前方10处有一个16高的大型广告牌，请通过计算判断该无人机在飞行过程中，是否存在与广告牌发生碰撞的风险． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先根据题意将解析式配方，进而结合题意说出顶点坐标的实际意义，即可求解； （2）将代入解析式，求得函数值与，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解： ； 顶点坐标为，表示当飞行的水平距离为时，飞行达到最大高度为． （2）当时，， 答：无人机不存在与广告牌发生碰撞的风险． 【变式1】（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）． (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出c的值，进而求出点B的坐标即可； （2）求出点E和点F的纵坐标，进而求出点E和点F的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ， 解得．     ，，，， ∴ ∴．     将点代入，得，    ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为． （2）解：与之间的距离为， 点与点的纵坐标为．     令，得，解得，，    ，即水面的宽度为． 【变式2】（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 【变式3】（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）   当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 【变式4】（2025·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】 【项目主题】绿波畅行，高效出行 【项目背景】绿波带是通过科学设置交通信号灯配时与车辆行驶速度，使车辆连续通过多个绿灯的交通优化方案．如图1，某城市计划在两个相距500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设定：车辆在第一个路口绿灯亮起后出发，第二个绿灯在10秒后亮起，绿灯时间为30秒，为保证安全，该路段限速（即）．为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯（车身长忽略不计），某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一查阅资料 经过查阅相关资料，可知汽车在匀加（减）速直线运动过程中，行驶的速度与行驶时间满足一次函数关系：，其中为初始速度，为加速度，当汽车加速行驶时的值为正数，当汽车减速行驶时的值为负数；行驶的路程与行驶时间满足二次函数关系：． 如图2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线运动，2秒时间减速到速度为时恰好到达第二个路口． 任务二数学计算 （1）当时，汽车在加速行驶过程中的加速度为___________，在减速行驶过程中的加速度为___________； （2）判断当时，汽车是否能够连续通过第二个绿灯？ 任务三方案设计 （3）求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程与行驶时间分别满足的二次函数关系式（用含的式子表示，不用写自变量的取值范围），并直接写出要连续通过第二个绿灯，则的取值范围为___________． 【分析】本题主要考查了函数关系式、二次函数的实际应用等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意结合图2很容易得解； （2）分别在加速阶段和减速阶段计算s，进而得到时间，分析求解即可； （3）由题易知在加速阶段，进而代入即可得解，在减速阶段，进而代入求解． 【详解】解：（1）当时，， ∴汽车在加速行驶过程中的加速度为； 由题可知在减速行驶过程中的加速度为； 故答案为：，； （2）∵匀速行驶的最大时间为秒， 由， ∴汽车可以连续通过第二个绿灯； （3）在加速阶段，，则， ∴， 在减速阶段，，则， ∴， 在加速阶段，当时，， 在减速阶段，当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键； 将抛物线化为顶点式即可解决问题. 【详解】解：∵， ∴当时，； 故选：B. 2．（2025·天津河西·二模）某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出时落地； ③足球被踢出时，距离地面的高度是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，过点，则设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线 ∴当和时， 设抛物线的解析式为，把代入得， ∴， ∴足球距离地面的最大高度为，故①错误， ∵时，， ∴足球被踢出时落地，故②正确， ∵时，，故③错误， ∴正确的有②，共1个 故选：B． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在边长为的菱形中，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点都随即停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列能大致反映与之间关系的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键． 先证明，都是等边三角形，再分、、三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解． 【详解】解：四边形为菱形，， ，， ，都是等边三角形， ． 如图1，当时，，，作于点， ， ， 故选项D不正确； 如图2，当时，，， 作于点， （cm）， ， 故选项B不正确； 如图3，当时，，， ， 作于点， （cm），， 故选项C不正确． 故选A． 4．（2025·江西·模拟预测）如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（   ） A．旋转木马转一圈需要 B．当时，小明与入口的距离为 C．小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D．当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，函数图象，认真分析图象，理解纵横坐标的意义是解题的关键，因为如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，所以得出图象的每一次循环需要的时间是，当时，小明与入口的距离为，当时，y随x的增大而增大，即可作答． 【详解】解：A、观察图2，图象的每一次循环需要的时间是，则旋转木马转一圈需要，故该选项不符合题意； B、观察图2的图象，当时，小明与入口的距离为，故该选项不符合题意； C、观察图2的图象，当小明与入口的距离为时，旋转木马不一定转了（如下图所示），故该选项符合题意； D、观察图2的图象，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C 5．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一次函数的应用，根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式，根据题意可以写出W与x之间的函数表达式． 【详解】解：设y与x之间的函数解析式为， ， 得， 即y与x之间的函数表达式是； 由题意可得，， 即W与x之间的函数表达式是． 故选：B． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．到达点C停止运动，连接，设运动时间为t（秒）， 的面积为S，则S与t的函数图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的几何动点，一次函数，函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．读懂题意，则进行分类讨论，即当时，点E在线段上，当时，点E在线段上，分别根据面积公式列式化简，结合函数图象即可作答． 【详解】解：∵在正方形中，，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动． ∴（秒），（秒）， ∴当时，点E在线段上，点F在线段上，如图： 则， ∴， 此时，S与t的函数图象为一次函数的图象， 当时，点E在线段上，点F在线段上，如图， 则， ∴，， ∴ ． ∴， 此时，S与t的函数图象是开口向下的二次函数，且时，点三点重合， 综上，． 故选：C． 二、解答题 7．（2025·河南信阳·三模）掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可； （2）求出时，即可解得． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为． 故可设抛物线的解析式为， 又抛物线过， ， ， 解析式为； （2）当时， 即 （舍），， ， 应将布幔向前移动． 8．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 (1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； (3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求解； （3）将解析式配方成顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设关于的二次函数关系式为， 将代入得 ∴， 解得：． ∴关于的二次函数关系式为． （2）当，， 解得：，（舍去）． ∴小球飞行高度能达到，此时秒． （3）解： ∵ ∴当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是． 9．（2025·河南洛阳·三模）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） (2)若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？ 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先求出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时，的值，再根据比较大小，得到野兔不能成功越过木桩，然后设起跳点向前移动米，新抛物线为：，要求当时，即可求解； 【详解】（1）解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，即为， ∴可设该抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， ∵， ∴野兔不能成功越过木桩， 设起跳点向前移动米，新抛物线为：， 要求当时，即 化简得：， 解得：， ∴由题意得：野兔至少需要再向前走开始起跳才可成功越过木桩； 10．（2025·湖北随州·二模）某商店销售一种新型智能水杯，进价为每个40元，若售价为每个60元时，每天可售出200个．经市场调研发现：售价每上涨1元，每天销售量减少5个；售价每下降1元，每天销售量增加10个．设售价为每个x元，每天的销售利润为y元． (1)求售价定为多少时，每天的销售利润最大； (2)若商店希望每天的利润不低于4000元，直接写出售价x的取值范围． 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．得到利润的关系式是解题的关键． （1）依据题中的相等关系列出函数解析式，分涨价、降价两种情况，再依据二次函数的性质求解可得． （2）根据题意列不等式，分两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：当时：售价上涨，销量减少，销量为， 利润为：； 当时，； 当时：售价下降，销量增加，销量为：， 利润为：； 当时，不在取值范围内，； 综上所述，当时，利润最大； （2）解： 当时： ； 解得：； 当时： ；无解； 综上所述，每天的利润不低于4000元，售价x的取值范围是． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 （2）水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 12．（2025·河南周口·一模）如图1所示，某建筑物侧面视图呈现为一个二次函数的抛物线形状．该建筑物的设计要求如下：抛物线的顶点位于水平地面上方20米处，且位于设施中心线上方．建筑物的底部两端点分别位于中心线两侧，距离中心线的水平距离为15米，且这两点在地面上．为了烘托节假日的热闹氛围，要用多条平行于地面的彩色条纹装饰建筑物的侧面，且每两条相邻条纹的高度之差为米． (1)在图2中建立适当的平面直角坐标系，使设施底部两端点的坐标分别为和，求出描述该设施侧面形状的二次函数关系式． (2)根据设计要求，计算最多可以画出多少条彩色条纹装饰带（不计装饰带的宽度，）． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分析题意，先建立合适的平面直角坐标系，再得顶点坐标为，故设解析式为，把代入计算，即可作答． （2）分析题意，设有个间距为的高度差，总高度为，故，算出，结合间距必须是整数，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：如图，以水平地面为轴，中心线为轴，建立平面直角坐标系： 抛物线的顶点位于地面上方20米处， 顶点坐标为， 设，且过点， ， 即， . 抛物线的解析式为； （2）解：依题意，设有个间距为的高度差，总高度为， ∵由（1）得顶点坐标为， ∴， . ∵间距必须是整数， ∴有3个间距； 这3个间距之间会有4条彩带（包括顶部和底部），因此实际上最多可以画出4条彩色条纹装饰带． 13．（2025·陕西·模拟预测）如图所示的双耳锅是抛物线面（图1），经过锅心的纵断面是抛物线型，该抛物线的形状如图2所示，其口径为，锅深高度（抛物线的顶点到的距离）为，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若锅中水的最大深度为，求此时水面的直径． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据锅中水的最大深度为，得出此时水面的纵坐标为，把代入，求出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1）.解：由题意知，抛物线过点，顶点为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代人，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意知，即此时水面的纵坐标为， 当时，， 解得， ， ∴此时水面的直径为． 14．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质、解一元二次方程等知识，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键． （1）①利用待定系数法列方程组求解即可得到答案；②由①中得到的二次函数表达式，由二次函数图象与性质即可得到答案； （2）由题意得到，结合（1）中求得的二次函数表达式，令，解一元二次方程即可得到答案； （3）由（1）中得到的汽车在时刹车距离达到最大值，才能完全停下，比较提总距离即可得到答案． 【详解】（1）解：①设二次函数的解析式为， 代入，得 解得， 二次函数的解析式为； ②， ， 抛物线开口向下，有最大值，为， 故汽车在时刹车距离达到最大值，完全停下． 答：汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下； （2）解：当汽车超过测速仪，且与测速仪相距时， 即汽车开始刹车后行驶的距离， 当时，， 即， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距； （3）解：会， 理由如下： 由（1）可知，当时，有最大值75， 即汽车刹车过程中最多行驶， ， 该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 15．（2025·辽宁抚顺·三模）某文具店购进一批毛笔，每支进价为10元，出于营销考虑，要求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，在销售过程中发现该毛笔每周的销售量y（支）与每支毛笔的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为11元时，销售量为18支；当销售单价为12元时，销售量为16支． (1)求y与x的函数关系式； (2)设该文具店每周销售这种毛笔所获得的利润为w元，将该毛笔销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大？最大利润是多少？ 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设y与x的关系式为，再运用待定系数法求出，即可作答． （2）先整理得，，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设y与x的关系式为， 把与代入， 得：，解得：， ∵求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得：， ∵每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，， 答：该毛笔销售单价定为14元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大，最大利润是48元． 16．（2025·陕西·模拟预测）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度． (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，先得再设中间大孔抛物线的函数表达式为，运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． （2）读懂题意，把代入，得， 解得，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度， ∴ 设中间大孔抛物线的函数表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴中间大孔抛物线的函数表达式为， （2）解：∵小孔顶点距离水面的高度．雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没， ∴把代入， 得， 解得， ∴． 即此时大孔的水面宽度的值为． 17．（2025·陕西西安·二模）慕梓睿学习了二次函数后，在学校的空地上设计了一个花园，它是由两条抛物线L和围成．如图，这两个抛物线都过空地上O、A两点，且它们关于直线对称，点D、E 是抛物线L上关于对称轴对称的两点（点D在点E左侧），，再作点D 、E关于直线的对称点、，顺次连接D、E、、，得到矩形．以直线为x轴，以过点O且与垂直的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知米，抛物线L的顶点B到的距离为6米． (1)求抛物线L 的表达式； (2)若沿矩形的边围一圈篱笆，将花园内部分为不同区域种植花卉，慕梓睿通过研究发现，当点D的横坐标为时，篱笆总长度最小，求篱笆总长度的最小值． 【分析】根本主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数的对称轴是解题的关键． （1）根据题意得到，设抛物线为，运用待定系数法即可求解； （2）当点D的横坐标为时，篱笆总长度最小，则当时，可求出，根据对称的性质得到，，所以，，由周长的计算公式计算即可求解． 【详解】（1）解：已知米，抛物线L的顶点B到的距离为6米， ∴，设抛物线为， 将代入，得， 解得 ∴抛物线为； （2）解：当点D的横坐标为时，篱笆总长度最小， ∴当时，， ∴， ∵点D 和点E 关于对称轴直线对称 ， ∴， ∵点D和点关于x 轴对称， ∴ ， ∴，， ∴， ∴篱笆总长度的最小长为． 18．（21-22九年级上·江西九江·期末）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为元／千克，根据市场调查发现，批发价定为元／千克时，每天可销售千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加千克． (1)写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系． (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到元，则定价应为多少元？ 【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程以及一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）根据即可求解； （3）令，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由（1）得：， ∵， ∴时，W最大为， 即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为元； （3）解：令， 解得： ∴定价为（元）或（元）， ∵要增大市场占有率，降价越多，销量越多． ∴定价应为元， 答：定价应为元． 19．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一超市销售某种水果，收集每日该水果所得的利润（元）与售出质量（）的数据，并描点如图所示，发现与满足函数关系式． (1)求，的值． (2)当每日售出多少该水果时，所得利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数图象是解题关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可； （2）利用配方法求出二次函数最值即可． 【详解】（1）解：图像过点，． 解得； （2）解：把，代入得： ， ， 当时，y有最大值，最大值为． 答∶ 当每日售出该水果时，所得利润最大，最大利润为元． 20．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，小明想用长100米的一段围栏，在一段笔直且足够长的墙下围一块矩形的菜地，用墙作矩形的一边，围栏作矩形的另外三边．设围成矩形时所用墙的长为米，对应矩形的面积为平方米． (1)求和的函数关系式，并指出的取值范围； (2)围成的矩形有没有最大面积？如果有，当取何值时有最大面积，并求出最大面积． 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确表示出函数的关系式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式表示出和的函数关系式，再结合矩形的边长大于0求出的取值范围即可； （2）对（1）中的函数关系式配方，得到，再根据二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：围成矩形时所用墙的长为米，则和墙相邻的边长为米， ， 由题意得，， 解得：， 和的函数关系式为． （2）解：由（1）得，， ， 当时有最大值，最大值为1250， 当时矩形有最大面积，最大面积为1250平方米． 21．（24-25九年级上·广东广州·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个元，标价为每个元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价元时，平均每天能够售出个，当每个售价每降2元时，平均每天就能多售出个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城想要获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． （1）设商城每次降价的百分率为，根据题意得，据此即可求解； （2）设降价元，每天的总利润为，则每天可售出个，则，据此即可求解； 【详解】（1）解：设商城每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得：（舍去）， ∴商城每次降价的百分率为； （2）解：设降价元，每天的总利润为，则每天可售出个， 则， ∵， ∴当，即每个商品的定价应为元时，有最大利润，且最大利润为元； 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线的表达式为． (1)请求出抛物线与坐标轴的交点A、B、D的坐标； (2)我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的“弦”的长． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）先解方程得，再计算自变量为0对应的函数值得到D点坐标； （2）连结，如图，由于，则，利用勾股定理得到计算出，然后计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∴，， 当时， ∴； （2）解：∵，， ∴ 连结，如图， ∵为直径， ∴． ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴． 23．（2025·湖北武汉·二模）如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点． ①当时，求的长； ②直接写出M点横坐标m的取值范围． 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，解直角三角形等知识点． （1）根据，在抛物线上建立方程组求解b，c并将解析式整理成的形式即可得解； （2）①先求出直线的解解式，取表示任意位置的小树高，令解得M，N横坐标，即可求解； ②设，根据题意得到直线与抛物线在区间上有两交点，m为靠左一点的横坐标，注意到，即可结合一元二次方程求根公式通过计算求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得， 抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：①∵点，，点C在x轴上， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为，即， 解得：， 故直线的解析式为， 令d表示小树高，则， ，即， ， 整理得， 解得：，， 在左侧，故，， ②设，则在上有两解，且m为其中较小解， 即直线与抛物线在上有两交点， 当时，， 令，得或舍去， ， 又， 对称轴为直线， 为直线与抛物线两交点中靠左一点的横坐标，故， 综上，． 24．（2025·辽宁葫芦岛·一模）某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示： (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设该老板每天销售利润为元，求与之间的函数关系式； (3)当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的应用是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得；再根据销售单价不低于进价，建立不等式组，解不等式组即可得的取值范围； （2）根据每天销售利润（销售单价进价）日销售量列出函数关系式即可得； （3）令，建立一元二次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则与之间的函数表达式为． ∵销售单价不低于进价，， ∴， 解得， 答：与之间的函数表达式为，的取值范围为． （2）解：由题意得： ， 答：与之间的函数关系式为． （3）解：令，则， 解得或，均在范围内， 答：当满天星的销售价格定为20元或30元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 25．（2025·湖北·一模）某农庄计划在亩空地上全部种植蔬菜和水果，种植蔬菜面积大于种植水果面积，且均为正整数，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系为；小李种植水果所得报酬（元）与种植面积（亩）之间的函数关系为． (1)若小张种植蔬菜为亩，用含的代数式表示下列各量： ①小李种植水果的面积为 亩； ②小张种植蔬菜所得的总工资为 元； ③小李种植水果所得的报酬为 元； (2)若农庄支付小张和小李的总费用为元，求小张与小李种植的面积各为多少亩？ (3)直接写出农庄支付给小张和小李的总费用的最大值． 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数关系式． （1）根据题意列式即可得到结论； （2）根据小张和小李的总费用为元列方程，解方程即可得到结论； （3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w元，根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：①小李种植水果的面积为亩； ②小张种植蔬菜所得的总工资为元； ③小李种植水果所得的报酬为元； 故答案为：，，； （2）解：根据题意得，， 解得，， ∵种植蔬菜面积大于种植水果面积，即，即， ∴不符合题意，舍去； 小张种植蔬菜面积为18亩，小李种植的水果面积为亩； 答：小张种植蔬菜面积为18亩，小李种植的水果面积为12亩； （3）解：设农庄支付给小张和小李的总费用为w元， 根据题意得，， ∵，且均为整数， ∴当时，农庄支付给小张和小李的总费用的最大，最大值为元． 26．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； （3）解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 27．（2025·河南驻马店·三模）某校为准备建校二十周年庆典活动，在操场上布置一个舞台，需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接等高的，两点，点、分别位于点、正下方的地面处，且、的水平距离为米．点在线段上，且米．以为原点，以所在直线为轴，垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，点为抛物线与轴交点，图描画的是部分抛物线图象，点，点． (1)求图2中第二象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围） (2)为使灯链造型更加美观，对方案进行修改：以轴为对称轴构造段抛物线的轴对称图形，形成一个“类组合抛物线”． ①直接写出第一象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围） ②若在组合抛物线灯链上挂两个灯笼，且两灯笼离地面的高度均为米，求两个灯笼之间的最大水平距离． 【分析】本题考查了二次函数的应用，列出二次函数关系式是解题的关键； （1）先求得中点的横坐标为，设第二象限内的抛物线表达式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据对称性写出第一象限内的抛物线表达式； ②对于左侧抛物线，当时，对于右侧抛物线，当时，分别求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：中点的横坐标为， 抛物线对称轴为，设第二象限内的抛物线表达式为， 将、， 代入，， 解得，， ∴第二象限内的抛物线表达式为． （2）①∵第二象限内的抛物线表达式为，轴为对称轴， ∴第一象限内的抛物线表达式；， ②对于左侧抛物线，当时， 即，解得，． 对于右侧抛物线，当时， 即，解得，． ∴两个灯笼之间的最大水平距离为（米）． 28．（2025·广东深圳·三模）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小明从赛道顶端A处下滑，滑行2s后，小华操控一个无人机从A处沿着赛道方向保持相同安全高度跟拍小明，测得小明离A处的滑雪距离单位：以及无人机离A处的距离单位：注：无人机的安全高度忽略不计随滑雪时间单位：变化的数据，整理得下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 5 滑行距离 0 6 14 24 36 50 无人机离A处的距离 0 0 0 15 30 45 经探究发现，y与x之间成二次函数关系，s与之间成一次函数关系． (1)直接写出y关于x的函数解析式和s关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围； (2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)在小明到达终点前，无人机能否追上小明，若能，试计算此时小明的滑雪时间x的值；若不能，求出无人机与小明的最小距离． 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相关的函数解析式是解决本题的关键． （1）设，任意取x和y的三对数值代入可得a，b，c的值，即可求得y与x的关系式；设取大于2的x和s的两对数值代入可得m和n的值，即可求得s与x的关系式； （2）取，代入中得到的函数解析式，即可求得相应的时间； （3）无人机追上小明，则，根据可得方程无解，那么在小明到达终点前，无人机不能追上小明．设无人机与小明的距离为则，整理成顶点式，可得无人机与小明的最小距离． 【详解】（1）解：设 经过点，， 解得：， ， 设， 经过点，， ， 解得：， ． （2）解：当时， ， 解得：，不合题意，舍去 答：小明滑完整个赛道需要耗时． （3）解：由题意得： ， ∴， ， 原方程无解， 在小明到达终点前，无人机不能追上小明． 设无人机与小明的距离为， ； 当滑雪时间为时，无人机与小明的距离最小，最小距离为． 29．（2025·陕西渭南·三模）滑板是一项富有激情与挑战的极限运动，U型池则是它绽放魅力的重要舞台，滑手在连续的U型池滑道间展开挑战，这不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换时，脱离滑道起跳后的飞行路线可近似看作是抛物线的一部分．如图，某次挑战中，滑手小红尝试从滑道①转换到滑道②，已知小红从起跳到着陆的过程中，起跳点到滑道底部所在直线的距离为，当离起跳点水平距离为时，小红到滑道底部所在直线的距离达到了最大值，现以滑道底部所在直线为x轴，垂直于滑道底部所在直线且经过起跳点的直线为y轴建立平面直角坐标系（滑道①、②底部在一条直线上）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则视为滑手成功完成转换，已知滑道②与滑道①高度相同，两者水平距离为，请通过计算说明小红能否转换成功？ 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意直接写出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）当时，，解方程比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由题知起跳点的坐标为，抛物线的顶点坐标为． 设该抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 设该抛物线的函数表达式为． （2）当时，, 解得，（舍去）， 因为, 所以小文能成功转换． 30．（2025·贵州铜仁·三模）【问题背景】某体育社团开展跳大绳游戏活动，两个摇绳的同学手，之间相距，绳子在摇动过程中呈抛物线形状且轨迹保持不变，当手摇绳子到最上方时，绳子的最高点距地面，握绳的手距离地面，当摇绳两端的手更高时，绳子整体也会相应更高． 【模型抽象】以人站立的地面为轴，绳子最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系． 【问题解决】 (1)求抛物线解析式； (2)若参加跳绳的人身高均为，人与人之间的距离为，最多能有多少人同时参与跳绳（除摇绳人外）？ (3)在（2）的条件下，由于还有1名同学没能同时参与跳绳，若加入这名同学，在不改变摇绳两端的水平距离和绳长的情况下，只需将两端向上移即可，则的值应满足什么条件？ 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得抛物线解析式是解题关键． （1）由已知确定顶点，，设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，解方程即可求出x的值； （3）设出平移后的解析式为，然后求出绳高不低于的水平距离大于等于，求出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线解析式为，且抛物线过点和点， 则有： 解得： 抛物线解析式为 （2）解：当时有，解得： 当时，则有一个同学在原点处，其两侧均有4个同学，与最远端同学相距， 此时可有9个同学同时参加跳绳． （3）解：由（2）可知，再增加1个同学即有10个同学，此时没有人能站在原点处， 故原点两侧的同学距原点，所以最远端到原点距离为， 解得 即的值应超过即可． 31．（2025·辽宁铁岭·三模）小莹打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期售价与日销售量的市场规律保持不变，于是她到附近A，B，C，D，E，5家花卉店对该种花卉的售价与日销售量情况作了市场调查，并记录了如下数据： 花店 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 (1)根据以上信息，求出日销售量与售价之间的一次函数关系式； (2)小莹欲购进进价为15元/盆的该种花卉在当地市场进行销售，在销售该种花卉中， ①当每盆售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ ②考虑到花店新开业，为了吸引顾客，让利于民，小贵打算在销售过程中每天获得400元的利润，应如何定价？ 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． （2）根据待定系数法求解； （3）①根据配方法求解； ②根据“”列方程求解． 【详解】（1）解：∵日销售量与售价满足一次函数关系， ∴设售价为x元/盆，日销售量y盆， 直线过点和点， ∴， 解得：， ∴， 答：日销售量与售价之间的一次函数关系式为． （2）解：①设利润为w元，则， 即， ∵， ∴开口向下，对称轴为直线， ∵ ， ∴， ∴符合， 把代入， 答：当每盆售价定为30元时，每天获得的利润最大，最大利润是450元； ②当时 ， ∵让利于民，不符合题意舍去， ． 答：每天获得400元的利润，应定价为25元． 32．（2025·山西太原·二模）【问题情境】 如图1，车棚是用来保护车辆不受损伤的一种建筑，主要起到挡风遮雨的功能，其中膜结构车棚造型丰富，曲线柔美，给人美的视觉享受．如图2是其横截面的示意图，其中车棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以垂直于地面的立柱为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点P在顶棚抛物线形骨架的外端处，点D离地面的距离为3米，已知车棚顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离地面的距离为3.5米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 （1）设车棚顶部骨架上某处离地面的距离为y（米），该处离车棚支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式； 【实践探究】 （2）若车棚深度为5米（即点P到的水平距离），求点P离地面的距离； 【拓展应用】 （3）为了车棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段组成，点F在线段上，．为不影响停车，将点A到地面的距离定为2米，求支架的最大长度． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，配方法求最值等，解题的关键时正确理解题意，熟练掌握相关知识点以及配方法求最值． （1）根据题意得出抛物线的顶点坐标和点D的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）利用（1）中函数解析式直接求解； （3）根据题意得出A，B两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，设，可得，利用配方法求的最大值； 【详解】（1）由题知，，抛物线的顶点坐标为， ， 代入点可得，，解得， ． （2）当时，，即点P离地面的距离为． （3）由题知，， 当时，， ， 设直线的解析式为，代入，， 可得， 解得， 直线的解析式为， ， 设， 点F在线段上，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值1.125． 支架的最大长度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$