精品解析：江西省上饶市鄱阳县四十里街中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

九年级练习（五） 数学 说明： 1．范围：全综合． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由五个大小相同的小立方块组成的几何体，则俯看该几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 3. 某超市举办春节抽奖活动，在不透明的袋子中装入5个红色乒乓球，2个白色乒乓球，随机从袋子中摸出一个球，则摸出白色乒乓球的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，点是边上一点，且，连接交于点，若面积为3，则的面积为（ ） A. 4 B. C. 16 D. 6. 在物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景．如图，一束光从天花板点射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑．第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为，．已知天花板与地面是平行的，且它们的高度为，当 ，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将平面直角坐标系中的点绕原点沿逆时针方向旋转得到点，则点的坐标为_____． 8. 如图，若圆锥的底面直径为，高是，则它的侧面展开图的面积为_____． 9. 在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为_____． 10. 在三角形中，已知，都是锐角，且满足，则三角形的形状是_____． 11. 如图，身高的李华同学站在树影的端点处，然后朝着树的方向沿着树影由点向点走去，当李华同学走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，用测量仪测得，，则树的高度为_____． 12. 如图，在半径为2的中，弦，过点作直线与相切，点在直线上运动，若为等腰三角形，则线段的长为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 2025年春节期间，南昌市各旅游景区持续火热．小明和小李准备到八一起义纪念塔、滕王阁、南昌八一起义纪念馆、小平小道陈列馆（分别记作A，B，C，D）参加公益讲解活动． （1）若小明和小李各自随机选择1个景区，则“小明和小李都选择滕王阁”是_____（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； （2）小明和小李在A，B，C三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小李选到相同景区的概率． 15. 某网店专门销售江西特色产品——赣南脐橙，已知每千克脐橙的成本为元．根据销售大数据分析得出：当每千克脐橙的售价为元时，平均月销售量为千克；若每千克脐橙的售价每上涨元，月销售量就会减少千克．设每千克脐橙的售价为元，月销售量为千克，月销售利润为元． （1）求与函数解析式； （2）月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 16. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，相交于点，已知． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为菱形． 17. 如图，在的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． （1）如图1，在线段上找一点，使得； （2）如图2，在三角形内寻找格点，使得． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于B，C两点，已知． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若有一点在轴上，且的面积等于6，求点的坐标． 19. 天门山索道是张家界天门山景区的重要交通设施与著名景点．如图1所示为天门山索道部分路段情况，它能让游客欣赏到绝美的自然风光．如图展示的是从天门山某观景平台到山下某一站点一段索道的示意图，点为天门山观景平台，点是索道在山下的停靠站点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离，点到山脚的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求点到山脚的距离； （2）求的长． 20. 如图，在中，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且，连接交于点，连接，过点作的角平分线交于点，交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，若，时，求长． 22. 图1展示的是威力强大的红衣大炮，作为古代战场上的关键武器，它发射的炮弹的运动轨迹呈抛物线形．经过精准测量与仔细观察，炮弹发射后，距离发射点水平距离60米时达到最大高度30米．一次演练场地选在一处地势复杂且带有一定坡度的山地，将红衣大炮稳固地安置在山坡底部的点处，山坡上点处精心布置了一座模拟敌军营地，营地中的指挥官营帐无疑是关键目标．营帐底部点与点的水平距离为90米，与地面的竖直距离为16米，为进一步增强演练的挑战性与真实感，在营帐顶部竖起了一面醒目的旗帜，旗帜顶端比营帐底部高出米．以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求炮弹运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）判断炮弹能否越过旗帜顶端？请说明理由； （3）若要使炮弹恰好击中旗帜顶端，在抛物线形状不变的情况下，红衣大炮应该向后移动多少米？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； 拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级练习（五） 数学 说明： 1．范围：全综合． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可求解．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、2次项系数可能为0，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有一个未知数，最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有一个未知数，未知数的最高次数为2，等号两边都是整式，是一元二次方程，符合题意；  故选：D． 2. 如图是由五个大小相同的小立方块组成的几何体，则俯看该几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图． 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：根据题意得：俯看该几何体的形状图是： ， 故选：B． 3. 某超市举办春节抽奖活动，在不透明的袋子中装入5个红色乒乓球，2个白色乒乓球，随机从袋子中摸出一个球，则摸出白色乒乓球的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，理解并掌握简单概率计算公式是解题关键．先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中装有5个红色乒乓球，2个白色乒乓球， ∴摸出白色乒乓球的可能性大小为． 故选：C． 4. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的与一次函数的图象的综合，先分析每个选项的一次函数的图象得出的情况，再判断二次函数的图象是否符合要求，如果符合要求，即为正确的选项，否则是错误的选项，即可作答． 【详解】解：A、由一次函数经过第二、三、四象限，得出，则二次函数的开口向下，且对称轴，符合题意； B、由一次函数经过第二、三、四象限，得出，则二次函数的开口向下，且对称轴，不符合题意； C、由一次函数经过第一、二、三象限，得出，则二次函数的开口向上，且对称轴，不符合题意； D、由一次函数经过第二、三、四象限，得出，则二次函数的开口向下，且对称轴，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在菱形中，点是边上一点，且，连接交于点，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 4 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，先根据菱形的性质得到，，再利用比例性质得到，接着证明，根据相似三角形的性质即可解答，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 在物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景．如图，一束光从天花板点射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑．第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为，．已知天花板与地面是平行的，且它们的高度为，当 ，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得， 和都是等腰三角形，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得，和都等腰三角形， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将平面直角坐标系中的点绕原点沿逆时针方向旋转得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，灵活运用以上知识解题是关键．根据题意画出示意图，结合旋转的性质及全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图：则， ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得得点在第二象限， ∴， 故答案为：． 8. 如图，若圆锥的底面直径为，高是，则它的侧面展开图的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是计算圆锥的母线长． 先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：， ， 圆锥的母线长为：， 圆锥的侧面展开图的面积； 故答案为：． 9. 在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，判断反比例函数的图象经过，是解题的关键．根据已知条件得到点在第一象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】解：，，分别在三个不同的象限，点在第一象限，点在第二象限， 点一定在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， 反比例函数的图象经过，， ， ， 故答案为：． 10. 在三角形中，已知，都是锐角，且满足，则三角形的形状是_____． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，绝对值和平方式的非负性：先根据非负数的性质确定，继而求出，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的形状是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 11. 如图，身高的李华同学站在树影的端点处，然后朝着树的方向沿着树影由点向点走去，当李华同学走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，用测量仪测得，，则树的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，运用两组角分别相等的三角形是相似三角形，证明，则，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 依题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ 解得 故答案为：． 12. 如图，在半径为2的中，弦，过点作直线与相切，点在直线上运动，若为等腰三角形，则线段的长为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、等腰三角形的定义，先求出为等腰直角三角形，得出，分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可得解，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时， ， ∵过点作直线与相切， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ； 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解: ， ， ∴， ∴． 14 2025年春节期间，南昌市各旅游景区持续火热．小明和小李准备到八一起义纪念塔、滕王阁、南昌八一起义纪念馆、小平小道陈列馆（分别记作A，B，C，D）参加公益讲解活动． （1）若小明和小李各自随机选择1个景区，则“小明和小李都选择滕王阁”是_____（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； （2）小明和小李在A，B，C三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小李选到相同景区的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据随机事件、不可能事件及必然事件概念求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：若小明和小李各自随机选择1个景区，则“小明和小李都选择滕王阁”是随机事件； 【小问2详解】 列表如下： 小明 小李 共有9种等可能的结果，其中小明和小李选到相同景区的结果有3种， (小明和小李选到相同景区)． 15. 某网店专门销售江西特色产品——赣南脐橙，已知每千克脐橙的成本为元．根据销售大数据分析得出：当每千克脐橙的售价为元时，平均月销售量为千克；若每千克脐橙的售价每上涨元，月销售量就会减少千克．设每千克脐橙的售价为元，月销售量为千克，月销售利润为元． （1）求与的函数解析式； （2）月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】（1）； （2）月销售利润存在最大值，最大值为元，此时的值为． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设每千克脐橙的售价为元，那么相比元上涨了元，则月销售量减少千克，列出函数关系式即可； （）根据“利润（售价成本）销售量”，则月销售利润为，然后利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每千克脐橙的售价为元，那么相比元上涨了元，则月销售量减少千克， ∴月销售量与售价的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由每千克脐橙的成本为元，售价为元，月销售量为件， 根据“利润（售价成本）销售量”， ∴月销售利润为， ∵， ∴该函数图象开口向下，存在最大值， 当，可得最大利润，最大利润为（元）， 答：月销售利润存在最大值，最大值为元，此时的值为． 16. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，相交于点，已知． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据性质的性质得到，，可证明 即可得到结论； （2）由（1）知，，得到和是等腰直角三角形，继而得到，得出，，可证明四边形为平行四边形，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ，． 在和中 ， ． 【小问2详解】 证明：由（1）知，， 和是等腰直角三角形， ． ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． 17. 如图，在的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． （1）如图1，在线段上找一点，使得； （2）如图2，三角形内寻找格点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，相似三角形的判断与性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． （1）取格点E，F，连接交于D，可证，则； （2）分别作线段、的垂直平分线，相交于点E，连接，根据垂直平分线的性质可得，则点A、B、C在以点E为圆心，的长为半径的圆上，根据圆周角定理可得． 【小问1详解】 解：如图，D为所求； 【小问2详解】 解：如图，E为所求． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于B，C两点，已知． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若有一点在轴上，且的面积等于6，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由一次函数与轴、轴分别交于B，C两点，得到，得到，把两函数的交点A的坐标分别代入，可得到两函数解析式； （2）设点的坐标为，利用三角形面积公式得到，然后求出t得到P点坐标． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：待定系数法，三角形的面积的计算方法，求出点B坐标是解本题的关键． 【小问1详解】 解：一次函数与轴、轴分别交于B，C两点， ． ， ， 一次函数的解析式为； 点在一次函数上， 点． 把点代入，得， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 设点的坐标为． 当时，，解得，则点． 的面积等于6， ， 解得或， 点的坐标为或． 19. 天门山索道是张家界天门山景区的重要交通设施与著名景点．如图1所示为天门山索道部分路段情况，它能让游客欣赏到绝美的自然风光．如图展示的是从天门山某观景平台到山下某一站点一段索道的示意图，点为天门山观景平台，点是索道在山下的停靠站点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离，点到山脚的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求点到山脚的距离； （2）求的长． 【答案】（1）点到山脚的距离为； （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）过点作于点，过点作于点，由即可求解； （）先求出，然后由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 由题意知，，，， 在中，， ∴， 答：点到山脚的距离为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， 答：的长为． 20. 如图，在中，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，根据等边对等角得，所以，证得，再结合得，即可得证； （2）连接，交于点，证明四边形是矩形，设的半径为，则，，然后在中，列出勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 点是的中点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， 是的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点， 点是的中点， ， 为的切线， ， 又， 四边形是矩形， 设的半径为，则，， 在中，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且，连接交于点，连接，过点作的角平分线交于点，交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，若，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正方形性质得，．再运用证明，即可作答． （2）结合全等三角形的性质得，．然后证明是等腰直角三角形．因为平分，则，运用两组角分别相等的三角形是相似三角形，证明，即可作答． （3）结合线段的和差关系得，同理证明，把数值代入 ，得，然后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解： 四边形是正方形， ，． 在和中 ， ． 【小问2详解】 解：， ，． ， ， 即， 是等腰直角三角形． 平分， ． ， ， ． ， ． 【小问3详解】 解：，， ，， ． ，， ， ， ， ， ． 在中， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 图1展示的是威力强大的红衣大炮，作为古代战场上的关键武器，它发射的炮弹的运动轨迹呈抛物线形．经过精准测量与仔细观察，炮弹发射后，距离发射点水平距离60米时达到最大高度30米．一次演练场地选在一处地势复杂且带有一定坡度的山地，将红衣大炮稳固地安置在山坡底部的点处，山坡上点处精心布置了一座模拟敌军营地，营地中的指挥官营帐无疑是关键目标．营帐底部点与点的水平距离为90米，与地面的竖直距离为16米，为进一步增强演练的挑战性与真实感，在营帐顶部竖起了一面醒目的旗帜，旗帜顶端比营帐底部高出米．以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求炮弹运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）判断炮弹能否越过旗帜顶端？请说明理由； （3）若要使炮弹恰好击中旗帜顶端，在抛物线形状不变的情况下，红衣大炮应该向后移动多少米？ 【答案】（1） （2）能，理由见解析 （3）红衣大炮应该向后移动6米 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）根据题意设设抛物线的解析式为，再把代入即可得到答案； （2）把代入解析式，可得，再进一步进行判断即可； （3）设此时抛物线的解析式为．把点代入，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，点是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 即， 解得， 炮弹运动轨迹所在抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：能，理由如下： 由题可知，点的横坐标为90，纵坐标为， 点． 把代入解析式，得 ， 解得． ， ∴炮弹能越过旗帜顶端． 【小问3详解】 解：炮弹恰好击中旗帜顶端，且抛物线形状不变， ， 设此时抛物线的解析式为． 把点代入，得 ． 当时，； 当时，． 原抛物线顶点横坐标为60， 当时，抛物线向左移，大炮应该向后移动6米； 当时，此时大炮向前移动，不符合题意， 红衣大炮应该向后移动6米． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及旋转的性质证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）①证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； ②根据相似三角形的性质以及已知条件可得，设，则，勾股定理可得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （3）由平移的性质可得，．由，设，，勾股定理可得，根据的长得出，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）．理由如下： 是绕点顺时针旋转得到的， ，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ，D，G三点共线． ，， ， ， ， ． ， ， ． （2）①， ． 在矩形中，，， ， ， ， ． ， ． ②，， ． 设，则， ， ． （3）由平移的性质可得，． 点为的中点， 垂直平分， ． ， 设，， ， ． ， ， 解得， ． ，设， ． 在中，， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$