第2章 综合 融通(三) 运动学图像和追及相遇问题 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理必修第一册（鲁科版）福建专版

综合·融通(三)　运动学图像和追及相遇问题 　　　　(融会课——主题串知综合应用) 　　运动学图像通常是指s-t图像和v-t图像,相关问题常涉及分析图像中的坐标、斜率、截距、交点的含义和物体的运动规律、位移关系等;两个物体在同一直线上运动时往往涉及追及相遇问题,这也是运动学中经常遇到,并且求解时常出错的一类问题。通过本节课的学习,可掌握运动学图像问题和追及相遇问题的分析思路和处理方法。 主题(一)　运动学图像 [知能融会通] 1.应用运动图像的三点注意 (1)无论是s-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。 (2)s-t图像和v-t图像都不表示物体运动的轨迹。 (3)s-t图像和v-t图像的形状由s与t、v与t的函数关系决定。 2.应用运动图像解题“六看” 项目 s-t图像 v-t图像 轴 横轴为时间t,纵轴为位移s 横轴为时间t,纵轴为速度v 线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动 斜率 表示速度 表示加速度 面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移 纵截距 表示初位置 表示初速度 特殊点 折点表示从一种运动变为另一种运动,交点表示相遇 折点表示从一种运动变为另一种运动,交点表示速度相等 [典例]　(双选)有四个运动的物体A、B、C、D,物体A、B运动的s-t图像如图中甲所示;物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v-t图像如图中乙所示。在0到5 s这段时间内,根据图像作出的以下判断中正确的是 (　 ) A.物体A和B均做匀加速直线运动且A的加速度比B大 B.在0~3 s的时间内,物体B运动的位移为10 m C.t=3 s时,物体C追上物体D D.C追上D之前,t=3 s时,物体C与物体D之间有最大间距 [解析]　由题中甲图看出:物体A和B位移图像都是倾斜的直线,斜率都不变,速度都不变,说明两物体都做匀速直线运动,A图线的斜率大于B图线的斜率,A的速度比B的大,故A错误;在0~3 s的时间内,物体B运动的位移为Δs=10 m-0=10 m,故B正确;由题中乙图看出:前3 s内,D的速度较大,D、C间距离增大,3 s后C的速度较大,两者距离减小,t=3 s时,物体C与物体D之间有最大间距,故C错误,D正确。 [答案]　BD [思维建模] 通过图像分析物体运动规律的思路 [题点全练清] 1.(2024·河北高考)篮球比赛前,常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程,并得出了篮球运动的v-t 图像,如图所示。图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是 (　 ) A.a点 B.b点 C.c点 D.d点 解析:选A　由题意结合图像可知,速度为负值表示向下运动。当速度由负值突变为正值时,运动发生突变,速度方向变为向上并做匀减速运动,当速度由正值减小到0时,表示篮球上升到最高点,即a点对应第一次反弹后上升的最高位置,故A正确。 2.(双选)物体甲的s-t图像和物体乙的v-t图像分别如图所示,则这两物体的运动情况是 (　 ) A.甲在整个t=6 s时间内运动方向一直不变,它通过的总位移大小为4 m B.甲在整个t=6 s时间内做来回运动,它通过的总位移为零 C.乙在整个t=6 s时间内做来回运动,它通过的总位移为零 D.乙在整个t=6 s时间内运动方向一直不变,平均速率为1 m/s 解析:选AC　位移—时间图像的斜率等于速度,可知,甲在整个t=6 s时间内一直沿正向运动,运动方向一直不变,做匀速直线运动,通过的总位移大小为Δs=2 m-(-2 m)=4 m,故A正确,B错误;乙在0~3 s内沿负向做匀减速直线运动,位移为s1=-3 m,3 s后沿正向做匀加速直线运动,位移为s2=3 m,故总位移为s=s1+s2=0,故C正确,D错误。 3.(2025·广东东莞期末)东莞一直以来有赛龙舟的传统,如图所示,速度—时间图像描述了甲、乙两条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程,则在0~t1时间内　　　　龙舟速度变化快,由v-t图像可知,　　　　龙舟最终获得比赛胜利。(选填“甲”或“乙”)  解析:根据v-t图像的斜率表示加速度,可知在0~t1 时间内乙龙舟的加速度大于甲龙舟的加速度,则乙龙舟速度变化快;由v-t图像可知,甲龙舟到达终点对应的时刻较早,所以甲龙舟最终获得比赛胜利。 答案:乙　甲 主题(二)　追及相遇问题 [知能融会通] 1.追及相遇问题 两物体在同一直线上一前一后运动,它们之间的距离发生变化时,可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况,这类问题称为追及相遇问题,讨论追及相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。 2.追及相遇问题的分析思路 [典例]　一辆汽车在十字路口等信号灯,当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试求: (1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远,此时距离是多少。 (2)什么时候汽车追上自行车,此时汽车的速度是多少。 [解析]　法一:物理分析法 (1)设经时间t两车相距最远, v汽=at=v自,所以t== s=2 s, Δsm=v自t-=6×2 m- m=6 m。 (2)汽车追上自行车时,两车的位移相等,则v自t'=,即6t'=,解得t'=4 s。 故v汽'=at'=3×4 m/s=12 m/s。 法二:数学分析法 (1)设汽车在追上自行车之前经时间t两车相距最远。 因为Δs=s1-s2=v自t-,所以Δs=6t-t2,由二次函数求极值条件知,t=2 s时,Δs最大。 所以Δsm=6t-t2=6×2 m-×22 m=6 m。 (2)同法一中的(2)。 法三:图像法 (1)自行车和汽车的v-t图像如图所示,图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小,由图像可以看出:在相遇之前,在t时刻两车速度相等时,自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(即阴影部分)达到最大。所以t== s=2 s,Δsm=v自t-=6×2 m- m=6 m。 (2)由图可看出:在t时刻以后,当自行车与汽车的v-t图线围成的三角形面积与标有阴影的三角形面积相等时,两车的位移相等(即相遇)。所以由图得相遇时,t'=2t=4 s,v汽'=2v自=12 m/s。 [答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s [思维建模] 解追及相遇问题的三种常用方法 (1)物理分析法:抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,建立物体运动关系的情境,并画出运动情况示意图,找出位移关系。 (2)图像法:将两者的v-t图像画在同一坐标系中,然后利用图像分析求解。 (3)数学分析法:设从开始到相遇的时间为t,根据条件列位移关系方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论。若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次;若Δ=0,说明刚好追上或相遇;若Δ<0,说明追不上或不能相碰。 [题点全练清] 1.(2025·江西南昌期末)(双选)一鲨鱼发现正前方x0处有一条小鱼,立即开始追捕,同时小鱼也发现了鲨鱼,立即朝正前方加速逃离。两条鱼的v-t图像如图所示,两者在同一直线上运动。则下列说法正确的是 (　 ) A.鲨鱼加速阶段的加速度大小为5 m/s2 B.t=2 s时两条鱼速度相等 C.当x0=4 m时鲨鱼恰好能追上小鱼 D.当x0=8 m时鲨鱼追了小鱼4 s,此时鲨鱼与小鱼之间的距离为7.5 m 解析:选BC　根据v-t图像的斜率表示加速度,可知鲨鱼加速阶段的加速度大小为a= m/s2=4 m/s2,故A错误;由题图可知,两条鱼速度相等对应的时刻为t== s=2 s,根据v-t图像与横轴围成的面积表示位移可知,在0~2 s内,鲨鱼比小鱼多走的位移大小为Δx=×(6-2)×2 m=4 m,可知当x0=4 m时鲨鱼恰好能追上小鱼,故B、C正确;当x0=8 m时鲨鱼追了小鱼4 s,该段时间内鲨鱼和小鱼的位移分别为x鲨=×(6+20)×3.5 m+20×0.5 m=55.5 m,x鱼=×(2+26)×4 m=56 m,则此时鲨鱼与小鱼之间的距离为Δx'=x0+x鱼-x鲨=8 m+56 m-55.5 m=8.5 m,故D错误。 2.一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车,在跑到距公共汽车25 m处时,绿灯亮了,公共汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,则 (　 ) A.人能追上公共汽车,追赶过程中人跑了36 m B.人不能追上公共汽车,人、公共汽车最近距离为7 m C.人能追上公共汽车,追上公共汽车前人共跑了43 m D.人不能追上公共汽车,且公共汽车开动后,人、公共汽车距离越来越远 解析:选B　人在跑到距公共汽车25 m处时,绿灯亮了,公共汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,当公共汽车加速到6.0 m/s时所用时间t==6 s,人运动距离为x1=vt=36 m,公共汽车运动距离为x2=at2=18 m,18 m+25 m-36 m=7 m>0,人不能追上公共汽车,人、公共汽车最近距离为7 m,公共汽车开动后,人、公共汽车之间的距离先减小后增大,A、C、D错误,B正确。 3.5G自动驾驶是基于5G通信技术实现网联式全域感知、协同决策与智慧云控,相较传统“单车式”无人驾驶,具有革命性演进。A、B两辆5G自动驾驶测试车,在同一直线上向右匀速运动,B车在A车前面,A车的速度大小为v1=16 m/s,B车的速度大小为v2=40 m/s,如图所示。当A、B两车相距40 m时,B车因前方突发情况紧急刹车(已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动),加速度大小为4 m/s2,从此时开始计时,求: (1)A车追上B车之前,两者相距的最大距离; (2)A车追上B车所用的时间。 解析:(1)由题意可得,当两车速度相等时,两车之间距离最远,以向右方向为正方向,有v1=v2-at,16 m/s=40 m/s-4t m/s2,解得t=6 s,此时两车之间的距离为Δs=s0+sB-sA=s0+v2t-at2-v1t=112 m。 (2)设B车完全停下所用时间为t1,由题意可得0=v2-at1,解得t1=10 s,在10 s内,A、B两车运动的距离分别为sA'=v1t1=160 m,sB'=v2t1-a=200 m,sA'<sB'+s0,所以B停止时,A车还没有追上B车,设A车追上B车所用的时间为t2,则有sB'+s0=v1t2,解得t2=15 s。 答案:(1)112 m　(2)15 s [课时跟踪检测] 1.(双选)图(a)是贵州特有的“独竹漂”表演,此项目已被列入第五批国家级非物质文化遗产保护名录。某次表演过程中,表演者甲在河中心位置完成表演后沿直线划向岸边,同时表演者乙从另一岸边沿同一直线划向河中心并准备表演,该过程甲、乙运动的位置s与时间t的关系图像如图(b)所示,则 (　 ) A.0~t0内,甲、乙的运动方向相反 B.0~t0内,甲、乙的位移大小相等 C.0~2t0内,乙的平均速度等于甲的平均速度 D.0~2t0内,乙的速度最大值大于甲的速度最大值 解析:选CD　s-t图像斜率的正负表示运动的方向,0~t0内,甲、乙的s-t图像的斜率均为负,所以运动方向相同,A错误;0~t0内,乙的位移大小为s0,甲的位移大小小于s0,所以0~t0内甲、乙的位移大小不相等,B错误;0~2t0内乙的位移等于甲的位移,时间也相同,所以0~2t0内乙的平均速度等于甲的平均速度,C正确;s-t图线斜率的大小代表速度的大小,明显乙的图线最大斜率绝对值大于甲的图线最大斜率绝对值,所以0~2t0内乙的速度最大值大于甲的速度最大值,D正确。 2.港珠澳大桥是目前世界上最长的跨海大桥,为香港、珠海、澳门三地提供了一条快捷通道。图甲是港珠澳大桥中的一段,一辆以4 m/s的速度行驶的小汽车在长度为L=28 m的平直桥面上提速,图乙是该车在该段提速中加速度a与位移x的关系图像。则小汽车通过该段平直桥面的末速度和时间分别为 (　 ) A.10 m/s,3 s B.10 m/s,4 s C.5 m/s,3 s D.5 m/s,2 s 解析:选B　根据v2=+2aL得v==10 m/s,时间t==4 s,选项B正确,A、C、D错误。 3.(2024·新课标卷)一质点做直线运动,下列描述其位移x或速度v随时间t变化的图像中,可能正确的是 (　 ) 解析:选C　任何时刻质点的速度与位移都是唯一的,C可能正确,A、B、D错误。 4.从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度—时间图像如图所示。在0~t0时间内,下列说法正确的是 (　 ) A.Ⅰ、Ⅱ两个物体的加速度都在不断减小 B.Ⅰ物体的加速度不断增大,Ⅱ物体的加速度不断减小 C.Ⅰ物体的位移不断增大,Ⅱ物体的位移不断减小 D.Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是 解析:选A　v-t图像的切线斜率表示物体的加速度,由题图可知,两物体的加速度都在不断减小,A项正确,B项错误;两物体在0~t0时间内的速度均为正值,故两物体沿正方向运动的位移都在不断增大,C项错误;=只适用于匀变速直线运动,D项错误。 5.一质点沿x轴正方向做直线运动,通过坐标原点时开始计时,其-t图像如图所示,则 (　 ) A.质点做匀速直线运动,速度为0.5 m/s B.质点做匀加速直线运动,加速度为0.5 m/s2 C.质点在1 s末的速度为1.5 m/s D.质点在第1 s内的位移为1.5 m 解析:选D　由题图可知=1+0.5t(式中各物理量的单位均为国际单位制单位),由匀变速直线运动的位移公式s=v0t+at2得=v0+at,对比可知,v0=1 m/s,加速度为a=2×0.5 m/s2=1 m/s2,即质点的加速度不变,质点做匀加速直线运动,A、B错误;质点的初速度v0=1 m/s,在1 s末的速度为v1=v0+at1=2 m/s,C错误;质点在第1 s内的位移s1=t1=×1 m=1.5 m,D正确。 6.如图所示,A、B两物体相距s0=7 m,物体A以vA=4 m/s的速度向右匀速运动,而物体B此时的速度为vB=10 m/s,向右做匀减速运动,加速度a=-2 m/s2,那么物体A追上物体B所用的时间为 (　 ) A.7 s B.8 s C.9 s D.10 s 解析:选B　物体A做匀速直线运动,位移sA=vAt=4t(m)。物体B做匀减速直线运动,减速过程的位移sB=vBt+at2=10t-t2(m)。设物体B速度减为零所用时间为t1,则t1==5 s,在t1=5 s的时间内,物体B的位移为sB1=25 m,物体A的位移为sA1=20 m,由于sA1<sB1+s0,故前5 s内物体A未追上物体B;5 s后,物体B静止不动,故物体A追上物体B的总时间为t总== s=8 s,故选项B正确。 7.(双选)2025年3月16日,2025 FIRST机器人竞赛上海国际区域赛在华东师范大学落下帷幕。某小队以线上一点为原点,沿赛道向前建立直线坐标系,他们为机器人甲、乙编写的程序是,让他们的位移s(m)随时间t(s)变化的规律分别为:s甲=3t+t2,s乙=9t,则 (　 ) A.从原点出发后的较短时间内,乙在前,甲在后 B.甲、乙再次相遇前,最大距离9 m C.两机器人在s=55 m处再次相遇 D.8 s时,两机器人相遇 解析:选AB　根据位移公式s=v0t+at2与s甲=3t+t2比较系数可得甲的初速度为v1=3 m/s,a=2 m/s2,乙做速度为v2=9 m/s的匀速直线运动,根据位移关系式可知从原点出发后的较短时间内,乙在前,甲在后,故A正确;当速度相等时相距最远,则有v1+at=v2,代入数据可得t=3 s,则甲运动的位移为s1=(3×3+32)m=18 m,乙的位移为s2=27 m,距离为Δs=s2-s1=9 m,故B正确;再次相遇时位移相等3t+t2=9t,解得t=6 s,则乙运动的位移为s=9×6 m=54 m,故C、D错误。 8.(双选)某网友发布了自己乘坐复兴号动车组在行驶过程中超越旁边和谐号动车组的视频,让大家又一次感受到中国新速度!假设和谐号动车与复兴号动车车头平齐,相继从同一站点由静止出发,沿同一方向做直线运动。两车的速度—时间图像如图所示,下列说法正确的是 (　 ) A.和谐号动车在加速过程中的加速度大小为0.5 m/s2 B.复兴号动车在出发后70 s内的位移大小为4 900 m C.复兴号动车追上和谐号动车前,t=140 s时,两车车头相距最远 D.当t=140 s时,复兴号动车再次与和谐号动车车头平齐 解析:选AC　根据v-t图像的斜率表示物体的加速度,可知和谐号动车在加速过程中的加速度大小为a和= m/s2=0.5 m/s2,故A正确;根据v-t图像的图线与横轴围成的面积表示位移,可知复兴号动车在出发后70 s内的位移大小为s复=×70×70 m=2 450 m,故B错误;和谐号动车与复兴号动车相继从同一站点由静止出发,0~140 s内,和谐号动车的速度一直比复兴号动车的速度大,两者间距逐渐增大;t=140 s以后,复兴号动车的速度比和谐号动车的速度大,两者间距逐渐减小直到相遇,则t=140 s时,两车车头相距最远,故C正确,D错误。 9.(2025·平潭期末)甲、乙两物体分别在两条平行直线上,从同一位置出发,它们的位移—时间(x-t)图像如图所示。由图像可知 (　 ) A.2~4 s内,甲、乙速度大小相等 B.2~4 s内,甲、乙速度方向相反 C.0~4 s内,甲始终沿着同一方向运动 D.0~4 s内,甲运动的总路程等于乙的路程 解析:选B　2~4 s内,甲的速度大小v甲= m/s=1 m/s,0~4 s内乙一直做匀速直线运动,乙的速度大小v乙= m/s=0.5 m/s,2~4 s内,甲、乙速度大小不相等,故A错误;2~4 s内,甲的速度方向沿x轴负方向,乙的速度方向沿x轴正方向,故甲、乙速度方向相反,故B正确;0~2 s内,甲沿着x轴正方向运动,2~4 s内,甲沿着x轴负方向运动,故C错误;0~4 s内,甲运动的总路程s甲=4 m+2 m=6 m,乙运动的总路程s乙=2 m,甲运动的总路程大于乙的路程,故D错误。 10.(双选)“科技让生活更美丽”,自动驾驶汽车呈现出接近实用化的趋势。图1为某款无人驾驶的智能汽车的测试照,为了增加乘员乘坐的舒适性,程序设定汽车做直线运动的v2-s图像(其中v为速度,s为位置坐标)如图2所示,下列关于汽车从s=0处运动至s=s0处的过程分析,正确的是 (　 ) A.该汽车做减速直线运动 B.该汽车的加速度大小为 C.该汽车在位移中点的速度等于v0 D.该汽车在中间时刻的速度大于v0 解析:选AB　根据v2=-2as,结合图像可知,该汽车做初速度为v0,加速度为a=的匀减速直线运动,选项A、B正确;根据=-2a,0=-2a,可得该汽车在位移中点的速度等于v中点=v0,选项C错误;该汽车在中间时刻的速度v中时=,选项D错误。 11.(14分)(2025·芗城期末)机器狗已经发展到了应用阶段,人们开始享受科技带来的效率和成果。某科技小组在测试中,将甲、乙两机器狗放在平直的路面上,测试距离为L=20 m。甲、乙同时同地开始测试,甲以v1=2 m/s的速度匀速行进,乙由静止开始以a=0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动,乙能达到的最大速度为v2=2.5 m/s,之后保持最大速度匀速运动。在测试距离内,求: (1)甲、乙相距的最远距离;(5分) (2)乙能否在终点前超过甲?若乙能超过甲,乙到达终点时,与甲的距离为多大?若乙不能超过甲,甲到达终点时,乙还需多长时间到达终点。(9分) 解析:(1)当甲、乙共速时相距最远,设用时为t1,则v1=at1,解得t1=4 s 最远距离Δxm=v1t1-a,解得Δxm=4 m。 (2)当乙的速度达到v2=2.5 m/s时,设用时为t2, 则v2=at2,t2=5 s 此时甲的位移x1=v1t2=10 m , 乙的位移x2=a=6.25 m 甲距离终点x3=L-x1=10 m, 乙距离终点x4=L-x2=13.75 m, 甲、乙分别再用时t3、t4到达终点,则 t3==5 s,t4==5.5 s 由此可以得出,乙不能超过甲,甲到达终点时乙还需Δt=t4-t3=0.5 s。 答案:(1)4 m　(2)不能　0.5 s 12.(16分)某火车做匀加速直线运动,连续通过两个相距L=100 m的时间分别为T1= s、T2= s,该火车以上述过程的加速度由静止开始做匀加速直线运动时,一只小鸟从火车车头后方s0=150 m处沿火车加速方向匀速向前飞行。 (1)求火车的加速度大小a;(4分) (2)求小鸟能超过火车车头的最小速度v1;(5分) (3)若小鸟在火车车头前方运动的时间为75 s,求小鸟的速度大小v2。(7分) 解析:(1)设火车的初速度为v0,在通过第一个100 m的过程中,有L=v0T1+a 在通过两个100 m的过程中,有 2L=v0(T1+T2)+a(T1+T2)2, 解得a=0.12 m/s2。 (2)设火车的速度增加到等于小鸟的速度时所用的时间为t0,若此时小鸟刚好超过车头,有 v1t0=s0+a,对火车有v1=at0,解得v1=6 m/s。 (3)设小鸟与车头相遇的时间为t,则有 v2t=s0+at2,解得t= 分析可知,要使小鸟超过火车车头的时间Δt=75 s 即上式的两个时间解的差t2-t1=Δt 解得v2=7.5 m/s。 答案:(1)0.12 m/s2　(2)6 m/s　(3)7.5 m/s 学科网（北京）股份有限公司 $$