第12讲　函数的图象讲义-2026届高三数学一轮复习

第12讲　函数的图象 知识梳理 1.利用描点法作函数图象的方法步骤 2. 图象变换 常用结论 1.记住几个重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称. (3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x都满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 2.图象的左、右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换. 3.图象的上、下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行. 考点01　作函数图象 例1 作出下列函数的图象: (1)y=;　　　　(2)y=|log2(x+1)| (3)y=;　　　 　(4)y=x2-2|x|-1. 考点02　函数图象的识别 例2 (1)函数f(x)=的大致图象为 (　 ) A B C D (2) 已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为 (　 ) A.f(x)=(2x+2-x)sin x B.f(x)=(2x-2-x)sin x C.f(x)=(2x+2-x)cos x D.f(x)=(2x-2-x)cos x 考点03　函数图象的应用 例3 若存在正数 使 成立,则 的取值范围是 A. B. C. D. 例4 已知函数f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数,当x∈[0,4]时,f(x)的图象 如图所示,则f(x)>0的解集是　　　　　　　　　.   例5 (1)已知函数f(x)=t∈R,若f(x)在R上单调递增,则t的取值范围是 (　 ) A.t>0 B.t≤0 C.t<-或t>0 D.t≤-1或t=0 (2)已知函数f(x)=若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,则实数a的取值范围是　　　　.  (3) 已知函数f(x)是R上的奇函数,且∀x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,<0恒 成立.定义域为[-4,4]的函数g(x)的图象如图所示,则不等式f[xg(x+1)]>0的解集为　　　　　　　.  例5 若关于 的不等式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 例6 当 时,不等式 成立,则 实数 的取值范围是　　　　　 例7 已知函数 若不等式 恒成立,则实数 的取值范围是　　　　　 例8 已知函数 设 ,若关于 的不等式 在 上恒成立,则 的取值范围是　　　　　 A. B. C. D. 限时训练(时间:45分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数f(x)=x(e-x-ex)的大致图象为 (　 ) A　　B　　C　　D 2.已知函数f(x)=,则其图象一定不过(　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图,点P在边长为1的正方形的边上运动, M是CD的中点,当点P沿A→B→C→M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图象大致是 (　 ) A B C D 4.已知函数y=|3x-1|的定义域为[a,b],值域为,则b-a的最大值为 (　 ) A.log3 B.log32 C.log3 D.2 5.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,且f(x)=则不等式xf(x-1)<0在(-2,2)上的解集为 (　 ) A.(-2,-1) B.(-2,-1)∪(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,2) 6. 如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别在函数y=x,y=,y=的图象上, 且矩形的边平行于坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为 (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2-4ac>0)的函数叫作“鹊桥”函 数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象,如图所示,则下列结论正确的是(　 ) A.图象具有对称性,对称轴是直线x=1 B.当x≥3时,函数值y随x值的增大而增大 C.当x=-1或x=3时,函数取得最小值0 D.当x=1时,函数取得最大值4 8.将函数y=ex(e≈2.718 2…)的图象先向右平移1个单位长度,得到函数y=　　　　 的图象,再把所得图象关于y轴对称,得到函数y=　　　　 的图象.  9. 给出函数f(x)=x+2,g(x)=4-x2,对于任意x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为M(x)=min{f(x),g(x)},则M(x)的最大值为　　　　.  10.已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-3x. (1)求函数f(x)的解析式; (2)在如图所示的坐标系中画出函数f(x)的图象,并求不等式(x-1)f(x)>0的解集. 11.函数f(x)=sin x的图象与g(x)=的图象的交点个数为 (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 12.(多选题)若x3·=x3·ln x2=1,则下列不等关系可能成立的是 (　 ) A.x3>x2>x1 B.x3>x1>x2 C.x2>x1=x3 D.x2>x1>x3 13.已知函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有三个不同的交点,则实数k的取值范围是　　　　.  参考答案 1.B　[解析] 因为函数f(x)=x(e-x-ex)的定义域为R,f(-x)=-x(ex-e-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除A,C;当x>0时,0<e-x<1<ex,则f(x)<0,排除D.故选B. 2.B　[解析] f(x)的定义域为{x|x≠1},取x=2,得f(2)=2,所以f(x)的图象过第一象限;取x=,得f=<0,所以f(x)的图象过第四象限;取x=-1,得f(-1)=<0,所以f(x)的图象过第三象限.当x<0时,x2>0,2x<1,则2x-2<-1<0,所以f(x)=<0,则f(x)的图象不过第二象限.故选B. 3.A　[解析] 当点P在线段AB上时,y=×AP×BC=;当点P在线段BC上时,y=AB×BC-×AB×BP-AD×DM-MC×CP=1-(x-1)-×-×(2-x)=-;当点P在线段CM上时,y=×AD×PM==-x.显然只有A选项中的图象符合要求,故选A. 4.B　[解析] y=|3x-1|=作出函数y=|3x-1|的图象,如图所示. 令|3x-1|=,解得x=log3或x=log3,结合图象可知,当b=log3,a=log3时,b-a取得最大值,最大值为log3-log3=log32.故选B. 5.B　[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,且f(x)=所以当x∈(-1,0]时,-x∈[0,1),此时f(x)=-f(-x)=-(-x)=x;当x∈[-2,-1]时,-x∈[1,2],此时f(x)=-f(-x)=-(x+2)=-x-2;当x∈[-3,-2]时,x+4∈[1,2],此时f(x)=f(x+4)=-(x+4)+2=-x-2.函数y=f(x-1)的图象可由函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到.作出函数y=f(x-1)在[-2,2]上的图象,如图所示. 由图可知,不等式xf(x-1)<0在(-2,2)上的解集为(-2,-1)∪(0,1).故选B. 6.A　[解析] 因为点A(xA,2)在函数y=x的图象上,所以2=xA,则xA==,故A,B(xB,2).因为点B(xB,2)在函数y=的图象上,所以2=,则xB=4,故B(4,2),C(4,yC).因为点C(4,yC)在函数y=的图象上,所以yC==,故C.又xD=xA=,yD=yC=,所以点D的坐标为,故选A. 7.ABC　[解析] 由题图可知,y=|x2-2x-3|的图象具有对称性,对称轴是直线x=-=1,故A正确;令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0,即(x+1)(x-3)=0,解得x1=-1,x2=3,则点(-1,0)和(3,0)是函数图象与x轴的交点,结合图象可知,当x≥3时,函数值y随x值的增大而增大,故B正确;由选项B的分析可知点(-1,0)和(3,0)是函数图象的最低点,则当x=-1或x=3时,函数取得最小值0,故C正确;由题可知,当x=1时,y=4,当x=4时,y=|42-2×4-3|=5>4,故D错误.故选ABC. 8.ex-1　 e-x-1　[解析] 将函数y=ex的图象向右平移1个单位长度, 得到函数y=ex-1的图象.将函数y=ex-1的图象关于y轴对称, 得到函数y=e-x-1的图象. 9.3　[解析] 作出函数f(x),g(x)的图象,如图①所示. 根据M(x)的定义可得M(x)的图象如图②所示. 由解得或则B(1,3),所以M(x)的最大值为3. 10.解:(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x, 因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-3x(x<0), 又f(0)=0满足f(x)=x2-3x,所以f(x)= (2)由(1)可画出f(x)的图象,如图所示. 不等式(x-1)f(x)>0可转化为或 则或解得x>3或x<-3或0<x<1, 则不等式(x-1)f(x)>0的解集为(-∞,-3)∪(0,1)∪(3,+∞). 11.C　[解析] 易知f(x)=sin x为R上的奇函数.当x>0时,-x<0,所以g(-x)=-lg(x+1)=-g(x),当x<0时,-x>0,所以g(-x)=lg (-x+1)=-g(x),又g(0)=lg 1=0,所以对任意x∈R都有g(-x)=-g(x),则g(x)也是R上的奇函数.易知+1<+1=3<10,+1<×+1=<10,+1>×3+1=+1>10,所以g=lg<1=sin=f,g=lg<1=sin=f,g=lg>1=sin=f.结合以上结论,画出f(x)=sin x与g(x)在[0,+∞)上的图象,如图所示, 由图可知函数f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上有3个交点,由奇 函数的对称性可知,f(x)与g(x)的图象在(-∞,0)上也有3个交点, 又f(0)=g(0)=0,所以函数f(x)与g(x)的图象共有7个交点.故选C. 12.ACD　[解析] 因为x3·=x3·ln x2=1,所以=ln x2=.令=ln x2==m, 作出函数y=ex,y=ln x,y=(x>0)的图象与直线y=m,如图所示. 记y=ex与y=(x>0)图象交点的纵坐标为q,y=ln x与y=(x>0)图象交点的纵坐标为p.由图可知当0<m<p时,x3>x2>x1;当m=q时,x2>x1=x3;当m>q时,x2>x1>x3.x3>x1>x2不可能成立.故选ACD. 13.(0,1)　[解析] 将y=2x的图象向下平移1个单位长度得到y=2x-1的图象,再将y=2x-1的图象保留在x轴及x轴上方的部分,将x轴下方的部分以x轴为对称轴翻转至x轴上方可得到y=|2x-1|的图象.将y=的图象向右平移1个单位长度得到y=的图象,所以可得到f(x)=的图象,如图所示(为方便观察,横、纵坐标的单位长度不同). 由图可知,当函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有三个不同的交点时,0<k<1. 14.解:(1)①当x≥0时,f(x)= 列表如下: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) 1 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 描点连线,可得f(x)在[0,10]上的图象,因为f(x)为偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,保留f(x)在[0,10]上的图象,并将f(x)在(0,10]上的图象关于y轴对称,可得f(x)在[-10,10]上的图象如图所示. ②关于x的方程f(x)=a恰有6个不相等的实根,等价于f(x)的图象与直线y=a有6个不同的交点. 由题知,当x>10或x<-10时,f(x)>4. 由图可知当1<a<4时,f(x)的图象与直线y=a有6个不同的交点,所以实数a的取值范围为(1,4). (2)由题意知,g(x)=log2(x2+1)-. 因为t=x2+1在[1,+∞)上单调递增,y=log2t在(0,+∞)上单调递增,所以y=log2(x2+1)在[1,+∞)上单调递增. 因为y=-在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)=log2(x2+1)-在[1,+∞)上单调递增, 所以g(x)在[1,+∞)上的最小值为g(1)=log2(12+1)-=.由(1)可知f(x)在R上的最小值为0, 因为对任意x1∈R,存在x2∈[1,+∞),使得f(x1)+3a≥g(x2)成立, 所以0+3a≥,解得a≥,所以实数a的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$