第二章 平面向量（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的考点梳理卷，主要梳理和考查了平面向量的基本概念与基本运算，向量的内积及两向量垂直、共线的充要条件等常见考点。 第二章 平面向量 目录 考点一 向量的概念 1 考点二 向量加法的三角形法则 2 考点三 向量加法的平行四边形法则 3 考点四 向量的减法运算 3 考点五 向量的数乘运算 3 考点六 向量的线性表示 4 考点七 向量的内积 4 考点八 平面向量的坐标表示 5 考点九 向量线性运算的坐标表示 6 考点十 共线向量的坐标表示 6 考点十一 内积的坐标表示 6 考点十二 向量垂直的坐标表示 7 考点一 向量的概念 1.下列能称为向量的是( ) A.力 B.质量 C.温度 D.面积 【答案】A 【分析】只有大小没有方向的量称为数量，既有大小又有方向的量称为向量.常见的向量有力、位移、速度. 【解析】质量、温度和面积只有大小没有方向，因此不是向量，而力既有大小又有方向，因此是向量。故正确答案为A. 2.下列说法错误的是 ( ) A.向量与向量长度相等 B.单位向量都相等 C.的长度为0，且方向是任意的 D.任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】长度为0的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的，任意的； 长度为1的向量称为单位向量，单位向量的方向也是不确定的； 【解析】和互为相反向量，长度相等，方向相反，A选项正确； 单位向量长度都为1，但方向不确定，B选项错误； 根据零向量的概念，易知C选项正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故正确答案为B. 3.下列说法正确的是( ) ①零向量与任何一个向量平行 ②平行向量就是共线向量 ③方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量 ④模相等且方向相同的两个向量称为相等向量 A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 【答案】D 【解析】①这是正确的。零向量没有确定的方向，因此它与任何向量平行。 ②这是正确的。平行向量和共线向量是同一个概念，指的是方向相同或相反的向量。 ③这是正确的。平行向量的定义就是方向相同或相反的向量，且这里特别指出是非零向量，因为零向量与任何向量都平行。 ④这是正确的。相等向量的定义就是模（长度）相等且方向相同的向量。 所以答案是D 考点二 向量加法的三角形法则 4.化简： . 【答案】 【分析】向量加法的三角形法则：首尾相连,起点指向终点. 如右图：即 【解析】 考点三 向量加法的平行四边形法则 5.如图，在▱ABCD中用向量来表示 【答案】 【分析】平行四边形法则:共起点，对角线。(如图所示) 即 【解析】∵ABCD为▱，∴ 考点四 向量的减法运算 6.化简： . 【答案】 【分析】向量减法原则：共起点，连终点，方向指向被减向量。 (如右图所示)，即 【解析】. 考点五 向量的数乘运算 7.设是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是( ) A.与-的方向相反 B.|-|≥|| C.|-|=||· D.与²的方向相同 【答案】D 【分析】向量的模||=||||,当时,的方向与的方向相同; 当时,的方向与的方向相反; 当=0时,=0. 因此,对于非零向量,,当≠0时, ∥是=的充要条件. 【解析】因为是非零向量，是非零实数，当时，与的方向相同，故A错误；当时,||≤||,故B 错误;||是实数,||·是向量,左右两边不相等,故C错误;因为,所以与的方向相同，故D正确.所以答案是D. 8.化简：(5-4+)-2(3-2+) . 【答案】 【分析】对于任意向量、及任意实数、，向量的数乘运算满足以下法则： ()=()=(); (+)=+; (+)=+. 【解析】原式 考点六 向量的线性表示 9.△ABC中,D是BC的中点,则向量用向量线性表示为 . 【答案】 【分析】一般地，+称为,的一个线性组合，其中均为系数，若 +,则称可以用，线性表示. 【解析】由题意可得，△ABC中，D是BC的中点，则 且 则有 . 考点七 向量的内积 10.已知,则· . 【答案】4 【分析】两个向量，的模与它们的夹角的余弦值的乘积称为与的内积，也称数量积，记作·.即·||·||cos<,>. 【详解】·||||cos<,>. 11.两向量夹角的取值范围为(　　) A.[0,] B.(0,) C.(0,] D.[0,) 【答案】A 【详解】两个向量夹角θ的取值范围是[0°,180°].答案是A. 12.已知·,||||,则cos<,> . 【答案】 【解析】. 13.填空,向量的内积满足下面的运算律： ①·= . ②()·= = . ③(+)·= . . . 【答案】①·=·; ②()·=·()=(·); ③(+)·=·+·; ; ; 14.在△ABC中,有是 三角形.（锐角、直角或钝角） 【答案】直角三角形 【分析】⊥⇔·=0. 【解析】因为，所以，即表明△ABC是一个直角三角形. 15.已知,则-+ . 【答案】 【分析】 【解析】原式=-+2+-=2 =2×3×2×3×2×. 考点八 平面向量的坐标表示 16.已知点A(2,1),点B(-1,-4),则向量 ( ) A.(3,5) B.(-3,-5) C.(3,-5) D.(-5,3) 【答案】A 【分析】设则A为起点，为终点的向量坐标为 【解析】. 答案是A. 考点九 向量线性运算的坐标表示 17.已知=(-1,3), =(2,1),则-2= . 【答案】(-5,1) 【分析】设(对应坐标相加). （） (对应坐标相减). 【解析】-3=(-1,3)-2(2,1)=(-1,3)-(4,2)=(-5,1). 考点十 共线向量的坐标表示 18.设向量与向量共线，则= . 【答案】2 【分析】若共线,即∥ 【解析】∵∥∴⇒。答案是. 考点十一 内积的坐标表示 19.已知，则向量的模为 . 【答案】5 【分析】若 【解析】因为，所以 故向量的模为5. 20.已知=(-3,4), =(2,1), 求cos<,>. 【答案】 【分析】若， (,非零向量) 【解析】∵=(-3,4), =(2,1)，∴ 考点十二 向量垂直的坐标表示 21.若向量与向量垂直，则= . 【答案】 【分析】判断向量垂直的方法：若， . 【解析】∵，∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的考点梳理卷，主要梳理和考查了平面向量的基本概念与基本运算，向量的内积及两向量垂直、共线的充要条件等常见考点。 第二章 平面向量 目录 考点一 向量的概念 1 考点二 向量加法的三角形法则 2 考点三 向量加法的平行四边形法则 2 考点四 向量的减法运算 2 考点五 向量的数乘运算 2 考点六 向量的线性表示 3 考点七 向量的内积 3 考点八 平面向量的坐标表示 4 考点九 向量线性运算的坐标表示 4 考点十 共线向量的坐标表示 4 考点十一 内积的坐标表示 4 考点十二 向量垂直的坐标表示 4 考点一 向量的概念 1.下列能称为向量的是( ) A.力 B.质量 C.温度 D.面积 2.下列说法错误的是 ( ) A.向量与向量长度相等 B.单位向量都相等 C.的长度为0，且方向是任意的 D.任一非零向量都可以平行移动 3.下列说法正确的是( ) ①零向量与任何一个向量平行 ②平行向量就是共线向量 ③方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量 ④模相等且方向相同的两个向量称为相等向量 A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 考点二 向量加法的三角形法则 4.化简： . 考点三 向量加法的平行四边形法则 5.如图，在▱ABCD中用向量来表示 考点四 向量的减法运算 6.化简： . 考点五 向量的数乘运算 7.设是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是( ) A.与-的方向相反 B.|-|≥|| C.|-|=||· D.与²的方向相同 8.化简：(5-4+)-2(3-2+) . 考点六 向量的线性表示 9.△ABC中,D是BC的中点,则向量用向量线性表示为 . 考点七 向量的内积 10.已知,则· . 11.两向量夹角的取值范围为(　　) A.[0,] B.(0,) C.(0,] D.[0,) 12.已知·,||||,则cos<,> . 13.填空,向量的内积满足下面的运算律： ①·= . ②()·= = . ③(+)·= . . . 14.在△ABC中,有是 三角形.（锐角、直角或钝角） 15.已知,则-+ . 考点八 平面向量的坐标表示 16.已知点A(2,1),点B(-1,-4),则向量 ( ) A.(3,5) B.(-3,-5) C.(3,-5) D.(-5,3) 考点九 向量线性运算的坐标表示 17.已知=(-1,3), =(2,1),则-2= . 考点十 共线向量的坐标表示 18.设向量与向量共线，则= . 考点十一 内积的坐标表示 19.已知，则向量的模为 . 20.已知=(-3,4), =(2,1), 求cos<,>. 考点十二 向量垂直的坐标表示 21.若向量与向量垂直，则= . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$