【第二十二章 二次函数 01-2讲 二次函数综合】【一大知识点+11大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十二章 二次函数 01-2讲 二次函数综合 题型归纳 【题型1. 根据二次函数的对称性求函数值】………………………………………… 2 【题型2. 的最值】…………………………………………………… 6 【题型3. 二次函数中最短路径问题】………………………………………………… 13 【题型4. 待定系数法求二次函数解析式】…………………………………………… 21 【题型5. 二次函数的综合——线段周长问题】……………………………………… 30 【题型6. 二次函数的综合——面积问题】…………………………………………… 39 【题型7. 二次函数的综合——角度问题】…………………………………………… 53 【题型8. 二次函数的综合——特殊三角形问题】…………………………………… 60 【题型9. 二次函数的综合——特殊四边形问题】…………………………………… 73 【题型10. 二次函数的综合——相似三角形问题】…………………………………… 89 【题型11. 二次函数的综合——其他问题】…………………………………………… 103 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 120 知识清单 知识点1 用待定系数法求二次函数解析式 1.利用待定系数法求二次函数的解析式时，一般有以下几种情况（）： （1）顶点在原点时，可设为 ； （2）对称轴是轴（或顶点在轴上）时，可设为 ； （3）顶点在轴上（或抛物线与轴只有一个交点）时，可设为 ； （4）抛物线过原点时，可设为 ； （5）已知顶点（ ， ）时，可设为 ； （6）已知抛物线上三点坐标时，可设为 ； （7）已知抛物线与轴两交点坐标为（ ，），（ ，）时，可设为 . 【总结】 情况 选用何种解析式 已知抛物线上三点的坐标 一般式 已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值 顶点式 已知抛物线与轴两个交点的横坐标 交点式 已知抛物线上纵坐标相同的两点 顶点式 题型专练 题型1. 根据二次函数的对称性求函数值 【例1】（2025·安徽滁州·二模）已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得开口方向向上，对称轴为直线，则当，，当，则，据此进行逐项分析就，即可作答． 【详解】解：∵抛物线，且， ∴开口方向向上，对称轴为， ∴越靠近对称轴的所对的函数值越小， 则当，，故A、B选项不符合题意； 当，则，故C选项符合题意； 当，则，故D选项不符合题意； 故选：C 【例2】（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 【详解】解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 【变式1】（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可知函数与轴的交点在负半轴， ，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点的坐标为， ∴当时，，即，故②错误； ∵点都在该抛物线上，且， ∴点关于直线对称， ，故③正确． 故选：B． 【变式2】（2025·河南周口·一模）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据当和当时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可得当和当时的函数值相同，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得该二次函数的对称轴为直线，然后根据对称性可进行求解． 【详解】解：由抛物线，可知：对称轴为直线， ∵点与点关于该抛物线的对称轴对称， ∴， ∴； 故答案为12． 题型2. 的最值 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解． 【详解】解：∵，开口向上， ∴当时，y有最小值为， 故答案为：A． 【例2】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … －1 0 3 4 5 … … 0 －6 0 10 24 … 下列结论：①这个函数的图象开口向上；②这个函数图象的对称轴为直线；③当时，函数值随的增大而增大；④这个函数的最小值为．其中正确的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【分析】本题考查了二次函数图象及性质，包括开口方向、对称轴、单调性及最值的判断，熟练掌握以上知识点，并结合给定的函数值表进行推理是解题的关键．根据表格确定函数解析式并化为顶点式，开口方向由的符合决定，对称轴公式为，增减性需结合开口方向和对称轴位置，最值在顶点处，据此即可解答． 【详解】解：由表格可知，二次函数的图象经过点和， 对称轴为， ， ， 二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象经过点， ， ， ，， 二次函数的解析式为， 二次函数的图象开口向上， 故①正确； 这个函数图象的对称轴为直线， 故②错误； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随的增大而增大； 当时，函数值随的增大而增大； 故③正确； ， 这个函数的最小值为， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④，故选：B． 【例3】（2025·浙江·模拟预测）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． (2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ (3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握顶点式，二次函数函数值、自变量值的计算是关键． （1）由二次函数解析式，根据对称轴直线的计算公式，顶点坐标的计算方法，顶点坐标表示的含义计算即可求解； （2）当时，代入计算即可求解； （3）根据题意图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，确定最大值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：， ∴对称轴直线为， 当时，， ∴顶点坐标为， ∵，即图象的开口象限， ∴当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元； （2）解：当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∴当利润达到万元时，需要减少吨或吨； （3）解：二次函数解析式为， ∵，顶点坐标为， ∴图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量， ∴当时，确定最大值， ∴， ∴满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元． 【变式1】（2025·河南周口·三模）二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得，抛物线开口向上，对称轴为直线，进而分类讨论，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案． 【详解】解： ∵，抛物线开口向上，对称轴为直线 ①当时，即时， 当时，最大值 则 解得：（舍去） ②当时， 当时，最大值为 解得：（舍去）或 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键． （1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解； （2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可； 【详解】（1）解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ （2）二次函数的对称轴为：，开口向下， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上，常数m的值为或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级下·辽宁大连·阶段练习）配方法如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将复杂的表达式转化为“完全平方”模块或其组合，并利用非负性优势，能在方程求解、极值分析等场景中化繁为简，成为破解难题的黄金钥匙．例如，可配方成． 解决问题： （1）已知，可配方成（，为常数），则______； 探究问题： （2）已知，求的值； 拓展结论： （3）已知实数，满足，则的最大值是______． 【分析】本题主要考查配方法，完全平方公式的运用，二次函数求最值的方法，掌握配方法的计算是关键． （1）根据题意，找出一次项系数，运用配方法计算即可； （2）根据题意，分组运用配方法计算得到，由非负性得到，由此即可求解； （3）根据题得到，代入所求代数式得到，根据二次函数求最值的方法即可求解． 【详解】解：（1） ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， ∴， ， ∵， ∴， 解得，， ∴； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴的最大值是． 【变式4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）根据对称轴为直线代入求解即可． （2）根据二次函数的图像和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线： ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， ∴当时，y有最小值， ∵当时，的最小值是， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵当比当离对称轴近， ∴当时，取的最大值， 此时． 题型3. 二次函数中最短路径问题 【例1】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 【变式1】（22-23九年级上·河南许昌·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 周长的最小值就是的最小值， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题以及二次函数顶点坐标，函数图像与y轴的交点可得点C坐标；顶点坐标通过对函数解析式配成顶点式即可得到． （2）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题，函数图像与轴的交点，转化为解一元二次方程即可求解． （3）本题主要考查了最短距离问题，点B是点A关于抛物线的对称轴对称的点，根据两点之间线段最短，线段即为所求最短距离． 【详解】（1）解：二次函数， 令，得到：． ∴； ， ∴． （2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点， 令， 得到：，， ∴；． （3）假设存在点，使得的值最小 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 又∵，， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴ 又∵， ∴, 即，的最小值为． 【变式3】（22-23九年级上·山西大同·期末）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．    (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是抛物线上异于点的动点，若的面积与的面积相等，求点的坐标． 【分析】（1）令，求出x的值，得到点A，B的坐标．令，求出y的值，得到点C的坐标； （2）由点A，B的坐标可得抛物线对称轴为直线，连接，与对称轴相交于点P，则点P为所求．利用待定系数法求出直线的解析式，再令，即可得到点P的坐标； （3）根据三角形的面积公式可得，即，从而得到点N的纵坐标或，分别把或代入抛物线解析式中，求出x的值，即点N的横坐标，从而解决问题． 【详解】（1）在抛物线中， 当时，， 解得． ∴． 当时，， ∴． （2）由题可知，抛物线经过点， 由抛物线的对称性可知，对称轴为直线． 设直线与抛物线的对称轴交于点，则， 此时为最短， ∴点即为所求． 设直线的解析式为， 把点代入得 解得． ∴． 当时，， ∴． （3）∵，， ∴，， ∴，即 ∴． ∴或． 当时，， 解得． ∴． 当时，， 解得． ∵， ∴． 综上所述，点的坐标为 【点睛】本题考查抛物线与几何问题，最短路径问题，熟练运用相关的知识是解题的关键． 题型4. 待定系数法求二次函数解析式 【例1】（2025·浙江金华·三模）已知二次函数． (1)若二次函数经过点， ①求二次函数解析式； ②当时，求的取值范围； (2)若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据自变量的范围求函数值的范围，二次函数的增减性，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． （1）①把代入，求出，就可得二次函数解析式； ②先求出二次函数的最小值，再在自变量范围内求出最大值即可； （2）先分别求得，， ，判断各自的符号，再比较的大小． 【详解】（1）解：①把代入，得：，解得， 二次函数解析式为； ②在“”范围内， ， 对称轴为直线，二次项系数为， 抛物线的开口向上， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）当时， 当时， ， ，当时， ， 当时，， ． 【例2】（24-25九年级下·云南临沧·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，得到此二次函数的解析式； （2）把代入函数解析式计算，判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． 解得， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：当时， ， ∴点不在这个二次函数的图象上． 【例3】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知二次函数的图像经过点，，且顶点到轴距离为． (1)求函数表达式； (2)若点在图像上，且，求的取值范围． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． （1）先由题意得出抛物线的顶点是或，再分别利用顶点设出函数表达式，将已知点代入即可得解； （2）分情况讨论：当函数表达式为时，当函数表达式为时． 【详解】（1）解：依题得，该抛物线的顶点是或， 设该二次函数解析式为， ①当顶点为时，解析式为， 图像经过点， ， 解得， 函数表达式为； ②当顶点为时，解析式为， 图像经过点， ， 解得， 函数表达式为； 故函数表达式为或． （2）解：①当函数表达式为时， 即， ， ， 解得； ②当函数表达式为时， 即， 解得或， 综上，当函数表达式为时，的取值范围是； 当函数表达式为时，的取值范围是或． 【变式1】（2025·江西·模拟预测）综合与实践 如图，抛物线的图象交于一点，抛物线的最小值为．抛物线（其中为常数，且），顶点为． 基础尝试 （1）求抛物线的解析式和抛物线的顶点的坐标； 深入探究 （2）当时，求直线交轴的点的坐标； 拓展应用 （3）求证：无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上． 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的性质，掌握待定系数法，点的平移等知识是关键． （1）根据题意得到抛物线的图象交于两点，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，运用待定系数法得到直线的解析式，令，即可求解； （3）根据点的平移得到平移后的坐标，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，抛物线，当时，， ∴抛物线的图象交于两点， ∴抛物线对称轴直线为， ∵抛物线的最小值为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）当时，抛物线， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴直线交轴的点的坐标为； （3）无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上， 证明：已知的顶点， ∴点向左平移个单位长度后得到， 抛物线中，当时， ， ∴无论为何值，点向左平移个单位长度后得到，一定落在上． 【变式2】（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好 经过A，C两点，求平移的最短路程． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）由题意可得，然后得出平移后的表达式为，进而根据“两点之间，线段最短”可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某二次函数的图象经过原点，且顶点是． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到图象？ 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据某二次函数的图象经过原点，且顶点是，设，把代入，得，即可作答． （2）结合“左加右减、上加下减”进行作答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的顶点是， ∴， 把代入， 解得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 则二次函数图象向左1个单位，向上2个单位平移可以得到图象 【变式4】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小． （1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解； （2）将代入，即可求出值； （3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴，则， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； （2）将代入中， 得：， 解得：； （3）∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 【变式5】（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数（，a、b是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的解析式； (2)若，，直接写出该抛物线的对称轴． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称轴，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由点和都在二次函数（是常数）的图象上，从而，，结合，求出a，b，即可判断得解； （2）依据题意，结合二次函数的对称轴为直线，把，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解： 点和都在二次函数（是常数）的图象上， ， 又， ， 二次函数为． （2）解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵，， ∴直线， ∴对称轴是直线． 题型5. 二次函数的综合——线段周长问题 【例1】（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是 ． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数最值，由求出，，再得出直线解析式为，设，则，则，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，令得， ∴， 令得或， ∴， 设直线直线解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， 故答案为：． 【例2】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当 的值最小时，求点的坐标． 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，， 代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， 则， 当时，， 故当的值最小时，点． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是函数图象上点的特征． 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】先求出B、C的坐标，再证明，从而得到当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小，求出直线解析式即可求出答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，点D在直线上， ∴， ∴， ∴当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 故选C．  【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，确定出当B、C、D三点共线时，最小是解题的关键． 【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使 的值最大，求点M的坐标． 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【变式3】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点 P作轴交于点Q，求的最大值． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得结果； （2）作直线，作点D关于直线的对称点，得坐标为，连结交直线于点M，此时三点共线时，最小，即最小，利用待定系数法求出直线的函数关系式，进而求出求出m的值； （3）设，则，表示出，根据二次函数的性质即可求得的最大值． 【详解】（1）解：由抛物线过点得 ， 解得， ∴抛物线为； 设直线为过点，得 ， 解得， ∴直线为； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得或，即抛物线与x轴的另一个交点为， 作直线，作点D关于直线的对称点， 得坐标为，如图，    连接交直线于点M， 此时三点共线时，最小，即最小， 设直线的关系式为：， 把点和代入得， 得，， ∴直线NM的函数关系式为：， 当时，， ∴； （3）解：如图，    ∵轴交于点Q， ∴设，则， ∴ ， ∵， ∴有最大值，最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数待定系数法，利用函数关系式求最值，利用对称知识求最值，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式4】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式及顶点的坐标； (2)设点的横坐标为，当为何值时，线段 的长度最大，最大值为多少？ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）设拋物线的表达式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将其配方即可得到顶点坐标； （2）先利用待定系数法求出直线的表达式为，设，则，进而用含有的式子表示，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设拋物线的表达式为， 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线所对应的函数表达式为， 经配方得：， 拋物线的顶点的坐标为； （2）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 直线的表达式为． 设，则． ， ，且， 当时，线段的长度最大，最大值为． 题型6. 二次函数的综合——面积问题 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为该二次函数的图象在第一象限上一点， 当的面积最大时，求P点的坐标； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与面积的综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）在中，令，，可得，将，代入即可求解； （2）过点P作轴交于点E，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； 【详解】（1）解：在中， 令，则；令，则，解得； ∴， 将，代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴交于点E， 设点，则 ， ∵， ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； 【例2】（24-25九年级下·四川广安·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值； 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决． （1）利用已知条件求出点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出四边形面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则，． ， ， ， ． 点、在抛物线上， ，解得， 抛物线的解析式为：． （2）解：令，得，， 令，得或1，． 设点坐标为，，， 如图所示，过点作轴于点，则，，． 点在抛物线上， ，代入上式得： ， 当时，四边形面积有最大值，最大值为9． 【变式1】（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界） 的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m 的取值范围． 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与几何、解一元二次方程，理解题意，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当时，求得、，利用待定系数法求得直线的解析式，根据矩形被x轴分成面积相等的两部分，可得点D和点C关于x轴对称，再根据当时，，当时，，进行分类计算即可； （3）求特殊情况m的值，利用图象法判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴； （2）解：当时，，，， ∴，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称， ∴， ∵，， ①当时，， ∴， 解得：，（舍去）， ②当时，， ∴， 解得，（舍去）； （3）解：(4) 由（2）知，， ， ①当在抛物线上，，如图： ， 解得或（舍去）， 由图可知此时满足，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小； ②当在抛物线上，，如图： 在中，令得， ，而， ， 解得（舍去）或， 而与重合时：， 解得或， 又， 结合图形可得，或时，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小． 综上所述，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小，的范围是或或． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知：关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)有一个点从点出发，以每秒个单位的速度在 上向点运动，另一个点从点与点同时出发，以 每秒个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 到达点时，点、同时停止运动，问点、运 动到何处时，面积最大，试求出面积． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）代入和，解方程组即可； （2）设运动时间为，则，得，运用二次函数的顶点坐标解决问题． 【详解】（1）解：把和代入， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）如图2， 设运动时间为，由，得，则， ， 当 时，最大，最大面积为 ； 即当、或时，面积最大，最大面积是． 【变式3】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【分析】本题考查了二次函数的面积综合，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把、分别代入，进行计算，得抛物线的解析式为，再结合直线，列方程计算，即可作答． （2）先表示，，得出，故，当时，的面积的最大值为8，此时，即可作答． （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式为与直线交于B、D两点， ∴， 解得 ∴把代入，得， ∴点D的坐标为， （2）解：如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， ∵轴于H， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由（2）知， ∴点H的坐标为， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或. 【变式4】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，已知，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)为抛物线的顶点，求的面积． 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据直线经过B、C两点，可以求得直线的解析式；根据抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C和点B、点C的坐标可以求得抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式化为顶点式，即可得到点D的坐标；再根据题意和图形，可知的面积的面积，然后求出的长度，即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵直线经过B、C两点，点B的坐标为，点C的坐标为， ， 解得： ∴直线的解析式是； ∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为， ， 解得： 即抛物线为． （2）解：由（1）知，抛物线为 ∴该抛物线顶点D的坐标为； 设直线与抛物线对称轴交于点E， ∵点D的坐标为， 点E的横坐标为， 把代入得，， ， 的面积． 【变式5】（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点．抛物线经过，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一点，过点作交于点，连接，，，求的最大值； (3)如图，只将图中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线，与轴正半轴的交点为，连接，点是抛物线第二象限上的一点，连接，若，请求出点的坐标． 【分析】（）由求出点，，然后利用待定系数法即可求解； （）连接，则，故有，过点作轴于点交于点，设，则则，然后利用面积公式和二次函数的性质即可求解； （）得出，设交于点，当时，可证明，则，设直线的解析式为，则直线的解析式为，联立，然后求解即可． 【详解】（1）解：把，，分别代入中，得，， 把，代入中， 即，解得， ∴； （2）连接， 解：∵， ∴， ∴， 过点作轴于点交于点， 设，则则， ∴ ， ∵，抛物线开口向下， ∴当，最大值； （3）解：当时可得， 由题可知， 当时可得， ∴， ∴， 如图，设交于点，当时， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把和分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得：，（不合题意，舍去） ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 题型7. 二次函数的综合——角度问题 【例1】（2025·陕西西安·一模）在直角坐标平面xOy中，直线 沿y轴向下平移；5个单位后，正好经过抛物线 的顶点C，抛物线与y轴交于点 B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方， 当时， 求点 M的坐标． 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； （2）解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， ， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)记直线与抛物线的交点分别为A，B，且A在B的左侧，求的度数． 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，直线与抛物线交点问题； （1）把代入列方程求解即可； （2）联立直线与抛物线求出交点，，再作轴交于，则，得到为等腰直角三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴这条抛物线的表达式为； （2）解：联立，解得或， ∴，， 如图，过作轴交于，则， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求的长； (2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 【分析】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．还考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，一次函数的图象和性质． （1）求出抛物线的表达式，得到，即可求解； （2）由，即可求解； （3）证明，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， 令，则， ， ， ． （2）解：当时，， ， ， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 则， 则直线， 过点作轴交于，    设，则， ， ， ∴点的横坐标为4或2； （3）解：设直线与轴交于点，      则， ， ∴， ， ， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ． 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点 的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点， 重合），若，求点的坐标． 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①分别令求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； ②先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：①在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ∴，则 ∴ ②∵点在抛物线上 ∴ ∴点坐标 设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 ∴所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 ∴ ∴ ，， ∴ 解得：， 所以点的坐标为: 题型8. 二次函数的综合——特殊三角形问题 【例1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为点． (1)求点和点的坐标（用含的式子表示）． (2)①因为时，，所以，取任意实数，抛物线恒过定点．受此启发，请你求出该抛物线恒过的另外一个定点（记为点）的坐标． ②若是直角三角形，求的值． (3)若抛物线与轴交于，两点，且，求的取值范围． 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）①当时，，由此可求； ②求出，，，再分三种情况讨论：当为斜边时，；当为斜边时，此时不存在；当为斜边时，； （3）抛物线与轴的左交点（不妨设为点）在点的右侧，抛物线与轴的石交点（不妨设为点）在点的左侧，再进行分类讨论即或 结合二次函数的图象性质，进行分析作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， （2）解：①当时，， ； ②，，， ，，， 当为斜边时，，解得； 当为斜边时，，此时不存在； 当为斜边时，，解得； 综上所述：的值为或； （3）解：，对称轴为， 抛物线与轴的左交点（不妨设为点）在点的右侧，抛物线与轴的石交点（不妨设为点）在点的左侧， 当时，顶点在轴下方 即 解得 当时，顶点在轴上方 即， 解得， 综上所述，或 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，解不等式组，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【例2】（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线L的表达式； (2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线，使其经过原点．若在第二象限的抛物线上存在点P，使为等腰直角三角形，请求出抛物线的表达式． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，由点)在函数图象上，对称轴为直线，列方程组即可求得解析式； （2）根据平移后的图象过原点，所以设，使抛物线第二象限上的点P与组成的是等腰直角三角形，所以分三种情况来讨论，分别求出三种情况的解析式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：当时，， ∴，则， ∵， ∴， 由平移后抛物线过原点，可设表达式是，分三种情况： ①当为等腰直角三角形的斜边，如解图①所示，作轴于点Q， ， ，， ． 又， ， ， ， 点坐标是， 把代入得，， ． ∴平移后抛物线表达式为； ②当为等腰直角三角形的斜边，如解图②所示，过作轴于H， 同上可得， ， 点坐标是， 把代入得，， ． ∴平移后抛物线表达式为； ③当为等腰直角三角形的斜边，如解图③所示， 此时是的中点， ， ， 把代入得，． ∴平移后抛物线表达式为． 综上所述，平移后抛物线表达式为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质等知识，要注意数形结合和分类讨论思想方法的运用． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，ACM是等腰三角形，直 接写出点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据，得出，根据，求出，得出，代入二次函数解析式，进而求出点的坐标即可； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为，得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把，代入中， 得， ， 二次函数解析式为； （2）解：∵， ， ， ， 即 ， ， 当时， 解得：， 即； 当时， 解得或， 即或； 综上所述，点的坐标为或或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 综上分析可知：点M的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义，三角形面积计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标； (3)若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，得到当时PQ最大为，此时；再求得点B的坐标为，再利用待定系数法求出直线的表达式为，最后把代入计算即可求解； （）设，由勾股定理可得，根据等腰三角形的定义分三种情况解答求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点，则， 再把代入抛物线，得：， 解得：， 所以抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，最大为，此时， 当时，， 解得：或1，即 设直线的表达式为，代入B、Q两点坐标， 得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵抛物线的对称轴为直线，把代入，得， ∴M点坐标为． （3）解：存在，理由如下： 由抛物线的对称轴为直线、、 ， 设， ∴， ①当时，即， 得， 解得：， ∴P点坐标为或； ②当时，即， 得， 解得或1（舍去）， ∴P点坐标为； ③当时，易知P点的横坐标为， 代入中得， ∴P点坐标为． 综上，P点坐标为或或或． 【变式3】（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数的顶点的坐标； (3)该二次函数图象对称轴上是否存在点，使是以 为斜边的直角三角形，若存在，求出的坐标，若不存在， 请说明理由． 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，根据待定系数法即可得出二次函数解析式； （2）将二次函数解析式转化为顶点式，即可得出顶点坐标； （3）设点的坐标为，分别表示出，，，再利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， ∵图象经过，， ， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）， ∴这个二次函数的顶点的坐标为； （3）由（2）知该二次函数的对称轴为， 设点的坐标为， ，，， 当是以为斜边的直角三角形，则， 即， 解得，， ∴存在满足条件的点，坐标为或． 【变式4】（24-25九年级上·广东中山·期末）【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在， 请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【分析】（）把点， 点代入即可求解； （）由抛物线的解析式为，求出，再利用待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故有，，再通过列出方程，然后解方程即可； （）分当时和当时两种情况分析即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由（）得：抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 题型9. 二次函数的综合——特殊四边形问题 【例1】（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【分析】（1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把B，C点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或， 使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． 【例2】（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于 点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线 上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四 边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（）由，，，求出，，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式为，设，，则分当为边时，四边形为平行四边形时；当为边时，四边形为平行四边形时；当为对角线时，四边形为平行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在点，理由如下， ∵，， ∴设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点在直线上， ∴设， ∵点为直线右侧抛物线上一点， 设， 由抛物线的函数表达式为， ∴， ∴当时，， ∴， 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点，此时与点重合； 综上可知：点的坐标为或或． 【例3】（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点 P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围． （1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式； （2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可； ②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为， ， 抛物线的解析式为； （2）解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为， ， ，， 当四边形为正方形时，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 或者， 解得，（不符合题意，舍去）， 的值为1或0； ②根据①可知：当或时，， 当时，， ， 当或时，， 当时，的取值范围为或． 【变式1】（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数的图象上． (1)求b的值； (2)若一次函数与一次函数交于B，且 点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点对 应的二次函数表达式； (3)在（2）的条件下P为抛物线上一点，它关于原点的 对称点为点Q．当四边形为菱形时，求点P的坐标． 【分析】此题考查二次函数和一次函数综合题，准确求出二次函数表达式是解题的关键． （1）由一次函数与轴交于点，得，则，再把点代入求出值； （2）通过由两个一次函数组成方程组求出点的坐标，再由对称知识求出点的坐标，后将、、三点坐标代入即可； （3）求出直线、的解析式，再联立解得点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，点关于轴的对称点在一次函数的图象上， 点坐标为， 点坐标为， 点在一次函数的图象上， ， ； （2）解：由方程组，解得， 点坐标为， 又点为点关于原点的对称点， 点坐标为， 一次函数与轴交于点， 点坐标为， 设二次函数对应的函数表达式为， 把，，三点的坐标分别代入，得，解得， 二次函数对应的函数表达式为； （3）当四边形为菱形时，， 直线对应的函数表达式为， 直线对应的函数表达式为． 联立方程组． 解得或， 点坐标为或； 【变式2】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由得，推出；根据点B的横坐标为2．求得；将、代入即可求解； （2）根据点是线段上的动点，可得，；由题意得：，推出；即可求解； （3）由（2）可知：；根据轴，且两点均为整点，推出或；求得故或；分类讨论当为边时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； （3）解：由（2）可知：； ∵ 轴，且两点均为整点， ∴线段的长为整数； ∴或； 若，则，解得（不符合题意）； 若，则，解得； 故或 当为边时，有且； 则， ∵， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或； 即：整点R的坐标为或； 当为对角线时，设， 则，解得：； 或，解得：； 即：整点R的坐标为或； 综上所述：整点R的坐标或或或； 【变式3】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）与轴的两个交点分别为、．点是轴上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点是线段的中点，当点和点不重合时，以为边，在的右侧作矩形，且矩形的边的长为3． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)当时，的取值范围是______； (3)当矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，求的值； (4)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增 大时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）由可知二次函数开口向上，顶点坐标为，结合对称轴分别求出当和时y的值，然后结合二次函数的图像可求出答案． （3）由题意知点，，，分情况讨论：当P、Q落在抛物线上，根据，结合对称轴列等式求解；当P、N落在抛物线上，N点坐标为，根据列关系式求解即可； （4）由（3）知，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小；当和时，抛物线在矩形内部没有点；当时，点P、点D、点M和点B重合，即可求得解得． 【详解】（1）解：把、代入， 可得出， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为：， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，的取值范围是； （3）解：∵，过点作轴的垂线交抛物线于点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 当P、Q落在抛物线上时，， 则P、Q关于对称轴对称，故Q点的横坐标为：， 由对称性可得， 解得：； 当P、N落在抛物线上时， ∵以为边，在的右侧作矩形， 此时N点坐标为， 从而可得， 即 解得 ，， 综上，当矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，的值为或或； （4）解：由（3）知，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小； 当时，抛物线在矩形内部没有点； 当时，点P、点D、点M和点B重合，抛物线在矩形内部没有点； 当时，抛物线在矩形内部没有点； 故当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、二次函数的区间最值、矩形的性质和函数值的结合以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质和矩形的结合． 【变式4】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于点两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作轴于点F，交直线于点E．设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)写出线段的长（用含有m的代数式表示）； (3)若，求m的值； (4)在y轴正半轴上是否存在点G，使C、E、P、G为 顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的点P的 坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）根据二次函数和一次函数的解析式分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式求解即可得； （3）先利用两点之间的距离公式求出，再根据建立方程，解方程即可得； （4）分两种情况：①当为对角线时，②当为菱形的边时，根据菱形的邻边相等建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：对于直线， 当时，，即， ∵点是第一象限内抛物线上一动点，点的横坐标为， ∴， ∵轴于点，交直线于点， ∴， ∴， 所以线段的长为． （3）解：∵点是第一象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，轴于点，交直线于点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当时，解得或（不符合题意，舍去）， 当时，或（不符合题意，舍去）， 综上，的值为2或． （4）解：存在，求解过程如下： 设点的坐标为， ①当为对角线时，， 则，即，解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，即，解得，符合题设， 所以此时点的坐标为； ②当为菱形的边时，， 则，即， 整理得：， 解得或或（均不符合题意，舍去）， 综上，存在点，此时相应的点的坐标为． 题型10. 二次函数的综合——相似三角形问题 【例1】（2024·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与相似三角形综合，掌握求二次函数解析式和相似三角形的性质与判定是解题关键． （1）将点，，代入，用待定系数法求二次函数解析式； （2）连接，可得顶点P的坐标为，设，求出，进而得出，再分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，连接，顶点P的坐标为． 设， 当时，，解得，， ． ，，， ． 当时，， ，解得． 点N的坐标为． 当时，， ，解得， 点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 【例2】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)已知轴上的动点，连接，若与相似，求点的坐标． 【分析】（1）先将点代入直线中，求出，再求出抛物线的对称轴为，将代入直线中，即可求出点的坐标； （2）根据题意得：，，若与相似，分和两种情况讨论即可； 【详解】（1）解：将点代入直线中，则， 解得：， ∵抛物线的对称轴为， 将代入直线中，则， ∴点的坐标为； （2）解：根据题意得：，， 如图，当时， 此时，， 由（1）知， ∴； 如图，当时， 此时，， ∴， 设， 令中，则， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键． 【变式1】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交x轴正半轴于点C，连结，． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点D，E． ①若与相似，求抛物线表达式； ②若是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）． 【分析】（1）根据对称轴可得点C的坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）①设D的坐标为，根据纵坐标可得，结合题意得，即可求得，代入直线可得点，进一步代入抛物线解析式即可得；②根据点的坐标求得线段的长度，利用勾股定理逆定理判断，设E的坐标为，结合题意得，利用等面积法求得，即可得到点，再代入抛物线即可求得． 【详解】（1）解：∵， ∵O，C两点关于直线对称， ∴， 设直线：， 把，，代入得， 解得， 则； （2）①设D的坐标为，则， 若与相似，则， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴，代入抛物线解析式可得， ∴抛物线解析式为． ②∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，设E的坐标为， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 又∵在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及二次函数对称轴、待定系数法求一次函数、相似三角形的性质、两点之间的距离、以及勾股定理逆定理，解题的关键是找到利用相似三角形的性质和函数的性质． 【变式2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法解方程组即可； （2）①利用勾股定理的逆定理证明即可； ②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：（ⅰ）， 当时，， 点坐标为， 当时，， 解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形；     （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用． 【变式3】（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 【分析】（1）把，代入，求出a和b的值，即可得出函数解析数，将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到，求得点的纵坐标为4，解方程即可得到； （3）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，设，则，，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， 设在上的高为，在上的高为， ∵与的面积相等， ∴， ， 点的纵坐标为， 当时，即， 解得（舍去），， ； （3）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当时， 则， ， 解得或， 且， ， 当时， 则， ， 解得或不合题意舍去， 点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键． 【变式4】（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知抛物线上点的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，连接，点为抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由． (3)点为轴负半轴上的点，且，点是线段（包含点）上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若以点为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标． 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；然后令，求得x的值，即可确定点B的坐标； （2）如图：取的中点，可确定；如图：过点作的平行线，与抛物线的交点即为点．然后运用待定系数法分别求得直线的表达式为，直线的表达式为，然后将直线的表达式与抛物线联立即可解得； （3）先说明，即点与点不是对应点．然后分和两种情况分别运用相似三角形的性质及正切函数即可解答． 【详解】（1）解：抛物线过点，， ， 解得, 抛物线的解析式为． 令，得， 解得，， ． （2）解：如图：取的中点，则， ． 如图：过点作的平行线，与抛物线的交点即为点． 设直线的表达式为， 将代入，得． 将代入，得，解得：， 直线的表达式为． 设直线的表达式为， 将代入，得． 直线的表达式为． 由，得． （3）解：，以点为顶点的三角形与相似， 以点为顶点的三角形也是直角三角形． 轴，直线交直线于点， ，即点与点不是对应点． ①如图：当时，点与点重合， 则点的坐标即点的坐标， 点的坐标为． ②如图：当时， ，，． 设点的横坐标为，则， ， ． 解得，（舍去）， 点的坐标为． 综上，点的坐标是或． 题型11. 二次函数的综合——其他问题 【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求出抛物线L的解析式和顶点坐标． (2)点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线对称抛物线，则C关于直线的对称点为，若为等腰直角三角形，求出抛物线的解析式． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，求二次函数的解析式： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设交于点N，根据为等腰直角三角形，可得，设点，可得点P的横坐标为5，由（1）得：原抛物线的对称轴为直线，从而得到新抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）解：如图，设交于点N， ∵为等腰直角三角形， ∴， 设点，则 ， 解得：（舍去）或5， 即点P的横坐标为5， 由（1）得：原抛物线的对称轴为直线， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∴新抛物线的顶点坐标为：， ∴抛物线的解析式为：． 【例2】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于点，．已知点的坐标为，点的横坐标为． (1)求直线与抛物线的解析式； (2)当时，若抛物线与直线有交点，结合图象，求的取值范围． 【分析】（）利用点坐标可求出直线的解析式，进而可得点坐标，再利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （）可得抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，进而由点可得，结合图象即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 把代入得，， 把点代入得，， 解得， ∴时，抛物线与直线在时有交点． 【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知抛物线与x轴的两个交点和与y轴交点为点C (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段下方的抛物线上有一点P，若P到距离最大，求出点P的坐标； (3)如图2，若在线段下方的抛物线上有两点P和Q且，连接射线和相交于点M，请猜想点M运动轨迹 （填一条线段、一段抛物线、一段圆弧）并证明你的猜想． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，过点作作，则直线的解析式为，直线与抛物线只有一个公共点时，P到距离最大，联立，求解即可； （3）待定系数法求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，联立，可得，结合，得出，进而可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点和， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作作， 则直线的解析式为， ∵P到距离最大， ∴直线与抛物线只有一个公共点时，P到距离最大， 联立可得：， ∴， 解得：， 代入可得，此时， ∴； （3）解：一条线段，证明如下： 设，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：， ∵， ∴， ∴， 由①和②可得：， ∴点运动轨迹是直线上的一条线段． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式；二次函数与一次函数的交点等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式1】（2024·江西南昌·模拟预测）综合与实践 特例感知 （1）如图1，对于抛物线，，，，下列结论正确的序号是________． ①抛物线，，，的对称轴是直线； ②抛物线，，，由抛物线依次向上平移2个单位长度得到； ③抛物线，，，与直线的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等． 概念形成 把满足的抛物线称为“族抛物线”． 知识应用 如图2，“族抛物线”的顶点依次为，，，，…，． （2）试求线段的长．（用含的代数式表示） （3）“族抛物线”，，，…，上分别有点，，，…，，它们的横坐标分别是2，3，4，…，.试判断点，，，…，是否在同一条直线上，如果在，求出此直线的解析式；如果不在，请说明理由． 【分析】（1）求出每个抛物线的顶点坐标和对称轴，及其与直线的交点坐标，即可得出答案； （2）先将变形为，得出的顶点坐标为，并得出，求出结果即可； （3）先求出点，，，…，，然后求出直线的解析式，再说明，…，在直线上． 【详解】解：（1） ， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； ， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； ， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； ， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； ①抛物线，，，的对称轴是直线，故①正确； ②抛物线，，，由抛物线向上平移得到，但不是2个单位，故②错误； ③抛物线与直线的交点坐标为，； 抛物线与直线的交点坐标为，； 抛物线与直线的交点坐标为，； 抛物线与直线的交点坐标为，； ∴抛物线，，，与直线的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等，故③正确． 综上分析可知，正确的是①③； （2）∵ ， ∴“族抛物线”的顶点坐标为， 则， ∴； （3）把代入得：，则； 把代入得：，则； 把代入得：，则； 把代入得：，则； 把代入得：，则； 设直线的解析式为，把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 把代入得， 把代入得， ∴点、、在直线上， ∴点，，，…，在同一条直线上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，求一次函数解析，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 【变式2】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点，连接． (1)①抛物线的解析式为______； ②若，则y的取值范围为______． (2)点P是下方抛物线上一点，作轴于点M，交于点Q． ①求的最大值； ②若，求点P的坐标． 【分析】（1）①待定系数法求出抛物线的解析式即可； ②根据二次函数的性质求出y的取值范围即可； （2）①先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，，则，求出，，得出，根据二次函数的最值，求出结果即可； ②先证明，得出，即可得出，列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：①将，，，代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为． ②∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴当时，y取得最大值3， ∴y的取值范围为． （2）解：①设直线BC的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点P的坐标为，， 则， ∴，， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得，（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． 【变式3】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上，如果四个点、、、中恰有三个点在二次函数（a为常数且）的图象上． (1)直接写出a的值； (2)如图1，点P、Q在二次函数图象上，设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，连接交y轴于点，求A点纵坐标的最大值； (3)如图2，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长． 【分析】（1）当，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可； （2）根据题意可得：，求出直线的解析式为，令，则，得出A点纵坐标为，结合，即可求解； （3）由（1）知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，由菱形的性质得，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴不在二次函数图象上， ∴点、、三个点在二次函数（a为常数且）的图象上 将代入，解得， 故答案为：； （2）解：根据题意可得：， 设直线的解析式为， 则，解得：， 故直线的解析式为， 令，则， 即A点纵坐标为， ∵， ∴当时，A点纵坐标的取得最大值，最大值为． （3）解：由（1）知，二次函数解析式为， 设菱形的边长为，则， 由菱形的性质得，， 轴， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去），， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，一次函数解析式求解，菱形的性质等知识点，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式4】（2025·山东临沂·一模）如图，已知抛物线 经过点，与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，点 P 的坐标为，点 Q 在该抛物线上，横坐标为．其中． (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)点 M 是对称轴上的动点，当 是以为底的等腰三角形时， 求 M 点坐标； (3)当抛物线在点B和点Q之间的部分（包括 B 、Q 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）根据 是以为底的等腰三角形，得到，进行求解即可； （3）分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：， ∴， ∴，顶点坐标为：； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，解得：， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 设，则：， 由题意，得：， 解得：（舍去）， ∴； （3）当时，， ∴， ∵， ∴， ∴点在对称轴的左侧， 当时，最高点为顶点，最低点为点，则：， 解得：； 当时，最高点为顶点，最低点为点，则：， 解得： ，（舍去）； 综上：m的值为1或． 【变式5】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线经过点两点，与y轴交于点C，点M是直线上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作与y轴平行的直线，分别交x轴、抛物线于点． (1)分别求出抛物线与直线的函数表达式； (2)当点中的一个点为其他两个点所连线段的中点时，求点的坐标． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将点代入抛物线可求出抛物线的解析式，从而可得求出点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）先分别求出点的坐标，再分三种情况：①点为中点；②点为中点；③点为中点，利用中点公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的表达式为． 令，则， 即， 设直线的表达式为， 将点代入得：， 解得， 则直线的表达式为． （2）解：点的横坐标为，过点作与轴平行的直线，分别交轴、抛物线于点， ， ①若点为中点，则， 解得或（此时三点重合，不符合题，舍去）， ∴， ； ②若点为中点，则， 解得或（此时三点重合，不符合题，舍去）， ∴， ； ③若点为中点，则， 解得或（此时三点重合，不符合题，舍去）， ∴， ； 综上，若点中的一个点为其他两个点所连线段的中点时，点的坐标为或或． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 2．（2025·陕西·模拟预测）已知抛物线过，，三点，关于这个抛物线下列结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键．先求解二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点判断作答即可． 【详解】解：∵设抛物线为，把，，代入得： ∴， 解得：， ∴抛物线为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，y随着x增大而减小， ∴A、B错误，故不符合要求；D正确，故符合要求； 当时，，即抛物线与y轴交点坐标是， ∴C错误，故不符合要求； 故选：D． 3．（2025·河南驻马店·三模）星期天，小明从早上六点开始每隔半小时对他家附近的气温和一个水池里的水温进行测量，并根据记录的数据绘制成如图所示的图象（实曲线表示气温，虚曲线表示水温），其中横轴表示时间，纵轴表示温度．已知水池里水的质量为100t． 小贴士①物质吸收或释放的热量，其中为该物质的比热容，为该物质的质量，为该物质升高或降低的温度． ②水的比热容． 下列说法正确的是（   ） A．气温与时间的关系为二次函数关系 B．水温上升或下降的速度比气温快 C．质量为1g的空气在时吸收的热量比在时放出的热量少 D．水池里的水在6－13时吸收的热量约为 【分析】本题考查函数与图像的关系，读懂图像是解题的关键． 根据图像所得的信息逐项分析，即可解答． 【详解】解：A．由图像不是抛物线可知，气温与时间的关系不是二次函数关系，该选项错误； B．由图像可知，在时，气温上升的速度比水温快，该选项错误； C．由图像可知质量为1g的空气在时吸收的热量比在时放出的热量少，故该选项正确． D．有图像可得 ∴水池里的水在6－13时吸收的热量约为，该选项错误． 故选C． 4．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的是（　　） A．此二次函数图象的对称轴是直线 B． C．对于任意实数，均成立 D．若点，在此二次函数图象上，则 【分析】根据二次函数的性质，最值等知识判断解答即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴相交于点，， 对称轴是直线， 故A错误． 对称轴是直线， ， ． 由图象，得， ， ， 故Ｂ错误． 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取得最小值， 对于任意实数，当时，函数值， ， 故C正确． 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ， 故Ｄ错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，最值，系数符号得确定，熟练掌握抛物线性质是解题的关键． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：抛物线的对称轴为，开口向上， 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， 由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴． 故选：A． 6．（2025·河南商丘·三模）如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．若小球刚接触弹簧时的速度，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为 D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 小球从刚开始接触弹簧速度并未减速，该选项错误，故不符合题意； B. 当弹簧被压缩了时，小球的速度最大，该选项错误，故不符合题意； C.抛物线的对称轴为直线， 所以的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， 所以，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为， 该选项正确，符合题意； D.当弹簧的长度为9cm时，被压缩了，此时，小球速度为0，与刚接触弹簧时的速度不相同，该选项错误，故不符合题意； 故选：C． 7．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减性结合二次函数的最值，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时的最大值与最小值的差为6，， ∴，且， 解得：或（舍去）； 故选：A． 8．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 9．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．下列结论：①；②；③若和是关于的一元二次方程的两根，则；④抛物线上有两点，．若，则的取值范围是；⑤当是等腰三角形时，符合条件的值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，明确函数与方程的关系是解题的关键．由抛物线开口方向和对称轴即可判断①；根据抛物线与x轴交于点，且，即可判断②；利用根与系数的关系即可判断③；利用二次函数的对称性和增减性即可判断④；利用勾股定理得到关于a的方程，求得a的值即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a、b异号， ∵， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴和3是方程的两个根， ∴，， ∵和是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵抛物线上有两点，，且， ∴点在对称轴的左侧， ∵抛物线开口向下， ∴，故④正确； 当是等腰三角形时，则， ∵， ∴， ∴， ∵过， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得（正值舍去）， ∴当是等腰三角形时，符合条件的a值有1个，故⑤错误． 故选：B． 10．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质，勾股定理，根据对称性先求出抛物线对称轴为直线，再由对称性计算公式得到，由此可判断①；根据当时，即可判断②；当时，有最大值，最大值，则，据此可判断③；当是等腰直角三角形时，则 ，设，则，解方程求出点C坐标，进而利用待定系数法求出a的值即可判断④；如图，连接交抛物线的对称轴于，连接，由对称性可得，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，利用勾股定理求出的长即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线交轴分别于点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，称轴为直线， ∴时，有最大值，最大值， ∵， ∴， ∴，故③正确， 当是等腰直角三角形时，则 ， 设， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴抛物线的解析式为， 把代入得到，故④错误， 如图，连接交抛物线的对称轴于，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴的周长最小值， ∵，， ∴周长最小值为，故⑤错误． 故选：C． 11．（22-23九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法： ①；②抛物线的对称轴为；③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，；④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大，其中，所有正确的说法是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④ 【分析】利用待定系数法即可求得，即可判断①；求得、的坐标，利用抛物线的对称性求得对称轴，即可判断②；利用抛物线的对称性、两点之间线段最短，点为直线与抛物线对称轴的交点时，点，，构成的三角形的周长取最小值，求得直线的解析式，进一步求得的值，即可判断③；作轴，交与点，表示出点的坐标，然后根据得出，根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：抛物线经过点， ， 解得，故①说法正确； 令，则， 解得或1， 抛物线抛物线与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为，故②说法正确； 连接，交对称轴为，此时，， 是定值， 此时点，，构成的三角形的周长最小， ，， 直线为， 当时，， ， ，故③说法错误； 作轴，交与点， 点在抛物线上， ， 把代入直线的解析式得， ， ， 时，的面积最大，故④说法正确． 故选：D．    【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，三角形的面积，根据题意求得、的坐标和对称轴是解题的关键． 12．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是非负数； ②可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先减小后增大； ④四边形一定为正方形． 其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①由非负数的性质，即可证得，可得无论x取何值，总是负数； ②由抛物线与交于点，可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；； ③由，可得随着x的增大，的值减小； ④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴无论x取何值，总是负数；故①错误； ②∵抛物线与交于点， ∴当时，， 即， 解得：； ∴， ∴可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确； ③∵， ∴随着x的增大，的值减小；故③错误； ④设与交于点， ∵当时，， 解得：或， ∴点， 当时，， 解得：或， ∴点， ∴，， 当时，， ， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形．故④正确． 综上所述：正确的是②④．共2个； 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 二、填空题 13．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则的长为 ． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，中点坐标公式；由题意得点A的坐标，设，利用对称关系求得点C的坐标；利用抛物线的对称性即可求得结果． 【详解】解：，则，对称轴为直线； 由题意设，则； ∵轴， ∴点C，点D关于抛物线的对称轴对称， ∴． 故答案为：4． 15．（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”） … 1 3 … … … 【分析】本题考查了二次函数的性质等知识，综合性较强，难度较大．先根据点，，画出二次函数大致图像，即可得到抛物线对称轴为，再求出点距离对称轴个单位，点距离对称轴个单位，结合函数图像即可得到． 【详解】解：如图，根据点，，画出二次函数大致图像， 根据抛物线的对称性得对称轴为， ∴点距离对称轴个单位， 点距离对称轴个单位， ∵， ∴． 故答案为：． 16．（2025·山东潍坊·一模）规定．例如：，．则的最小值为 ． 【分析】本题考查了新定义、二次函数的最值，先判断出，结合题意得出，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 17．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为 ；点在抛物线上，若，则的取值范围为 ． 【分析】此题考查了二次函数的性质．将及点，代入抛物线，解得，即可得到t的值；根据确定对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围． 【详解】解：将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴； ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴， 解得， ∴，即， 当时，； 当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：2；． 18．（2025·辽宁丹东·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③若是等腰三角形，的值有2个；④当是直角三角形时，，其中正确的是 ．（只需填序号） 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点进行推理是解题的关键．根据图象与轴交于、两点，可得对称轴为直线，可判断①；将点坐标代入解析式并结合①中结论，可判断②；由等腰三角形的性质和已知两点坐标求两点距离公式可求的值，可判断③；由直角三角形的性质和已知两点坐标求两点距离公式可求的值，可判断④． 【详解】解：①二次函数的图象与轴交于、两点， 对称轴为直线， ， ，故①正确； ②图象经过点， 将点代入，得 由①中可知， ， ，故②正确； ③当时，， 由①②可知，， ， 二次函数的图象与轴交于点， ， 、， ，， 当时，， 解得（正数值已舍去）； 当时，， 解得（正数值已舍去）； 当时，， 方程无解； 当是等腰三角形，的值有2个，故③正确； ④由①③可知，， 二次函数， 顶点的坐标为， ，， ，，， 若，则， 即， 解得（正数值已舍去）； 若，则， 即， 解得（正数值已舍去）； 若，则， 即， 方程无解； 当时直角三角形是，或，故④错误； 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 19．（2025·安徽合肥·三模）对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点是这个函数的“二倍点”，已知二次函数． （1）若点是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是 ， （2）若此函数有两个相异的“二倍点”、，且，则k的取值范围 ． 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数结合，解题的关键是理解同值点的定义，并根据定义列方程求解． （1）根据题意将点A代入确定，再由 “二倍点”的定义得出方程求解即可； （2）根据题意得出，，然后利用一元二次方程的解及根与系数的关系求解不等式即可． 【详解】解：（1）把点代入中得， 解得， ∴， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， ∴， 故答案为： （2）∵二次函数图象上有两个相异的“二倍点”、， ∴二次函数与直线有两个交点、， 联立得， 解得，， ∵， ∴； ∵， ∴，， 解得， 综上所述， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线过点A、、，点为抛物线在第四象限部分上的一点，则面积的最大值为 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，二次函数最值，坐标与图形，求出面积与点P的横x的函数表达式是解题的关键． 过点P作于D，设，则，，再求出，，从而求得，，根据，然后利用二次函数的最值求解即可． 【详解】解：过点P作于D，如图， 设， ∵点为抛物线在第四象限部分上的一点， ∴，， ∴，， 令，则， ∴， ∴ ， 令，则， 解得：，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，的值最大，最大值为． 故答案为：． 21．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 22．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用轴对称的性质转化线段是解题的关键．根据抛物线的对称性可知：，所以当点在线段上时，的值最小，的周长也最小，以此为依据求解即可； 【详解】解：令，则， 解得，， ，， 抛物线的对称轴为： 点的横坐标为： 当 时， ； 设直线解析式为， 则， 解得， 由抛物线的对称性可知： ∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小， 将 代入得： 故此时点的坐标是 故答案为：． 23．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点，和点，与轴的正半轴交于点，且，则：其中正确结论的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，在轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系． 首先根据函数图象可判断，，的符号，，，，从而可判断①正确；由可推出点代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与轴的交点和点，再结合根与系数的关系可得，可得，即可判断③正确；根据， ，可得，从而可得抛物线解析式，顶点坐标为，继而可求得，．所以对称轴为直线．要使，由对称性可知，，且点一定在对称轴上，则为等腰直角三角形， ，得，且，解得或，故可判断④正确． 【详解】解：，， ，． 由图象可知，，，． ①：，， ， ．故①正确； ②：把代入解析式，得：，又， ， 即，故②正确； ③：抛物线与轴交于点和点， 和为相应的一元二次方程的两个根， ， ．故③正确； ④：如图， ，， ． 故原抛物线解析式为，顶点坐标为． ，， ，． 对称轴为直线． 要使，由对称性可知，，且点一定在对称轴上， 为等腰直角三角形， ， ，且有， 整理得：， 解得：或，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题 24．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 25．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧， 若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）把代入（1）中解析式求出x的值，然后求出抛物线的对称轴，最后结合已知写出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的纵坐标为，点在抛物线上， ∴， 解得，， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点C在对称轴右侧， ∴ ∴点C 到 y 轴的距离2． 26．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． (1)请求出以上两个函数的解析式； (2)求点B的坐标； 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点B的坐标． （1）代入点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）两个函数解析式联立即可求解B点坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像相过点， ∴，解得， ∴一次函数表达式为， ∵过点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得，， ． 27．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数． (1)当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 【分析】此题考查了待定系数法求出二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①利用待定系数法求解即可； ②首先表示出，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）首先将二次函数配方成，得到对称轴为直线，判断出抛物线开口向上，然后分3种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）①解：∵二次函的图象过点， ∴，   ∴， ∴二次函数的表达式为； ②解：∵和都是二次函数图象上的点， ，， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴的最小值是； （2）∵ ∴对称轴为直线 ∵二次项系数为 ∴抛物线开口向上 ∵当时，二次函数有最小值， ①当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得，不符合题意，舍去； ②当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）； ③当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得； 综上所述，实数k的值为或． 28．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)求的面积； (3)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）由A、B、C的坐标得，再根据三角形面积公式求解即可； （3）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把，，代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 令，则或4， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ； （3）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， 直线的解析式为， 设， ∵轴， ， ， 当时，，此时， 线段的最大值是4，此时点P的坐标为． 29．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． (1)求抛物线解析式； (2)当线段的长度最大时，求点P的坐标； (3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3），由时，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ， ， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点A，B， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：轴， ， ， 点， 点，则点， 则， 当时，最大．， ； （3）解：根据题意得，， 由（2）得，， ， ， 解得：（舍去）或， ∴点E的坐标为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 30．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在y轴，x轴上，点A的坐标为，，直线 和抛物线都经过、两点，且抛物线的对称轴为直线． (1)分别求直线和抛物线的解析式； (2)点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交直线和抛物线于两不重合的点、．若求点的坐标． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数综合应用； （1）先确定坐标，再利用待定系数法求直线的解析式；接着利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一交点坐标为，则可设交点式，然后把点坐标代入求出得到抛物线解析式； （2）设，则，则利用得到，解或，然后分别解关于的方程可得到点坐标． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 解得， 直线的解析式为； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点的坐标为 抛物线与轴的另一交点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； （2）设，则， ， ， 或， 解方程，得，舍去， 此时点坐标为 解方程，得，， 此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或． 31．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【问题探究】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求的最大值，并求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是抛物线的对称轴上的一动点，是抛物线上的一动点，是否存点点、，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合，线段最值问题，平行四边形的性质． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点M的坐标是，则点，表示，然后利用二次函数的配方法求最值即可； （3）分是对角线、是对角线和是对角线三种情况，利用中点坐标公式计算解题． 【详解】（1）由题意得：.解得： ∴抛物线的函数解析式是：， （2）设点M的坐标是，则点， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值， 这时点； （3）存在，理由如下： 由（1）（2）抛物线的对称轴是直线，点， 设点，， 分三种情况讨论： ①当是对角线时，，解得：， ∴ ∴点； ②当是对角线时，，解得：， ∴， ∴点； ③当是对角线时，，解得：， ∴， ∴点； 综上所述，存或或，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 32．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接交于点，当时，求点的坐标； (3)设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）运用待定系数法把代入，解二元一次方程组即可求解； （2）运用待定系数法求直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，得到，证明，得到，根据题意则有，由此解一元二次方程得到的值，代入点坐标即可求解； （3）①根据题意，得到二次函数对称轴直线，点关于对称轴的对称点，由此分类讨论，结合图形分析可得出关于的函数解析式；②根据图示即①中的计算结果进行判定即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为， ∴， 如图所示，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当时，点的坐标为或； （3）解：①二次函数的图像如图所示，设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为， ∴对称轴直线为，即 由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点， ∴， 令时，， 解得，， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，； ②根据题意，当时，，不符合题意，舍去； 当，； 当时，（不符合题意，舍去），； ∴当时，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，动点与函数图象的性质等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，数形结合思想是解题的关键． 33．（2024·山西太原·模拟预测）综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 【分析】（1）在中，分别令，，计算即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由题意得，则，求出，得到，计算即可得解； （3）设，且，则，分两种情况：当点在正方形的边上时，设边交轴于；当点在正方形的边上时；分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 令，则，即； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意得：，则， ∵轴， ∴点、关于抛物线的对称轴直线对称，即直线经过线段的中点， 如图， ， ∵交直线于点F，且， ∴当时，，即， ∴， 解得：， ∵点在第二象限， ∴， ∴； （3）解：设，且，则， ∵，， ∴，， 如图，当点在正方形的边上时，设边交轴于， ， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去），， ∴； 如图，当点在正方形的边上时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 34．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点． (1)求a，b的值． (2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E， ①当直线经过点D时，求的长； ②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）①根据抛物线得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而推出点的坐标，即可解题； ②设点P的坐标为，进而得到点的坐标为，结合正方形性质得到点的坐标为，根据点F在抛物线上，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得； （2）解：①由（1）知，抛物线解析式为， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， 当直线经过点D时， 有，则， ； ②设点P的坐标为， 轴， 点的坐标为， ， 在的左侧作正方形，且点F在抛物线上， ， 点的坐标为， 且， 整理得， 解得或， 动点P不与点O，B重合， ， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，正方形性质，二次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 35．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）阅读下列材料： 我们知道，一次函数的图象是一条直线，而经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：是常数，且不同时为0）．如图1，点到直线：的距离计算公式是：． 例：求点到直线的距离时，先将化为，再由上述距离公式求得． 解答下列问题： 如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线上的一点． (1)求点到直线的距离． (2)抛物线上是否存在一点，使得的面积最小？若存在，求出点的坐标及面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）读懂题意，得直线可化为结合，代入距离公式进行计算，即可作答． （2）先设点的坐标为，故点到直线的距离，结合在中，，则中函数值恒大于0，因为当时，最小，得，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，直线可化为 ， 点到直线的距离． （2）解：存在．设点的坐标为， 则点到直线的距离， 在中，， 中函数值恒大于0， ． 当时，最小， 则为， ， 此时点的坐标为． 在中，令，得，令，得 ， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，一次函数的图象性质，一元二次方程的判别式的应用，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数 01-2讲 二次函数综合 题型归纳 【题型1. 根据二次函数的对称性求函数值】………………………………………… 2 【题型2. 的最值】…………………………………………………… 4 【题型3. 二次函数中最短路径问题】………………………………………………… 6 【题型4. 待定系数法求二次函数解析式】…………………………………………… 8 【题型5. 二次函数的综合——线段周长问题】……………………………………… 11 【题型6. 二次函数的综合——面积问题】…………………………………………… 13 【题型7. 二次函数的综合——角度问题】…………………………………………… 17 【题型8. 二次函数的综合——特殊三角形问题】…………………………………… 19 【题型9. 二次函数的综合——特殊四边形问题】…………………………………… 22 【题型10. 二次函数的综合——相似三角形问题】…………………………………… 26 【题型11. 二次函数的综合——其他问题】…………………………………………… 30 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 37 知识清单 知识点1 用待定系数法求二次函数解析式 1.利用待定系数法求二次函数的解析式时，一般有以下几种情况（）： （1）顶点在原点时，可设为 ； （2）对称轴是轴（或顶点在轴上）时，可设为 ； （3）顶点在轴上（或抛物线与轴只有一个交点）时，可设为 ； （4）抛物线过原点时，可设为 ； （5）已知顶点（ ， ）时，可设为 ； （6）已知抛物线上三点坐标时，可设为 ； （7）已知抛物线与轴两交点坐标为（ ，），（ ，）时，可设为 . 【总结】 情况 选用何种解析式 已知抛物线上三点的坐标 一般式 已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值 顶点式 已知抛物线与轴两个交点的横坐标 交点式 已知抛物线上纵坐标相同的两点 顶点式 题型专练 题型1. 根据二次函数的对称性求函数值 【例1】（2025·安徽滁州·二模）已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【变式1】（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】（2025·河南周口·一模）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【变式3】（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 题型2. 的最值 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 【例2】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … －1 0 3 4 5 … … 0 －6 0 10 24 … 下列结论：①这个函数的图象开口向上；②这个函数图象的对称轴为直线；③当时，函数值随的增大而增大；④这个函数的最小值为．其中正确的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【例3】（2025·浙江·模拟预测）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． (2)若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ (3)根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． 【变式1】（2025·河南周口·三模）二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【变式3】（24-25九年级下·辽宁大连·阶段练习）配方法如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将复杂的表达式转化为“完全平方”模块或其组合，并利用非负性优势，能在方程求解、极值分析等场景中化繁为简，成为破解难题的黄金钥匙．例如，可配方成． 解决问题： （1）已知，可配方成（，为常数），则______； 探究问题： （2）已知，求的值； 拓展结论： （3）已知实数，满足，则的最大值是______． 【变式4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 题型3. 二次函数中最短路径问题 【例1】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（22-23九年级上·河南许昌·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【变式2】（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（22-23九年级上·山西大同·期末）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．    (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是抛物线上异于点的动点，若的面积与的面积相等，求点的坐标． 题型4. 待定系数法求二次函数解析式 【例1】（2025·浙江金华·三模）已知二次函数． (1)若二次函数经过点， ①求二次函数解析式； ②当时，求的取值范围； (2)若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小． 【例2】（24-25九年级下·云南临沧·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【例3】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知二次函数的图像经过点，，且顶点到轴距离为． (1)求函数表达式； (2)若点在图像上，且，求的取值范围． 【变式1】（2025·江西·模拟预测）综合与实践 如图，抛物线的图象交于一点，抛物线的最小值为．抛物线（其中为常数，且），顶点为． 基础尝试 （1）求抛物线的解析式和抛物线的顶点的坐标； 深入探究 （2）当时，求直线交轴的点的坐标； 拓展应用 （3）求证：无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上． 【变式2】（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好 经过A，C两点，求平移的最短路程． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某二次函数的图象经过原点，且顶点是． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到图象？ 【变式4】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 【变式5】（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数（，a、b是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的解析式； (2)若，，直接写出该抛物线的对称轴． 题型5. 二次函数的综合——线段周长问题 【例1】（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是 ． 【例2】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当 的值最小时，求点的坐标． 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使 的值最大，求点M的坐标． 【变式3】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点 P作轴交于点Q，求的最大值． 【变式4】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式及顶点的坐标； (2)设点的横坐标为，当为何值时，线段 的长度最大，最大值为多少？ 题型6. 二次函数的综合——面积问题 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为该二次函数的图象在第一象限上一点， 当的面积最大时，求P点的坐标； 【例2】（24-25九年级下·四川广安·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值； 【变式1】（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界） 的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m 的取值范围． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知：关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)有一个点从点出发，以每秒个单位的速度在 上向点运动，另一个点从点与点同时出发，以 每秒个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 到达点时，点、同时停止运动，问点、运 动到何处时，面积最大，试求出面积． 【变式3】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【变式4】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，已知，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)为抛物线的顶点，求的面积． 【变式5】（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点．抛物线经过，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一点，过点作交于点，连接，，，求的最大值； (3)如图，只将图中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线，与轴正半轴的交点为，连接，点是抛物线第二象限上的一点，连接，若，请求出点的坐标． 题型7. 二次函数的综合——角度问题 【例1】（2025·陕西西安·一模）在直角坐标平面xOy中，直线 沿y轴向下平移；5个单位后，正好经过抛物线 的顶点C，抛物线与y轴交于点 B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方， 当时， 求点 M的坐标． 【例2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)记直线与抛物线的交点分别为A，B，且A在B的左侧，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求的长； (2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点 的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点， 重合），若，求点的坐标． 题型8. 二次函数的综合——特殊三角形问题 【例1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为点． (1)求点和点的坐标（用含的式子表示）． (2)①因为时，，所以，取任意实数，抛物线恒过定点．受此启发，请你求出该抛物线恒过的另外一个定点（记为点）的坐标． ②若是直角三角形，求的值． (3)若抛物线与轴交于，两点，且，求的取值范围． 【例2】（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线L的表达式； (2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线，使其经过原点．若在第二象限的抛物线上存在点P，使为等腰直角三角形，请求出抛物线的表达式． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，ACM是等腰三角形，直 接写出点M的坐标． 【变式2】（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标； (3)若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数的顶点的坐标； (3)该二次函数图象对称轴上是否存在点，使是以 为斜边的直角三角形，若存在，求出的坐标，若不存在， 请说明理由． 【变式4】（24-25九年级上·广东中山·期末）【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在， 请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 题型9. 二次函数的综合——特殊四边形问题 【例1】（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【例2】（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于 点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线 上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四 边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【例3】（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点 P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 【变式1】（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数的图象上． (1)求b的值； (2)若一次函数与一次函数交于B，且 点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点对 应的二次函数表达式； (3)在（2）的条件下P为抛物线上一点，它关于原点的 对称点为点Q．当四边形为菱形时，求点P的坐标． 【变式2】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【变式3】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）与轴的两个交点分别为、．点是轴上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点是线段的中点，当点和点不重合时，以为边，在的右侧作矩形，且矩形的边的长为3． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)当时，的取值范围是______； (3)当矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，求的值； (4)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增 大时，直接写出的取值范围． 【变式4】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于点两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作轴于点F，交直线于点E．设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)写出线段的长（用含有m的代数式表示）； (3)若，求m的值； (4)在y轴正半轴上是否存在点G，使C、E、P、G为 顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的点P的 坐标；若不存在，请说明理由． 题型10. 二次函数的综合——相似三角形问题 【例1】（2024·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【例2】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)已知轴上的动点，连接，若与相似，求点的坐标． 【变式1】（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交x轴正半轴于点C，连结，． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点D，E． ①若与相似，求抛物线表达式； ②若是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）． 【变式2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【变式3】（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 【变式4】（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知抛物线上点的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，连接，点为抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由． (3)点为轴负半轴上的点，且，点是线段（包含点）上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若以点为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标． 题型11. 二次函数的综合——其他问题 【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求出抛物线L的解析式和顶点坐标． (2)点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线对称抛物线，则C关于直线的对称点为，若为等腰直角三角形，求出抛物线的解析式． 【例2】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于点，．已知点的坐标为，点的横坐标为． (1)求直线与抛物线的解析式； (2)当时，若抛物线与直线有交点，结合图象，求的取值范围． 【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知抛物线与x轴的两个交点和与y轴交点为点C (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段下方的抛物线上有一点P，若P到距离最大，求出点P的坐标； (3)如图2，若在线段下方的抛物线上有两点P和Q且，连接射线和相交于点M，请猜想点M运动轨迹 （填一条线段、一段抛物线、一段圆弧）并证明你的猜想． 【变式1】（2024·江西南昌·模拟预测）综合与实践 特例感知 （1）如图1，对于抛物线，，，，下列结论正确的序号是________． ①抛物线，，，的对称轴是直线； ②抛物线，，，由抛物线依次向上平移2个单位长度得到； ③抛物线，，，与直线的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等． 概念形成 把满足的抛物线称为“族抛物线”． 知识应用 如图2，“族抛物线”的顶点依次为，，，，…，． （2）试求线段的长．（用含的代数式表示） （3）“族抛物线”，，，…，上分别有点，，，…，，它们的横坐标分别是2，3，4，…，.试判断点，，，…，是否在同一条直线上，如果在，求出此直线的解析式；如果不在，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点，连接． (1)①抛物线的解析式为______； ②若，则y的取值范围为______． (2)点P是下方抛物线上一点，作轴于点M，交于点Q． ①求的最大值； ②若，求点P的坐标． 【变式3】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上，如果四个点、、、中恰有三个点在二次函数（a为常数且）的图象上． (1)直接写出a的值； (2)如图1，点P、Q在二次函数图象上，设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，连接交y轴于点，求A点纵坐标的最大值； (3)如图2，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长． 【变式4】（2025·山东临沂·一模）如图，已知抛物线 经过点，与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，点 P 的坐标为，点 Q 在该抛物线上，横坐标为．其中． (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)点 M 是对称轴上的动点，当 是以为底的等腰三角形时， 求 M 点坐标； (3)当抛物线在点B和点Q之间的部分（包括 B 、Q 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． 【变式5】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线经过点两点，与y轴交于点C，点M是直线上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作与y轴平行的直线，分别交x轴、抛物线于点． (1)分别求出抛物线与直线的函数表达式； (2)当点中的一个点为其他两个点所连线段的中点时，求点的坐标． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）已知抛物线过，，三点，关于这个抛物线下列结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小 3．（2025·河南驻马店·三模）星期天，小明从早上六点开始每隔半小时对他家附近的气温和一个水池里的水温进行测量，并根据记录的数据绘制成如图所示的图象（实曲线表示气温，虚曲线表示水温），其中横轴表示时间，纵轴表示温度．已知水池里水的质量为100t． 小贴士①物质吸收或释放的热量，其中为该物质的比热容，为该物质的质量，为该物质升高或降低的温度． ②水的比热容． 下列说法正确的是（   ） A．气温与时间的关系为二次函数关系 B．水温上升或下降的速度比气温快 C．质量为1g的空气在时吸收的热量比在时放出的热量少 D．水池里的水在6－13时吸收的热量约为 4．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的是（　　） A．此二次函数图象的对称轴是直线 B． C．对于任意实数，均成立 D．若点，在此二次函数图象上，则 5．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南商丘·三模）如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．若小球刚接触弹簧时的速度，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为 D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 7．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 8．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 9．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．下列结论：①；②；③若和是关于的一元二次方程的两根，则；④抛物线上有两点，．若，则的取值范围是；⑤当是等腰三角形时，符合条件的值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（22-23九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法： ①；②抛物线的对称轴为；③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，；④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大，其中，所有正确的说法是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④ 12．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是非负数； ②可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先减小后增大； ④四边形一定为正方形． 其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 14．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则的长为 ． 15．（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”） … 1 3 … … … 16．（2025·山东潍坊·一模）规定．例如：，．则的最小值为 ． 17．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为 ；点在抛物线上，若，则的取值范围为 ． 18．（2025·辽宁丹东·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③若是等腰三角形，的值有2个；④当是直角三角形时，，其中正确的是 ．（只需填序号） 19．（2025·安徽合肥·三模）对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点是这个函数的“二倍点”，已知二次函数． （1）若点是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是 ， （2）若此函数有两个相异的“二倍点”、，且，则k的取值范围 ． 20．（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线过点A、、，点为抛物线在第四象限部分上的一点，则面积的最大值为 21．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 22．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 23．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点，和点，与轴的正半轴交于点，且，则：其中正确结论的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，在轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得 三、解答题 24．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 25．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧， 若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 26．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． (1)请求出以上两个函数的解析式； (2)求点B的坐标； 27．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数． (1)当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 28．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)求的面积； (3)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 29．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． (1)求抛物线解析式； (2)当线段的长度最大时，求点P的坐标； (3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 30．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在y轴，x轴上，点A的坐标为，，直线 和抛物线都经过、两点，且抛物线的对称轴为直线． (1)分别求直线和抛物线的解析式； (2)点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交直线和抛物线于两不重合的点、．若求点的坐标． 31．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【问题探究】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求的最大值，并求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是抛物线的对称轴上的一动点，是抛物线上的一动点，是否存点点、，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由． 32．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接交于点，当时，求点的坐标； (3)设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 33．（2024·山西太原·模拟预测）综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 34．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点． (1)求a，b的值． (2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E， ①当直线经过点D时，求的长； ②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标． 35．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）阅读下列材料： 我们知道，一次函数的图象是一条直线，而经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：是常数，且不同时为0）．如图1，点到直线：的距离计算公式是：． 例：求点到直线的距离时，先将化为，再由上述距离公式求得． 解答下列问题： 如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线上的一点． (1)求点到直线的距离． (2)抛物线上是否存在一点，使得的面积最小？若存在，求出点的坐标及面积的最小值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$