第2章 综合 融通(一) 匀变速直线运动的两种速度公式和位移差公式 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理必修第一册（鲁科版）福建专版

综合·融通(一)　匀变速直线运动的两种速度公式和位移差公式 　　　　(融会课——主题串知综合应用) 　　速度—时间关系式vt=v0+at和位移—时间关系式s=v0t+at2是匀变速直线运动的两个基本关系式,以这两个基本关系式为基础,可以推导出匀变速直线运动的一些结论。对于有些问题,若直接应用相应的结论来解答,可起到事半功倍的效果。本节内容先来熟练一下平均速度公式、位移中点的瞬时速度公式和位移差公式的应用。 主题(一)　匀变速直线运动中的两种速度公式　 [知能融会通] 1.平均速度公式 (1)表述:匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度,还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。 (2)表达式:==。 (3)推导:设物体做匀变速直线运动的初速度为v0,加速度为a,t时刻的速度为vt 由s=v0t+at2得,平均速度==v0+at ① 由vt=v0+at知,当t'=时有=v0+a· ② 由①②得= 又vt=+a· ③ 由②③解得= 综上所述有==。 [微点拨] 公式== 只适用于匀变速直线运动,= 适用于所有运动。 2.位移中点的瞬时速度公式 (1)表述:匀变速直线运动中,任意一段位移中点位置的瞬时速度等于该段位移初速度v0和末速度v平方和一半的平方根。 (2)表达式:= 。 (3)推导:如图所示,前一半位移-=2a·,后一半位移v2-=2a·,所以有=·(+v2),即有= 。 [典例]　某汽车从车站由静止开出,做匀加速直线运动,运动了12 s时,发现还有乘客没上车,于是汽车立即做匀减速运动至停下,共历时20 s,运动了50 m,求汽车在上述运动中的最大速度。 [解析]　法一:基本公式法 设最大速度为vmax, 由题意得s=s1+s2=a1+vmaxt2-a2, t=t1+t2,vmax=a1t1,0=vmax-a2t2, 解得vmax===5 m/s。 法二:平均速度法 由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动,故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半, 即==, 由x=t得vmax==5 m/s。 [答案]　5 m/s [思维建模] (1)平均速度公式只适用于匀变速直线运动。 (2)平均速度与中间位置的瞬时速度不同,无论是匀加速直线运动,还是匀减速直线运动,均有>。 [题点全练清] 1.(2024·海南高考)商场自动感应门如图所示,人走近时两扇门从静止开始同时向左右平移,经4 s恰好完全打开,两扇门移动距离均为2 m,若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动,完全打开时速度恰好为0,则加速度的大小为 (　 ) A.1.25 m/s2 B.1 m/s2 C.0.5 m/s2 D.0.25 m/s2 解析:选C　设门的最大速度为v,根据匀变速直线运动的规律可知,加速过程和减速过程的平均速度大小均为,且运动时间相等均为t= s=2 s,根据x=×2t,解得v=1 m/s,则加速度a==0.5 m/s2。故选C。 2.(双选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2,AB位移中点速度为v3,AB时间中点速度为v4,全程平均速度为v5,则下列结论中正确的有 (　 ) A.物体经过AB位移中点的速度大小为 B.物体经过AB位移中点的速度大小为 C.若为匀减速直线运动,则v3< D.在匀变速直线运动中一定有v3>v4=v5 解析:选BD　由题意可知,在匀变速直线运动中,物体经过AB位移中点的速度为v3=,时间中点的速度为v4=,A错误,B正确;全程的平均速度为v5=,不论物体做匀加速还是匀减速直线运动都有v3>v4=v5,故D正确,C错误。 主题(二)　位移差公式的应用 [知能融会通] 1.逐差相等公式:Δs=sⅡ-sⅠ=sⅢ-sⅡ=…=aT2。 做匀变速直线运动的物体,如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为sⅠ、sⅡ、sⅢ、…、sN,则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差都相等。 2.公式推导:如图所示 s1=v0T+aT2,s2=v0·2T+a·T2, s3=v0·3T+a·T2,… 所以sⅠ=s1=v0T+aT2, sⅡ=s2-s1=v0T+aT2, sⅢ=s3-s2=v0T+aT2,… 故sⅡ-sⅠ=aT2,sⅢ-sⅡ=aT2,… 所以Δs=sⅡ-sⅠ=sⅢ-sⅡ=…=aT2。 3.应用 (1)判断物体是否做匀变速直线运动 如果Δs=sⅡ-sⅠ=sⅢ-sⅡ=…=sN-sN-1=aT2成立,则a为一恒量,说明物体做匀变速直线运动。 (2)求加速度:利用Δs=aT2,可求得a=。 [微点拨] (1)公式中“T”具有任意性。 (2)对于不相邻的任意两段位移:sm-sn=(m-n)aT2。 (3)推论只适用于匀变速直线运动。 [典例]　一物体做匀变速直线运动,在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m,每一个时间间隔为4 s,求物体的初速度vA、末速度vC及加速度a。 [解析]　法一:平均速度公式法 连续两段时间T内的平均速度分别为== m/s=6 m/s,== m/s=16 m/s。设A、B的中间时刻为D,B、C的中间时刻为E,则vD=,vE=。由于B是A、C的中间时刻,则=,=,vB=,又vB=,联立以上各式,解得vA=1 m/s,vC=21 m/s,其加速度a== m/s2=2.5 m/s2。 法二:逐差相等公式法 由Δs=aT2,可得a== m/s2=2.5 m/s2,又s1=vAT+aT2,vC=vA+a·2T,解得vA=1 m/s,vC=21 m/s。 [答案]　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2 [题点全练清] 1.猎豹是动物界的“短跑之王”,一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。如图所示是某猎豹突然启动追赶猎物的情境,启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动,已知猎豹第2 s内跑了7.5 m,第3 s内跑了12.5 m。则 (　 ) A.猎豹的加速度为7 m/s2 B.猎豹的加速度为10 m/s2 C.猎豹加速到最大速度所用时间为3 s D.猎豹加速到最大速度所用时间为6 s 解析:选D　由逐差相等公式sⅡ-sⅠ=aT2,代入数据解得猎豹的加速度a=5 m/s2,故A、B错误;猎豹的最大速度v=108 km/h=30 m/s,由v=at,解得t=6 s,故C错误,D正确。 2.(2025·河南濮阳期末)(双选)一辆汽车在平直公路上匀速行驶,驾驶员突然看到正前方有障碍物,他立即采取刹车措施(不考虑反应时间),若刹车后汽车做匀减速直线运动,第1 s内的位移是11 m,第2 s内的位移是9 m,则 (　 ) A.汽车做匀减速直线运动的加速度大小为4 m/s2 B.汽车刹车时的初速度大小为12 m/s C.汽车从刹车到停止所需时间为6 s D.汽车刹车后10 s内的位移大小为60 m 解析:选BC　设汽车的初速度为v0,加速度为a,根据匀变速直线运动的推论Δx=aT2,得x2-x1=aT2,解得a== m/s2=-2 m/s2,选项A错误;汽车在第1 s内的位移x1=v0t+at2,代入数据解得v0=12 m/s,选项B正确;汽车从刹车到停止所需的时间t0== s=6 s,选项C正确;汽车刹车后10 s内的位移等于6 s内的位移,则x=t0=×6 m=36 m,选项D错误。 [课时跟踪检测] 1.超音速巡航是指飞机在不开启后燃器的情况下能够持续在1.5倍音速以上进行超过30分钟的超音速飞行。超音速巡航是第五代战斗机的主要技术特征之一,某第五代战机在一次直线加速飞行中,速度由270 m/s提升至510 m/s,耗时一分钟,假设加速过程为匀加速,则该过程飞行的距离为 (　 ) A.16 200 m B.23 400 m C.30 600 m D.46 800 m 解析:选B　该过程飞行的距离为s=t=×60 m=23 400 m,故选B。 2.若有轨电车进站的过程可近似视为匀减速直线运动,电车车头依次经过A、B、C三个位置,已知AB段长度为5 m,BC段长度为4 m,且通过AB段和BC段所用时间均为0.5 s,则电车加速度大小为 (　 ) A.7 m/s2 B.8 m/s2 C.4 m/s2 D.11 m/s2 解析:选C　根据Δs=aT2可得a== m/s2=-4 m/s2,则电车加速度大小为4 m/s2,方向与电车运动方向相反,C正确。 3.在滑雪场游玩中,小明从雪坡的顶端由静止开始匀加速直线下滑,途中依次经过A、B、C三个标志点,已知AB=6 m,BC=10 m,通过AB和BC两段所用时间均为2 s,则他通过A、B、C三个标志点的瞬时速度大小分别为 (　 ) A.2 m/s,3 m/s,4 m/s 　B.2 m/s,4 m/s,6 m/s C.3 m/s,4 m/s,5 m/s 　D.3 m/s,5 m/s,7 m/s 解析:选B　根据匀加速直线运动的特点,两点之间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度,故B点的瞬时速度就是AC段的平均速度,则vB==4 m/s;又因为两个连续相等时间间隔内的位移之差等于恒量,即Δx=aT2,则由Δx=BC-AB=aT2,解得a=1 m/s2;再由速度公式v=v0+at得,vB=vA+aT,vC=vB+aT,解得vA=2 m/s,vC=6 m/s,故B正确。 4.某同学骑自行车以2 m/s的速度从坡道顶端沿直线匀加速下行,经过3 s到达坡道底端,速度达到8 m/s,自行车从斜坡过渡到水平面时速度大小不变,随即在平路上做匀变速直线运动,经4 s停下,下列说法正确的是 (　 ) A.该同学在坡道上的加速度大小在增大 B.该同学在平路上的加速度方向和速度方向相同 C.该同学在坡道与平路的平均速度大小相等 D.该同学在坡道与平路的加速度大小相等 解析:选D　该同学骑自行车以2 m/s的速度从坡道顶端沿直线匀加速下行,匀加速即加速度保持不变的加速运动,故A错误;自行车从斜坡过渡到水平面时速度大小不变,随即在平路上做匀变速直线运动,经4 s停下,该同学骑自行车是做匀减速直线运动,加速度方向和速度方向相反,故B错误;由平均速度公式=,可得该同学在坡道的平均速度为= m/s=5 m/s,在平路的平均速度为= m/s=4 m/s,该同学在坡道与平路的平均速度大小不相等,故C错误;由加速度公式a=,可得该同学在坡道的加速度为a1= m/s2=2 m/s2,在平路的加速度为a2= m/s2=-2 m/s2,可知该同学在坡道与平路的加速度大小相等,故D正确。 5.城市主干道路旁的路灯杆间的水平间距为s,一辆长度为L的纯电动汽车在主干道上做匀加速直线运动,从车尾经过某一路灯杆A开始计时,经过t时间车头到达相邻的路灯杆B,已知车头在经过路灯杆B时的速度大小是车尾经过路灯杆A时的3倍。下列说法正确的是 (　 ) A.车尾在经过路灯杆A时的速度大小为 B.车头在经过路灯杆B时的速度大小为 C.车在该过程中的加速度大小为 D.车在该过程中的加速度大小为 解析:选C　设车尾在经过路灯杆A时的速度v,s-L=t,解得v=,车尾在经过路灯杆A时的速度大小为,车头在经过路灯杆B时的速度大小为,A、B错误;车在该过程中的加速度大小为a=,解得a=,C正确,D错误。 6.(2025·永春高一联考期末)(双选)如图所示,一辆汽车在平直公路上做匀加速直线运动,从某时刻开始计时,汽车在第1 s、第2 s、第3 s内前进的距离分别是5.4 m、7.2 m、9.0 m。下列说法正确的是 (　 ) A.汽车在这3 s内的位移就是路程 B.汽车在这3 s内的平均速度是12.5 m/s C.汽车在1.5 s末的瞬时速度是7.2 m/s D.汽车在3 s末的瞬时速度是9.9 m/s 解析:选CD　汽车在这3 s内位移的大小等于路程,但位移有方向是矢量,路程是标量,故A错误;汽车在这3 s内的平均速度为== m/s=7.2 m/s,汽车在1.5 s末的瞬时速度等于前3 s的平均速度,则汽车在1.5 s末的瞬时速度是7.2 m/s,故B错误,C正确;根据Δs=aT2,可得加速度大小为a== m/s2=1.8 m/s2,则汽车在3 s末的瞬时速度为v3=v1.5+at=7.2 m/s+1.8×1.5 m/s=9.9 m/s,故D正确。 7.(2025·秀屿期末)已知一送餐机器人以初速度v匀减速至目的地送餐,运动时间为t,则 (　 ) A.该机器人在位移中点的速度为v B.该机器人在中间时刻的速度为v C.该机器人在这段时间内前进的距离为vt D.该机器人在前一半时间内和后一半时间内前进的位移之比为2∶1 解析:选C　该机器人在位移中点的速度为==v,A错误;该机器人在中间时刻的速度为==,B错误;该机器人在这段时间内前进的距离为x=t=vt,C正确;根据初速度为零的匀变速直线运动的位移比例关系,该机器人在前一半时间内和后一半时间内前进的位移之比为3∶1,D错误。 8.(双选)某次实验需要利用位移传感器和与之相连的计算机来研究小车做匀变速直线运动的相关规律。如图(a)所示,t=0时刻,小车以初速度v0做匀加速直线运动,计算机显示其位置坐标—时间(s-t)图像如图(b)所示,则 (　 ) A.小车2 s末的瞬时速度大小为0.11 m/s B.小车的加速度大小为0.04 m/s2 C.小车的初速度v0=0.02 m/s D.小车t=0时刻的位置坐标无法求出 解析:选BC　由匀变速运动的连续相等时间内的位移差为定值得Δs=aT2,得(0.50 m-0.34 m)-(0.34 m-0.22 m)=aT2,解得Δs=0.04 m,a=0.04 m/s2,故B正确;设t=0时刻的位置坐标为s0,则Δs=(0.22-0.14)m-(0.14 m-s0),解得s0=0.10 m,D错误;由匀变速直线运动的某段的平均速度等于时间中点的速度,则2 s末的速度v2== m/s=0.1 m/s,由a=,解得v0=v2-at2=0.1 m/s-0.04×2 m/s=0.02 m/s,故A错误,C正确。 9.一列火车沿直线轨道从静止出发由A地驶向B地,列车先做匀加速运动,加速度大小为a,接着做匀减速运动,加速度大小为2a,到达B地时恰好静止,若A、B两地距离为x,则火车从A地到B地所用时间t为 (　 ) A. B. C. D. 解析:选C　设加速结束时的速度为v,则+=x,解得v=,则整个过程中的平均速度为==,则火车从A地到B地所用时间t==,C正确。 10.(双选)如图所示,滑块A、B、C先后以相同的速度v0从斜面底端冲上斜面,当滑块A到达斜面顶端时速度恰好为零,此时滑块B正处于斜面中点,滑块C刚好从斜面底端出发。已知斜面长度为L,三个滑块上滑过程中均做匀减速直线运动且加速度大小相等。下列说法正确的是 (　 ) A.滑块B的速度大小为 B.滑块上滑的加速度大小为 C.滑块A上滑时间后,滑块B才开始上滑 D.滑块B上滑时间后,滑块C才开始上滑 解析:选BC　根据匀变速直线运动位移速度关系可得-2aL=0-,解得滑块上滑的加速度大小为a=,B正确;设此时滑块B的速度大小为vB,由vB=,解得vB=v0,A错误;滑块A滑动的时间为tA==,滑块B滑动的时间为tB==,则有Δt=tA-tB=,可知滑块A上滑时间后,滑块B才开始上滑;滑块B上滑时间后,滑块C才开始上滑,故C正确,D错误。 11.(14分)从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球,释放后小球做匀加速直线运动,在连续释放几个后,对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片,测得sAB=15 cm,sBC=20 cm。试求: (1)小球的加速度大小;(4分) (2)拍摄时小球B的速度大小;(5分) (3)拍摄时sCD的距离。(5分) 解析:小球释放后做匀加速直线运动,且每相邻的两个小球的时间间隔相等,均为0.1 s,可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。 (1)由位移差公式Δs=aT2可知,小球的加速度为 a=== m/s2=5 m/s2。　 (2)由题意知B点对应AC段的中间时刻,可知B点的速度等于AC段上的平均速度,即 vB=== m/s=1.75 m/s。 (3)由于连续相等时间内位移差恒定,所以 sCD-sBC=sBC-sAB 所以sCD=2sBC-sAB=2×20×10-2 m-15×10-2 m =25×10-2 m=0.25 m。 答案:(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m 12.(16分)一列从车站开出的火车,在平直轨道上做匀加速直线运动,已知这列火车的长度为l,火车头经过某路标时的速度为v1,而车尾经过此路标时的速度为v2,求: (1)火车的加速度大小a;(5分) (2)火车中点经过此路标时的速度大小v;(5分) (3)整列火车通过此路标所用的时间t。(6分) 解析:(1)由匀加速直线运动的规律得-=2al, 解得a=。 (2)火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动,某一时刻速度为v1,前进位移l,速度变为v2,所求的v是经过处的速度,其运动简图如图所示。 对于前一半位移,有v2-=2a·对于后一半位移,有-v2=2a· 所以有v2-=-v2,故v=。 (3)火车的平均速度= 故所用时间t==。 答案:(1)　(2)　(3) 学科网（北京）股份有限公司 $$