第四章 立体几何（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定与性质等常见考点。 第四章 立体几何 目录 考点一 平面的概念 1 考点二 平面的基本性质 2 考点三 直线与直线平行 5 考点四 直线与直线垂直 4 考点五 直线与直线异面 5 考点六 异面直线所成的角 6 考点七 直线与平面平行 7 考点八 直线与平面垂直 7 考点九 直线与平面所成的角 9 考点十 平面与平面平行 10 考点十一 平面与平面垂直 10 考点十二 平面与平面所成的角 10 考点一 平面的概念 1.下面说法正确的是（ ） A.平面是有厚度的 B.正方形是一个平面 C.一个平面的面积2025cm². D.平面是无限延展的，没有边界 【答案】D 【解析】平面的特点有“平”“无限延展”“无大小”“无厚薄”，所以选项A、B和C都是错的，因此，答案是D. 2.填空. 图形语言 文字语言 符号语言 点A在直线上 点A不在直线上 点A在平面内 点A不在平面内 直线在平面内 直线不在平面内 直线与直线交于点P 直线与平面交于点P 平面与平面交于直线 【答案】 图形语言 文字语言 符号语言 点A在直线上 A∈ 点A不在直线上 A∉ 点A在平面内 A∈ 点A不在平面内 A∉ 直线在平面内 ⊂ 直线不在平面内 ⊄ 直线与直线交于点P ∩=P 直线与平面交于点P ∩=P 平面与平面交于直线 ∩= 考点二 平面的基本性质 3.填空. 公理一：经过 三点，有且只有一个平面. 符号语言：若A、B、C不共线，则存在唯一的平面,使得A∈,B∈,C∈. 公理二：如果一条直线上有 在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 符号语言：A∈,B∈,A∈,B∈,则有⊂ 推论（1）：经过 有且只有一个平面. 符号语言：A∉,存在唯一的平面,使得A∈,⊆. 推论（2）：经过 有且只有一个平面. 符号语言：∩=A，存在唯一的平面,使得⊆,⊆. 推论（3）：经过 有且只有一个平面. 符号语言：∥存在唯一的平面,使得 公理三：如果两个平面有一个公共点， 那么它们 经过该点的公共直线. 符号语言：P∈∩⇒∩=且P∈ 【答案】 公理一：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 符号语言：若A、B、C不共线，则存在唯一的平面, 使得A∈,B∈,C∈. 公理二：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 符号语言：A∈,B∈, A∈,B∈,则有⊂ 推论（1）：经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面. 符号语言：A∉,存在唯一的平面, 使得A∈,⊆. 推论（2）：经过两条相交直线有且只有一个平面. 符号语言：∩=A，存在唯一的平面, 使得⊆,⊆. 推论（3）：经过两条平行直线有且只有一个平面. 符号语言：∥存在唯一的平面, 使得 公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线. 符号语言：P∈∩⇒∩=且P∈ 4.下面四个条件中，在空间能确定一个平面的是（ ） A.三个点 B.两条直线 C.一条直线和一个点 D.梯形的两腰所在的直线 【答案】D 【解析】A错误，只有当这三个点不共线（即不在同一条直线上）时，才能确定一个平面。B错误只有当两条直线相交或平行时，它们才能确定一个平面。 C错误只有当这个点不在直线上时，这条直线和这个点才能确定一个平面。 D选项梯形的两腰是相交直线，它们可以确定一个平面。 因此，答案是D. 考点三 直线与直线平行 5.填空. （1）空间中两条直线的位置关系有三种，分别是 、 、 ，其中 或 的两条直线称为共面直线. （2）直线平行的性质：空间中有任意三条直线,,,如果∥, ∥,那么 . 【答案】（1）空间中两条直线的位置关系有三种，分别是平行、相交、异面，其中平行或相交的两条直线称为共面直线. （2）直线平行的性质：空间中有任意三条直线,,, 如果∥, ∥,那么∥. 考点四 直线与直线垂直 6.填空. （1）同一平面内有且只有一个公共点的两条直线称为 . 规定：两条共面直线所成角的范围是 （2）如果空间内直线和所成的角是,那么称这两条直线互相 ，记作 【答案】（1）同一平面内有且只有一个公共点的两条直线称为相交直线. 规定：两条共面直线所成角的范围是[0,] （2）如果空间内直线和所成的角是, 那么称这两条直线互相垂直，记作⊥ 考点五 直线与直线异面 7.填空. (1)异面直线判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线， 与平面内 是异面直线. (2)若两条直线没有公共点，则这两条直线 . 【答案】(1)异面直线判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线. (2)若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面. 8.在正方体中，下列各线段所在直线的位置关系分别为(填写：相交、平行或异面) (1)B₁C₁和D₁C是 直线. (2)B₁C₁和DC₁是 直线. (3)B₁C₁和A₁C是 直线. (4)BC₁和AD₁是 直线. 【答案】(1)异面 (2)相交 (3)异面(4)平行 【分析】相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点的两条直线。 平行直线：在同一平面内，没有公共点的两条直线。 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。 判断两条直线位置关系时，可依据这些定义，结合正方体的几何特征进行分析。 【详解】(1)B₁C₁和D₁C是异面直线(2)B₁C₁和DC₁是相交直线 (3)B₁C₁和A₁C是异面直线(4)BC₁和AD₁是平行直线 9.设,,为三条直线，则下列命题中的真命题是（ ） A.如果⊥, ⊥,那么∥ B.若∥，∥，则∥ C.若和相交, 和相交,则和也相交 D.如果⊥, ⊥,那么⊥ 【答案】B 【解析】A错误与可能相交，也可能异面；由平行公理可知B正确； C错误，若和相交, 和相交,则和可能相交，可能平行，也可能异面； D错误若和垂直，和垂直，则和相交、平行或异面； 因此，答案是B. 考点六 异面直线所成角 10.异面直线所成角的范围（ ） A.[0,] B.（0,] C.[0, D.（0,） 【答案】B 【解析】两条异面直线所成角的大小，只取决于两条直线的位置，如果两条异面直线所成的角为直角，那么这两条异面直线垂直.所以，异面直线所成的角的取值范围是（0,]. 因此，答案是B. 11.正方体中，A₁B与C₁D所成的角的度数为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】D 【分析】本题涉及异面直线所成角的概念。在正方体中，通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再利用正方体的性质求解。 【详解】正方体中，A₁B∥，所以A₁B与C₁D所成角就是与C₁D所成角，又∵平面D是正方形，∴ 即有A₁B与C₁D所成的角的度数为90°， 因此，答案是D. 考点七 直线与平面平行 12.直线与平面平行，则下列说法正确的是（ ） A.在内有无数条直线与平行 B.在内不存在与垂直的直线 C.在内有且只有一条直线与垂直 D.在内有且只有一条直线与平行 【答案】A 【分析】线面平行的定义：直线与平面平行意味着直线与平面无公共点，且直线平行于平面内的某条直线。 【详解】平面内与平行的直线有无数条 (可通过平移得到)，因此选项A正确；平面内与垂直的直线有无数条，因此选项B和C错误；平面内与平行的直线有无数条，而非唯一一条，选项D错误。 因此，答案是A. 13. 如图，在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是正方形, AC与BD交于点O, E为PB的中点，求证：EO∥平面PDC. 【分析】直线和平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行； 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交线与这条直线平行. 【解析】证明：因为点O是正方形 ABCD的两条对角线AC，BD的交点， ∴点O是BD的中点.又∵点E是PB的中点，∴EO是三角形PBD的中位线， 即有EO∥PD,又∵EO⊄平面PDC，PD⊂平面PDC， 即证得直线EO∥平面PDC. 考点八 直线与平面垂直 14.下列能说明直线与平面垂直的是（ ） A.平面外的一条直线与平面内的一条直线垂直 B.一条直线垂直于平面内的两条直线 C.一条直线垂直于平面内的无数条直线 D.一条直线垂直于平面内的所有直线 【答案】 直线与平面垂直的两个性质： 性质1：垂直于同一平面的两条直线互相平行. 性质2：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线. 【详解】根据直线与平面垂直的性质来进行判断。 因此，答案是D. 15.如图, 在四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD, 底面ABCD为菱形, 求证:BD⟂平面PAC 【分析】直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直. 要证明BD⊥平面PAC，需要证明BD垂直于平面PAC 内的两条相交直线。 【详解】证明：∵PA⊥平面ABCD且BD⊂平面ABCD，因此PA⊥BD 又∵底面ABCD是菱形，即AC⊥BD ∵PA,AC⊂平面PAC，且PA∩AC=A 即证得BD⊥平面PAC. 考点九 直线与平面所成的角 16.如图,四边形ABCD是正方形,PD⟂底面ABCD,PD=DC=1,求PB与平面PCD所成角的正切值. 【答案】 【分析】求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，求出该角. 【详解】∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC，∵ 四边形ABCD是正方形, ∴BC⟂CD. 又∵PD,CD⊂平面PCD,且PD∩CD=D∴BC⊥平面PCD,∴BC⊥CP, 即∠BPC为PB与平面 PCD所成的角.∵PD=DC=1，则BC=1,PC= ∴在Rt△PBC中,tan∠BPC= 故PB与平面PCD所成角的正切值为 考点十 平面与平面平行 17.填空. （1）若两个平面没有 ，则称这两个平面平行.空间两个平面的位置关系只有两个： 与 . （2）两个平面平行的判定定理： 如果一个平面内 都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行. （3）两个平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 互相平行. 【答案】（1）若两个平面没有交点，则称这两个平面平行.空间两个平面的位置关系只有两个：平行与相交. （2）两个平面平行的判定定理： 如果一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行. （3）两个平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么两条交线互相平行. 18.已知正方体中, 如下图, 求证:平面A₁BC₁∥平面ACD₁. 【分析】要证明两个平面平行，利用平面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。 需要在两个平面内分别找出这样的相交直线对。 【解析】证明：在正方体中，=且∥， ∴是平行四边形.即有∥， 又因为=∥，∴是平行四边形，即有∥. 又∵ 即证得平面A₁BC₁∥平面ACD₁. 考点十一 平面与平面垂直 19.填空. （1）平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的 ，那么两个平面垂直. （2）平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，那么一个平面内 的直线与另一个平面垂直. 【答案】 （1）平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么两个平面垂直. （2）平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 20.如图所示，BC为圆O的直径，点A为圆上不同于B，C的点，PC垂直于圆所在的平面，求证:平面PCA⊥平面PAB; 【分析】利用圆的性质和平面与平面垂直的判定定理来证明. 【解析】证明：∵直径所对的圆周角为90°∴AB⊥AC ∵PC垂直于圆所在的平面，∴PC⊥AB 又∵PC，ACPCA，且PC∩AC=C，∴AB⊥PCA ∵ABPAB，∴平面 PCA⊥平面PAB. 即证得平面 PCA⊥平面PAB. 考点十二 平面与平面所成的角 21.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角，二面角的大小可以用它的平面角度量.二面角的范围是 . 【答案】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂线的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角，二面角的大小可以用它的平面角度量.二面角的范围是[0°，180°]. 22.在正方体中，二面角的平面角是（ ） A.∠ B. C. D. 【答案】C 【分析】要找出二面角的平面角，需要根据二面角平面角的定义，在正方体中找到与棱垂直的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 【详解】在正方体中， 且平面 ， 所以就是二面角的平面角。 因此，答案是C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定与性质等常见考点。 第四章 立体几何 目录 考点一 平面的概念 1 考点二 平面的基本性质 2 考点三 直线与直线平行 3 考点四 直线与直线垂直 4 考点五 直线与直线异面 4 考点六 异面直线所成的角 4 考点七 直线与平面平行 5 考点八 直线与平面垂直 5 考点九 直线与平面所成的角 6 考点十 平面与平面平行 6 考点十一 平面与平面垂直 7 考点十二 平面与平面所成的角 7 考点一 平面的概念 1.下面说法正确的是（ ） A.平面是有厚度的 B.正方形是一个平面 C.一个平面的面积2025cm². D.平面是无限延展的，没有边界 2.填空. 图形语言 文字语言 符号语言 点A在直线上 点A不在直线上 点A在平面内 点A不在平面内 直线在平面内 直线不在平面内 直线与直线交于点P 直线与平面交于点P 平面与平面交于直线 考点二 平面的基本性质 3.填空. 公理一：经过 三点，有且只有一个平面. 符号语言：若A、B、C不共线，则存在唯一的平面,使得A∈,B∈,C∈. 公理二：如果一条直线上有 在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 符号语言：A∈,B∈,A∈,B∈,则有⊂ 推论（1）：经过 有且只有一个平面. 符号语言：A∉,存在唯一的平面,使得A∈,⊆. 推论（2）：经过 有且只有一个平面. 符号语言：∩=A，存在唯一的平面,使得⊆,⊆. 推论（3）：经过 有且只有一个平面. 符号语言：∥存在唯一的平面,使得 公理三：如果两个平面有一个公共点， 那么它们 经过该点的公共直线. 符号语言：P∈∩⇒∩=且P∈ 4.下面四个条件中，在空间能确定一个平面的是（ ） A.三个点 B.两条直线 C.一条直线和一个点 D.梯形的两腰所在的直线 考点三 直线与直线平行 5.填空. （1）空间中两条直线的位置关系有三种，分别是 、 、 ，其中 或 的两条直线称为共面直线. （2）直线平行的性质：空间中有任意三条直线,,,如果∥, ∥,那么 . 考点四 直线与直线垂直 6.填空. （1）同一平面内有且只有一个公共点的两条直线称为 . 规定：两条共面直线所成角的范围是 （2）如果空间内直线和所成的角是,那么称这两条直线互相 ，记作 考点五 直线与直线异面 7.填空. (1)异面直线判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线， 与平面内 是异面直线. (2)若两条直线没有公共点，则这两条直线 . 8.在正方体中，下列各线段所在直线的位置关系分别为(填写：相交、平行或异面) (1)B₁C₁和D₁C是 直线. (2)B₁C₁和DC₁是 直线. (3)B₁C₁和A₁C是 直线. (4)BC₁和AD₁是 直线. 9.设,,为三条直线，则下列命题中的真命题是（ ） A.如果⊥, ⊥,那么∥ B.若∥，∥，则∥ C.若和相交, 和相交,则和也相交 D.如果⊥, ⊥,那么⊥ 考点六 异面直线所成角 10.异面直线所成角的范围（ ） A.[0,] B.（0,] C.[0, D.（0,） 11.正方体中，A₁B与C₁D所成的角的度数为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 考点七 直线与平面平行 12.直线与平面平行，则下列说法正确的是（ ） A.在内有无数条直线与平行 B.在内不存在与垂直的直线 C.在内有且只有一条直线与垂直 D.在内有且只有一条直线与平行 13. 如图，在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是正方形, AC与BD交于点O, E为PB的中点，求证：EO∥平面PDC. 考点八 直线与平面垂直 14.下列能说明直线与平面垂直的是（ ） A.平面外的一条直线与平面内的一条直线垂直 B.一条直线垂直于平面内的两条直线 C.一条直线垂直于平面内的无数条直线 D.一条直线垂直于平面内的所有直线 15.如图, 在四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD, 底面ABCD为菱形, 求证:BD⟂平面PAC 考点九 直线与平面所成的角 16.如图,四边形ABCD是正方形,PD⟂底面ABCD,PD=DC=1,求PB与平面PCD所成角的正切值. 考点十 平面与平面平行 17.填空. （1）若两个平面没有 ，则称这两个平面平行.空间两个平面的位置关系只有两个： 与 . （2）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内 都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行. （3）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 互相平行. 18.已知正方体中, 如下图, 求证:平面A₁BC₁∥平面ACD₁. 考点十一 平面与平面垂直 19.填空. （1）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么两个平面垂直. （2）平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内 的直线与另一个平面垂直. 20.如图，BC为圆O的直径，点A为圆上不同于B，C的点，PC垂直于圆所在的平面， 求证:平面PCA⊥平面PAB; 考点十二 平面与平面所成的角 21.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角，二面角的大小可以用它的平面角度量.二面角的范围是 . 22.在正方体中，二面角的平面角是（ ） A.∠ B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$