第五章 复数、线性规划（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数、线性规划的考点梳理卷，主要梳理和考查了复数的概念与复数的运算，线性规划问题的求解等等常见考点。 第五章 复数、线性规划 目录 考点一 复数的概念 1 考点二 复数的几何意义 2 考点三 复数的加法与减法 3 考点四 复数的乘法 3 考点五 复数的三角形式 3 考点六 实系数一元二次方程的解法 4 考点七 二元不等式（组）表示平面区域 5 考点八 线性规划问题的应用举例 5 考点一 复数的概念 1.填空. （1）形如的数称为复数，其中称为复数的 ，称为复数的 (为虚数单位，= ). 满足条件 实数 虚数 纯虚数 （2）分类： （3）复数相等： 如果两个复数与, 有⇔ 【答案】（1）形如的数称为复数，其中称为复数的实部，称为复数的虚部(为虚数单位，=-1). （2）分类： 满足条件 实数 b=0 虚数 b≠0 纯虚数 =0且b≠0 （3）复数相等： 如果两个复数与, 有⇔ 2.当实数取什么值时，复数是下列数? (1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】(1)当, 即时, 复数是实数. (2)当,即时，复数是虚数. (3)当,即时，复数是纯虚数. 3.已知复数,,若则 . 【答案】， 【解析】因为，所以，即，. 考点二 复数的几何意义 4.复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【分析】复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系. 【详解】对于复数，实部是−5（负数），虚部是−1（负数），因此对应的点位于第三象限。因此，答案是C. 5.设复数满足,则等于 . 【答案】5 【分析】向量的模：向量的模称为复数的模,记作或, 即 【解析】. 6.复数，则共轭复数 . 【答案】 【分析】复数共轭复数 【解析】复数的共轭复数是指实部相同，虚部取相反数的复数。 给定的复数是，其中实部是5，虚部是。所以共轭复数 考点三 复数的加法与减法 7.已知是虚数单位,则 . 【答案】 【分析】设 则 【详解】原式. 考点四 复数的乘法 8.计算：= . 【答案】 【分析】设,是任意两个复数, 则 【详解】原式 9.若为实数,且,则= . 【答案】 【解析】因为为实数，且 得且解得. 考点五 复数的三角形式 10.复数的三角形式是 . 【答案】 【分析】复数可以用复数的模和辐角来表示： 其中叫作复数的三角形式 而叫作复数的代数形式. 【详解】 , ， ∴=-1，为第四象限角，=， 即复数的三角形式是. 11.复数的三角形式是 . 【答案】 【详解】 因为 所以复数的三角形式是 考点六 实系数一元二次方程的解法 12.填空. 在复数集C内，实系数一元二次方程的求根公式为： 当时， . 当时， . 【答案】在复数集C内，实系数一元二次方程的求根公式为： 当时， . 当时， . 13.在复数集中解方程： 【答案】, 【解析】对于方程其中 ,∴ ＜0，无实数根. ,则, . 14.已知是关于的方程 的一个根，求实数，的值. 【答案】 【分析】在复数集C内，当实系数一元二次方程的时，根与系数的仍满足韦达定理，即 【详解】由已知可得，实系数方程 另一个根必为, 根据韦达定理有 ，解得. 考点七 二元不等式（组）表示平面区域 15.以下给出的4个点中，位于表示的平面区域内的点是（ ） A.(1,0) B.(2,-2) C.(1,4) D.(5,2) 【答案】C 【分析】将点的坐标直接代入不等式组，若不等式均成立，则该点位于不等式组所确定的平面区域内；若有不等式不成立，则该点不在不等式组所确定的平面区域内. 【解析】将给出的4个点分别代入不等式组，只有点(1，4)符合条件. 因此，答案是C. 16.在平面直角坐标系中，画出不等式组. 【解析】第一步：作直线（实线），验证点（0，0）满足不等式+y-2≤0，则不等式+-2≤0的平面区域在直线+-2=0 包含点（0，0）一侧． 第二步：作直线2--2 =0（虚线），验证点（0，0）不满足 不等式2--2＞0，则不等式2--2＞0的平面区域 在直线+-2=0不包含点（0，0）一侧. 所以不等式组，如右图阴影部分所示 考点八 线性规划问题的应用举例 17.设满足约束条件,则的最小值为 . 【答案】 【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最大值或最小值. 【解析】综合三个不等式，可行域为这三条直线所围的区域，如图△ABC内部(含边界)。 由可得点A(3,1), 由可得点B(5,3), 由可得点C(1,3) 作直线:,平移直线， 即当直线过A时，=10,经过B时，=18, 经过C时，=6， 故经过可行域内的点C(1，3)时，此时取得最小值。 18. 设满足约束条件,则的最大值为 . 【答案】 【详解】作出约束条件的可行区域，如图阴影部分所示 作直线,然后把直线向可行域平移， 结合图形可知，平移到点A时最大 由可得A(30,20), 19.某公司计划2025年在甲、乙两个电视台做总时间不超过500分钟的广告，广告总费用不超过24万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为200元/分钟和400元/分钟，设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，则所花时间的约束条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为在甲、乙两个电视台做广告的总时间不超过500分钟，所以总时间不能超过500分钟，即 甲电视台广告收费标准为200元/分钟，乙电视台广告收费标准为400元/分钟，总费用不超过24万元。所以总费用不超过24万元，即 考虑时间不能为负数的约束条件因为和分别表示在甲、乙电视台做广告的时间， 所以 综合以上三个方面，约束条件为 因此，答案是C. 20.企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料2吨，B原料1吨，纯利润100万元；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料4吨，纯利润80万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过6吨，B原料不超过10吨，问要如何安排生产才能使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】甲产品2吨，乙产品2吨，最大利润为360万元 【分析】二元线性规划问题的求解步骤 (1)根据题意建立相应的数学模型，即约束条件和目标函数； (2)找出满足线性约束条件的点满足的区域； (3)求出区域边界各顶点的坐标； (4)将顶点坐标代入目标函数，比较所得的函数值，即得线性目标函数的最大值和最小值. 【解析】设安排生产甲产品吨，乙产品吨，则该企业可获得利润为 则约束条件为， 画出可行区域，如右图阴影部分所示 作出直线:，平移直线, 平移至图中B点处时，有最大值. 联立，所以B(2,2) 100×2+80×2=360（万元） ∴安排生产甲产品2吨，乙产品2吨，所得利润最大为360万元。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数、线性规划的考点梳理卷，主要梳理和考查了复数的概念与复数的运算，线性规划问题的求解等等常见考点。 第五章 复数、线性规划 目录 考点一 复数的概念 1 考点二 复数的几何意义 2 考点三 复数的加法与减法 2 考点四 复数的乘法 2 考点五 复数的三角形式 2 考点六 实系数一元二次方程的解法 3 考点七 二元不等式（组）表示平面区域 3 考点八 线性规划问题的应用举例 3 考点一 复数的概念 1.填空. （1）形如的数称为复数，其中称为复数的 ，称为复数的 (为虚数单位，= ). 满足条件 实数 虚数 纯虚数 （2）分类： （3）复数相等： 如果两个复数与, 有⇔ 2.当实数取什么值时，复数是下列数? (1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数. 3.已知复数,,若则 . 考点二 复数的几何意义 4.复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.设复数满足,则等于 . 6.复数，则共轭复数 . 考点三 复数的加法与减法 7.已知是虚数单位,则 . 考点四 复数的乘法 8.计算：= . 9.若为实数,且,则= . 考点五 复数的三角形式 10.复数的三角形式是 . 11.复数的三角形式是 . 考点六 实系数一元二次方程的解法 12.填空. 在复数集C内，实系数一元二次方程的求根公式为： 当时， . 当时， . 13.在复数集中解方程： 14.已知是关于的方程 的一个根，求实数，的值. 考点七 二元不等式（组）表示平面区域 15.以下给出的4个点中，位于表示的平面区域内的点是（ ） A.(1,0) B.(2,-2) C.(1,4) D.(5,2) 16.在平面直角坐标系中，画出不等式组. 考点八 线性规划问题的应用举例 17.设满足约束条件,则的最小值为 . 18. 设满足约束条件,则的最大值为 . 19.某公司计划2025年在甲、乙两个电视台做总时间不超过500分钟的广告，广告总费用不超过24万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为200元/分钟和400元/分钟，设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，则所花时间的约束条件为（ ） A. B. C. D. 20.企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料2吨，B原料1吨，纯利润100万元；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料4吨，纯利润80万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过6吨，B原料不超过10吨，问要如何安排生产才能使利润最大？最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$