第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定与性质等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列说法错误的是（  ） A.三点确定一个平面 B.梯形一定是平面图形 C.三角形一定是平面图形 D.四边形不一定是平面图形 【答案】A 【解析】不在同一直线上的三点确定一个平面，所以A错误；梯形的一组对边平行，两条平行线确定一个平面，所以梯形是平面图形，选项B正确；三角形的三个顶点不在同一条直线上，所以三角形是平面图形，选项C正确；四边形也可能是空间四边形，选项D正确. 因此，答案是A. 2.在长方体中，相互平行的面不会是（  ） A.前后相对侧面 B.上下相对底面 C.左右相对侧面 D.相邻的侧面 【答案】D 【解析】A选项前后面是相对的，因此它们是平行的。B选项上下面是相对的，因此它们是平行的。C选项左右面是相对的，因此它们是平行的。D选项相邻的侧面不是相对的，因此它们不是平行的。 因此，答案是D. 3.下列命题中，正确的是（  ） A.垂直于同一条直线的两条直线平行 B.平行于同一个平面的两条直线平行 C.垂直于同一个平面的两条直线平行 D.平行于同一条直线的两个平面平行 【答案】C 【解析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面。选项A不正确。 平行于同一个平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面。选项B不正确。 垂直于同一个平面的两条直线必定平行。选项C正确。 平行于同一条直线的两个平面可能平行，也可能相交。选项D不正确。 因此，答案是C. 4.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AC和直线A₁D的位置关系为（  ） A.平行 B.相交 C.异面 D.重合 【答案】C 【解析】在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D∩平面ABCD=D, AC⊂平面ABCD，D∉AC, ∴直线AC和直线A₁D的位置关系为异面. 正确答案是C. 5.若平面∥平面，直线⊂,直线⊂，则与的位置关系是（  ） A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 【答案】D 【详解】当两个平面和平行时，位于这两个平面内的直线和也不会相交。因此，它们的位置关系有两种可能性： 平行：如果直线和都与两个平面的交线平行，那么和也将互相平行。 异面：如果直线和不与两个平面的交线平行，那么它们将位于不同的平面上，且不相交，这种情况下，和是异面直线。 因此，答案是D. 6.设有不同的直线，和不同的平面，，给出下列四个命题中，其中正确的是（  ） A.若∥,∥,则∥ B.若∥,∥,则∥ C.若⊥,⊥,则∥ D.若∥,⊥,则∥ 【答案】C 【解析】A错误，当∥,∥ B错误，∥,∥,平面与可能平行，也可能相交。 C选项是正确的。如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线必定互相平行。 D错误。一条直线平行于一个平面且垂直于另一个平面，那么这两个平面不可能平行. 因此，答案选C. 7.直线互相平行的一个充分条件是（  ） 都平行于同一个平面 与同一个平面所成的角相等 都垂直于同一个平面 平行于所在的平面 【答案】C 【详解】A当都平行于同一个平面时，还可能相交或异面，故不正确； B当与同一个平面所成的角相等时，还可能相交或异面，故不正确； C.由直线与平面垂直的性质定理知，C正确； D.当平行于所在的平面时，与可能平行或异面，故不正确. 因此，答案是C. 8.如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定几个平面（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】‌有以下三种情况： 三条直线共面，即三条直线都在同一个平面上，此时这三条直线确定的平面个数为1。 三条直线中的一条直线与其他两条直线相交，但不共面，此时这三条直线确定的平面个数为2。 三条直线中的一条直线与其他两条直线相交，且这三条直线不共面，且每两条直线确定一个平面，此时这三条直线确定的平面个数为3。 综上，三条直线共可确定1、2或3个平面。 因此，答案是D. 9.下列关于异面直线的说法正确的是（  ） A.空间中没有公共点的两条直线是异面直线 B.分别在两个平面内的两条直线是异面直线 C.异面直线所成的角的范围是(0°, 90°] D.异面直线所成的角的大小与点的选择有关 【答案】C 【解析】A选项不正确，没有公共点的两条直线可能是异面直线，也可能是平行直线。 B选项不正确，分别位于两个平面内的两条直线可能是异面直线，但如果这两个平面相交，这两条直线也可能是相交直线。 C选项正确，异面直线所成的角的范围是(0°，90°]。 D选项不正确，所成角通过平移直线定义，与选择的点无关。 因此，答案是C. 10.“两条直线平行”是“两条直线没有公共点”的（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】“两条直线平行”是“两条直线没有公共点”的充分条件，因为如果两条直线平行，它们肯定没有公共点。但“两条直线没有公共点”不是“两条直线平行”的必要条件，因为在空间几何中，两条直线没有公共点也可能是它们是异面直线。 因此，答案是A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11.若直线垂直于平面，则与平面内的任意一条直线的位置关系是 . 【答案】垂直 【解析】根据直线与平面垂直的定义，如果直线垂直于平面，那么直线与平面内的任意一条直线都垂直。 12.一条直线和平面所成角为，那么的取值范围是 . 【答案】[0，] 【解析】一条直线与平面所成的角是指该直线与其在平面上的正投影之间的夹角。 当直线与平面平行或位于平面内时，直线与平面的夹角为 0°。 当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角为 90°。 对于直线与平面之间的其他相对位置，夹角可以取 0°到 90°之间的任何值。 所以的取值范围是[0，] . 13.过平面外一点，有______条直线与该平面平行. 【答案】 【解析】根据线面平行的判定定理，过平面外一点可以画出‌无数条‌与该平面平行的直线。 所以答案是无数条. 14.直线与平面所成的角为66°,直线∥,则直线与平面所成的角等于 . 【答案】66° 【详解】根据平行线的性质，如果两条直线平行，那么它们与同一平面所成的角相等。因此，直线与平面所成的角与直线 与平面所成的角相等。 所以，直线与平面所成的角为66° 15.假设P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，那么二面角P-BC-A的大小为 . 【答案】90° 【解析】如右图，取BC的中点O, 连接OA, OP, 和都是边长为2的正三角形 ∴，则为二面角P-BC-A的平面角， 又因为 则，∴ 即二面角P-BC-A的大小为 90° 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.如下图，在直三棱柱中，是边长为5的正方形，AB=4 ,BC=3 , 求证： 【分析】本题主要涉及勾股定理逆定理以及线面垂直的判定定理。先通过三角形三边关系利用勾股定理逆定理证明线线垂直，再结合棱柱的性质证明线面垂直。 【解析】证明如下：是边长为5的正方形，∴ 在中，已知AB = 4 , BC = 3 ,∴ 即则 即 又∵ 由于可证得. 17. 如下图, 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,F为BC的中点.若E是棱AD的中点，求证：BE‖平面PDF. 【分析】要证明直线与平面平行，可通过构造平行四边形，得到线线平行，再利用线面平行的判定定理来证明。 【解析】如图，取BC的中点F，AD的中点E,连接DF,BE,PF ∵E为AD的中点，F为BC的中点，且底面ABCD为菱形 ∴BF=DE且BF∥DE，即有BFDE为平行四边形 故BE∥FD，又∵BEPDF，FDPDF 可证得BE‖平面PDF. 18.在正方体中， （1）求直线BA₁与CC₁所成的角的大小. （2）求直线BA₁与AC所成的角的大小. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)∵为正方体，所以∥因此为直线BA₁与CC₁所成的角.又因为 即直线BA₁与CC₁所成的角为 (2) 如右图，连接，因为为正方体， ∴∥从而四边形是平行四边形， ∴∥，即为异面直线B与AC所成的角. 连接B,易知是等边三角形，∴ 19.在正方体中，求证:平面BD⊥平面AC. 【分析】要证平面BD⊥平面AC，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面BD经过平面AC的一条垂线即可.这需要利用AC，BD是正方形ABCD的对角线. 【解析】证明:∵ABCD-是正方体,∴⊥平面ABCD,∴ ⊥BD. ∵BD⊥AC, ，AC，且∩AC=A,∴ BD⊥平面AC, 又∵BDBD，可证得平面BD⊥平面AC. 20.在长方体中，求： （1）长方体的体积. （2）直线BC₁与平面CC₁D₁D所成的角的正切值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）∵长方体中， . (2)∵在长方体中, BC⊥平面CC₁D₁D, 所以BC₁与平面CC₁D₁D所成的角为∠BC₁C. 在Rt△BCC₁中, 21.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，求： （1）三棱锥P-ABC的体积； （2）PC与平面ABC所成角的正切值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）∵PA⊥平面ABC，∴PA就是三棱锥P-ABC的高 PA. （2）∵PA⊥平面ABC，∴AC是PC在平面ABC内的射影 即就是PC与平面ABC所成的角，∵AB⊥BC，PA=AB=BC=2 ∴在Rt△ABC中， 即在Rt△PAC中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定与性质等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列说法错误的是（  ） A.三点确定一个平面 B.梯形一定是平面图形 C.三角形一定是平面图形 D.四边形不一定是平面图形 2.在长方体中，相互平行的面不会是（  ） A.前后相对侧面 B.上下相对底面 C.左右相对侧面 D.相邻的侧面 3.下列命题中，正确的是（  ） A.垂直于同一条直线的两条直线平行 B.平行于同一个平面的两条直线平行 C.垂直于同一个平面的两条直线平行 D.平行于同一条直线的两个平面平行 4.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AC和直线A₁D的位置关系为（  ） A.平行 B.相交 C.异面 D.重合 5.若平面∥平面，直线⊂,直线⊂，则与的位置关系是（  ） A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 6.设有不同的直线，和不同的平面，，给出下列四个命题中，其中正确的是（  ） A.若∥,∥,则∥ B.若∥,∥,则∥ C.若⊥,⊥,则∥ D.若∥,⊥,则∥ 7.直线互相平行的一个充分条件是（  ） 都平行于同一个平面 与同一个平面所成的角相等 都垂直于同一个平面 平行于所在的平面 8.如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定几个平面（  ） A. B. C. D. 9.下列关于异面直线的说法正确的是（  ） A.空间中没有公共点的两条直线是异面直线 B.分别在两个平面内的两条直线是异面直线 C.异面直线所成的角的范围是(0°, 90°] D.异面直线所成的角的大小与点的选择有关 10.“两条直线平行”是“两条直线没有公共点”的（  ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11.若直线垂直于平面，则与平面内的任意一条直线的位置关系是 . 12.一条直线和平面所成角为，那么的取值范围是 . 13.过平面外一点，有______条直线与该平面平行. 14.直线与平面所成的角为66°,直线∥,则直线与平面所成的角等于 . 15.假设P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，那么二面角P-BC-A的大小为 . 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.如下图，在直三棱柱中，是边长为5的正方形，AB=4 ,BC=3 , 求证： 17. 如下图, 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,F为BC的中点.若E是棱AD的中点，求证：BE‖平面PDF. 18.在正方体中， （1）求直线BA₁与CC₁所成的角的大小. （2）求直线BA₁与AC所成的角的大小. 19.在正方体中，求证:平面BD⊥平面AC. 20.在长方体中，求： （1）长方体的体积. （2）直线BC₁与平面CC₁D₁D所成的角的正切值. 21.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，求： （1）三棱锥P-ABC的体积； （2）PC与平面ABC所成角的正切值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$