专题微课 构造法求数列通项公式问题 (课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

专题微课　构造法求数列通项公式问题 数列构造法是一种常用的数学解题方法,通常用于解决一些看似复杂或难以直接解决的问题,其核心思想是将原问题转化为一个等差或等比数列问题,通过数列的性质规律求解. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　形如an+1=pan+q的 递推关系求通项公式 题型(二) 形如an=p+pn的 递推关系求通项公式 题型(三) 形如an+1=(A,B,C为常数)的递推关系求通项公式 4 课时跟踪检测 题型(一) 形如an+1=pan+q的 递推关系求通项公式 01 [例1]　已知数列{an}满足a1=,an+1=(an+1),求通项公式an. 解:∵an+1=an+,∴an+1-1=(an-1). 又a1-1=-. ∴数列{an-1}是首项为-,公比为的等比数列. ∴an-1=-×,∴an=1-×. 形如=pan+q[其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0]可用待定系数法求得通项公式,步骤如下 (1)假设递推公式可改写为+t=p(an+t). (2)由待定系数法,解得t=. (3)写出数列的通项公式. (4)写出数列{an}的通项公式. |思|维|建|模| 针对训练 1.已知数列{an}满足=2an+2,且a1=1,则(　　) A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列 C.{an+1}是等比数列 D.{an+2}是等比数列 解析:由=2an+2,可得+2=2(an+2),所以=2. 又由a1=1,得a1+2=3,所以{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列. 所以an+2=3×,an=3×-2,=3×2n-2,-an=3×2n-2-(3×-2)=3×,所以{an}不是等差数列;=不等于常数, 所以{an}不是等比数列;=不等于常数,所以{an+1}不是等比数列. √ 2.已知数列{an}满足a1=1,=2an+1,求{an}的通项公式. 解:∵=2an+1,令+t=2(an+t),即=2an+t,∴t=1,即+1 =2(an+1),∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列. ∴an+1=2×=2n,∴an=2n-1. 题型(二) 形如an=p+pn的 递推关系求通项公式 02 [例2]　已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2),且a1=1,求数列{an}的通项公式. 解:因为an=2an-1+2n(n≥2),等式两边同时除以2n,得=+1,即-=1,又=,所以是以为首项,1为公差的等差数列,即=+(n-1)×1, 所以an=×2n. 　　形如an=pan-1+pn(p≠0且p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 第一步:等式两边同除以pn,不管这一项是pn-1或pn+1,都同除以pn, 为的是数列的下标和p的指数对应起来. 第二步:写出数列的通项公式. 第三步:写出数列{an}的通项公式. |思|维|建|模| 针对训练 3.已知数列{an}满足=+,且a1=1,求数列{an}的通项公式. 解:由题意,等式两边同乘2n,得=+1,即-=1,所以是以2为首项, 1为公差的等差数列,所以=2+(n-1)×1=n+1,即an=. 4.已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an+2×3n+1,n∈N+,求数列{an}的通项公式. 解:由an+1=3an+2×3n+1,得=+2,∴-=2,又=1, 即数列是首项为1,公差为2的等差数列, ∴=2n-1,即an=(2n-1)·3n. 题型(三) 形如an+1=(A,B,C为常数)的递推关系求通项公式 03 [例3]　已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+),则数列{an}的通项公式an=_________. 解析:因为an+1=,a1=1,所以an≠0,所以=+,即-=.又a1=1,则=1,所以是以1为首项,为公差的等差数列. 所以=+(n-1)×=+.所以an=. 形如an+1=(A,B,C≠0,an≠0)的递推公式可两边同时取倒数转化为=·+的形式,求出数列的通项公式,从而可得{an}的通项公式. |思|维|建|模| 5.已知数列{an}满足an+1=,n∈N+,若a4=,求a1. 针对训练 解:法一　由a4==,得a3=.由a3==,得a2=.从而由a2==,得a1=. 法二　由题意得an≠0,则等式两边同取倒数得==2+, 则-=2,n∈N+, 则数列是公差为2的等差数列, 则=+2(n-4)=2n+1, 当n=1时,=3,则a1=. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.若数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则此数列第5项是 (　　) A.15　　　　B.255　　　　C.16　　　　D.63 解析:∵an=4an-1+3(n≥2),∴an+1=4(an-1+1)(n≥2),∴{an+1}是以1为首项, 4为公比的等比数列,则an+1=4n-1.∴an=4n-1-1,∴a5=44-1=255.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=0,an+1=an+2+1,则a5+S4=(　　) A.39　　　　B.45　　　　C.50　　　　D.55 解析:　∵an+1=an+2+1,∴an+1+1=, ∴=+1,即-=1,∴数列{}是公差为1,首项为=1的等差数列,∴=n,an=n2-1. a1=0,a2=3,a3=8,a4=15,a5=24,S4=0+3+8+15=26,∴a5+S4=24+26=50. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.(5分)若正项数列{an}满足a1=2,=4+4an+1,则数列{an}的通项公式是__________________. an=3×2n-1-1 解析:在正项数列{an}中,=4+4an+1=(2an+1)2,则有an+1=2an+1,于是得an+1+1=2(an+1),而a1+1=3,因此数列{an+1}是首项为3,公比为2的等比数列,则有an+1=3×2n-1,即an=3×2n-1-1,所以数列{an}的通项公式是an=3×2n-1-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.(5分)在数列{an}中,a1=1,且an+1=an+3n+1,则通项公式an=__________.  解析:∵an+1=an+3n+1,∴an+1-(n+1)2+=an-n2+, ∴数列为常数列,又a1=1,则a1-+=0,∴an=n2-. n2- 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.(5分)已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n-1(n≥2,n∈N),则an=________. n·2n-1 解析:由题设,=+(n≥2), 即-=(n≥2),而=, ∴是首项、公差均为的等差数列, 即=+(n-1)=,∴an=n·2n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.(5分)已知数列{an}满足a1=1,且an+1=,则数列{an}的通项公式为an=_______. 解析:因为an+1=, 所以==+1,-=1, 所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以=n,an=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(5分)已知数列{an}满足a1=1,3an+1an=an-an+1,则通项公式an=_________. 解析:∵3an+1an=an-an+1,∴-=3,且=1,∴是以1为首项, 3为公差的等差数列, ∴=1+(n-1)·3=3n-2,∴an=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)已知数列{an}的首项是a1=1,且an+1=,则数列{an}的通项公式为_______________. an= 解析:由an+1=,即(n+1)an+1=nan,故数列{nan}为常数列,a1=1,即nan=1,an=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)记Sn为数列{an}的前n项和,若an=-1,则S7=__________. -254 解析:由已知an=-1,得Sn-Sn-1=-1,所以Sn-2=2(Sn-1-2)(n≥2), 又a1=-1,即S1=-2,S1-2=-4,所以{Sn-2}是以-4为首项,2为公比的 等比数列,所以Sn-2=-4×2n-1,即Sn=2-,所以S7=2-28=-254. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)在数列{an}中,a1=1,a2=3,且对任意的n∈N+,都有=3an+1-2an,则数列{an}的通项公式为___________. an=2n-1 解析:由=3an+1-2an,得-an+1=2(an+1-an). 又a1=1,a2=3,所以a2-a1=2≠0,所以{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1-an=2n,所以an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+2+22+…+2n-1=2n-1,n≥2, 因为a1=1符合上式,所以an=2n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,3Sn=an+1-+2(n∈N+). (1)当n∈N+时,写出an+1与an之间的递推关系;(6分) 解:因为3Sn=an+1-2n+2+2　①, 所以当n≥2时,3Sn-1=an-2n+1+2　②, ①-②得3an=an+1-an-2n+1(n≥2), 即an+1=4an+2n+1 (n≥2), 在①中,令n=1得a2=3a1+23-2=12=4a1+22,也符合上式,所以an+1=4an+2n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求{an}的通项公式.(4分) 解:因为an+1=4an+2n+1,则an+1+2n+1=4(an+2n),且a1+2=4≠0, 所以数列{an+2n}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以an+2n=4n, 故an=4n-2n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3,n∈N+. (1)求S9的值;(5分) 解:因为Sn+Sn+1=2n2+6n+3,所以Sn+2+Sn+1=2(n+1)2+6(n+1)+3. 两式相减,得an+2+an+1=4(n+2),n∈N+.所以S9=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a8+a9) =3+4[(1+2)+(3+2)+…+(7+2)] =3+4×=99. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求数列{an}的通项公式.(10分) 解:由(1)知an+2+an+1=4(n+2)①,可得an+an+1=4(n+1)②,n≥2. 因为a1=3,S2+S1=11,所以a2=5, 又S3+S2=23=2a1+2a2+a3, 所以a3=7.又由①②得an+2-an=4,n≥2.所以a2n=a2+4(n-1)=4n+1,即an=2n+1,n为偶数,则当n≥3,且为奇数时,an=4(n+1)-an+1=4(n+1)-[2(n+1)+1]=2n+1, 又a1=3,a3=7符合上式,综上得an=2n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)在数列{an}中, a1=4且 an+1=,求数列{an}的通项公式. 解:由an+1=两边减去1得, an+1-1=-1=, 两边取倒数得,===+·, 两边同加得,+=+·=·, 由a1=4,则+=≠0,所以有=, 故是以为首项,为公比的等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以+=·, 故an-1=, 解得an=. $$