专题：一次函数的图像与性质暑期自学（知识梳理+7大题型+课后检测）暑期衔接课堂2025-2026学年北师大版数学八年级上册

一次函数的图像与性质 内容预览 第一步：读 读教材 学知识：精读教材，提炼知识 第二步：练 分类别 练知识：通过知识专练，强化知识内涵 【题型1 正比例函数的图像】 【题型2 一次函数的图像与性质】 【题型3 一次函数与坐标轴交点问题】 【题型4 一次函数图像平移问题】 【题型5 根据一次函数增减性求参数】 【题型6 比较一次函数值的大小】 【题型7 求一次函数解析式】 第三步：测 同步测 稳提升：课后作业，提升能力 1、读教材 学知识 知识点01 函数的图像 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 知识点02 正比例函数的图像 一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 知识点03 正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 知识点04 一次函数的图像与性质 函数表达式 图象形状 过定点 增减性 (k 决定) 与 y 轴交点 (b 决定) y = kx + b (k≠0) 直线 (0, b) (必过) k>0：y 随 x 增大而增大 k<0：y 随 x 增大而减小 (0, b) y = kx (k≠0) 直线 (0, 0) (必过) 同上 (0, 0) 知识点05 一次函数的平移 上下平移：直线 y = kx + b 可以看作是由直线 y = kx 向上(b>0)或向下(b<0)平移 |b| 个单位长度得到的。 y = kx + b 的图象是由 y = kx 沿 y 轴方向平移 b 个单位。 左右平移：y = k(x - m) 的图象是由 y = kx 向右(m>0)平移 |m| 个单位得到。但一次函数一般形式 y = kx + b 主要体现上下平移。 2、分类别 练知识 【题型1 正比例函数的图像与性质】 例题：关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有 【跟踪训练】 1．已知在平面直角坐标系中，正比例函数为常数，且的图象经过点，则下列点也在该正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．下列点在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．如图是函数的图象，则k的值可能是（   ） A．1 B．0 C． D． 4．已知在平面直角坐标系中，正比例函数（k为常数，且）的图象经过点，则下列点也在该正比例函数图象上的是（  ） A． B． C． D． 【题型2 一次函数的图像与性质】 例题：对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定不经过第二象限 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 【跟踪训练】 1．已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 2．一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，一次函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3 一次函数与坐标轴交点问题】 例题：如果直线与轴交于点，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．在平面直角坐标系中，直线与y轴的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 2．下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．直线经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形面积为 D．直线与轴交点的坐标是 3．已知一次函数，则下列说法中正确的是（　　） A．该函数的图象经过点 B．该函数的图象不经过第四象限 C．y的值随x的值的增大而增大 D．该函数的图象与x轴的交点坐标为 4．下列函数中，与一次函数的图象相交的交点在x轴上的是（　　） A． B． C． D． 【题型4 一次函数图像平移问题】 例题：把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知直线：平移之后的直线为：，则下面平移方式正确的是（    ） A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移单位 D．向左平移单位 2．在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．一次函数图象向下平移2个单位长度后，对应函数关系式是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向右平移2个单位长度后经过原点，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型5 根据一次函数增减性求参数】 例题：已知一次函数，当时，函数的最大值为 ． 【跟踪训练】 1．已知一次函数中，y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 2．已知一次函数，当时，，则m的值为 ． 3．已知一次函数，当时，对应的函数值y的取值范围是，则的值为 ． 4．已知关于x的一次函数（k为常数，且），当时，函数有最大值，则k的值是 ． 【题型6 比较一次函数值的大小】 例题：已知点和点是一次函数图象上的两点，则a与b的大小关系是 ． 【跟踪训练】 1．若点在一次函数图象上， 则 (填或) 2．已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是 （填“”，“”，“”）． 3．已知点和点是图象上的两个点，则与 的大小关系 ． 4．若点都在函数的图象上，则与的大小关系 ． 【题型7 求一次函数解析式】 例题：已知一次函数． (1)若函数值y随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若一次函数的图象经过点，求k的值． 【跟踪训练】 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求一次函数的关系式； (2)直线与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积． 2．综合与实践 某商家销售一批具有中国传统文化意义的水杯，已知每个水杯的成本为20元，当地物价部门规定，该水杯的单价最高不超过40元．在销售过程中发现，这种水杯的日销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式． (2)当水杯的销售单价为多少时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)因原材料价格发生变动．该种水杯的进价变为元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变．在实际销售过程中，发现该种水杯每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 3．如图，已知一次函数的图象经过点，且与轴交于点A，与轴交于点B． (1)求的值； (2)求A，B两点的坐标； (3)求的面积． 4．已知一次函数的图像经过点． (1)求这个函数的表达式，并判断点是否在此函数图像上； (2)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． (3)把该函数图像向下平移6个单位长度所得图像对应的函数表达式是_____． 3、同步侧 稳提升 一、单选题 1．点在正比例函数的图象上，则k的值为（   ） A． B．15 C． D． 2．关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有 3．若，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定不经过第二象限 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 5．一次函数一定经过（　　） A． B． C． D． 6．将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．与y轴的交点坐标点是 B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．y的值随着x值的增大而减小 7．下列函数中，与一次函数的图象相交的交点在x轴上的是（　　） A． B． C． D． 8．已知一次函数的图象经过点，并且随的增大而增大，那么该函数的图象可能是（   ） A．图象过一、三、四象限； B．图象过二、三、四象限； C．图象过一、二、四象限； D．图象过一、二、三象限； 9．把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．把直线向左平移3个单位后，新的直线的解析式为 ． 11．若把一次函数，向下平移个单位长度，得到图象解析式是 ． 12．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 13．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为 ． 14．若直线经过点，则 （填“”或“”）． 三、解答题 15．已知正比例函数的图象经过点，求的值． 16．已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小． 17．已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 18．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 19．在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求一次函数的关系式； (2)直线与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积． 第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一次函数的图像与性质 内容预览 第一步：读 读教材 学知识：精读教材，提炼知识 第二步：练 分类别 练知识：通过知识专练，强化知识内涵 【题型1 正比例函数的图像】 【题型2 一次函数的图像与性质】 【题型3 一次函数与坐标轴交点问题】 【题型4 一次函数图像平移问题】 【题型5 根据一次函数增减性求参数】 【题型6 比较一次函数值的大小】 【题型7 求一次函数解析式】 第三步：测 同步测 稳提升：课后作业，提升能力 1、读教材 学知识 知识点01 函数的图像 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 知识点02 正比例函数的图像 一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 知识点03 正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 知识点04 一次函数的图像与性质 函数表达式 图象形状 过定点 增减性 (k 决定) 与 y 轴交点 (b 决定) y = kx + b (k≠0) 直线 (0, b) (必过) k>0：y 随 x 增大而增大 k<0：y 随 x 增大而减小 (0, b) y = kx (k≠0) 直线 (0, 0) (必过) 同上 (0, 0) 知识点05 一次函数的平移 上下平移：直线 y = kx + b 可以看作是由直线 y = kx 向上(b>0)或向下(b<0)平移 |b| 个单位长度得到的。 y = kx + b 的图象是由 y = kx 沿 y 轴方向平移 b 个单位。 左右平移：y = k(x - m) 的图象是由 y = kx 向右(m>0)平移 |m| 个单位得到。但一次函数一般形式 y = kx + b 主要体现上下平移。 2、分类别 练知识 【题型1 正比例函数的图像与性质】 例题：关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数图象和性质，是解题的关键．正比例函数，当直线经过一、三象限，随的增大而增大；当直线经过二、四象限，随的增大而减小．根据正比例函数的性质，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：A. 当时，，故图象经过点，而非，选项A错误； B. 正比例函数的图象经过的象限由的符号决定，因，图象经过第二、四象限，而非第一、三象限，选项B错误； C. 当时，随的增大而减小，正比例函数中，故随的增大而减小，选项C正确； D. 当时，，此时不满足；当时，，故选项D错误． 故选：C． 1．已知在平面直角坐标系中，正比例函数为常数，且的图象经过点，则下列点也在该正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法确定函数表达式，先利用已知点求出正比例函数的比例系数，再验证各选项是否满足函数解析式，熟练掌握待定系数法确定函数表达式是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正比例函数为常数，且的图象经过点， 将点代入，得，解得， 则函数解析式为， A、对于，，点不在该正比例函数图象上，选项不符合题意； B、对于，，点不在该正比例函数图象上，选项不符合题意； C、对于，，点不在该正比例函数图象上，选项不符合题意； D、对于，，点在该正比例函数图象上，选项符合题意； 故选：D． 2．下列点在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正比例函数图象上点的坐标特征．根据，只要代入点的横坐标与纵坐标就可判断． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．如图是函数的图象，则k的值可能是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，根据增减性确定k值的正负，即可求解． 【详解】解：由图可知，y随x的增大而增大， 因此， 观察四个选项，只有选项A符合要求， 故选A． 4．已知在平面直角坐标系中，正比例函数（k为常数，且）的图象经过点，则下列点也在该正比例函数图象上的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先利用已知点求出正比例函数的比例系数k，再验证各选项是否满足函数解析式． 【详解】解：将点代入正比例函数解析式，得：，解得：， 因此函数解析式为． 选项A：代入，计算得，与点中不符，排除． 选项B：代入，计算得，与点中一致，符合条件． 选项C：代入，计算得，与点中不符，排除． 选项D：代入，计算得，与点中不符，排除． 故选：B． 【题型2 一次函数的图像与性质】 例题：对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定不经过第二象限 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系． 根据据一次函数的特征，判断函数图象的特点，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】A．将代入函数，得，无论取何值，函数图象必过点，故该选项说法正确，符合题意； B．当时，，此时直线经过第二，三、四象限，随增大而减小，故该选项说法错误，不符合题意； C．当时，，此时直线经过第二，三、四象限，故该选项说法错误，不符合题意； D．当，，此时图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【跟踪训练】 1．已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 2．一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中随的增大而减少，可得，由，可得，此函数的图象过二、三、四象限，逐一判断即得． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小，∴，∵，∴， A. ，，，不合，故此选项不符合题意； B. ，，，不合，故此选项不符合题意； C. ，，，符合，故此选项符合题意； D.    ，，，不合，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函数的图象经过第一、二、四象限，得到，从而得到，再根据一次函数的性质判断的图象． 【详解】解：∵函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象过第一、二、三象限， 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，一次函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 当时，一次函数图象绕过第一，第二，第三象限，当时，一次函数图象绕过第二，第三，第四象限，据此 判断各选项即可． 【详解】解：当时，一次函数图象绕过第一，第二，第三象限，故A、B、C、D选项均不符合题意； 当时，一次函数图象绕过第二，第三，第四象限，故A、C、D选项均不符合题意，B选项符合题意； 故选：B． 【题型3 一次函数与坐标轴交点问题】 例题：如果直线与轴交于点，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，直线与x轴的交点纵坐标为0，将点代入直线方程即可求解m的值． 【详解】解：将点代入直线方程，得：， 解得， 故选：B． 【跟踪训练】 1．在平面直角坐标系中，直线与y轴的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，令求出其函数值，即可解题． 【详解】解：将代入直线方程中，得． 因此，直线与y轴的交点坐标为， 故选：B． 2．下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．直线经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形面积为 D．直线与轴交点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，根据一次函数的性质可判断A和B，求出图象与坐标轴的交点坐标可判断D，求出三角形的面积可判断C． 【详解】解：，， 随的增大而减小，直线经过第一、二、四象限，故A、B正确，不符合题意； 当时，；当时，， 直线与与轴交点的坐标是，D正确，不符合题意； 与两坐标轴围成的三角形面积为，故C错误，符合题意． 故选C． 3．已知一次函数，则下列说法中正确的是（　　） A．该函数的图象经过点 B．该函数的图象不经过第四象限 C．y的值随x的值的增大而增大 D．该函数的图象与x轴的交点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 根据一次函数性质和图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A、当时，，故该函数的图象经过点，原说法正确，故此选项符合题意； B、函数，，，函数图象经过第一、二、四象限，原说法错误，故此选项不符合题意； C、一次函数，随的增大而减小，原说法错误，故此选项不符合题意； D、当时，，与轴的交点坐标为，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．下列函数中，与一次函数的图象相交的交点在x轴上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先求出一次函数与轴的交点为，再分别求出当时，各个函数的的值，由此即可得． 【详解】解：将代入一次函数得：，解得， 即一次函数与轴的交点为． A、当时，函数，则此项不符合题意； B、当时，函数，则此项符合题意； C、当时，函数，则此项不符合题意； D、当时，函数，则此项不符合题意； 故选：B． 【题型4 一次函数图像平移问题】 例题：把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数水平平移的规律，需根据“左加右减”的原则对自变量x进行变换． 【详解】解：把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为， 故选：B． 【跟踪训练】 1．已知直线：平移之后的直线为：，则下面平移方式正确的是（    ） A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移单位 D．向左平移单位 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可． 【详解】解：∵直线：平移之后的直线为：， ∴设直线平移a个单位后得到直线， ∴， 解得． ∴向右平移单位， ∴C符合题意． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移．熟练掌握一次函数图象平移规律：上加下减是解题的关键． 根据上加下减进行求解作答即可． 【详解】解：∵把直线沿轴向下平移2个单位长度后， ∴得到直线的函数表达式为， 即：， 故选：B． 3．一次函数图象向下平移2个单位长度后，对应函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律．根据“上加下减”的原则，向下平移2个单位长度只需在函数表达式的常数项上减2，一次项系数保持不变，据此可得答案． 【详解】解：一次函数图象向下平移2个单位长度后，对应函数关系式是， 故选；A． 4．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向右平移2个单位长度后经过原点，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与平移，熟练掌握点的平移规律：左减右加，上加下减是解题的关键．由平移的性质知，一次函数的图象与x轴的交点坐标是，代入解析式求出k值，再判定一次函数的图象不经过的象限即可． 【详解】解：∵一次函数的图象向右平移2个单位长度后经过原点， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是， 将代入得：， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∴其图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 【题型5 根据一次函数增减性求参数】 例题：已知一次函数，当时，函数的最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据时，y随x的增大而减小， 当时，函数取得最大值，即可求解． 【详解】解：由，得 一次函数的函数值随着x的增大而减小， ∵， ∴当时，函数的最大值为． 故答案为：8． 【跟踪训练】 1．已知一次函数中，y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 根据y随x的增大而增大可得，然后可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，y的值随x的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 2．已知一次函数，当时，，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键． 结合一次函数的性质，对分类讨论，当时，一次函数随增大而增大，此时且；当时，一次函数随增大而减小，此时且；最后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：当时，一次函数随增大而增大， ∴当时，且当时，， 把代入，解得， 把代入，解得， ∴此时的值都不符合题意， 当时，一次函数随增大而减小， ∴且， 把代入，解得， 把代入，解得， ∴符合题意， 故答案为：． 3．已知一次函数，当时，对应的函数值y的取值范围是，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的性质，分两种情况进行分析：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y随x的增大而减小，利用待定系数法求解即可得出结果． 【详解】解：①当时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数， 当时，，当时，， 代入一次函数解析式得：， 解得， ； ②当时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数， 当时，，当时，， 代入一次函数解析式得：， 解得， 所以的值为： 故答案为： 4．已知关于x的一次函数（k为常数，且），当时，函数有最大值，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程；解题的关键是理解函数的增减性，确定当时． 根据当时，y随x的增大而减小，当时，函数有最大值，即当时，代入求解即可， 【详解】解： (k为常数，且) ∴y随x的增大而减小， 又∵当时，函数有最大值， 当时， 即， 解得：， 故答案为：． 【题型6 比较一次函数值的大小】 例题：已知点和点是一次函数图象上的两点，则a与b的大小关系是 ． 【答案】 【分析】由，可得该函数中y随着x的增大而减小，由此可判断a与b的大小关系．本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中， ∴该函数中y随着x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练】 1．若点在一次函数图象上， 则 (填或) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由一次函数得， ， ∴随的增大而减小， 由得，， ∴， 故答案为：． 2．已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是 （填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据一次函数解析式得出，得出随着的增大而减小，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 3．已知点和点是图象上的两个点，则与 的大小关系 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性，是解题的关键． 先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数中，y随着x的增大而减小． ∵点和点是函数图象上的两个点，， ∴． 故答案为：． 4．若点都在函数的图象上，则与的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握其基础知识是解题的关键．根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：由可得：， 一次函数的图象y随的增大而减小，且， ∴， 故答案为：． 【题型7 求一次函数解析式】 例题：已知一次函数． (1)若函数值y随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若一次函数的图象经过点，求k的值． 【答案】(1)； (2)k的值为． 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值y随x的增大而增大，求解即可； （2）依据题意，函数图象经过点，从而，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵函数值y随x的增大而增大， ∴， 解得：． （2）解：由题意，∵函数图象经过点， ∴． ∴，即k的值为． 【跟踪训练】 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求一次函数的关系式； (2)直线与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，三角形的面积，掌握数形结合思想解题是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）根据（）所得函数解析式，求出点坐标，进而求出的长度，最后根据三角形面积公式计算即可； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 2．综合与实践 某商家销售一批具有中国传统文化意义的水杯，已知每个水杯的成本为20元，当地物价部门规定，该水杯的单价最高不超过40元．在销售过程中发现，这种水杯的日销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式． (2)当水杯的销售单价为多少时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)因原材料价格发生变动．该种水杯的进价变为元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变．在实际销售过程中，发现该种水杯每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1)与的关系式为； (2)该商品每天获得的利润的最大值为450元； (3)最小值为30． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的应用等知识点， (1)根据图中所给的数据，利用待定系数法即可求得其关系式； (2)根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值； (3)根据日销售利润=日销售量（销售单价-成本单价）列出函数解析式，求出函数对称轴为直线，再根据在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，，得出，求解即可； 熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设与的关系式为， 将代入解析式得， ，解得， 与的关系式为； （2）解：设商家获得的利润为， ∴ ， ，， 当时，有最大值，最大值为450， 该商品每天获得的利润的最大值为450元； （3）解：由题意得： ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 水杯的单价最高不超过40元， ∴， 在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大， ， 解得：， 最小值为30． 3．如图，已知一次函数的图象经过点，且与轴交于点A，与轴交于点B． (1)求的值； (2)求A，B两点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别令，计算即可得解； （3）根据三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴ （2）解：令，，解得：， ∴， 令，则， ∴； （3）解：． 4．已知一次函数的图像经过点． (1)求这个函数的表达式，并判断点是否在此函数图像上； (2)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． (3)把该函数图像向下平移6个单位长度所得图像对应的函数表达式是_____． 【答案】(1) ； 点B不在图像上； (2)面积为4； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变化，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的平移规律； （1）把代入一次函数解析式中，根据待定系数法即可得到函数的表达式，将代入函数表达式，求出对应的y值，再与3进行比较，即可得到结论； （2）求得函数与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式即可解答； （3）根据一次函数的平移规律：上加下减即可解答． 【详解】（1）解：把点代入中，得 ， 解得， ∴这个函数的表达式是； 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． （2）令，代入得： ， 令，代入得： ， ∴此函数此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积：； （3）解：把这条直线向下平移6个单位长度后函数表达式为； 故答案为：． 3、同步侧 稳提升 一、单选题 1．点在正比例函数的图象上，则k的值为（   ） A． B．15 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，将点的坐标代入正比例函数解析式，解方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴将代入， 得， 解得：， 故选：D 2．关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数图象和性质，是解题的关键．正比例函数，当直线经过一、三象限，随的增大而增大；当直线经过二、四象限，随的增大而减小．根据正比例函数的性质，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：A. 当时，，故图象经过点，而非，选项A错误； B. 正比例函数的图象经过的象限由的符号决定，因，图象经过第二、四象限，而非第一、三象限，选项B错误； C. 当时，随的增大而减小，正比例函数中，故随的增大而减小，选项C正确； D. 当时，，此时不满足；当时，，故选项D错误． 故选：C． 3．若，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由得出，，进而利用一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：D． 4．对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定不经过第二象限 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系． 根据据一次函数的特征，判断函数图象的特点，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】A．将代入函数，得，无论取何值，函数图象必过点，故该选项说法正确，符合题意； B．当时，，此时直线经过第二，三、四象限，随增大而减小，故该选项说法错误，不符合题意； C．当时，，此时直线经过第二，三、四象限，故该选项说法错误，不符合题意； D．当，，此时图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 5．一次函数一定经过（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 本题令，求出的值，再求出的对应值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故选：C． 6．将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．与y轴的交点坐标点是 B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．y的值随着x值的增大而减小 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数经过的象限，一次函数与坐标轴围成的图形面积，一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点问题，根据“上加下减”的平移规律可得一次函数解析式为，则可判断B、D；求出时，y的值，时，x的值，可得一次函数与x轴，y轴的交点坐标，进而求出一次函数与坐标轴围成的图形面积，据此可判断A、C． 【详解】解：将正比例函数的图象向下平移5个单位后得到的函数解析式为， 在中，当时，， ∴一次函数与y轴的交点坐标点是，故A说法正确，符合题意； ∵， ∴一次函数经过第一、三、四象限，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴一次函数与x轴的交点坐标点是， ∴一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法错误，不符合题意； ∵， ∴在中，y的值随着x值的增大而增大，故D说法错误，不符合题意； 故选：A． 7．下列函数中，与一次函数的图象相交的交点在x轴上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先求出一次函数与轴的交点为，再分别求出当时，各个函数的的值，由此即可得． 【详解】解：将代入一次函数得：，解得， 即一次函数与轴的交点为． A、当时，函数，则此项不符合题意； B、当时，函数，则此项符合题意； C、当时，函数，则此项不符合题意； D、当时，函数，则此项不符合题意； 故选：B． 8．已知一次函数的图象经过点，并且随的增大而增大，那么该函数的图象可能是（   ） A．图象过一、三、四象限； B．图象过二、三、四象限； C．图象过一、二、四象限； D．图象过一、二、三象限； 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系；根据“一次函数且随的增大而增大”得到，再由的符号确定该函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数图象经过点，代入得， ∴函数为． ∵“随的增大而增大”可知，图象呈上升趋势． ∴图象经过第一、第三、第四象限． 故选：A． 9．把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数水平平移的规律，需根据“左加右减”的原则对自变量x进行变换． 【详解】解：把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为， 故选：B． 二、填空题 10．把直线向左平移3个单位后，新的直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．根据图象上加下减，左加右减的规律即可求解． 【详解】解：直线向左平移3个单位长度后：，即． 故答案为：． 11．若把一次函数，向下平移个单位长度，得到图象解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平移法则上加下减可得出解析式，掌握一次函数的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把一次函数向下平移个单位长度，得到图象解析式是， 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】50 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 分别求出直线与坐标轴的交点坐标，即可求解． 【详解】解：设直线与y轴交于点A，与x轴交于点 当时，， 点A的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点B的坐标为， ． 故答案为： 13．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，得出是解题的关键． 设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出的长，再结合直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 【详解】解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴m的值为． 故答案为：． 14．若直线经过点，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记一次函数的性质是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵直线经过点，且， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．已知正比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】k的值为 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用正比例函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出k的值 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴k的值为； 16．已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，解答关键是熟练掌握正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限． （1）根据正比例函数的图象与性质解即可； （2）根据正比例函数图象的增减性作答即可． 【详解】（1）解：正比例函数的图象经过第二、四象限， 解得； （2）解：由（1）知，，则正比例函数中y的值随x的增大而减小， 点，是该正比例函数图象上的两点， ， ． 17．已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)3 (3)或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． （2）解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． （3）解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 18．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）利用三角形面积公式列式计算求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）解：点在轴上，若的面积为6， ， ， ， ∵当点在点上方时， ∴． 19．在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求一次函数的关系式； (2)直线与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，三角形的面积，掌握数形结合思想解题是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）根据（）所得函数解析式，求出点坐标，进而求出的长度，最后根据三角形面积公式计算即可； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$