1.1集合及其表示（教案）-高教版《数学 基础模块上册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学 基础模块上册》 第1章 集合 1.1集合及其表示 一、教材 高等教育出版社《数学》（基础模块上册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本课是高中数学集合内容的开篇，属于数学基础中的基础。教材通过学生熟悉的生活情境引入集合概念，强调集合的抽象性、元素的确定性和表示方法的多样性。重点在于理解集合与元素的关系、掌握列举法和描述法，难点为空集的理解及描述法的规范使用。教材通过实例逐步引导学生从具体到抽象，培养数学符号意识和逻辑思维能力。 五、学情分析 学生已具备初中阶段对实数、方程等基础数学知识的认知，但集合作为抽象的数学概念，学生初次接触可能存在理解困难。需通过生活实例降低抽象门槛，利用互动和练习巩固认知。部分学生可能对符号“∈”和“∉”的使用、描述法的格式存在混淆，需加强辨析与练习。 六、教学目标 1. 能举例说明什么是集合，什么是集合的元素；能判断给定对象是否组成集合；能判断给定元素与集合之间的关系，并能用“∈”或“∉”表示． 2．知道常用数集的表示符号． 3．知道列举法、描述法的一般格式，能选择合适的方法表示给定集合． 七、教学重点 元素与集合之间的关系；集合的描述法. 八、教学难点 空集的理解；用描述法表示集合． 9、 教学方法 情境导入法：结合中国古代四大发明、图书馆书籍分类等生活实例，引发学生思考，激发兴趣。 互动探究法：设置小组讨论任务（如判断“高个子同学能否构成集合”），鼓励学生自主探究并说明理由。 例题分析法：通过典型例题示范解题步骤，强调符号使用的规范性，如“∈”与“∉”的正确书写。 技术手段辅助：使用多媒体展示动态集合图像（如平面上到原点距离等于1的所有点组成的圆），帮助学生直观理解。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 引入 义务教育阶段，我们已经学习过一些集合，如正整数的集合、实数的集合、所有正方形的集合．为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步学习集合的有关知识. 引出新知 情境导入 中国古代四大发明是：造纸术、印刷术、指南针和火药.四大发明可以组成一个集合. 图书馆里，为便于查找，会按照某种方式将同一类的书刊摆放在一起.比如，可以所有数学书籍放在一起组成数学书籍专区，专区内所有数学书就可以组成一个集合. 数学中也常常会根据需要将一些需要研究的对象放在一起．比如，平面上到原点O的距离等于1的所有点也可以组成一个集合. 可见，人们常会将一些研究对象组成一个整体，并且用集合这个词表示这个整体. 那么，具有什么特征的整体可以组成一个集合呢？ 以原有知识和生活经验创设情境，引发学生思考. 探索新知 一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集．组成这个集合的对象称为这个集合的元素. 集合常用大写英文字母表示．如，集合A，集合B，集合C，…. 集合的元素常用小写英文字母表示．如，a，b，c，…. （学生齐读概念） 在上面例子中，造纸术、印刷术、指南针和火药都是四大发明组成的集合的元素；数学书籍专区中的每本书都是专区内所有数学书籍这个集合的元素；已知的圆上所有的点都是“平面内到圆心的距离等于半径的所有点”组成的集合的元素. 请两位同学简单谈谈对集合的理解，教师点评，加深对集合的认识。 归纳概念突出强调符号规范表述 例题讲解 例1判断下列对象能否组成集合？ （1）小于6的所有自然数； （2）方程x2+3x−4=0的所有实数解； （3）所有的平行四边形； （4）某班级中的所有高个子同学． （本题简单，可由“开火车”的方式让学生依次回答，教师评价。） 解：（1）因为小于6的自然数包括0，1，2，3，4，5这五个数，它们是确定的对象，所以它们可以组成集合； （2）因为方程x2+3x−4=0的实数解是−4和1，它们是确定的对象，所以可以组成集合； （3）因为平行四边形的特征是确定的，因此满足此特征的对象是确定的，所以可以组成集合； （4）因为高个子没有具体标准，对象不是确定的，所以不能组成集合． 回顾初中知识帮助理解集合概念逐步提升数学抽象素养. 探索新知 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”.如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A，读作“a不属于A”. 笔记补充： 组成集合的对象必须是确定的（确定性）； 同一个集合的元素必须是互不相同的（互异性）； 集合中的元素没有固定的顺序（无序性）. 加深认识元素与集合关系明确集合元素特征 例题讲解 例2方程x2=4的所有实数解组成的集合为 A，则-2_____A，5_____A（用符号“∈”或“∉”填空）． 解：因为(-2)²=4，所以-2是方程x2=4的解，故-2∈A． 因为5²≠4，所以5不是方程x2=4的解，故5∉A 加深对符号的认识区分“∈”和“∉” 探索新知 含有有限个元素的集合称为有限集.不含任何元素的集合称为空集，记作∅,空集∅也是有限集.含有无限个元素的集合称为无限集.由数组成的集合称为数集. 数学中一些常用数集及其记法： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N+或N* Z Q R 教师随机指定集合，让学生说一说这个数集中有哪些元素？ 认识集合类型 巩固练习 知识抢答 请举出集合的例子，说明其中的元素. 总结生活中的集合： 生活中的集合无处不在，它们帮助我们分类、组织和理解世界，如： 天气分类​集合表示​：W={晴天,雨天,多云} 交通方式​集合表示​：T={公交,地铁,自行车,步行} 你的好友集 F={A,B,C}… 练习1.1.1 1.下列各语句中的对象能否组成集合？如果能组成集合，写出它的元素.如果不能组成集合，请说明理由． （1）某校汉字录入速度快的学生； （2）某校汉字录入速度为90字符/min及以上的所有学生； （3）方程(2x-3)(x+1)=0的所有实数解； （4）大于-5且小于5的整数； （5）大于3且小于1的所有实数; （6）非常接近0的数. 2．略 3．判断下列集合是有限集还是无限集． （1）你所在班级的所有同学组成的集合； （2）方程x+2=0的所有正整数解组成的集合； （3）小于3的所有整数组成的集合； （4）数轴上表示大于0且小于1的所有点组成的集合． 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 情境导入 小于6的正整数组成一个集合，大于3的实数也组成一个集合.那么，除了用这种自然语言表示集合，还可以如何表示集合呢？ 引出新知：集合的表示方法 探索新知 把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，再用花括号“{}”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法． 例如，小于6的所有正整数组成的集合可以表示为{1，2，3，4，5}； 中国古代四大发明组成的集合可以表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}； 太阳系八大行星组成的集合可以表示为{水星，金星，地球，火星，木星，土星，天王星，海王星}． 利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法． 描述法表示集合时，在花括号“{}”中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质． 约定：如果集合的元素是实数，那么“∈R”可略去不写，例如，{x∈R|x>3}可以简写为{x|x>3}. 结合实例学习列举法、描述的表达方式和要点 例题讲解 例3用列举法表示下列集合. （1）中国古典长篇小说四大名著组成的集合； （2）大于-3且小于10的所有偶数组成的集合． 解：（1）中国古典长篇小说四大名著组成的集合用列举法表示为｛《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》｝ （2）大于-3且小于10的所有偶数为-2，0，2，4，6，8它们组成的集合用列举法表示为{-2，0，2，4，6，8}. 例4用描述法表示下列集合： （1）小于1的所有整数组成的集合； （2）所有偶数组成的集合； （3）在平面直角坐标系中，由第一象限内的所有点组成的集合. 分析：（1）中元素的取值范围是整数，元素的特征性质是小于1；（2）中元素的特征性质可以写成2k(k∈Z)的形式；（3）中元素是平面直角坐标系中的点，用有序实数对(x，y)表示，特征性质是横、纵坐标(即x，y)均为正数. 解：（1）小于1的所有整数组成的集合为{x∈Z|x<1}． （2）所有偶数组成的集合为{x|x=2k，x∈Z}，也可以表示为{偶数}；这个集合也可以表示为{偶数}． （3）第一象限内的所有点组成的集合为{(x，y)|x>0，y>0}． 例3、例4难度低，同时对正确书写有要求，所以可以让各学习小组学生代表上台板演，由小组长点评。一共5道题，可以同时进行。 例5用写出不等式2x+1>9的解集. 解由不等式2x+1>9，得2x>8，故x>4． 因此不等式2x+1>9的解集可以用描述法表示为{x|x>4}. 例6分别用列举法和描述法表示方程x²-9=0的解集. 解解方程x²-9=0，得x1=-3，x2=3.故方程的解组成的集合用列举法表示为{-3，3}，用描述法表示为{x|x=-3或x=3}. 例5、例6结合初中的解一次不等式和方程求解，建议让小组长来示范完成，教师总结方法。 温馨提示： 有些集合只能用列举法或描述法表示，有些集合两种方法都适用，要根据需要具体问题进行具体分析. 巩固列举法表示集合的基本方法 领会描述法的基本使用方式并强调表达方式的规范性，了解集合中所有元素的特征 理解列举法和描述法的定义，体会同一集合采用不同表示方法之间的转换 巩固练习 练习1.1.2 1.用列举法表示下列集合： （1）大于-5且小于9的所有奇数组成的集合； （2）方程x²-2x-3=0的解集. 2.用描述法表示下列集合． （1）大于-1且小于3的所有实数组成的集合； （2）平方等于9的所有实数组成的集合． 3.用适当的方法表示下列集合 （1）方程组的解集; （2）平面直角坐标系中，由第三象限的所有点组成的集合． 及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 知识梳理 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1. 书面作业 （1） 课后习题第×题写到作业本上。 （2） 完成《学习指导与练习》1.1小节； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾； 学而时习，夯实所学. 板书设计 1.1 集合及其表示 一、集合概念 定义：确定的对象组成的整体 元素：a∈A，a∉A 分类：有限集、无限集、空集（∅） 二、表示方法 列举法、描述法 三、常用数集符号 N,N⁺,Z,Q,R 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 学生参与度：情境导入环节中“高个子同学”的争议讨论是否有效引发思考？ 难点突破效果：空集概念的讲解是否清晰？学生能否准确判断空集与非空集？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$