专题4.3 用一元一次方程解决问题（知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题4.3 用一元一次方程解决问题 （知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 2 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 2 配套问题 2 （盈亏）销售问题 2 方案设计问题 3 行程问题 3 工程问题 3 分段计费问题 3 和差倍分问题 4 日历问题 4 数字问题 4 比例分配问题 4 比赛积分问题 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：配套问题（一元一次方程的应用) 5 考点2：工程问题（一元一次方程的应用） 6 考点3：销售盈亏（一元一次方程的应用） 7 考点4：比赛积分（一元一次方程的应用） 9 考点5：方案选择（一元一次方程的应用） 11 考点6：数字问题（一元一次方程的应用) 13 考点7：几何问题（一元一次方程的应用） 14 考点8：动点问题（一元一次方程的应用） 16 考点9：和差倍分问题（一元一次方程的应用) 19 考点10：电费和水费问题（一元一次方程的应用) 20 考点11：行程问题（一元一次方程的应用） 23 考点12：比例分配（一元一次方程的应用） 25 考点13：日历问题（一元一次方程的应用） 26 考点14：古代问题（一元一次方程的应用） 28 考点15：其他问题（一元一次方程的应用） 29 难度分层 拔尖冲刺 36 基础夯实 36 培优拔高 41 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题 分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 考点1：配套问题（一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在一次实践活动中，老师组织七年级某班的学生用硬纸板制作圆柱形收纳盒，已知该班共44名学生，其中女生比男生少2人，在限定时间内每名学生可剪出筒身50个或剪出筒底120个． (1)求该班男、女生各有多少人？ (2)若要求一个筒身配两个筒底，为了使限定时间内剪出的筒身与筒底恰好配套，求老师应该分配多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)该班有女生21人，男生23人 (2)应该分配20名学生剪筒底 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程，再求解． （1）设该班有女生x人，男生人，根据“共有学生44人，女生比男生少2人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，在限定时间内剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【规范解答】（1）解：设该班有女生x人，男生人，依题意得 ， 解得， 所以，该班有女生21人，男生23人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， 所以，应该分配20名学生剪筒底． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：每张硬纸板剪6个侧面；B方法：每张硬纸板剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． (1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问多少张硬纸板用A方法裁剪？能做多少个盒子？ 【答案】(1)侧面个数为个，底面的个数为个； (2)裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，7张硬纸板用A方法裁剪，能做30个盒子． 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由x张用A方法，就有张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； （2）根据侧面个数和底面个数比为，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵裁剪时x张用A方法， ∴裁剪时张用B方法， ∴用B方法裁剪侧面的个数为：（个）， 用B方法裁剪底面的个数为：（个）， ∴裁剪出的侧面的个数为：个， 底面的个数为：个， （2）解：由题意得：， 解得：， ∴盒子的个数为：（个）． 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，7张硬纸板用A方法裁剪，能做30个盒子． 考点2：工程问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（23-24七年级上·湖北十堰·开学考试）一项工程，甲独做需20天，乙独做需30天．如果两人合作，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的乙只能完成原来的 现在要16天完成这项工程，且要两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 【答案】10天 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，工程问题，明确要使两队合作的天数尽可能少就要让效率快的甲队尽量多做是完成是本题的关键．由题意得，甲的工效为，乙的工效为，甲乙合作的工作效率为，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效，又因为要求“两队合作的天数尽可能少”，所以要使合作天数尽可能少，则非合作日的工作效率应尽可能高。因为甲的独做效率高于乙，所以应安排甲在非合作日独做，只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”，所以可设合作时间为x天，则甲独做时间为天，由此可得等量关系式：，解此方程即可． 【规范解答】解：两队合作的工作效率为：， 设合作时间为x天，则甲独做时间为天， 可得方程：， 解得：， 答：两人要合作10天． 【变式训练】（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、有现代科学理念和架构的“综合性文物医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以“延年益寿”．文物修复师们计划用36个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物﹐需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由10名文物修复师一起修复了12个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 【答案】还需要增加15名文物修复师才能按时完成修复工作 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作，根据每名文物修复师的工作效率相同，先由10名文物修复师一起修复了12个月，把完成某件文物的修复工作看作“1”．列出一元一次方程，解方程即可． 【规范解答】解：设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作， 由题意得： 解得：， 答：还需要增加15名文物修复师才能按时完成修复工作． 考点3：销售盈亏（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵元，购买一套队服和一个足球共需花费元． (1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？ (2)甲商场推出的优惠方案是：每购买套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买套队服和个足球． ①请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； ②若学校的预算是元，选择在哪家商场购买的足球更多？ 【答案】(1)每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元 (2)①到甲商场购买装备所花的费用为：元，到乙商场购买装备所花的费用为：元；②在甲商场购买的足球更多 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每套队服的售价为x元，则每个足球的售价为元，根据买一套队服和一个足球共需花费180元，列出方程，解方程即可； （2）①根据题意分别列出代数式即可； ②根据总费用分别列出方程，然后解方程，求出m的值，最后进行比较即可． 【规范解答】（1）解：设每套队服的售价为x元，则每个足球的售价为元，根据题意得： ， 解得， ∴， 答：每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元； （2）解：①到甲商场购买装备所花的费用为： 元， 到乙商场购买装备所花的费用为： 元； ②当时，解得：； 当时，解得：； 因为购买足球的数量为整数，所以最大可取， 因为， 所以在甲商场购买的足球更多． 【变式训练】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某超市用1200元购进一批吉祥物玩偶和钥匙扣，两种商品共50件，它们的进价和售价如表所示（注：获利=售价进价）： 玩偶 钥匙扣 进价（元/件） 30 20 售价（元/件） 40 28 (1)该超市购进玩偶和钥匙扣各多少件？ (2)该超市将购进的玩偶和钥匙扣全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】(1)该超市购进玩偶20件，购进钥匙扣30件． (2)440元 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． （1）设该超市购进玩偶件，根据用1200元购进一批吉祥物玩偶和钥匙扣得：，解方程可得答案； （2）用玩偶和钥匙扣利润相加，列式计算即可得答案． 【规范解答】（1）解：设该超市购进玩偶件，则购进钥匙扣件， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：该超市购进玩偶20件，购进钥匙扣30件． （2）解： （元）． 答：该超市将购进的玩偶和钥匙扣全部卖完后一共可获得利润440元． 考点4：比赛积分（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)4，1 (2)答对了道题 (3)参赛者不可能得分，见解析 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据参赛者E的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解； （2）设参赛者答对了道题，由题意得：据此即可求解； （3）假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：，解得，据此即可判断； 【规范解答】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分； 根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分； 故答案为：4，1 （2）解：设参赛者答对了道题，由题意得： 解得：， 答：参赛者答对了道题 （3）解：参赛者不可能得分， 理由：假设他得了分，设他答对道题， 根据题意得：， 解得，不是正整数，所以假设不成立， 故参赛者不可能得分． 【变式训练】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 【答案】她答对了17道题 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，设她答对了道题，则答错道题．根据“本次竞赛中获得了76分”列出一元一次方程，解方程，即可求解．关键是根据题意找到等量关系式． 【规范解答】解：设她答对了道题，则答错道题． 根据题意，得 解得 答：她答对了17道题． 考点5：方案选择（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如上表：现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 【答案】(1)双色圆珠笔的单价为元，单色圆珠笔的单价为元 (2)应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设双色圆珠笔的单价为x元，则单色圆珠笔的单价为元，根据买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要元列出方程解出x的值可得答案； （2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，分两种情况：若购买球珠直径的三色笔，与购买球珠直径的三色笔，列出方程，解方程并检验可得答案． 【规范解答】（1）解：设双色圆珠笔的单价为x元，则单色圆珠笔的单价为元， 根据题意得：， 解得：， ， 双色圆珠笔的单价为元，单色圆珠笔的单价为元； （2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，则购买双色圆珠笔数量为支， 若购买球珠直径的三色笔， 则， 解得， ∴这种情况不符合题意； 若购买球珠直径的三色笔， 则， 解得， ， 应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支． 【变式训练】（24-25七年级上·天津·期末）某游泳馆推出两种游泳付费方式： 方式一：先购买会员卡，每张会员卡元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费元； 方式二：不购买会员卡，每次游泳付费元． (1)若游泳次，按方式一付费，则总费用为________元； (2)什么情况下，两种方式费用相同？（列一元一次方程计算说明） 【答案】(1)； (2)游泳次数为次时，两种方式费用相同． 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式，然后求解即可； （）设游泳次数为次时，两种方式费用相同，根据题意得，然后解方程即可． 【规范解答】（1）解：总费用为：（元）， 故答案为：； （2）解：设游泳次数为次时，两种方式费用相同， 根据题意得，， 解得：， 答：游泳次数为次时，两种方式费用相同． 考点6：数字问题（一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·河北沧州·期末）将连续的奇数按下表方式排列，用正方形任意圈出四个数，如图，若圈出的四个数中，第一行第一列上的数表示为a，其余各数分别用b，c、d表示． (1)观察与发现：分别用含a的代数式表示b、c、d三个数：______；_____；_____； (2)归纳与总结：求这四个数的和（用含a的代数式表示，并化简）； (3)这四个数的和会等于112吗？如果会，请求出a值，如果不能，请说明理由．（列方程解答） 【答案】(1)； (2)，； (3)这四个数的和不会等于112，理由如下 【思路引导】本题考查列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是观察表格，得到表格中数的关系，再列方程解决问题． （1）观察表格直接得到答案； （2）将四个数相加，合并同类项即可； （3）根据四个数的和等于112，列出方程，再检验即可． 【规范解答】（1）解：由图可得：第一行第一列上的数表示为，则，，， 故答案为：，，； （2）解：四个数的和是， （3）解：这四个数的和不会等于112，理由如下： ， ， 解得， 这四个数是22，24，32，34， 表中的数是连续的奇数， 故用正方形圈出的四个数的和不会等于112． 【变式训练】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）计算：． 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】(1) (2)被污染的数字是3 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可得解； （2）设被污染的数字为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：设被污染的数字为， 根据题意得：， 解得：， 答：被污染的数字是3． 考点7：几何问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： (1)搭5个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (2)搭个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (3)10121条线段可以搭多少个正六边形，组成的顶点个数是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)10121条线段可以搭个正六边形，组成的顶点个数是． 【思路引导】本题考查的是图形类的规律探究，一元一次方程的应用； （1）先计算前几个图形的线段的数量，顶点的数量可得答案； （2）由（1）归纳可得规律； （3）由（2）的规律建立方程求解，并进一步计算即可． 【规范解答】（1）解：一个六边形有6条线段，有个顶点， 第2个图形有条线段，有个顶点， 第3个图形有条线段，有个顶点， …． ∴第5个图形有条线段；有个顶点， （2）解：归纳可得，第n个图形有条线段， 有个顶点． （3）解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴10121条线段可以搭个正六边形，组成的顶点个数是． 【变式训练】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 【答案】(1)32 (2)米 (3)1米 【思路引导】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据图形列出代数式即可； （3）根据篱笆长度为米列出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：（米）， 答：篱笆的长度为米； （2）解：米， 答：篱笆的长度为米； （3）解：当篱笆长度是米时，根据解析（2）可得： ， 解得：， 答：小路的宽度为米． 【考点剖析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，数形结合，利用方程思想解决问题． 考点8：动点问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，为数轴原点，点，在数轴上，点在原点左侧，点在原点右侧，且，．蚂蚁从点出发，以3个单位长/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂蚁从点出发，以2个单位长/秒的速度沿数轴运动，设点，的运动时间为（秒）． (1)点表示的数为______，点表示的数为______； (2)用含的代数式表示经过秒时点表示的数； (3)若蚂蚁沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求的值； (4)蚂蚁沿数轴向左运动，若无论取何值，（为常数）的值始终固定不变，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)当两只蚂蚁之间的距离为时，的值为或； (4) 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离，列代数式，整式的加减运算，解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）已知为数轴原点，点在原点左侧，点在原点右侧，且，则点表示的数为，因为，所以，则点表示的数为； （2）根据点的运动情况即可求解； （3）用表示出点、两点运动过程中表示的数，然后列方程求解即可； （4）用、表示出，然后根据的值始终固定不变可求出的值． 【规范解答】（1）解：点在原点左侧，， 点表示的数为， 点在原点右侧， ， ， 点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：已知蚂蚁从点出发，以个单位长/秒的速度沿数轴向左运动，运动时间为（秒），则点表示的数为； （3）解：由蚂蚁和蚂蚁在相遇前之间的距离为，可得： ， 解得：， 由蚂蚁和蚂蚁在相遇后之间的距离为，可得： ， 解得：， 综上，当两只蚂蚁之间的距离为时，的值为或； （4）解：经过秒表示的数为， ， ， 因为无论取何值，的值始终固定不变， ， ． 【变式训练】（24-25七年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，将一条数轴在点B，点C，点D，点E处各折一下，得到“折线数轴”．图中点A 表示的数为，点B 表示的数为，点 C表示的数为，点D 表示的数为0，点E 表示的数为8，点F表示的数为12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从点F出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)动点P从点A运动到点F需要多少秒？ (2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ 【答案】(1)20秒 (2) 【思路引导】本题主要考查数轴，有理数的运算，一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意． （1）分别求出动点P在每一段上运动的时间，再求和即可． （2）先求出点Q从点F运动到点C，点P从点A运动到点B所用时间，可得到P、Q的相遇点M在段，设P、Q相遇时用时x秒，根据题意，列出方程，求出x的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，动点P在段的速度均为2个单位长度/秒，在段的速度为1个单位长度/秒，在段的速度为4个单位长度/秒，， 所以动点P从点A运动至点F需要的时间为（秒） （2）点Q从点F运动到点C用时为（秒）， 点P从点A运动到点B用时（秒）， 当时，点P在上，且距离点C：个单位长度， 所以P、Q的相遇点M在段， 设P、Q相遇时用时x秒， ， 解得：， 则点M所对应的数为． 考点9：和差倍分问题（一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据下列问题，列出方程，不必求解． (1)把若干本书发给学生，如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本，问学生有多少人？ (2)某市出租车收费标准：起步价8元，超过3千米后，每千米加收1.5元．某人乘出租车从甲地去往乙地，如果付费11元，求甲、乙两地的大约距离． 【答案】(1)设学生有x人，列方程为 (2)设甲、乙两地的距离约为x千米，列方程为 【思路引导】本题主要考查了根据实际问题列一元一次方程，熟练掌握找出题目中的等量关系是解题的关键． （1）通过设学生人数为未知数，根据书的总数不变这一条件，分别表示出两种发书情况下书的总数，从而列出方程． （2）设甲、乙两地的距离为未知数，依据出租车收费标准，结合付费金额，找出费用与距离之间的等量关系来列方程． 【规范解答】（1）解：设学生有人 每人发本，书的总数为本；每人发本，书的总数为本 书的总数不变 可列方程为 （2）解：设甲、乙两地的距离约为千米 起步价元，超过千米的部分费用为元 付费元 可列方程为 【变式训练】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人． (1)求调入工人的人数； (2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 【答案】(1)12人 (2)10名工人生产部件，15名工人生产部件 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产部件，则名工人生产部件，再根据“每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件需要2个部件”列方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：设调入工人的人数为人， 根据题意得：， 解得， 所以调人工人的人数为12人． （2）解： 调人12名工人后，车间有工人（名）， 设名工人生产部件，则名工人生产部件， 因为每天生产的部件和部件刚好配套， 所以， 解得， 所以， 所以10名工人生产部件，15名工人生产部件，可使每天生产的部件和部件刚好配套． 考点10：电费和水费问题（一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号* 户名：*，地址：*。 （2022.09.01—2022.09.30） 电量227度（其中谷85度）， 电费105.14元，当前用电 处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 【答案】(1)109 (2)250度 (3)7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 【思路引导】（1）根据收费标准，根据第二档计算即可求出小明家5月份应交电费； （2）先判断小明家用电量处于第二档，根据第二档收费标准列方程求解； （3）设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度，分、和三种情况，列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：（元）． 故答案为109． （2）解：， 所以小明家用电超过200度但不超过400度． 设小明家去年6月份的用电量为a度．根据题意得： ， 解得：． 答：小明家去年6月份的用电量为250度． （3）解：设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度． 由题意得, ∴ 分三种情况讨论： ①当时， ， 解得：， 故不符合题意； ②当时， 有， 解得：， ； ③当时， 有， 方程无解． 答：小明家去年7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 【考点剖析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）充分运用分类讨论思想． 【变式训练】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（注：水费按月计算，用水量单位：） 阶梯 月用水量 单价（元/） 第一阶梯 不超过22 3 第二阶梯 超过22但不超过30的部分 5 第三阶梯 超过30的部分 7 (1)若小广家10月份用水，则应交水费为________元； (2)小广家某月用水量为，则应交水费多少元？（用含x的式子表示） (3)若小雅家11、12月用水量共．（11月份用水量小于12月份用水量），这两个月共交水费244元，小雅家11、12月用水量分别为多少？ 【答案】(1)76 (2)见详解 (3)小雅家11月份用水量为月份用水量为 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算以及不等式的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，找出应交水费与之间的关系式；分及两种情况，找出关于的一元一次方程． （1）利用应交水费超过的部分，即可求出结论； （2）分三个阶段分别用x表示出应交水费，即可得出结论； （3）设小雅家11月份用水量为，则12月份的用水量为，根据“11月份用水量小于12月份用水量”，得出，分及两种情况，根据这两个月共交水费244 元，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据题意得： 元， ∴应交水费为76元． 故答案为：76； （2）解：根据题意得： 当时，应交水费， 当时，应交水费， 当时，应交水费． （3）解：设小雅家11月份用水量为，则12月份的用水量为， 由11月份用水量小于12月份用水量可得：， 当时，， 解得：， ， 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小雅家11月份用水量为月份用水量为． 考点11：行程问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·期末）综合与实践活动：如图是某学校的运动场平面图，中心区域（阴影部分）由一个长方形和两个半圆组成，其中长方形的长为米，半圆的半径为米，每条跑道的宽为1.2米，若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程．求解下面问题（结果保留）： (1)用含，的代数式表示运动场中心区域的周长． (2)如果以第一跑道长度为赛程，求第二跑道运动员的起跑位置应比第一跑道运动员起跑位置前移多少米？ (3)小华在400米的跑道上跑了一圈，如果他前三分之一时间内的平均速度为6米/秒，后三分之二时间内的平均速度为4.5米/秒，那么他这次400米跑了多长时间？（要求列方程求解） 【答案】(1)米 (2)米 (3)80秒 【思路引导】（1）根据“长方形的2个长一个半径为r的圆的周长”列式即可； （2）首先表示出第二跑道长度，然后列式计算即可； （3）设小华这次400米跑了秒，根据题意列出方程求解即可． 本题考查列代数式，整式的加减运算的实际应用，一元一次方程的应用，掌握长方形和圆的周长与面积计算公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：中心区域的中间是一个长方形，长为米， 长方形两边长为， 中心区域的两端是一个半圆，半径为米， 两个半圆的周长为， 运动场中心区域的周长为：米． （2）解：依题意，第二跑道长度为：（米） ， 答：第二跑道运动员起跑位置应比第一跑道运动员起跑位置前移米． （3）解：设小华这次400米跑了秒． 依题意，得 解得： 答：小华这次400米跑了80秒． 【变式训练】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）（列一元一次方程解决问题）甲乙两人同时以的速度从A地出发去B地，他们走了的时候，甲要回去取文件，甲以往回走，取了文件再以同样速度追乙，结果他们同时到达B地．已知甲取文件耽误了20分钟，求A，B两地的距离． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设A，B两地的距离为，根据两人同时到达B地可知，从甲返回开始，乙的时间为，甲的时间为，据此建立方程求解即可． 【规范解答】解：设A、B两地的距离为， 由题意得，， 解得， 答：A、B两地的距离． 考点12：比例分配（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江台州·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【答案】B 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键． 【规范解答】解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生， 这些图书共有本， 所列方程为， 这些图书共有本， 横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本． 故选：B． 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由甲、乙、丙三村按出工，可得出工人数之间的关系，再根据计划出工84人列出方程，注意所设未知数不同时，所列方程也不同． 【规范解答】解：①正确， ②应得方程， ③应得， ④应得． 故选：A． 考点13：日历问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·四川眉山·期中）将自然数1，2，3，…如下排列，用一个3×3的正方形方框框出9个数 (1)若框出的9个数之和是2025，那么框出的数中最大的数是多少？ (2)能不能使框出数之和为2205，若能，请求出框出数中最大的那个数，若不能请说明理由． 【答案】(1)233 (2)不能使框出数之和为2205 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出各数是解题关键． （1）设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，，从而列方程求解； （2）设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，，从而列方程求解． 【规范解答】（1）解：设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，， 由题意可得， 解得：， ∴框出数阵中的五个数最大的数为； （2）解：这五个数的和能为2205．理由如下： 解：设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，， 由题意可得， 解方程得：． ，最小数在第6列，没有第8列可框， ∴不能使框出数之和为2205． 【变式训练】（24-25七年级上·四川南充·期中）数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数， (1)用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）． (2)用图2方框圈出的四个数的和是32，求这四个数中最小的那个数． (3)①用图3斜框圈出的四个数的和是42，求这四个数中最大的那个数． ②若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．（提示：设第一个偶数为2n） 【答案】(1) (2)4 (3)①；②见解析． 【思路引导】此题考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据日历表上下两个数相差7即可得到答案； （2）设第一个数是x，表示出其余三个数，根据四个数的和是32列方程，解方程即可得到答案； （3）①设最大的数是x，表示出其余三个数，根据四个数和是42列方程，解方程即可得到答案；②设这四个数中最小的数是n，表示出其余三个数，得到，根据且n为偶数分析即可得到结论． 【规范解答】（1）解：由日历可知，用图1方框圈2个数，?位置的数可表示为， 故答案为： （2）设最小的那个数是x， 则， 解得， 即最小的那个数是4， 故答案为：4 （3）①解：设最大的数是x，则 ， 解得， 即最大的数是， 故答案为： ②设这四个数中最小的数是n， 则， ∵且n为偶数， ∴一定是正整数， ∴是8的整数倍． 即用图3斜框圈出4个数，则这四个数的和是8的整数倍． 考点14：古代问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“盈不足”问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？这道题大致意思是：今有几个人合伙购买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数和物品价格分别是多少？下列说法不正确的是（   ） A．若设有人合伙购买物品，依题意得 B．若设物品的价格为钱，依题意得 C．合伙购买的人数是7人 D．物品的价格是53钱 【答案】B 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系．根据题意正确列出方程即可求解． 【规范解答】解：若设有人合伙购买物品，依题意得， 解得：， 则物品的价格是，故A、C、D选项都不符合题意 若设物品的价格为钱，依题意得，故B选项给出的方程是错误的，符合题意， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）我国很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有六人共车，一车空；四人共车，六人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每6人乘一车，最终剩余1辆车，若每4人共乘一车，最终剩余6个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据每6人乘一车，最终剩余1辆车，若每4人共乘一车，最终剩余6个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可． 【规范解答】解：设有x辆车，则可列方程： ． 故答案为：． 考点15：其他问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）常言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中的杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】 如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得．其中，秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （2）当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （3）根据（1）和（2）方程得出和．根据任务一，用含得代数式表示． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）建立的方程组得出的解代入杠杆原理公式即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴； （2）由题意得：，， ∴， ∴； （3）由（1）（2）得出和， ， ． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林·期末）用A，B两种型号的机器生产相同的产品，再将产品装入同样规格的箱子进行包装．已知5台A型机器一天生产的产品装满8箱后还剩4个，8台B型机器一天生产的产品还差4个就能装满13箱，每台A型机器比每台B型机器一天多生产1个产品，求每台A型机器一天生产多少个产品？每箱装多少个产品？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析并解答． 方法一 分析：设每箱装x个产品，则5台A型机器一天共生产 个产品，8台B型机器一天共生产 个产品，每台A型机器一天生产 个产品．再根据题意列方程． 方法二 分析：设每台B型机器一天生产y个产品，则每台A型机器一天生产个产品，5台A型机器一天共生产 个产品，8台B型机器一天共生产 个产品，每箱装 个产品，再根据题意列方程． 【答案】方法一：，，，，每台A型机器一天生产20个产品，每箱装12个产品； 方法二：，，或（填一个即可），，每台A型机器一天生产20个产品，每箱装12个产品． 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，熟练根据题意正确列出式子和等式是解题的关键．设每箱装x个产品，则5台A型机器一天共生产个产品，8台B型机器一天共生产个产品，每台A型机器一天生产个产品，每台B型机器一天生产个产品．利用“每台A型机器比每台B型机器一天多生产1个产品”列式求解即可；方法二：设每台B型机器一天生产y个产品，则每台A型机器一天生产个产品，5台A型机器一天共生产个产品，8台B型机器一天共生产个产品，每箱装或个产品，利用每箱装的产品数量固定列式求解即可． 【规范解答】解：方法一：设每箱装x个产品，则5台A型机器一天共生产个产品，8台B型机器一天共生产个产品，每台A型机器一天生产个产品，每台B型机器一天生产个产品． 由题意列方程，得：， 解得：， 当时，． 答：每台A型机器一天生产20个产品，每箱装12个产品； 方法二：设每台B型机器一天生产y个产品，则每台A型机器一天生产个产品，5台A型机器一天共生产个产品，8台B型机器一天共生产个产品，每箱装或个产品， 由题意列方程，得：， 解得：， 当时，，． 答：每台A型机器一天生产20个产品，每箱装12个产品． 1．（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解． 【规范解答】解:依题意，得：， 故答案为：． 2．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【规范解答】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 3．（2024·四川攀枝花·中考真题）秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息： 产品名称 产品规格 有效成份 用途 二氧化氯消毒片 每片质量1克 二氧化氯含量 消毒杀菌 已知：溶液浓度．请解答下列问题： (1)消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a的值． (2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？ 【答案】(1) (2)可稀释成千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水千克 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据溶液浓度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设可稀释成x千克浓度为的消毒溶液，根据溶质的质量不变，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 解得：， 答：a的值为； （2）解：设可稀释成千克浓度为的消毒溶液， 由题意得：， 解得：， ∴加水（千克）， 答：可稀释成千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水千克． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 【答案】58 【思路引导】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可． 【规范解答】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵ ∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58． 5．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【答案】99 【思路引导】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【规范解答】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 基础夯实 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）《九章算术》中关于“盈不足”问题：“今有人共买物，人出六，盈三；人出五，不足四．问人数几何？”大意是：现有一些人共同买一个物品，若每人出6元，则还剩3元；若每人出5元，则还差4元．若设买这个物品共有个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程是解题的关键．先根据每人出6元的情况和每人出5元的情况分别表示出物品价格，再根据物品价格相等列出方程． 【规范解答】解：设买这个物品共有个人， ∵每人出6元，还剩3元， ∴物品价格为元； ∵每人出5元，还差4元， ∴物品价格为元； ∵物品价格不变， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，其大意：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，问人、银子各多少？设该问题中有x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，需要根据题目中所给的两种分银子的情况，找到银子数量的两种表达式，从而列出方程．本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元一次方程的方法是解题的关键． 【规范解答】解：设人数为人，题意可得 故选：A． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之，”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马天可以追上慢马，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，设快马天可以追上慢马，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【规范解答】解：设快马天可以追上慢马， 根据题意得， 整理得：， 故选：． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店将一种书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元．这种书包每个进价为（   ）元． A．50 B．58.5 C．42.5 D．60 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．设这种书包每个进价为x元，根据书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元列出方程求解即可． 【规范解答】解：设这种书包每个进价为x元，根据题意， 得， 解得， 所以这种书包每个进价为50元． 故选：A． 5．（24-25七年级上·河北唐山·期末）有一个算式为，墨迹覆盖了“3■”的个位数字和“■3”的十位数字、若被“■”覆盖的两处均为同一个数字，则该数字为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，设被“■”覆盖的两处数字为，根据题意建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】解：设被“■”覆盖的两处数字为，根据题意得， 解得： 故答案为：． 6．（24-25七年级上·吉林·期末）某种羽绒服的进价为元，标价为元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，该羽绒服可以打 折销售． 【答案】五 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．设该羽绒服可以打x折销售，利用利润=售价-进价，列出关于x的一元一次方程求解即可． 【规范解答】解：设该羽绒服可以打x折销售， 根据题意得：， 解得：， ∴该羽绒服可以打5折销售． 故答案为：五． 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是．求未参加竞赛的人数．设未参加的学生有x人，根据题意列出方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设原来未参加的学生有人，则参赛人数是人，根据该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是，列出方程即可． 【规范解答】解：设原来未参加的学生有人，则参赛人数是人，根据题意可得： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】(1)新调入8名工人 (2)应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多6人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据“每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母”列方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：设调入x名工人，由题意可得： ， 解得， 答：新调入8名工人； （2）解：由（1）得工人总人数为（名）， 设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意可得，， 解得：， 答：应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 9．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）一家商店将某种服装按成本价提高后标价，又以九折优惠卖出，每件的售价为元，这种服装每件的成本是多少元？ 【答案】元 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，设这种服装每件的成本是元，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设这种服装每件的成本是元， 由题意得，， 解得， 答：这种服装每件的成本是元． 10．（24-25七年级上·河北邢台·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)70 (2)29 (3)不能，理由见解析 【思路引导】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，，然后得出一元一次方程求解即可； （3）设型框正中间的数字为．同（2）求解方程，结合日历表即可求解 【规范解答】（1）解：根据题意得． （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，； 所以这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 所以． 答：这七个数字中最大的数字是29． （3）不能． 理由：设型框正中间的数字为．由（2）可知，这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 因为，32不在月历表中， 所以型框框住的七个数字之和不能为168． 培优拔高 11．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）按下面的程序计算： 若输入，输出结果是501，若输入，输出结果是606，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的值可能有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【思路引导】本题考查了程序流程图，一元一次方程的应用等知识，根据题意列方程求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 分三种情况讨论，当输入经过一次运算即可得到输出的结果为556，当输入经过两次运算即可得到输出的结果为556，当输入经过三次运算即可得到输出的结果为556，再列方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：当输入经过一次运算即可得到输出的结果为556， ∴，解得： 当输入经过两次运算即可得到输出的结果为556， ∴，解得： 当输入经过三次运算即可得到输出的结果为556 ∴，解得：（不合题意，舍去） 综上：开始输入的值可能是22或111 故选：B. 12．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有这样一个问题：今有墙高9尺．瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺．问经过多少天两蔓相遇．（注：1尺寸．）若设经过x天两蔓相遇，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据等量关系“墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺”列出方程即可． 【规范解答】解：9尺寸，1尺寸， 设经过x天两蔓相遇，根据题意得 ． 故选：D． 13．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）据传说，大禹治水时（公元前2200年左右），从洛河中浮出一只神龟，它的背部画了一个神奇的点阵图（图1），把点阵图各个部分的点数用数字代替就得到今天人们称之为三阶幻方的数字方阵（图2），它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字之和都等于15．图3是一个不完整的三阶幻方，则其中m的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用. 如图，根据题意先求出，再由每一行、每一列、每条对角线上的三个数字之和都等于15进行计算即可． 【规范解答】解：设图3中m上方的数值为： 由题意可得：， ∴， 又∵它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字之和都等于15， ∴，即， ∴， 故选：B． 14．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时大圆与数轴重合的点所表示的数为 ． 【答案】或或或 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，根据大小圆的运动方向分类讨论，找到等量关系式，列出方程求解即可． 【规范解答】解：设时间为t秒，分以下四种情况讨论： ①当两圆同时向右滚动， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数是， 小圆与数轴重合的点所表示的数是， ， 解得：， 所以，， 则此时大圆与数轴重合的点所表示的数为； ②当两圆同时向左滚动时， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数是， 小圆与数轴重合的点所表示的数是， ， 解得：， 所以，， 则此时大圆与数轴重合的点所表示的数为； ③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数是， 小圆与数轴重合的点所表示的数是， ， 解得：， ， 则此时大圆与数轴重合的点所表示的数为； ④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数是， 小圆与数轴重合的点所表示的数是， ， 解得：， ， 则此时大圆与数轴重合的点所表示的数为， 综上所述：大圆与数轴重合的点所表示的数为或或或． 故答案为：或或或． 15．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）将正整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数7，第4行最后一个数是10，按此规律，若2024是第m行第n个数，则的值是 ． 【答案】2025 【思路引导】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，找到最后一个数的规律是解题的关键．第m行最后一个数是，先求出第675行的最后一个数是2023，再求2024在第676行中的位置即可． 【规范解答】解：由题意可知，第m行最后一个数是， 当时，， ∴第675行的最后一个数是2023， ∴2024是第676行的数， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2025． 16．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车：若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程 【答案】 【思路引导】本题考查了根据实际问题列一元一次方程，解题的关键是找出两种乘车方式中车辆数量的等量关系，并将其用含未知数的式子表示出来． 第一种乘车方式：每4人一车余1辆空车，车辆数为；第二种乘车方式：每3人一车余9人无车，车辆数为根据车辆总数相等列方程． 【规范解答】解：设共有x人，根据车辆数不变可列方程为， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）整理一批图书，如果由一个人单独做要用30小时完成， (1)学校现要求6小时完成，假设每个人的工作效率相同，需安排多少人员整理？ (2)现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排多少人员整理？ 【答案】(1)5人 (2)6人 【思路引导】（1）设需要安排x人，根据题意，得，解方程即可． （2）设现先安排m人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设需要安排x人， 根据题意，得， 解得． 答：需要安排5人． （2）解：设现先安排m人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作． 根据题意，得， 解得． 答：现先安排6人用1小时整理． 18．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，数轴上点A表示的数为．点B表示的数为14，点O为原点，动点M、N分别从点O、点B同时出发，都沿数轴向左运动，点M运动的速度是每秒1个单位长度，点N运动的速度是每秒3个单位长度，当点N运动到点A时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)在点M、N整个运动过程中，点M表示的数为_______，点N表示的数为_______；（用含t的代数式表示） (2)若点M位于点A右侧，且，求运动时间t的值； (3)在点M、N整个运动过程中，当时，求运动时间t的值． 【答案】(1)； (2)5 (3)或 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离． （1）根据运动方向和运动速度可表示出M与N表示的数； （2）分别用含t的代数式表示出和，再列方程即可； （3）分点在点右侧和左侧两种情况，再表示出和代入，列方程可得答案． 【规范解答】（1）解：点M从原点O出发向左运动，速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，因为向左运动，所以点M表示的数为； 点N从点B（表示的数为14）出发向左运动，速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒，则点N运动的距离为，所以点表示的数为； 故答案为：；； （2）解：∵点A表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为， 又点M位于点A右侧， ∴，， ∵， ∴， 解得：； （3）解：①当点在点右侧时，则有：，， ∵， ∴， 解得：； 当点在点左侧时，则有：，， ∵， ∴， 解得：； 综上，的值为或． 19．（24-25七年级上·云南昆明·期末）按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批排球和跳绳，经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： A方案：买一个排球送一根跳绳； B方案：排球和跳绳都按定价的90%付款． (1)若学校要购买排球50个，跳绳100根，则选择________方案更优惠 若学校要购买排球50个，跳绳300根，则选择________方案更优惠； (2)若学校要购买排球50个，跳绳x根（），请问购买多少根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多？ 【答案】(1)A，B (2)购买200根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据选择A、B两种方案所需要的钱数一样多，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）若学校要购买排球50个，跳绳100根， 选择A方案所需费用为（元）； 选择B方案所需费用为（元）， ∵， ∴此时选择A方案更优惠； 若学校要购买排球50个，跳绳300根， 选择A方案所需费用为（元）； 选择B方案所需费用为（元）， ∵， ∴此时选择B方案更优惠． 故答案为：A，B； （2）根据题意得：， 解得：． 答：购买200根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多． 20．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）O为原点，点A、B、C在数轴上的位置如图所示，，在C点处有一挡板．D、E为数轴上两动点，动点D从A点出发，以3个单位/秒的速度沿方向运动；同时，动点E从B点出发，以2个单位/秒的速度沿方向运动，碰到挡板后以原速的2倍反向运动，设运动的时间为t秒． (1)A点对应的数为________；B点对应的数为________；C点对应的数为________； (2)若，求t的值； (3)M为的中点，N为中点，当时，若的值与t无关，求k的值． 【答案】(1)；10；15 (2)或11或49 (3) 【思路引导】（1）根据以及数轴位置即可解答； （2）根据题意得出动点D对应的数为，当时，动点E对应的数为，当时，动点E对应的数为，若，分为当时，当时，分别列方程求解即可． （3）写出，动点E对应的数，动点M对应的数，动点N对应的数，从而表示出，结合的值与t无关，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 则A点对应的数为；B点对应的数为10；C点对应的数为15； 故答案为：，10，15； （2）解：∵动点D从A点出发，以3个单位/秒的速度沿方向运动， ∴动点D对应的数为， 秒， ∵动点E从B点出发，以2个单位/秒的速度沿方向运动，碰到挡板后以原速的2倍反向运动， ∴当时，动点E对应的数为， 当时，动点E对应的数为， 若，当时，则，解得：； 当时，则，解得：或； 综上，或11或49． （3）解：∵M为的中点，N为中点，， 则动点E对应的数为，动点M对应的数为，动点N对应的数为， ∴ ， ∵的值与t无关， ∴， 解得：． 【考点剖析】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，一元一次方程，整式无关项问题等知识点，解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 用一元一次方程解决问题 （知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 2 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 2 配套问题 2 （盈亏）销售问题 2 方案设计问题 3 行程问题 3 工程问题 3 分段计费问题 3 和差倍分问题 4 日历问题 4 数字问题 4 比例分配问题 4 比赛积分问题 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：配套问题（一元一次方程的应用) 5 考点2：工程问题（一元一次方程的应用） 6 考点3：销售盈亏（一元一次方程的应用） 7 考点4：比赛积分（一元一次方程的应用） 8 考点5：方案选择（一元一次方程的应用） 9 考点6：数字问题（一元一次方程的应用) 10 考点7：几何问题（一元一次方程的应用） 10 考点8：动点问题（一元一次方程的应用） 12 考点9：和差倍分问题（一元一次方程的应用) 13 考点10：电费和水费问题（一元一次方程的应用) 14 考点11：行程问题（一元一次方程的应用） 15 考点12：比例分配（一元一次方程的应用） 16 考点13：日历问题（一元一次方程的应用） 17 考点14：古代问题（一元一次方程的应用） 18 考点15：其他问题（一元一次方程的应用） 18 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 24 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题 分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 考点1：配套问题（一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在一次实践活动中，老师组织七年级某班的学生用硬纸板制作圆柱形收纳盒，已知该班共44名学生，其中女生比男生少2人，在限定时间内每名学生可剪出筒身50个或剪出筒底120个． (1)求该班男、女生各有多少人？ (2)若要求一个筒身配两个筒底，为了使限定时间内剪出的筒身与筒底恰好配套，求老师应该分配多少名学生剪筒底？ 【变式训练】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：每张硬纸板剪6个侧面；B方法：每张硬纸板剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． (1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问多少张硬纸板用A方法裁剪？能做多少个盒子？ 考点2：工程问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（23-24七年级上·湖北十堰·开学考试）一项工程，甲独做需20天，乙独做需30天．如果两人合作，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的乙只能完成原来的 现在要16天完成这项工程，且要两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 【变式训练】（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、有现代科学理念和架构的“综合性文物医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以“延年益寿”．文物修复师们计划用36个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物﹐需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由10名文物修复师一起修复了12个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 考点3：销售盈亏（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵元，购买一套队服和一个足球共需花费元． (1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？ (2)甲商场推出的优惠方案是：每购买套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买套队服和个足球． ①请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； ②若学校的预算是元，选择在哪家商场购买的足球更多？ 【变式训练】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某超市用1200元购进一批吉祥物玩偶和钥匙扣，两种商品共50件，它们的进价和售价如表所示（注：获利=售价进价）： 玩偶 钥匙扣 进价（元/件） 30 20 售价（元/件） 40 28 (1)该超市购进玩偶和钥匙扣各多少件？ (2)该超市将购进的玩偶和钥匙扣全部卖完后一共可获得多少利润？ 考点4：比赛积分（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【变式训练】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 考点5：方案选择（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如上表：现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 【变式训练】（24-25七年级上·天津·期末）某游泳馆推出两种游泳付费方式： 方式一：先购买会员卡，每张会员卡元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费元； 方式二：不购买会员卡，每次游泳付费元． (1)若游泳次，按方式一付费，则总费用为________元； (2)什么情况下，两种方式费用相同？（列一元一次方程计算说明） 考点6：数字问题（一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·河北沧州·期末）将连续的奇数按下表方式排列，用正方形任意圈出四个数，如图，若圈出的四个数中，第一行第一列上的数表示为a，其余各数分别用b，c、d表示． (1)观察与发现：分别用含a的代数式表示b、c、d三个数：______；_____；_____； (2)归纳与总结：求这四个数的和（用含a的代数式表示，并化简）； (3)这四个数的和会等于112吗？如果会，请求出a值，如果不能，请说明理由．（列方程解答） 【变式训练】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）计算：． 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 考点7：几何问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： (1)搭5个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (2)搭个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (3)10121条线段可以搭多少个正六边形，组成的顶点个数是多少？ 【变式训练】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 考点8：动点问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，为数轴原点，点，在数轴上，点在原点左侧，点在原点右侧，且，．蚂蚁从点出发，以3个单位长/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂蚁从点出发，以2个单位长/秒的速度沿数轴运动，设点，的运动时间为（秒）． (1)点表示的数为______，点表示的数为______； (2)用含的代数式表示经过秒时点表示的数； (3)若蚂蚁沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求的值； (4)蚂蚁沿数轴向左运动，若无论取何值，（为常数）的值始终固定不变，求的值． 【变式训练】（24-25七年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，将一条数轴在点B，点C，点D，点E处各折一下，得到“折线数轴”．图中点A 表示的数为，点B 表示的数为，点 C表示的数为，点D 表示的数为0，点E 表示的数为8，点F表示的数为12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从点F出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)动点P从点A运动到点F需要多少秒？ (2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ 考点9：和差倍分问题（一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据下列问题，列出方程，不必求解． (1)把若干本书发给学生，如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本，问学生有多少人？ (2)某市出租车收费标准：起步价8元，超过3千米后，每千米加收1.5元．某人乘出租车从甲地去往乙地，如果付费11元，求甲、乙两地的大约距离． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人． (1)求调入工人的人数； (2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 考点10：电费和水费问题（一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号* 户名：*，地址：*。 （2022.09.01—2022.09.30） 电量227度（其中谷85度）， 电费105.14元，当前用电 处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 【变式训练】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（注：水费按月计算，用水量单位：） 阶梯 月用水量 单价（元/） 第一阶梯 不超过22 3 第二阶梯 超过22但不超过30的部分 5 第三阶梯 超过30的部分 7 (1)若小广家10月份用水，则应交水费为________元； (2)小广家某月用水量为，则应交水费多少元？（用含x的式子表示） (3)若小雅家11、12月用水量共．（11月份用水量小于12月份用水量），这两个月共交水费244元，小雅家11、12月用水量分别为多少？ 考点11：行程问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·期末）综合与实践活动：如图是某学校的运动场平面图，中心区域（阴影部分）由一个长方形和两个半圆组成，其中长方形的长为米，半圆的半径为米，每条跑道的宽为1.2米，若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程．求解下面问题（结果保留）： (1)用含，的代数式表示运动场中心区域的周长． (2)如果以第一跑道长度为赛程，求第二跑道运动员的起跑位置应比第一跑道运动员起跑位置前移多少米？ (3)小华在400米的跑道上跑了一圈，如果他前三分之一时间内的平均速度为6米/秒，后三分之二时间内的平均速度为4.5米/秒，那么他这次400米跑了多长时间？（要求列方程求解） 【变式训练】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）（列一元一次方程解决问题）甲乙两人同时以的速度从A地出发去B地，他们走了的时候，甲要回去取文件，甲以往回走，取了文件再以同样速度追乙，结果他们同时到达B地．已知甲取文件耽误了20分钟，求A，B两地的距离． 考点12：比例分配（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江台州·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点13：日历问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·四川眉山·期中）将自然数1，2，3，…如下排列，用一个3×3的正方形方框框出9个数 (1)若框出的9个数之和是2025，那么框出的数中最大的数是多少？ (2)能不能使框出数之和为2205，若能，请求出框出数中最大的那个数，若不能请说明理由． 【变式训练】（24-25七年级上·四川南充·期中）数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数， (1)用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）． (2)用图2方框圈出的四个数的和是32，求这四个数中最小的那个数． (3)①用图3斜框圈出的四个数的和是42，求这四个数中最大的那个数． ②若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．（提示：设第一个偶数为2n） 考点14：古代问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“盈不足”问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？这道题大致意思是：今有几个人合伙购买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数和物品价格分别是多少？下列说法不正确的是（   ） A．若设有人合伙购买物品，依题意得 B．若设物品的价格为钱，依题意得 C．合伙购买的人数是7人 D．物品的价格是53钱 【变式训练】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）我国很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有六人共车，一车空；四人共车，六人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每6人乘一车，最终剩余1辆车，若每4人共乘一车，最终剩余6个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程 ． 考点15：其他问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）常言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中的杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】 如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得．其中，秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （2）当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． （3）根据（1）和（2）方程得出和．根据任务一，用含得代数式表示． 【变式训练】（24-25七年级上·吉林·期末）用A，B两种型号的机器生产相同的产品，再将产品装入同样规格的箱子进行包装．已知5台A型机器一天生产的产品装满8箱后还剩4个，8台B型机器一天生产的产品还差4个就能装满13箱，每台A型机器比每台B型机器一天多生产1个产品，求每台A型机器一天生产多少个产品？每箱装多少个产品？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析并解答． 方法一 分析：设每箱装x个产品，则5台A型机器一天共生产 个产品，8台B型机器一天共生产 个产品，每台A型机器一天生产 个产品．再根据题意列方程． 方法二 分析：设每台B型机器一天生产y个产品，则每台A型机器一天生产个产品，5台A型机器一天共生产 个产品，8台B型机器一天共生产 个产品，每箱装 个产品，再根据题意列方程． 1．（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ． 2．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 3．（2024·四川攀枝花·中考真题）秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息： 产品名称 产品规格 有效成份 用途 二氧化氯消毒片 每片质量1克 二氧化氯含量 消毒杀菌 已知：溶液浓度．请解答下列问题： (1)消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a的值． (2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？ 4．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 5．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    基础夯实 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）《九章算术》中关于“盈不足”问题：“今有人共买物，人出六，盈三；人出五，不足四．问人数几何？”大意是：现有一些人共同买一个物品，若每人出6元，则还剩3元；若每人出5元，则还差4元．若设买这个物品共有个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，其大意：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，问人、银子各多少？设该问题中有x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之，”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马天可以追上慢马，可列方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店将一种书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元．这种书包每个进价为（   ）元． A．50 B．58.5 C．42.5 D．60 5．（24-25七年级上·河北唐山·期末）有一个算式为，墨迹覆盖了“3■”的个位数字和“■3”的十位数字、若被“■”覆盖的两处均为同一个数字，则该数字为 ． 6．（24-25七年级上·吉林·期末）某种羽绒服的进价为元，标价为元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，该羽绒服可以打 折销售． 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是．求未参加竞赛的人数．设未参加的学生有x人，根据题意列出方程为 ． 8．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 9．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）一家商店将某种服装按成本价提高后标价，又以九折优惠卖出，每件的售价为元，这种服装每件的成本是多少元？ 10．（24-25七年级上·河北邢台·期末）数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 培优拔高 11．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）按下面的程序计算： 若输入，输出结果是501，若输入，输出结果是606，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的值可能有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 12．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有这样一个问题：今有墙高9尺．瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺．问经过多少天两蔓相遇．（注：1尺寸．）若设经过x天两蔓相遇，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）据传说，大禹治水时（公元前2200年左右），从洛河中浮出一只神龟，它的背部画了一个神奇的点阵图（图1），把点阵图各个部分的点数用数字代替就得到今天人们称之为三阶幻方的数字方阵（图2），它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字之和都等于15．图3是一个不完整的三阶幻方，则其中m的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时大圆与数轴重合的点所表示的数为 ． 15．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）将正整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数7，第4行最后一个数是10，按此规律，若2024是第m行第n个数，则的值是 ． 16．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车：若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程 17．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）整理一批图书，如果由一个人单独做要用30小时完成， (1)学校现要求6小时完成，假设每个人的工作效率相同，需安排多少人员整理？ (2)现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排多少人员整理？ 18．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，数轴上点A表示的数为．点B表示的数为14，点O为原点，动点M、N分别从点O、点B同时出发，都沿数轴向左运动，点M运动的速度是每秒1个单位长度，点N运动的速度是每秒3个单位长度，当点N运动到点A时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)在点M、N整个运动过程中，点M表示的数为_______，点N表示的数为_______；（用含t的代数式表示） (2)若点M位于点A右侧，且，求运动时间t的值； (3)在点M、N整个运动过程中，当时，求运动时间t的值． 19．（24-25七年级上·云南昆明·期末）按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批排球和跳绳，经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： A方案：买一个排球送一根跳绳； B方案：排球和跳绳都按定价的90%付款． (1)若学校要购买排球50个，跳绳100根，则选择________方案更优惠 若学校要购买排球50个，跳绳300根，则选择________方案更优惠； (2)若学校要购买排球50个，跳绳x根（），请问购买多少根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多？ 20．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）O为原点，点A、B、C在数轴上的位置如图所示，，在C点处有一挡板．D、E为数轴上两动点，动点D从A点出发，以3个单位/秒的速度沿方向运动；同时，动点E从B点出发，以2个单位/秒的速度沿方向运动，碰到挡板后以原速的2倍反向运动，设运动的时间为t秒． (1)A点对应的数为________；B点对应的数为________；C点对应的数为________； (2)若，求t的值； (3)M为的中点，N为中点，当时，若的值与t无关，求k的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$