精品解析：江西省九江市永修县外国语学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

永修县外国语2024-2025学年下九年级开学质量检测数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，共18分．下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上． 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数图象的一部分，且经过点，对称轴是直线，给出下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点）是函数图象上的两点，则．其中正确的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分） 7. 分解因式：________． 8. 不等式组的解集为___________． 9. 若和是方程的两个根，则 ______． 10. 元代的《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著．该著有一道“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽、每株椽钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：用6210文钱买一批椽．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元能够买珠椽，则列出分式方程为___________． 11. 如图，矩形的宽，的平分线交于点，连接，若，求的长． 12. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点引一条直线交反比例函数的图象于点，同时，该直线与轴交于点，若与相似，则点的纵坐标可能是_____． 三、解答题：（本大题共11题，第13-17每题6分，第18-20每题8分，第21-22每题9分，第23题12分，共86分．） 13. （1）计算：． （2）如图，在菱形中，，，求的长． 14. 先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 15. 素数（质数）仿佛是宇宙深处传来的神秘音乐，拨动着一代代数学家的心弦．不断追求知识和真理的执着精神，驱使着数学家在看似无序的素数中寻找其内在规律．历史上，欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润等数学家都对素数的规律有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用1幅或2幅． （1）“若从以上4位数学家的画像中随机选用1幅，则黎曼的画像被抽到”是______事件． A．不可能 B．必然 C．随机 （2）若从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，请用画树状图法或列表法求出被抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率． 16. 在菱形中，点是边的中点，试分别在下列两个图形中按要求使用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，过点画的平行线； （2）在图2中，连接，在上找一点，使点到点，的距离之和最短． 17. 如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9． （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 18. 劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为________人，扇形统计图中的值为________； （2）补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数） （3）请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数； （4）已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？ 19. 如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） （1）求背垫的长； （2）如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 20. 2024年暑期，因连续高温和干旱，我区一居民小区的部分绿化树枯死，小区物业管理公司决定补种绿化树，计划找苗圃公司购买桂花树和香樟树共150棵进行补栽，其中桂花树每棵20元，香樟树每棵30元，一共需要4000元． （1）计划购买桂花树、香樟树各多少棵？ （2）实际购买时，物业管理公司与苗圃公司协商，给与一定优惠：每棵桂花树的价格降低2元；如果每棵香樟树的价格每降低1元（香樟树的价格不能低于桂花树的价格），则物业管理公司要多购买10棵香樟树，最后，物业管理公司购买的桂花树数量不变，香樟树的棵树增加了，实际付款金额比计划多260元．求物业管理公司实际购买香樟树多少棵？ 21. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，设点、的运动时间为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． （1）经过几秒后，的面积等于？ （2）设四边形的面积为S，请求出S与t之间的关系； （3）是否存在某一时刻，使得与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22. 如图，已知直线分别与轴、轴交于、两点，与双曲线交于、两点，若点的坐标为，点的坐标为． （1）求直线和双曲线的表达式； （2）若点为轴上一动点，且，求的坐标； （3）当时，请直接写出的取值范围． 23. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是______（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永修县外国语2024-2025学年下九年级开学质量检测数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，共18分．下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上． 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，符合题意； C、图案不是中心对称图形，不符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式，逐项计算各选项整式的值，再判断即可，解题关键是掌握幂的运算法则． 【详解】A、，故原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据中点四边形可得四边形是平行四边形，进而添加一个直角或者对角先线相等，可得矩形，而添加邻边相等得出四边形为菱形，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，． ∴， ∴四边形是平行四边形， A．添加，则四边形为矩形，故该选不符合题意； B．添加，可得四边形为菱形，符合题意； C．添加，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； D．添加，则，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； 故选：B． 6. 如图是二次函数图象的一部分，且经过点，对称轴是直线，给出下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点）是函数图象上的两点，则．其中正确的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系： ①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与轴交点位置求得、、的符号即可判断； ②根据二次函数的对称性即可判断； ③求得点关于直线的对称点的坐标，根据二次函数的性质即可判断； 熟知二次函数的性质是关键． 【详解】解：①二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象交轴的正半轴于一点， ， 对称轴是直线， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 是关于的方程的一个根，故②正确； ③点关于直线的对称点的坐标是，， 又当时，随的增大而减小，， ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①②③共3个． 故选：． 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分） 7. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 不等式组的解集为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 9. 若和是方程的两个根，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系对所求代数式进行恒等变形是解决问题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后整体代入求解即可． 【详解】∵和是方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 元代的《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著．该著有一道“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽、每株椽钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：用6210文钱买一批椽．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元能够买珠椽，则列出分式方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．设6210元购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故答案为：． 11. 如图，矩形的宽，的平分线交于点，连接，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质求出，得到，证明为等腰三角形，求出，即可得到答案． 【详解】解：矩形， ， 的平分线交于点， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， 在中， ， ， ， ． 12. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点引一条直线交反比例函数的图象于点，同时，该直线与轴交于点，若与相似，则点的纵坐标可能是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数上点的坐标，相似三角形的性质，先得到，然后根据相似可得或，然后分为两种情况：时直接求出点D的坐标，当时，过点作轴于点，根据，求出点D的坐标，额然后根据平行线分线段成比例求出长即可解题 【详解】解：∵点，点在y轴上， ∴， 又∵与相似， ∴或， 当时，如图， 则点D的横坐标为， 这时， ∴， ∴，即点C的纵坐标为， 当，如图，过点作轴于点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设点D的坐标为， 则，解得：， ∴点D的坐标为或， 当点D的坐标为时，，即， 解得，这时点C的纵坐标为； 当点D的坐标为时，，即， 解得：，这时点C的纵坐标为； 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共11题，第13-17每题6分，第18-20每题8分，第21-22每题9分，第23题12分，共86分．） 13. （1）计算：． （2）如图，在菱形中，，，求的长． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，菱形的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据实数混合运算的法则计算即可； （2）连接交于点，由菱形的性质得，，，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1） （2）如图，连接交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ． 14. 先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简和分式的性质是解题的关键． 利用完全平方公式和平方差公式整理原式，约分化简，再根据分式有意义的条件，取代入求值即可． 【详解】解： ， ∵当和 时，会使分式分母，原式没有意义， 当时，会使原式的除式，原式无意义， ∴从中选取一个整数，只能选，则原式． 15. 素数（质数）仿佛是宇宙深处传来的神秘音乐，拨动着一代代数学家的心弦．不断追求知识和真理的执着精神，驱使着数学家在看似无序的素数中寻找其内在规律．历史上，欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润等数学家都对素数的规律有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用1幅或2幅． （1）“若从以上4位数学家的画像中随机选用1幅，则黎曼的画像被抽到”是______事件． A．不可能 B．必然 C．随机 （2）若从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，请用画树状图法或列表法求出被抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率． 【答案】（1）A （2） 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类、概率的计算，熟练掌握事件的分类，列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）根据事件的分类即可解答； （2）依据题意，列表得出所有等可能的结果数，以及符合题意的结果数，再利用概率的计算公式即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，4位数学家的画像分别为欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润， “若从以上4位数学家的画像中随机选用1幅，则黎曼的画像被抽到”是不可能事件． 故答案为：A． 【小问2详解】 解：将欧几里得、高斯、华罗庚、陈景润四位数学家分别记为甲、乙、丙、丁， 列表如下： 由列表可得，共有12种等可能的情况，抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的有8种结果， 抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率． 答：抽到的画像中一幅是中国数学家，另一幅是外国数学家的概率为． 16. 在菱形中，点是边的中点，试分别在下列两个图形中按要求使用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，过点画的平行线； （2）在图2中，连接，在上找一点，使点到点，的距离之和最短． 【答案】 （1）如下图所示：即为所求． （2）如图： 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接并延长交于点F，证出EO为△ABC的中位线即可得出结论； （2）连接，连接交于点，连接，根据菱形的对称性可得：CP=AP，此时AP＋PE= CP＋PE=CE，根据两点之间线段最短，此时AP＋PE最小． 【详解】解：（1）连接，交于点，连接并延长交于点F， ∵四边形ABCD为菱形 ∴点O为AC的中点 ∵点E为AB的中点 ∴EO为△ABC的中位线 ∴EO∥BC （2）连接，连接交于点，连接， 根据菱形的对称性可得：CP=AP， ∴此时AP＋PE= CP＋PE=CE，根据两点之间线段最短，此时AP＋PE最小，且最小值即为CE的长 如图所示：点即为所求． 【点睛】此题考查的是作图题，掌握菱形的性质、中位线的性质和两点之间线段最短是解决此题的关键． 17. 如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9． （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴ ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB 【解析】 【分析】（1）由线段的和差关系可求出CE的长，由AB//CD可证明△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求出CD的长； （2）根据AB、AE、AC的长可得，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明△ABE∽△ACB． 【详解】（1）∵AE＝4，AC＝9 ∴CE=AC-AE＝9-4＝5 ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE， ∴， ∴． （2）略 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 18. 劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为________人，扇形统计图中的值为________； （2）补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数） （3）请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数； （4）已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？ 【答案】（1）50，30 （2） 补全条形统计图如下： （3） （4）500人 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图，扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）将组的人数除以其所占百分比即可求出本次抽取的学生人数；将组人数除以本次抽取的学生人数，再乘以100即可求出； （2）先求出组的人数，再补全条形统计图即可； （3）拿乘以C组的占比即可； （4）用样本估计总体的思想可估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生人数； 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为：（人； ， 故答案为：50，30； 【小问2详解】 解：组人数为：（人； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：（人， 估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有500人． 19. 如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） （1）求背垫的长； （2）如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 【答案】（1）的长为 （2）午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）过点G作垂直的延长线于点M，先求出，再根据得到的长即可； （2）过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形，由（1）可知，先求出，再分别在和中求出，再根据矩形的性质求即可． 【小问1详解】 解：过点G作垂直的延长线于点M， ∵， ∴， ∵点G到地面的垂直距离为，则，， ∴， 在中，，， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 解：过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形， ∴，, 由（1）可知， ∵，， ∴，， 在中， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 答：午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为． 20. 2024年暑期，因连续高温和干旱，我区一居民小区的部分绿化树枯死，小区物业管理公司决定补种绿化树，计划找苗圃公司购买桂花树和香樟树共150棵进行补栽，其中桂花树每棵20元，香樟树每棵30元，一共需要4000元． （1）计划购买桂花树、香樟树各多少棵？ （2）实际购买时，物业管理公司与苗圃公司协商，给与一定优惠：每棵桂花树的价格降低2元；如果每棵香樟树的价格每降低1元（香樟树的价格不能低于桂花树的价格），则物业管理公司要多购买10棵香樟树，最后，物业管理公司购买的桂花树数量不变，香樟树的棵树增加了，实际付款金额比计划多260元．求物业管理公司实际购买香樟树多少棵？ 【答案】（1）桂花树50棵、香樟树100棵 （2）120棵 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设购买桂花树、香樟树各x、y棵，根据题意列方程组，然后解方程组即可； （2）设每棵香樟树的价格下降了a元，根据题意列出一元二次方程求得a值，结合已知进而求解即可． 【小问1详解】 解：设购买桂花树、香樟树各x、y棵， 根据题意，得， 解得． 答：桂花树50棵、香樟树100棵． 【小问2详解】 解：设每棵香樟树的价格下降了a元， 根据题意，得， 即， 解得，． ∵香樟树的价格不能低于桂花树的价格，， ∴不合题意，舍去， ∴， ． 答：实际购买香樟树120棵． 21. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，设点、的运动时间为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． （1）经过几秒后，的面积等于？ （2）设四边形的面积为S，请求出S与t之间的关系； （3）是否存在某一时刻，使得与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键： （1）根据题意得：，，根据三角形的面积公式得出，求解即可； （2）分别求出面积和面积，根据求解； （3）当与相似时，分两种情况：①当时；②当时，根据相似三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， 所以的面积为，即， 解得： 【小问2详解】 解：面积：， 面积：， 四边形的面积： 点从点到点用时：， 点从点到点用时：， 所以与t之间的关系； 【小问3详解】 当与相似时，分两种情况： ①当时， ，即， 解得： ②当时， ，即， 解得： 所以的值为或 22. 如图，已知直线分别与轴、轴交于、两点，与双曲线交于、两点，若点的坐标为，点的坐标为． （1）求直线和双曲线的表达式； （2）若点为轴上一动点，且，求的坐标； （3）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，正确理解题意是解题的关键： （1）根据题意得出，，求解即可得出答案； （2）设，先得出与轴交点的坐标为，根据面积得出，求出，进而可得出答案； （3）根据图象可知，当或时，． 【小问1详解】 解：∵点和点在直线和双曲线的图象上， ∴，， 解得， ，． 【小问2详解】 设， ∵ ∴与轴交点的坐标为， ， ， ， ， ， ∵， 的坐标为或， 【小问3详解】 由图象可得，当时，的取值范围为：或． 23. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是______（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）①②③④ （2）， 证明：连接，延长交于点G， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确． （2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； （3）仿照（2）的解题思路，分点E在上和的延长线上，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴；， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④． （2）略 （3）解：当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接 ∵， ∴；， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接 ∵，， ∴；， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $