2.4二次函数的应用同步练2025—2026学年北师大版数学九年级下册

2.4二次函数的应用 第1课时　二次函数的应用——最值问题 1. 如图，点E，F，G，H分别位于边长为3的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，正方形EFGH的面积最小时，AE的值是（　D　） 第1题图　　　 A.1 B. C.2 D. 2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（0≤t≤6）.有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.其中，正确结论的个数是（　C　） A.0 B.1 C.2 D.3 3.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8 m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是　3　 m. 第3题图 4.如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点与地面的距离为　0.5　m. 第4题图 5.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的表达式是h＝－5t2＋30t（0≤t≤6），则小球到达最高高度时，运动的时间是（　C　） A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒 6.掷实心球是某市中考体育测试中的一个项目.如图，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，这名男生此次掷实心球的成绩是　10　米. 第6题图 7.如图，有一抛物线形隧道跨度为8 m（即AB＝8 m），拱高为4 m. （1）建立适当的平面直角坐标系，使隧道的顶端坐标为（0，4），AB所在直线为x轴，求出此坐标系中抛物线形隧道对应的函数关系式； （2）一辆装满货后宽度为2 m的货车要通过该隧道，为保证通车安全，车要从正中通过，车顶离隧道顶部至少要有0.5 m的距离，试求货车安全行驶时装货的最大高度. 解：（1）设抛物线表达式为y＝ax2＋4，将坐标（4，0）代入，得0＝16a＋4， 8.综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2x＋c与x轴交于点A（－3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3），点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）. （1）求抛物线的表达式； （2）如图，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标. 9.如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2＋bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①m＝　　　　，n＝　　　　； ②小球的落点是A，求点A的坐标. （2）小球飞行的高度y（米）与飞行时间t（秒）之间满足关系式y＝－5t2＋vt. ①小球飞行的最大高度为　　　　米； ②求v的值. 答案 1.D　2.C　3.3　4.0.5　5.C 6.10　解析：∵抛物线的顶点是（4，3.6）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x－4）2＋3.6， 把点（0，2）的坐标代入表达式得16a＋3.6＝2， 解得a＝－， ∴抛物线的表达式为y＝－（x－4）2＋3.6. 当y＝0时，－（x－4）2＋3.6＝0， 解得x1＝－2（舍去），x2＝10， 即这名男生此次掷实心球的成绩是10米. 7.解：（1）设抛物线表达式为y＝ax2＋4，将坐标（4，0）代入，得0＝16a＋4， ∴a＝－， ∴y＝－x2＋4. （2）当x＝1时，y＝－×12＋4＝， ∴货车安全行驶时装货的最大高度为－＝（m）. 8.解：（1）把点A（－3，0）和点B（0，3）的坐标代入y＝ax2－2x＋c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. （2）如图所示，过点P作PH∥y轴，交AB于点H， 设直线AB的表达式为y＝kx＋b，把点A和点B的坐标代入，得解得∴直线AB的表达式为y＝x＋3. 设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为－x2－2x＋3，点H的横坐标为x，点H的纵坐标为x＋3， ∴PH＝－x2－2x＋3－（x＋3）＝－x2－3x. ∴S△APB＝S△APH＋S△BPH＝×[0－（－3）]（－x2－3x）＝－x2－x＝－·（x＋）2＋， ∴当x＝－时，△APB的面积有最大值，最大值是. 当x＝－时，y＝－x2－2x＋3＝－－2×（－）＋3＝，此时点P的坐标为（－，）. 9.解：（1）①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为（4，8）， 则解得 ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x， 当y＝时，－x2＋4x＝， 解得x＝3或x＝5（舍去）， ∴m＝3， 当x＝6时，n＝y＝－×62 ＋ 4×6 ＝ 6， 故答案为3，6. ②联立 解得 或 ∴点A的坐标是（，）. （2）①由题干可知小球飞行的最大高度为8米， 故答案为8. ②y＝－5t2＋vt＝－5（t－）2＋， 则＝8，解得v＝4（负值舍去）. 第2课时　二次函数的应用——销售问题 1.二次函数y＝－x2＋2x＋4的最大值为（　C　） A.3 B.4 C.5 D.6 2. 出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8－x）个，当一天出售该种手工艺品的利润最大时，x的值为（　B　） A.3 B.4 C.5 D.6 3.某商场进一批货物，销售量y（件）与每件货物的利润x（元）的关系式为y＝－2x＋500，则总利润P与x之间的函数关系式为　P＝－2x2＋500x　. 4.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表： 温度t/℃ －4 －2 0 1 4 植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系，由此可以推测，最适合这种植物生长的温度为　－1　℃. 5.某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件.当每件的定价为　22　元时，该服装店平均每天的销售利润最大. 6.某童装专卖店销售一种童装，已知销售这种童装每天所获得的利润y（元）与童装的销售单价x（元）满足关系式y＝－x2＋50x＋500，则要想每天获得最大利润，销售单价需定为（　B　） A.20元 B.25元 C.30元 D.40元 7.某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数表达式为y＝－2（x－15）2＋1 250，则这种商品每天的最大利润为　1 250　元. 8.广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值. 9. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值. 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式. （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值. 10.某公司产销一种产品，为保证质量，每个周期产销商品件数控制在100以内，产销成本C是商品件数x的二次函数，调查数据如下表： 产销商品件数（x/件） 10 20 30 产销成本（C/元） 120 180 260 商品的销售价格（单位：元）为P＝35－x.（每个周期的产销利润＝P·x－C） （1）直接写出产销成本C与商品件数x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）. （2）该公司每个周期产销多少件商品时，利润达到220元？ （3）求该公司每个周期的产销利润的最大值. 答案：1.C　2.B　3.P＝－2x2＋500x　4.－1　5.22　6.B 7.1 250 8.解：设该果商定价每吨x万元时每天的“利润”为w万元，每天的“销售收入”为y万元， w＝（x－2）[100＋50（5－x）] ＝－50（x－4.5）2＋312.5， ∵－50＜0，当x＞4.5时，w随x的增大而减小， ∴当x＝4.5时，w有最大值，最大值为312.5万元， y＝x[100＋50（5－x）] ＝－50（x－3.5）2＋612.5， ∵－50＜0，当x＞3.5时，y随x的增大而减小， ∴当x＝3.5时，y有最大值，最大值为612.5万元. 答：该果商定价为每吨4.5万元时才能使每天的“利润”最大，其最大值为312.5万元；该果商定价为每吨3.5万元时才能使每天的“销售收入”最大，其最大值为612.5万元. 9.解：（1）设y＝kx＋b（k≠0）.由题意得 解得∴y＝－2x＋80. （2）设日销售利润为w元. w＝（x－10）（－2x＋80） ＝－2x2＋100x－800 ＝－2（x2－50x＋625）－800＋1 250 ＝－2（x－25）2＋450. 当x＝25时，w有最大值，最大值为450元. 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元. （3）w＝（x－10－m）（－2x＋80） ＝－2x2＋（100＋2m）x－800－80m. ∵最大利润为392元， ∴＝392. 整理得m2－60m＋116＝0. 即（m－2）（m－58）＝0. 解得m1＝2，m2＝58. 当m＝58时，x＝54， ∴每盒糖果的利润＝54－10－58＝－14（元）， ∴舍去. ∴m的值为2. 10.解：（1）C＝x2＋3x＋80. （2）依题意得（35－x）·x－（x2＋3x＋80）＝220，解得x1＝10，x2＝150.因为每个周期产销商品件数控制在100以内，所以x＝10. （3）设每个周期的产销利润为y元，则y＝（35－x）·x－（x2＋3x＋80）＝－x2＋32x－80＝－（x－80）2＋1 200. 因为－＜0，所以当x＝80时，函数有最大值，此时y＝1 200. 学科网（北京）股份有限公司 $$